수학(하) 단원평가

함수와 그래프 [B2]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

001. 집합[eqn: X= LEFT { -1,```1 RIGHT }]과 실수 전체의 집합 [eqn: Y]에 대하여 다음 보기의 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 중 상수함수인 것만을 있는 대로 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{2}] ㄴ. [eqn: f(x)= LEFT | x RIGHT |] ㄷ. [eqn: f(x)=-x+1] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
002. 함수 [eqn: f]가 [eqn: f LEFT ( 3x-1 RIGHT ) =9x+5]를 만족시킬 때 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f ^{-1} LEFT ( -4 RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: 9] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 13]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

003. 집합 [eqn: X`= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]이고, [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f], [eqn: g], [eqn: h]에 대하여 [eqn: LEFT ( g` CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h]는 항등함수이다. [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f` LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
004. 세 함수 [eqn: f(x)=2x], [eqn: g(x)=x-4], [eqn: h LEFT ( {x-1} over {x+1} RIGHT ) =2x ^{2} -3]에 대하여 [eqn: ((f CIRC g) CIRC h)(2)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 18] ② [eqn: 19] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 21] ⑤ [eqn: 22]

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005. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]에 대하여 [eqn: f(2x+1)=6x+3]이고 [eqn: f ^{-1} (x)=ax+b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ① ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {2} over {3}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {4} over {3}] ⑤ [eqn: {5} over {3}]
006. 함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {x-3} over {x+1}]에 대하여 [eqn: f ^{1} =f], [eqn: f ^{n+1} =f CIRC f ^{n}]([eqn: n=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]) 일 때, [eqn: f ^{-1} LEFT ( -2 RIGHT ) +f ^{2017} LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ③ ① [eqn: - {2} over {3}] ② [eqn: - {1} over {3}] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: {1} over {3}] ⑤ [eqn: {2} over {3}]

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007. 함수 [eqn: f(x)= {qx+1} over {x+p}]에 대하여 그 역함수의 그래프의 두 점근선이 [eqn: x=-1], [eqn: y=2] 가 되도록 하는 상수 [eqn: p], [eqn: q]의 값은? ① ① [eqn: p=-2], [eqn: q=-1] ② [eqn: p=-2], [eqn: q=1] ③ [eqn: p=1], [eqn: q=-2] ④ [eqn: p=2], [eqn: q=-1] ⑤ [eqn: p=2], [eqn: q=1]
008. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n]의 양의 약수의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: f(2) =2] ㄴ. [eqn: f(3^k ) = k+1] (단, [eqn: k]는 자연수이다.) ㄷ. [eqn: f(a times b) = f(a) times f(b)] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 자연수이다.) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

009. 두 집합 [eqn: X = LEFT {x`|`0 le x le 4 RIGHT }], [eqn: Y = LEFT {y`|`0 le y le 6 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = -x^2 + ax+2]가 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수이기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: alpha le a le beta]이다. 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha beta]의 값은? ⑤ ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 10]
010. 두 집합 [eqn: X= LEFT { x`|`x LEQ k RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { y`|`y GEQ 2k+12 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 대응 [eqn: y=x ^{2} -4x+5]가 일대일대응이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? ② ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

