수학2 단원평가

다항함수의 미분법 [C1]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

001. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1]의 구간 [eqn: LEFT [ a _{n} ,```a _{n+1} RIGHT ]]에서의 평균변화율이 [eqn: x=a _{n+2}]에서의 미분계수와 같 다고 한다. [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =4]라고 할 때, [eqn: lim _{x-> INF } {a _{n}}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,```n=1,```2,```3``` CDOTS RIGHT )] ① ① [eqn: 3] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10]
002. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -9x]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x<a RIGHT )#m-f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( a LEQ x<b RIGHT )#n+f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x GEQ b RIGHT )}}]로 정의한다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]와 [eqn: m], [eqn: n]의 값을 정할 때 [eqn: m+n]의 값은? ③ ① [eqn: 64] ② [eqn: 103] ③ [eqn: 118] ④ [eqn: 120] ⑤ [eqn: 135]

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003. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =-g LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x-> INF } {{f`' LEFT ( x RIGHT )} over {xg`' LEFT ( x RIGHT )} =2}], [eqn: lim _{x-> 0} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} over {x} =1}] 일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? ① ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]
004. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 3] (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) (가) [eqn: lim _{x-> 2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2} =5}] (나) 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기는 [eqn: x=-1]인 점에서 최소이다.

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005. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} -1 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) +2x]이다. 이때 [eqn: 100f`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 200]
006. 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]으로 나누어떨어지고, [eqn: x-2]로 나누면 나머지가 [eqn: 2]이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]로 나눈 나머지를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{h-> 0} {{g LEFT ( 2+2h RIGHT ) -g LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h}}]의 값을 구하여라. [eqn: 12]

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007. 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]와 직선 [eqn: y=k]가 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 만난다. 다음 중 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 기울기를 나타내는 것은? ① ① [eqn: rm bar{AB} timesrm bar{AC}] ② [eqn: rm bar{AB}times rmbar{BC}] ③ [eqn: rmbar{AC} times rmbar{BC}] ④ [eqn: {rmbar{AB}} over {rmbar{AC}}] ⑤ [eqn: {rmbar{AB}} over {rmbar{BC}}]
008. 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2}] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하고, 직선 [eqn: l]이 직선 [eqn: y=-2]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]에서 곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2}]에 그은 접선 중에서 직선 [eqn: l]이 아닌 직선을 [eqn: m]이라 할 때, 직선 [eqn: m]의 기울기는? ② ① [eqn: -3] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

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009. 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {2} over {3} x]의 그래프가 세 점에서 만날 때, 세 교점을 왼쪽부터 차례로 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 접선의 기울기가 각각 [eqn: {11} over {3}], [eqn: {17} over {3}]일 때, 점 [eqn: rmB]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 접선의 기울기는? ② ① [eqn: - {5} over {4}] ② [eqn: - {29} over {24}] ③ [eqn: - {7} over {6}] ④ [eqn: - {9} over {8}] ⑤ [eqn: - {13} over {12}]
010. 곡선 [eqn: y=ax ^{3} +bx``` LEFT ( a != 0 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( itx _{0} ,```y _{0} RIGHT )]에서의 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점을 [eqn: rmQ LEFT ( itx _{1} ,```y _{1} RIGHT )]이라 할 때, [eqn: x _{0}]과 [eqn: x _{1}]의 관계식으로 옳은 것은? ② ① [eqn: x _{0} +x _{1} =0] ② [eqn: 2x _{0} +x _{1} =0] ③ [eqn: x _{0} +2x _{1} =0] ④ [eqn: x _{0} -x _{1} =0] ⑤ [eqn: 2x _{0} -x _{1} =0]

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011. 점 [eqn: LEFT ( 1,```0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{n} LEFT ( x>0 RIGHT )]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{10} log `g LEFT ( n RIGHT )]의 값을 구하여라. (단, [eqn: n]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이다.) [eqn: 10]
012. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 2a+3 RIGHT ) x+b]가 다음 조건을 만족시키는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]가 나타내는 도형의 길이는? ② 조건 (가)에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2ax+2a+3 GEQ 0]이다. 따라서 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+2a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: {D} over {4} =a ^{2} - LEFT ( 2a+3 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: a ^{2} -2a-3 LEQ 0], [eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: -1 LEQ a LEQ 3] [eqn: CDOTS] ㉠ 조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {3} +a+ LEFT ( 2a+3 RIGHT ) +b= {4} over {3}], [eqn: b=-3a-2] [eqn: CDOTS] ㉡ (가) 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) <f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다. (나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {4} over {3}] ① [eqn: 12] ② [eqn: 4 sqrt {10}] ③ [eqn: 4 sqrt {11}] ④ [eqn: 8 sqrt {3}] ⑤ [eqn: 4 sqrt {13}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

