수학2 단원평가

다항함수의 적분법 [C1]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

001. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: int _{} ^{} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=x ^{3} +x ^{2} -x}]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{h->0} {{f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}}]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
002. [eqn: int _{ 0} ^{1 } { { x^2 +1} over { 2x+2}dx }][eqn: -][eqn: int _{ 0} ^{1 } { { 1} over {y+1 }dy }]의 값은? ⑤ ① [eqn: -{ 5} over { 4}] ② [eqn: -1] ③ [eqn: -{ 3} over { 4}] ④ [eqn: - { 1} over { 2}] ⑤ [eqn: -{ 1} over { 4}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

003. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값과 극솟값이 각각 [eqn: 6], [eqn: 2]이고, 함수 [eqn: y = f`prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ⑤ ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]
004. 다항함수 [eqn: f(x) `]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x) = it -f(x)]이다. (나) [eqn: int _{ } ^{ } { left{ f(x) + f prime(x) right}} dx][eqn: = 1over2 x^4 + mx^3 + 1over2 x^2 + nx + C] 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n `]의 값은? (단, [eqn: C`]는 적분상수이다.) ④ ① [eqn: -3`] ② [eqn: -1`] ③ [eqn: 1`] ④ [eqn: 3`] ⑤ [eqn: 5`]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

005. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^3 -3x^2 +4 int _{ 0} ^{1 } {f LEFT ( t RIGHT )dt }]에 대하여 [eqn: lim _{ h`rarrow`0} { { 1} over { h} int _{ 2} ^{2+h } {f LEFT ( x RIGHT )dx } }] 의 값은? ③ ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]
006. 이차함수 [eqn: f(x) = k (x-1)(x-3)]에 대하여 [eqn: int _{ 0} ^{3 } { left{ f(x) + left|f(x) right| right}dx = 8 }] 일 때, 양수 [eqn: k]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1`] ② [eqn: 3over2 `] ③ [eqn: 2`] ④ [eqn: 5over2 `] ⑤ [eqn: 3`]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

007. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: S` LEFT ( x RIGHT )``= int _{ 0} ^{x } { f LEFT ( t RIGHT )dt }]라 할 때, [eqn: lim _{ x`rarrow`1} { { S` LEFT ( x RIGHT )-5 } over {x-1 } =0}], [eqn: lim _{ x`rarrow`2} { { S` LEFT ( x RIGHT )-4 } over {x-2 } =0}] 이 성립한다. [eqn: int _{ 0} ^{2 } {left|f LEFT ( x RIGHT )right|dx }]의 값은? ① ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]
008. 정의역이 [eqn: LEFT { x`|`x`geq0 RIGHT }]인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{2} {LEFT | 2t-x RIGHT |} dt]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =6] ㄴ. 최솟값은 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: x=4]에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

009. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -2ax` LEFT ( a>0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{1} ^{k} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =0]이다. [eqn: int _{1} ^{k} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} =A], [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx} =B``] 라 할 때, [eqn: {A} over {B}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: k`]는 상수이고, [eqn: k>1]이다.) ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: {3} over {2}] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: {5} over {2}] ⑤ [eqn: 3]
010. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=xf LEFT ( x RIGHT ) - {4} over {3} x ^{3} +ax ^{2}}]이다. (나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

011. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차함수 [eqn: f( x )]에 대하여 함수 [eqn: g( x )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT ( t ^{2} -4t+4 RIGHT )} f LEFT ( t RIGHT ) dt] 라 하자. 함수 [eqn: y= LEFT | g`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: g`' LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? ④ ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10]
012. 삼차함수 [eqn: f(x)=a(x ^{3} -x)(a>0)]가 [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT | f(x) RIGHT | dx=2 int _{1} ^{k} {f(x)dx}}] 를 만족시킬 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이고, [eqn: k>1]이다.) ③ ① [eqn: {sqrt {6}} over {2}] ② [eqn: {sqrt {7}} over {2}] ③ [eqn: sqrt {2}] ④ [eqn: {3} over {2}] ⑤ [eqn: {sqrt {10}} over {2}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

013. 함수 [eqn: f(x) =|`x-3 ` |(x-1) - 4x +12]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ② ① [eqn: 37] ② [eqn: 112 over 3] ③ [eqn: 113 over 3] ④ [eqn: 38] ⑤ [eqn: 115 over 3]
014. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{ 0} ^{ 2} { left|f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )right| dx}]의 값은? (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT )ge0]이다. (나) 곡선 [eqn: y = f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]의 세 개뿐이다. (다) [eqn: int _{ 0} ^{1 } {f LEFT ( x RIGHT )dx }= { 3} over { 4}], [eqn: int _{ 1} ^{2 } {f LEFT ( x RIGHT ) dx}= { 4} over { 3}] ③ ① [eqn: { 1} over { 2}] ② [eqn: { 2} over { 3}] ③ [eqn: { 5} over { 6}] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: { 7} over { 6}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

