수학(상) 단원평가

방정식과 부등식 [C1]

	수학(상) 단원평가 [방정식과 부등식] C1

001. [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +x=k ^{3} -2k ^{2} +k] 가 중근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은? ⑤ ① [eqn: {2} over {3}] ② [eqn: {7} over {6}] ③ [eqn: {5} over {3}] ④ [eqn: {13} over {6}] ⑤ [eqn: {8} over {3}]
002. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= {1} over {i} - {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} - {1} over {i ^{4}} + CDOTS + {(-1) ^{n+1}} over {i ^{n}}] 일 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ⑤ ㄱ. [eqn: f(3)=1] ㄴ. [eqn: f(n)=0]이면 [eqn: n]은 [eqn: 4]의 배수이다. ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)=f(n+4)] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	수학(상) 단원평가 [방정식과 부등식] C1

003. 실수가 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z+ {1} over {z}]이 실수일 때, [eqn: z {bar{z}}]의 값은? ④ (단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
004. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-4x+k=0] 의 한 근은 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에, 다른 한 근은 [eqn: 2]와 [eqn: 3] 사이에 있도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: alpha <k< beta]이다. 이때 [eqn: alpha beta]의 값은? ② ① [eqn: 8] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 20]

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005. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]를 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 2x+y ^{2} +3]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 11]
006. 이차식 [eqn: 2x ^{2} +7xy+3y ^{2} +3x-y+k] 가 [eqn: x]와 [eqn: y]에 대한 일차식으로 인수분해 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은? ④ ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]

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007. 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 3+i]이다. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -bx+a=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: {beta +2} over {2 alpha } + {alpha +2} over {2 beta }]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ② ① [eqn: -12] ② [eqn: -11] ③ [eqn: -10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]
008. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -px+p+3=0]이 허근 [eqn: alpha]를 가질 때, [eqn: alpha ^{3}]이 실수가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p]의 값의 곱을 구하여라. ③ ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]

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009. 복소수 [eqn: z=(2+i)x ^{2} +(3i-2)x-4+2i]에 대하여 [eqn: z ^{4} <0]을 만족시킬 때, 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ③ ① [eqn: 21] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 23] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 25]
010. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0]의 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta] [eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하자. 다음 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} = alpha], [eqn: {bar{rm BC it}} = beta]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에 내접하는 정사각형이 있다. 이 정사각형의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 [eqn: x]에 대한 이차방정식이 [eqn: 4x ^{2} +mx+n=0]일 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? (단, 정사각형의 두 변은 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm BC] 위에 있다.) ⑤ ① [eqn: -11] ② [eqn: -10] ③ [eqn: -9] ④ [eqn: -8] ⑤ [eqn: -7]

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011. 두 복소수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha ^{2} =4i], [eqn: beta ^{2} =-4i`]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ④ ㄱ. [eqn: alpha beta =16] ㄴ. [eqn: LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{4} =64] ㄷ. [eqn: {alpha + beta } over {alpha - beta }]는 순허수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
012. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: sqrt {kx ^{2} +kx+1}]이 실수가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

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013. [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대한 연립방정식 [eqn: {cases{x-9y+6z=12 # 2x-3y-8z=4 # ax+by-6z=48}}] 의 해가 무수히 많을 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ① ① [eqn: -27] ② [eqn: -18] ③ [eqn: -9] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: 9]
014. 그림과 같이 한 변이 [eqn: x]축 위에 있고, 두 꼭짓점이 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +8x]의 그래프 위에 있는 직사각형 [eqn: rm ABCD]의 둘레의 길이의 최댓값은? ③ ① [eqn: 30] ② [eqn: 32] ③ [eqn: 34] ④ [eqn: 36] ⑤ [eqn: 38]

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015. 두 복소수 [eqn: z= {sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2}], [eqn: w= {- sqrt {2} + sqrt {2} i} over {2}] 에 대하여 [eqn: z ^{m} TIMES w ^{n} =i]를 만족시키는 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n]의 최솟값은? ② (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
016. 다음 그림과 같이 둘레의 길이가 [eqn: 24]인 직사각형 모양의 종이를 대각선을 접는 선으로 하여 접어보니 겹쳐진 부분의 넓이가 [eqn: 10]이 되었다. 직사각형의 가로와 세로의 길이가 모두 자연수라 할 때, 직사각형의 긴 변의 길이는? ③ ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]

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017. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +px+1=0]이 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 가질 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: p]는 실수이다.) ⑤ ㄱ. [eqn: LEFT | alpha + beta RIGHT | = LEFT | alpha RIGHT | + LEFT | beta RIGHT |] ㄴ. [eqn: 0< alpha <1]이면 [eqn: beta >1]이다. ㄷ. [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 2]이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
018. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +px+q]가 [eqn: f( alpha ^{2} )=-4 alpha]와 [eqn: f( beta ^{2} )=-4 beta]를 만족할 때, 두 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은?. ② ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 16]