013. 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{3}] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,```t ^{3} RIGHT )]과 직선 [eqn: y=x+6] 사이의 거리를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: 0]이 아닌 극솟값을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=2]에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
014. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-3 RIGHT ) ``` LEFT ( k>0 RIGHT )]이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은 [eqn: 10]이다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 [eqn: ak]의 값은? ④ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-3 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=a+3]이다. 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a+3=-1]이다. Case1) [eqn: a=-1]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고 극댓값은 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이므로 조건 (나)를 만족시킬 수 없다. Case2) [eqn: a+3=-1]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-3]에서 극대이고 극댓값은 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =4k]이다. 조건 (나)에서 [eqn: 4k=10]이므로 [eqn: k= {5} over {2}]이다. ① [eqn: -16] ② [eqn: -14] ③ [eqn: -12] ④ [eqn: -10] ⑤ [eqn: -8]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

015. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{n+1} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} ``` LEFT ( x>0 RIGHT )]이 구간 [eqn: LEFT ( {2} over {3} ,``` {4} over {5} RIGHT )]에서 극댓값을 가질 때, 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하여라 [eqn: 6]
016. 다음 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 세 점 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{3} ,```0 RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 만나고 서로 다른 두 점 [eqn: alpha], [eqn: beta]에서 각각 극댓값과 극솟값을 갖는다. [eqn: alphabeta=-3]일 때, [eqn: x _{1} x _{2} +x _{2} x _{3} +x _{3} x _{1}]의 값은? ① ① [eqn: -9] ② [eqn: -6] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: 3]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

017. 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx]는 극댓값과 극솟값을 모두 가지며 극댓값은 음수이다. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```-2 RIGHT )]를 지날 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 78] 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b=0]이 서로 다른 두 실근을 갖는다. 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면 [eqn: {D _{1}} over {4} =a ^{2} -3b>0]이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점 [eqn: rmO]를 지나고 극댓값이 음수이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같다. 따라서 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]은 실근을 갖지 않으므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면 [eqn: D _{2} =a ^{2} -4b<0]이다. 따라서 [eqn: 3b<a ^{2} <4b]이고 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```-2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: a=b-1]이다.
018. 삼차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{3&``` LEFT ( x<`-1 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#-1&``` LEFT ( x>1 RIGHT )}}] 로 정의하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수에서 미분 가능할 때, 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: g`' LEFT ( -1 RIGHT ) =g`' LEFT ( 1 RIGHT )] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0] ㄷ. 함수 [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: -2]이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

019. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -ax ^{2} +5x-2=t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라고 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 10]
020. 자연수 [eqn: k]에 대하여 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -12x+22-4k=0]의 양의 실근의 개수를 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} f LEFT ( k RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 13]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

021.

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) >0],   [eqn: LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f`' LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { f`' LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =0]

을 만족할 때, 사차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 실근의 개수의 최댓값은?

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

022.

좌표평면에서 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x-a RIGHT |]의 그래프가

서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

④

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x-a RIGHT |]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 다음 그림과 같다.

Case1) 직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x-a]가 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x] 위의 점 [eqn: rmP]에서 접하는 경우

Case2) 직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x+a]가 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x] 위의 점 [eqn: rmQ]에서 접하는 경우

Case1)	Case2)

① [eqn: - {11} over {18}]	② [eqn: - {5} over {9}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {4} over {9}]	⑤ [eqn: - {7} over {18}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

023.

좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```t RIGHT )]를 지나고 곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5]([eqn: a]는 자연수)에 접하는

서로 다른 모든 직선의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

다음 조건을 만족시키는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m+g LEFT ( m RIGHT )]의 값은?

④

곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,```k ^{3} -ak ^{2} +3k-5 RIGHT )]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```t RIGHT )]을 지난다고 하자.

[eqn: y`'=3x ^{2} -2ax+3]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( 3k ^{2} -2ak+3 RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT ) +k ^{3} -ak ^{2} +3k-5]이고,

이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```t RIGHT )]를 지나므로 [eqn: t=-2k ^{3} +ak ^{2} -5]와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 개수이다.

[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =-2k ^{3} +ak ^{2} -5]라 하면, [eqn: h(x)]는 두 극값 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =-5], [eqn: h LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) = {a ^{3}} over {27} -5]를 가지므로

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{1&``` LEFT ( t<`-5 RIGHT )#2&``` LEFT ( t=-5 RIGHT )#3&``` LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#2&``` LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#1&``` LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )}}]		[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) = {cases{f LEFT ( 1 RIGHT )&``` LEFT ( t<`-5 RIGHT )#f LEFT ( 2 RIGHT )&``` LEFT ( t=-5 RIGHT )#f LEFT ( 3 RIGHT )&``` LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#f LEFT ( 2 RIGHT )&``` LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#f LEFT ( 1 RIGHT )&``` LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )}}]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에서

[eqn: {a ^{3}} over {27} -5<3]인 경우, [eqn: {a ^{3}} over {27} -5=3]인 경우, [eqn: {a ^{3}} over {27} -5>3]인 경우로

나누어 살펴보면, [eqn: a]의 범위는 [eqn: a ^{3} >8times27=6 ^{3}]이고, 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: m=7]이다.