015. 곡선 [eqn: y = x^2]과 직선 [eqn: y = x+2]로 둘러싸인 부분과 그 경계로 이루어진 영역을 [eqn: rmA]라 하고 두 교점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 영역 [eqn: rmA]에 포함되며 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 두 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이의 최댓값을 [eqn: S`_1], 영역 [eqn: rmA]의 넓이를 [eqn: S`_2]라 할 때, [eqn: { S`_2} over { S`_1}]의 값은? ② ① [eqn: { 7} over { 6}] ② [eqn: { 4} over { 3}] ③ [eqn: { 3} over { 2}] ④ [eqn: { 5} over { 3}] ⑤ [eqn: { 11} over { 6}]
016. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= x^2 + 9]와 직선 [eqn: x=1]이 만나는 점을 [eqn: rmA]라 할 때, 점 [eqn: rmA]에서의 접선과 곡선 [eqn: y= x^2] 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 두 부분 중 직선 [eqn: x=1]의 오른쪽에 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 곡선 [eqn: y= x^2 + a^2]과 직선 [eqn: x=1]이 만나는 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 점 [eqn: rmB]에서의 접선과 곡선 [eqn: y = x^2] 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분 중 직선 [eqn: x=1]의 오른쪽 부분의 넓이가 [eqn: S over 9]이다. 양수 [eqn: a]의 값은? ② ① [eqn: sqrt 3] ② [eqn: sqrt 3 of 3] ③ [eqn: sqrt 4 of 3] ④ [eqn: sqrt 5 of 3] ⑤ [eqn: sqrt 6 of 3]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

017. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{3} -x+2]와 [eqn: y=kx(x+2)]가 오직 한 점에서 만나며 곡선 [eqn: y=kx(x+2)]가 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{3} -x+2]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이등분할 때, 음수 [eqn: k]의 값은? ① ① [eqn: - {3} over {2}] ② [eqn: - {5} over {4}] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: - {3} over {4}] ⑤ [eqn: - {1} over {2}]
018. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t) = 3t^2 - 8t]일 때, 출발 후 가속도가 [eqn: 4]가 되는 시각까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량은? ① ① [eqn: -8] ② [eqn: -7] ③ [eqn: -6] ④ [eqn: -5] ⑤ [eqn: -4]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

019. 좌표평면의 원점을 동시에 출발하여 [eqn: x]축과 [eqn: y]축 위를 각각 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: t]초 후의 속도를 각각 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 곡선 [eqn: y = f LEFT ( t RIGHT )]와 직선 [eqn: y = g LEFT ( t RIGHT )]는 그림과 같다. 곡선 [eqn: y = f LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: t]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 동시에 운동 방향을 바꾸는 순간 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리는? ③ ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8]
020. 원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: v _{rm P it} (t)=t ^{2} -2t], [eqn: v_{rmQ}(t) =- t^2 + 4t] 이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 출발 후 처음으로 만날 때까지 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리의 최댓값은? ④ ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

021. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족 시킬 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {15f LEFT ( x RIGHT )} dx]의 값을 구하여라. [eqn: 76] (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )] (나) 극댓값은 존재하지 않고 극솟값은 [eqn: 2]이다. (다) [eqn: int _{0} ^{1} {f`' LEFT ( x RIGHT ) dx} =2]
022. 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: int _{ 0} ^{2 } { f LEFT ( x RIGHT )dx }]의 값을 구하여라. (가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{ 0} ^{a } {f LEFT ( x+1 RIGHT )dx }] [eqn: +][eqn: int _{ 0} ^{-a } {f LEFT ( x+1 RIGHT )dx }`=0`]이다. (나) [eqn: int _{ -1} ^{ 1} {f LEFT ( x RIGHT )dx=8 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } {f LEFT ( -x RIGHT )dx }`=5] [eqn: 6]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

023. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극댓값, [eqn: x=a]에서 극솟값을 갖는다. 점 [eqn: rm A it (a,```f(a))]에서의 접선이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중에서 점 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rm B it (b,```f(b))]라 하자. [eqn: b le -1]일 때, 함수 [eqn: y= f`'(x)]의 그래프와 직선 [eqn: x=b] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하여라. [eqn: 108]
024. 그림과 같이 사차함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -a ^{2} RIGHT )]([eqn: a>1])에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [-a,```-1]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 닫힌 구간 [eqn: [1,```a]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 합이 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 5]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] C1

025. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t~(0 le t le4)]에서의 속도를 각각 [eqn: v(t)], [eqn: w(t)]라 하자. 곡선 [eqn: y=v(t)]와 곡선 [eqn: y=w(t)]가 그림과 같고 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 출발 후 [eqn: t=4]일 때 처음으로 만난다. (나) 점 [eqn: rmP]가 출발하여 [eqn: t=4]까지 움직일 때 출발할 때와 반대 방향으로 움직인 거리를 [eqn: p], 점 [eqn: rmQ]가 출발하여 [eqn: t=2]까지 움직인 거리를 [eqn: q]라 하면 [eqn: LEFT | p-q RIGHT | = {11} over {4}]이다. [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 움직인 거리를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: 10 LEFT | m-n RIGHT |]의 값을 구하여라. (단, [eqn: v(2)=v(3)=w(2)=0]이고, [eqn: v(4)=w(4)]이다.) [eqn: 55]

[수학2 단원평가]

다항함수의 적분법 C1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	②	02	⑤	03	⑤	04	④	05	③
06	⑤	07	①	08	⑤	09	③	10	②
11	④	12	③	13	②	14	③	15	②
16	②	17	①	18	①	19	③	20	④
21	[eqn: 76]	22	[eqn: 6]	23	[eqn: 108]	24	[eqn: 5]	25	[eqn: 55]

17번 해설

곡선 [eqn: `y= {1} over {2} x ^{3} -x+2]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int _{-2} ^{0} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{3} -x+2 RIGHT ) dx][eqn: =4]이다.

곡선 [eqn: `y=kx(x+2)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int _{-2} ^{0} {} k LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) dx][eqn: =- {4} over {3} k]이다.

곡선 [eqn: y=kx(x+2)]가 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{3} -x+2]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를

이등분하므로 [eqn: - {4} over {3} k=4times {1} over {2}]이다. 따라서 [eqn: k=- {3} over {2}]이다.

20번 해설

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 각각 [eqn: x_{rmP}(t)], [eqn: x_{rmQ}(t)]라 하면

[eqn: x_{rmP}(t) = int_0^t v_{rmP}(t) dt = int_0 ^t ( t^2 - 2t ) dt][eqn: = 1 over 3 t^2 ( t-3)],

[eqn: x_{rmQ}(t) = int_0^t v_{rmQ}(t) dt = int_0^t ( - t^2 + 4t ) dt][eqn: =- 1 over 3 t^2 ( t-6)]

이다. 출발 후 처음으로 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만나는 시각은

[eqn: 1 over 3 t^2 ( t-3) =- 1 over 3 t^2 ( t-6)]에서 [eqn: t= 9 over 2]일 때이다.

[eqn: 0 le t le 9 over 2]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리를 [eqn: l(t)]라 하면

[eqn: l(t) = x_{rmQ}(t) -x_{rmP}(t)][eqn: =- 1 over 3 t^2 ( t-6) - 1 over 3 t^2 ( t-3)][eqn: = - 1 over 3 t^2 ( 2t - 9)]

이다. 따라서 [eqn: t=3]일 때 [eqn: l(t)]는 극대이면서 최대이므로 [eqn: l(t)]의 최댓값은 [eqn: l(3)=9]이다.

25번 해설

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=v(t)], [eqn: y=w(t)]와 [eqn: t`]축, 직선 [eqn: t=4]로 둘러싸인

다섯 개의 부분을 각각 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E]라 하고, 그 넓이를 각각

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]라 하자.

[eqn: t=4]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 출발 후 처음으로 만나므로

[eqn: int _{0} ^{4} {v(t)dt= int _{0} ^{4} {w(t)dt}}]에서 [eqn: b-d=a-e]이다.

또, 점 [eqn: rmP]가 출발하여 [eqn: t=4]까지 움직일 때 점 [eqn: rmP]가 출발할 때와

반대 방향으로 움직인 거리 [eqn: p]는 [eqn: b]이다.

점 [eqn: rmQ]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 움직인 거리 [eqn: q]는 [eqn: d]이므로 [eqn: LEFT | b-d RIGHT | = LEFT | p-q RIGHT | = {11} over {4}]이다.

한편 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리 [eqn: m`]과 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리 [eqn: n`]은

각각 [eqn: m=a+b+c], [eqn: n=d+e+c]이므로

[eqn: LEFT | m-n RIGHT |][eqn: = LEFT | LEFT ( a+b+c RIGHT ) -(d+e+c) RIGHT |][eqn: =2 LEFT | b-d RIGHT |][eqn: =2 TIMES {11} over {4} = {11} over {2}]

이다.