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019. 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+k]에 대하여 함수[eqn: y=f(f(x))]의 최솟값과 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값이 서로 같도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
020. [eqn: x]에 대한 일차부등식 [eqn: LEFT | x-a LEFT [ a RIGHT ] RIGHT | <b LEFT [ b RIGHT ]] 의 해가 [eqn: 8<x<30]일 때, 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 8a+9b]의 값은? ⑤ (단, [eqn: b GEQ 1]이고, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① [eqn: 63] ② [eqn: 65] ③ [eqn: 67] ④ [eqn: 69] ⑤ [eqn: 71]

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021. 두 이차함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 일차함수 [eqn: y=h(x)]에 대하여 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=h(x)]의 그래프가 접하는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], 두 함수 [eqn: y=g(x)], [eqn: y=h(x)]의 그래프가 접하는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta]라 할 때, 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 최고차항의 계수는 각각 [eqn: 1]과 [eqn: 4]이다. (나) 두 양수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha ``:`` beta =1``:``2] 두 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 사이에 있는 점의 좌표를 [eqn: t]라 할 때, [eqn: {t} over {alpha }]의 값은? ④ ① [eqn: {7} over {6}] ② [eqn: {4} over {3}] ③ [eqn: {3} over {2}] ④ [eqn: {5} over {3}] ⑤ [eqn: {11} over {6}]
022. 두 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+a], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} -4x+2a]에 대하여 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]가 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위가 [eqn: a<p]이고, 임의의 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) >g LEFT ( x _{2} RIGHT )]가 성립하도록 실수 [eqn: a]의 범위가 [eqn: a<q]일 때 [eqn: 2pq]의 값을 구하여라. [eqn: 5]

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023. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-5=0] 의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] 라 할 때, [eqn: LEFT ( alpha ^{2} - alpha +1 RIGHT ) LEFT ( beta ^{2} - beta +1 RIGHT ) LEFT ( gamma ^{2} - gamma +1 RIGHT )] 의 값을 구하여라. [eqn: 13 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]
024. 다음 그림과 같이 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 변 [eqn: rm BC]의 길이는 [eqn: 4], 면적은 [eqn: 6]이다. 변 [eqn: rm BC]에 평행한 직선이 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라고 하자. [eqn: rm PQ]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm PQRS]를 변 [eqn: rm SR]이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외부에 존재하도록 꼭짓점 [eqn: rm A]와 반대편에 만든다. 이때 정사각형의 한 변의 길이 [eqn: x]는 [eqn: a<x<b]의 범위를 가지고, 정사각형 [eqn: rm PQRS]와 삼각형 [eqn: rm ABC]의 공통부분의 넓이 [eqn: y]는 최댓값 [eqn: c]를 가질 때, [eqn: 7abc]의 값을 구하여라. [eqn: 144]

	수학(상) 단원평가 [방정식과 부등식] C1

025. 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a LEQ x LEQ a+1]에서 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +6x]의 최댓값을 [eqn: M(a)], 최솟값 [eqn: m(a)]라 하자. 함수 [eqn: y=M(a)], [eqn: y=m(a)]에 대하여 두 함수의 최댓값의 합을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 4k]의 값을 구하여라. [eqn: 71]

[수학(상) 단원평가]

방정식과 부등식 C1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	⑤	02	⑤	03	④	04	②	05	③
06	④	07	②	08	③	09	③	10	⑤
11	④	12	⑤	13	①	14	③	15	②
16	③	17	⑤	18	②	19	②	20	⑤
21	④	22	[eqn: 5]	23	[eqn: 13]	24	[eqn: 144]	25	[eqn: 71]

5번 해설

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에서 [eqn: y^2 = 4-x^2]

이 식에서 [eqn: x]값의 범위를 찾아낼 수 있어야 한다.

13번 해설

두 식을 이용해 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 한 문자에 대한 식으로 표현한 다음 [eqn: a]에 대한 항등식 조건을 이용한다.

※ 현재 교육과정에서 미지수가 [eqn: 3]개이고 차수가 [eqn: 1]차인 연립방정식을 가르치고 있지는 않지만,

나중에 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 등에 사용될 수 있으므로 공부해 놓자.

18번 해설

[eqn: x ^{2} +x+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 [eqn: alpha ^2 +alpha +1 = 0], [eqn: beta^2 +beta +1=0]이 성립한다.

따라서, [eqn: f( alpha ^{2} )=-4 alpha], [eqn: f( beta ^{2} )=-4 beta]은 [eqn: f LEFT (-alpha-1 RIGHT )= -4alpha], [eqn: f LEFT (-beta-1 RIGHT )=-4beta]와 같으므로

방정식 [eqn: f LEFT (-x-1 RIGHT )+4x =0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]임을 이용하여 푼다.