(가) 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) >1]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

024.

최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

(나) [eqn: x LEQ 1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이다.

(다) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) LEQ -7]

이때 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 21]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] C1

025. 택시 [eqn: rmA]가 손님을 태우고 원점을 출발하여 정남쪽으로 매시 [eqn: 50 sqrt {3} rmkm]의 속도로 출발한 지 [eqn: 4]시간 후에 택시 [eqn: rmB]가 원점에서 출발하여 정동쪽으로 매시 [eqn: 100rmkm]의 속도로 출발하였다. 택시 [eqn: rmB]가 출발 후 [eqn: 400rmkm]의 위치를 통과할 때, 택시 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 멀어지는 속도는? ③ ① [eqn: 50rmkm/h] ② [eqn: 10 LEFT ( 3 sqrt {3} +5 RIGHT ) rmkm/h] ③ [eqn: 125rmkm/h] ④ [eqn: 10 LEFT ( 5 sqrt {3} -3 RIGHT ) rmkm/h] ⑤ [eqn: 10 LEFT ( 5 sqrt {3} +3 RIGHT ) rmkm/h]

[수학2 단원평가]

다항함수의 미분법 C1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	①	02	③	03	①	04	[eqn: 3]	05	[eqn: 200]
06	[eqn: 12]	07	①	08	②	09	②	10	②
11	[eqn: 10]	12	②	13	③	14	④	15	[eqn: 6]
16	①	17	[eqn: 78]	18	②	19	②	20	[eqn: 13]
21	④	22	④	23	④	24	[eqn: 21]	25	③

12번 해설

조건 (가)에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수이므로

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2ax+2a+3 GEQ 0]이다.

따라서 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+2a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} - LEFT ( 2a+3 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: a ^{2} -2a-3 LEQ 0], [eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: -1 LEQ a LEQ 3] [eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {3} +a+ LEFT ( 2a+3 RIGHT ) +b= {4} over {3}], [eqn: b=-3a-2] [eqn: CDOTS] ㉡

14번 해설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-3 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=a+3]이다.

조건 (가)를 만족시키기 위해서는 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a+3=-1]이다.

Case1) [eqn: a=-1]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고

극댓값은 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이므로 조건 (나)를 만족시킬 수 없다.

Case2)  [eqn: a+3=-1]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-3]에서 극대이고

극댓값은 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =4k]이다. 조건 (나)에서 [eqn: 4k=10]이므로 [eqn: k= {5} over {2}]이다.

17번 해설

극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b=0]이

서로 다른 두 실근을 갖는다. 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면 [eqn: {D _{1}} over {4} =a ^{2} -3b>0]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점 [eqn: rmO]를 지나고

극댓값이 음수이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]은 실근을 갖지 않으므로

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{2}]라 하면 [eqn: D _{2} =a ^{2} -4b<0]이다.

따라서 [eqn: 3b<a ^{2} <4b]이고 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```-2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: a=b-1]이다.

22번 해설

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x-a RIGHT |]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 다음 그림과 같다.

Case1) 직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x-a]가 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x] 위의 점 [eqn: rmP]에서 접하는 경우

Case2) 직선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x+a]가 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{3} -x] 위의 점 [eqn: rmQ]에서 접하는 경우

Case1)	Case2)

23번 해설

곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,```k ^{3} -ak ^{2} +3k-5 RIGHT )]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```t RIGHT )]을 지난다고 하자.

[eqn: y`'=3x ^{2} -2ax+3]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( 3k ^{2} -2ak+3 RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT ) +k ^{3} -ak ^{2} +3k-5]이고,

이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,```t RIGHT )]를 지나므로 [eqn: t=-2k ^{3} +ak ^{2} -5]와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 개수이다.

[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =-2k ^{3} +ak ^{2} -5]라 하면, [eqn: h(x)]는 두 극값 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =-5], [eqn: h LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) = {a ^{3}} over {27} -5]를 가지므로

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{1&``` LEFT ( t<`-5 RIGHT )#2&``` LEFT ( t=-5 RIGHT )#3&``` LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#2&``` LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#1&``` LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )}}]		[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) = {cases{f LEFT ( 1 RIGHT )&``` LEFT ( t<`-5 RIGHT )#f LEFT ( 2 RIGHT )&``` LEFT ( t=-5 RIGHT )#f LEFT ( 3 RIGHT )&``` LEFT ( -5<t< {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#f LEFT ( 2 RIGHT )&``` LEFT ( t= {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )#f LEFT ( 1 RIGHT )&``` LEFT ( t> {a ^{3}} over {27} -5 RIGHT )}}]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에서

[eqn: {a ^{3}} over {27} -5<3]인 경우, [eqn: {a ^{3}} over {27} -5=3]인 경우, [eqn: {a ^{3}} over {27} -5>3]인 경우로

나누어 살펴보면, [eqn: a]의 범위는 [eqn: a ^{3} >8times27=6 ^{3}]이고, 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: m=7]이다.