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011. 함수 [eqn: f(x) = cases{ x^2 - 2ax +b& ```(x<0)# -x^2 -2bx -a+6 &```(x ge 0) }]의 역함수가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab`]의 최댓값은? ④ ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]
012. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {-2x+3} over {x+2}]의 그래프에 대한 보기의 설명 중 옳은 것을 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. 그래프를 평행이동하면 함수 [eqn: y= {7} over {x}]의 그래프와 겹쳐질 수 있다. ㄴ. 그래프는 제[eqn: 1]사분면을 지나지 않는다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]가 성립한다. (단, [eqn: f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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013. 집합 [eqn: X = LEFT {x`|`x는```10```이하의```자연수right}]에 대하여 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f:X->X]가 다음을 모두 만족시킨다. ⑤ (가) [eqn: f(10) le 4] (나) [eqn: 5 le x le 9]이면 [eqn: f(x) = x+1] 이때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. [eqn: (f circ f)^-1 (7) = 5] ㄴ. [eqn: f`^-1 (x) =x]의 해의 개수의 최댓값은 [eqn: 3]이다. ㄷ. [eqn: f`^-1 (x) = f(x)]의 해의 개수의 최댓값은 [eqn: 3]이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
014. 정의역이 [eqn: LEFT {x`|`0 le x le 4 RIGHT }]인 두 함수 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]의 그래프가 각각 다음 그림과 같다. 이때 방정식 [eqn: (f circ g)(x) = 1]의 실근의 개수는? ④ ① [eqn: 3]개 ② [eqn: 4]개 ③ [eqn: 5]개 ④ [eqn: 6]개 ⑤ [eqn: 7]개

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

015. 두 집합 [eqn: X`= LEFT { -1,```0,```1 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { y`|`y는```10```이하의```자연수 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X -> Y]가 다음 두 조건을 만족할 때, 함수 [eqn: f`]의 개수는? ③ (가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) <f` LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다. (나) [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 3]이다. ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 18]
016. 유리함수 [eqn: y= {3} over {x-1} LEFT ( x>1 RIGHT )] 위의 임의의 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ LEFT ( -1,```0 RIGHT )], [eqn: rmR LEFT ( 0,```-3 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm TRIANGLE PQR]의 넓이의 최솟값은? ② ① [eqn: sqrt {10}] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 2 sqrt {10}] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 24]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

017. 정의역이 [eqn: LEFT { x`□`0 LEQ x LEQ 3` RIGHT }]인 무리함수 [eqn: y=-2 sqrt {x+1} +a]의 최댓값이 [eqn: 1], 최솟값이 [eqn: b]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ② ① [eqn: 0] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 8]
018. 무리함수 [eqn: f(x)=rootax-2 -1left( x ge 2overa right )]와 그 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]에 대하여 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x_1], [eqn: x_2][eqn: (x_1 <x_2 )]이다. [eqn: x_2 -x_1 =2]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>0]) ② ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

019. [eqn: X = LEFT {x`|`0 le x le 12 RIGHT }]에 대하여 [eqn: f(x) = ax+b]가 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수일 때, 다음을 만족시키는 일대일함수 [eqn: f`]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.) [eqn: 4] (가) [eqn: f(2) =3] (나) [eqn: f(6)`]은 정수이다.
020. 함수 [eqn: f(x)= {cases{sqrt {x}&```(x GEQ 0)#x ^{2}&```(x<0)}}]의 그래프와 직선 [eqn: x+2y-15=0]이 두 점 [eqn: rmA(-3,```9)], [eqn: rmB(9,```3)]에서 만난다. 그림과 같이 주어진 함수 [eqn: f(x)``]의 그래프와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ⑤ (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ① [eqn: 41] ② [eqn: 42] ③ [eqn: 43] ④ [eqn: 44] ⑤ [eqn: 45]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

021. 함수 [eqn: y= { 2x+5} over {2x-1 }``]의 그래프 위에 [eqn: x], [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하여라. ④
022. 정의역과 공역을 자연수 전체의 집합으로 하는 함수 [eqn: f]가 다음과 같다. [eqn: f(x) = cases{ x+2&```(x= 3n-2,```n은```자연수) # x+1& ```(x=3n-1,``` n은```자연수) # x over 3 &```(x=3n,```n은```자연수)}] [eqn: f(a) =3]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라. [eqn: 12]