핵심은 [eqn: alpha], [eqn: beta]를 두 근으로 하는 방정식을 찾아내는 것이다.

20번 해설

복잡해 보이지만 차근차근 해보자.

먼저 절댓값 부등식을 풀어보면

[eqn: LEFT | x-a LEFT [ a RIGHT ] RIGHT | <b LEFT [ b RIGHT ]]에서 [eqn: a LEFT [ a RIGHT ] -b LEFT [ b RIGHT ] <x<a LEFT [ a RIGHT ] +b LEFT [ b RIGHT ]]

임을 알 수 있다. 이 부등식의 해가 [eqn: 8<x<30]이므로 [eqn: a LEFT [ a RIGHT ] -b LEFT [ b RIGHT ] =8], [eqn: a left[a right] + b left[b right]=30]이다.

두 식을 연립하여 [eqn: a LEFT [ a RIGHT ]], [eqn: b LEFT [ b RIGHT ]]의 값을 구하고

[eqn: n LEQ a<n+1], [eqn: m LEQ b<m+1](단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)라고 두고 [eqn: a], [eqn: b]를 구한다.

21번 해설

소위 차함수의 형태로 식을 setting하는 것이 바람직하다.

이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -h` LEFT ( x RIGHT ) =0]에서

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 일차함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 [eqn: x= alpha]에서 접하므로

[eqn: f(x)-h(x)=(x- alpha ) ^{2}]

마찬가지로

[eqn: g(x)-h(x)=4(x- beta ) ^{2}]

또 [eqn: alpha:beta=1:2]에서 [eqn: g(x)-h(x)=4(x- 2alpha ) ^{2}]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = g LEFT ( x RIGHT )]의 해가 [eqn: x=t]임을 이용하여 [eqn: t]를 [eqn: alpha]에 대한 식으로 나타낸다.

22번 해설

표현이 비슷해 보이지만 두 상황의 차이점을 잘 알아야한다.

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT )]가 성립하는 것은 [그림1]과 같은 상황이므로
모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - g LEFT ( x RIGHT ) > 0]이 성립할 조건을 구하는 것이고,

임의의 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) >g LEFT ( x _{2} RIGHT )]가 성립하는 것은 [그림2]와 같은 상황이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값보다 크도록 하는 조건을 구하는 것이다.

[그림1]	[그림2]

23번 해설

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +3x-5= LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x-beta RIGHT ) LEFT ( x- gamma RIGHT )]라 하자.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -x+1]로 나누어보면
[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-5= LEFT ( x^2 - x +1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )+x-4]

[eqn: x= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ^{3} -2 alpha ^{2} +3 alpha-5= LEFT ( alpha ^{2} - alpha+1 RIGHT ) LEFT ( alpha-1 RIGHT ) + alpha-4=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: alpha ^2 - alpha +1 = - { alpha -4} over {alpha -1 }=- { LEFT ( 4- alpha RIGHT ) } over { LEFT ( 1-alpha RIGHT ) }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (준```식)=- {LEFT ( 4- alpha RIGHT ) LEFT ( 4- beta RIGHT ) LEFT ( 4- gamma RIGHT )} over {LEFT ( 1- alpha RIGHT ) LEFT ( 1- beta RIGHT ) LEFT ( 1- gamma RIGHT )} =- {f LEFT ( 4 RIGHT )} over {f LEFT ( 1 RIGHT )} =- {39} over {-3} =13]

25번 해설

[eqn: a]값의 범위를 나누어 각 범위에서 [eqn: M LEFT ( a RIGHT )], [eqn: m LEFT ( a RIGHT )]에 대한 식을 세운다.

ⅰ) [eqn: a+1<3]일 때 [eqn: M(a)][eqn: =-a ^{2} +4a+5], [eqn: m(a)=-a ^{2} +6a]

ⅱ) [eqn: 3 LEQ a+1< {7} over {2}]일 때 [eqn: M(a)=f(3)=9], [eqn: m(a)=-a ^{2} +6a]

ⅲ) [eqn: a= {5} over {2}]일 때 [eqn: M(a)=f(3)=9], [eqn: m(a)=f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) = {35} over {4}]

ⅳ) [eqn: {5} over {2} <a LEQ 3]일 때 [eqn: M(a)=f(3)=9], [eqn: m(a)=f(a+1)=-a ^{2} +4a+5]

ⅴ) [eqn: a>3]일 때 [eqn: M(a)=f(a)=-a ^{2} +6a], [eqn: m(a)=f(a+1)=-a ^{2} +4a+5]

ⅰ)~ⅴ)로부터 함수 [eqn: y=M(a)]와 [eqn: y=m(a)]의 그래프는 오른쪽과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=M(a)`]의 최댓값은 [eqn: 9], 함수 [eqn: y=m(a)`]의 최댓값은 [eqn: {35} over {4} `]이다.