수학2 단원평가

다항함수의 적분법 [A2]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] A2

001. [eqn: int _{} ^{} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =2x ^{3} -6x ^{2} -x+C]를 만족시키는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은? (단, [eqn: C]는 적분상수이다.) ③ ① [eqn: -3] ② [eqn: -5] ③ [eqn: -7] ④ [eqn: -9] ⑤ [eqn: -11]
002. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x+1]에 대하여 [eqn: int _{} ^{} {F LEFT ( x RIGHT ) dx} =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]의 일차항의 계수는? ② ① [eqn: -8] ② [eqn: -6] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: 0]

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003. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =10x ^{10} +9x ^{9} + CDOTS +2x ^{2} +x]에 대하여 [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT [ {d} over {dx} int _{} ^{} {LEFT { {d} over {dx} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} RIGHT ] dx}]이고 [eqn: F LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: F LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ④ ① [eqn: 51] ② [eqn: 53] ③ [eqn: 55] ④ [eqn: 57] ⑤ [eqn: 59]
004. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =ax-4``` LEFT ( a != 0 RIGHT )]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 근의 곱은? ② ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

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005. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 그 부정적분 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: F LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( x RIGHT ) -2x ^{3} -6x ^{2} +3]이 성립한다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: -10] ② [eqn: -8] ③ [eqn: -6] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -2]
006. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}} =3], [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x+a]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [eqn: 32]

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007. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x-2]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{} ^{} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx=f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +C] 를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: C]는 적분상수이다.) ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]
008. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( x,```f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} -12]이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값이 [eqn: -10]일 때, 극댓값은? ② ① [eqn: 20] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 24] ④ [eqn: 26] ⑤ [eqn: 28]

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009. [eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} -2kx+2 RIGHT ) dx>3}]을 만족하는 정수 [eqn: k]의 최댓값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
010. 다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 25] [eqn: int _{0} ^{1} {1dx} + int _{0} ^{1} {2xdx} + int _{0} ^{1} {3x ^{2} dx} + CDOTS + int _{0} ^{1} {nx ^{n-1} dx} =25]

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011. 모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax&``` LEFT ( x<`1 RIGHT )#x ^{2} -2ax+5&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ② ① [eqn: 2] ② [eqn: {7} over {3}] ③ [eqn: {8} over {3}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: {10} over {3}]
012. 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]가 [eqn: int _{-2} ^{2} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx} =16], [eqn: int _{-2} ^{2} {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) dx} =64]를 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [eqn: 8]

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013. 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+3 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: int _{1} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =5]를 만족시킬 때, 정적분 [eqn: int _{1} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 구하여라. [eqn: 15]
014. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x+ int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +3x+2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT )]를 만족하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하여라. [eqn: 15]

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015. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{2} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} =x ^{3} +ax ^{2} -4]를 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ① ① [eqn: 5] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: -1] ⑤ [eqn: -3]
016. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {LEFT ( -t ^{2} +at-2a RIGHT ) dt}]가 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은? ③ ① [eqn: 7] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11]

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017. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} = {1} over {4} x ^{4} -2x ^{3} +5x ^{2}]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
018. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {{1} over {h}} int _{1} ^{1+h} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =5]이고 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =12]일 때, [eqn: a+b]의 값은? ④ (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

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019. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x LEFT ( 4-x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x-1 RIGHT | -1]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값을 구하여라. [eqn: 14]
020. 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 이 곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```1 RIGHT )]에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값은? ③ ① [eqn: 25] ② [eqn: 26] ③ [eqn: 27] ④ [eqn: 28] ⑤ [eqn: 29]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] A2

021. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +x ^{2} -2x]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ① ① [eqn: {5} over {6}] ② [eqn: {7} over {6}] ③ [eqn: {4} over {3}] ④ [eqn: {3} over {2}] ⑤ [eqn: {5} over {3}]
022. 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4nx]와 직선 [eqn: y=-nx]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} >81]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? ② ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] A2

023. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -3x ^{2} +6x]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{f LEFT ( 1 RIGHT )} ^{f LEFT ( 2 RIGHT )} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값을 구하여라. [eqn: 27]
024. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x= {1} over {3} t ^{4} +at ^{3}]([eqn: a]는 상수)이다. [eqn: t=3]에서 점 [eqn: rm P]의 속도가 [eqn: 0]일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는? ④ ① [eqn: 7] ② [eqn: {23} over {3}] ③ [eqn: {25} over {3}] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: {29} over {3}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 적분법] A2

025. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 다음 그림과 같다. 점 [eqn: rm P]가 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리는? ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]

[수학2 단원평가]

다항함수의 적분법 A2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	③	02	②	03	④	04	②	05	②
06	[eqn: 32]	07	⑤	08	②	09	①	10	[eqn: 25]
11	②	12	[eqn: 8]	13	[eqn: 15]	14	[eqn: 15]	15	①
16	③	17	①	18	④	19	[eqn: 14]	20	③
21	①	22	②	23	[eqn: 27]	24	④	25	③

7번 해설

[eqn: int _{} ^{} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} =f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +C]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x RIGHT ) +g` prime LEFT ( x RIGHT )]이고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x-2]이므로 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+1]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일차함수이면 좌변은 이차식, 우변은 일차식이 되고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: n]차[eqn: LEFT ( n GEQ 3 RIGHT )]함수이면 좌변은 [eqn: n]차식, 우변은 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]차식이 된다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c` LEFT ( a != 0 RIGHT )]이다.

16번 해설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {LEFT ( -t ^{2} +at-2a RIGHT ) dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +ax-2a]이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

19번 해설

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x LEFT ( 4-x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x-1 RIGHT | -1]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: S= int _{0} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} + int _{1} ^{3} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]

22번 해설

[eqn: S _{n} = int _{0} ^{3n} {LEFT { -nx- LEFT ( x ^{2} -4nx RIGHT ) RIGHT } dx} = int _{0} ^{3n} {LEFT ( -x ^{2} +3nx RIGHT ) dx} = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {3} over {2} nx ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3n} = {9} over {2} n ^{3}]

즉 [eqn: {9} over {2} n ^{3} >81]에서 [eqn: n ^{3} >18] 따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 3]