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

023. 유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {5x+b} over {x-a}]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: 5]가 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-7 RIGHT ) -7] 이다. (나) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 평행이동하여 [eqn: y=- {5} over {x}]의 그래프와 일치시킬 수 있다. [eqn: a+b]의 값을 구하여라. [eqn: 3]
024. 일대일 대응인 함수 [eqn: f]가 다음과 같다. [eqn: f(x) = cases{ a^2 over x-a +a&```(x>a) #b root a-x +c &```(x le a) }] 이때, [eqn: LEFT |b over a + 2c over b + a over c RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: p sqrt {2} +q]이다. 이때 [eqn: p+q]값을 구하여라. [eqn: 1] (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

	수학(하) 단원평가 [함수와 그래프] B2

025. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: -1 LEQ x<1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {LEFT | x RIGHT |}]이다. (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x+2 RIGHT )]이다. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =mx+ {1} over {2} -2m]이 서로 다른 실근을 [eqn: 5]개 이상 갖도록 하는 [eqn: m]의 값의 범위는 [eqn: alpha<m<beta]이다. [eqn: {1} over {alpha ^{2}} + {1} over {beta ^{2}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 상수이다.) [eqn: 32]

[수학(하) 단원평가]

함수와 그래프 B2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	②	02	②	03	④	04	⑤	05	①
06	③	07	①	08	②	09	⑤	10	②
11	④	12	③	13	⑤	14	④	15	③
16	②	17	②	18	②	19	[eqn: 4]	20	⑤
21	[eqn: 4]	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 3]	24	[eqn: 1]	25	[eqn: 32]

10번 해설

연속인 함수가 일대일 대응이 되려면 증가 또는 감소함수가 되어야 한다.

점 [eqn: (k,```2k+12)]가 그래프 위에 있어야 하므로 [eqn: k=-1] 또는 [eqn: k=7]이다.

이 중 [eqn: k=7]인 경우는 함수가 정의되지 않는다.

16번 해설

[eqn: rm TRIANGLE PQR]의 넓이가 최소인 점 [eqn: RMP]는 선분 [eqn: rmQR]에 평행한 직선이 함수 [eqn: y= {3} over {x-1}]에 접할 때이다.

선분 [eqn: rmQR]의 기울기는 [eqn: -3]이므로 함수 [eqn: y= {3} over {x-1}]의 접선을 [eqn: y=-3x+m]이라 두고 대입,

판별식의 값이 [eqn: 0]임을 풀면 [eqn: m=9]이다.

[eqn: bar{rmQR}]를 밑변으로 하는 [eqn: rm TRIANGLE PQR]의 높이는 직선 [eqn: y=-3x+9]와 점 [eqn: rmQ LEFT (-1,```0 RIGHT )] 사이의 거리이다.

20번 해설

곡선 [eqn: rmOA]를 시계방향으로 [eqn: 90]도 회전하면 곡선 [eqn: rmOB]가 된다.

직선 [eqn: rmAB]를 시계방향으로 [eqn: 90]도 회전하여 직선을 구해보면 점 [eqn: LEFT ( { 15} over {2 },```0 RIGHT )]을 지나는 직선이 된다.

선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmD LEFT ( {15} over {2} ,```0 RIGHT )]라 두면

주어진 도형의 넓이는 사다리꼴 [eqn: rmOCBH]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rmBHD]의 넓이를 뺀 것과 같다.

24번 해설

함수 [eqn: f]가 일대일대응 함수가 되려면 점 [eqn: LEFT ( a,```a RIGHT )]를 지나야 한다.

주어진 식에 [eqn: a]를 대입하여 정리하면 [eqn: c=a]이다.

그리고 [eqn: y=b sqrt {a-x} +c]가 [eqn: y=a]보다 작거나 같아야 하므로 [eqn: b<0]이다.

이때 [eqn: b=-b prime]라 두면 [eqn: b'>0]이고 [eqn: {b} over {a} + {2c} over {b} `=` {-b'} over {a} + {2a} over {-b'}][eqn: =`- LEFT ( {b} over {a} + {2a} over {b} RIGHT ) LEQ -2 sqrt {2}]이다.