수학2 단원평가

다항함수의 미분법 [B2]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B2

001. 그림과 같은 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]가 존재할 때, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 구간 [eqn: LEFT [ b,```c RIGHT ]]에서의 평균변화율은? ② ① [eqn: {d-c} over {c-b}] ② [eqn: {b-a} over {c-b}] ③ [eqn: {c-b} over {d-c}] ④ [eqn: {b-a} over {d-c}] ⑤ [eqn: {c-b} over {b-a}]
002. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ⑤ (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이다. (나) [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =1] ① [eqn: - {1} over {2}] ② [eqn: - {1} over {4}] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: {1} over {4}] ⑤ [eqn: {1} over {2}]

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003. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT ) +xy] 를 만족하고 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? ④ ① [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0] ② [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( x+h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h}} =x+2] ③ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( -x RIGHT ) =x ^{2}] ④ [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 불연속이 되는 [eqn: a]가 존재한다. ⑤ [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: -2]이다.
004. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 열린구간 [eqn: LEFT ( -1,```5 RIGHT )]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대한 설명 중 옳지 않은 것은? ② ① [eqn: lim _{x -> 3} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값이 존재한다. ② [eqn: f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) >0] ③ [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]인 점이 존재하지 않는다. ④ 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 불연속인 점은 [eqn: 2]개다. ⑤ 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 미분가능하지 않은 점은 [eqn: 3]개다.

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005. 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: -1]에서 [eqn: 7]까지 변할 때의 평균변화율은 [eqn: 0]이다. ㄴ. 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b=6]이면 [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) +f` prime LEFT ( b RIGHT ) =0]이다. ㄷ. [eqn: sum _{k=1} ^{15} f` prime LEFT ( k-3 RIGHT ) =0] ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
006. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 19] (가) [eqn: lim _{x -> INF } {{LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )}} =4] (나) [eqn: lim _{x -> 0} {{f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =4]

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007. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 2]까지 변할 때의 평균변화율은 [eqn: 0]이다. 이 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 3+2h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )} over {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )}}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.) ① ① [eqn: -6] ② [eqn: -3] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 6]
008. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-k RIGHT ) ^{3}]과 다항함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]위의 [eqn: x=2]인 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이고 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: g` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =1]을 만족시킬 때, 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은? ③ ① [eqn: 6] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 30]

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009. 그림과 같이 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]와 직선 [eqn: y=k]가 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 만난다. 다음 중 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm A]에서의 접선의 기울기를 나타내는 것은? ① ① [eqn: {bar{rm AB it}} CDOT {bar{rm AC it}}] ② [eqn: {bar{rm AB it}} CDOT {bar{rm BC it}}] ③ [eqn: {bar{rm AC it}} CDOT {bar{rm BC it}}] ④ [eqn: {{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm AC it}}}] ⑤ [eqn: {{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm BC it}}}]
010. 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {1} over {3} x ^{2}] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P LEFT ( t,``` {1} over {3} t ^{2} RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 점 [eqn: rm P]에서의 접선과 수직인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q it LEFT ( 0,```f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0} {f LEFT ( t RIGHT )}]의 값은? ③ ① [eqn: {1} over {2}] ② [eqn: 1] ③ [eqn: {3} over {2}] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: {5} over {2}]

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011. 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +kx] 위의 어떤 점에서도 기울기가 [eqn: 1]인 접선을 그을 수 없다고 한다. 이때 상수 [eqn: k]의 값의 범위는? ④ ① [eqn: k<`-4] ② [eqn: -4<k<0] ③ [eqn: 0<k<4] ④ [eqn: k>4] ⑤ [eqn: -4<k<4]
012. 곡선 [eqn: y= {1} over {3} x ^{3} + {11} over {3} LEFT ( x>0 RIGHT )] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]와 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,```-4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 6,```1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm PAB]의 넓이의 최솟값은? ② ① [eqn: 15 sqrt {2}] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 10 sqrt {2}] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

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013. 점 [eqn: LEFT ( -1,```-3 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +2x]에 그은 두 접선의 기울기가 각각 [eqn: m _{1}], [eqn: m _{2}]일 때, [eqn: m _{1} m _{2}]의 값은? ① ① [eqn: -8] ② [eqn: -6] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]
014. 점 [eqn: LEFT ( a,```5 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} +3x ^{2} +5]에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은? ① ① [eqn: - {10} over {3}] ② [eqn: - {11} over {3}] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: - {13} over {3}] ⑤ [eqn: - {14} over {3}]

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015. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{3} +bx ^{2} +c]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,```-2 RIGHT )]에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 값은? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: -2]
016. 곡선 [eqn: y=x ^{3} +1]과 점 [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에서 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원의 넓이는? ④ ① [eqn: {10} over {81} pi] ② [eqn: {5} over {18}pi] ③ [eqn: {40} over {81} pi] ④ [eqn: {10} over {9} pi] ⑤ [eqn: {40} over {9}pi]

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017. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3} x ^{3} + {1} over {2} LEFT ( a-2b RIGHT ) x ^{2} +6ax]가 감소하는 구간이 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ⑤ ① [eqn: 0] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 8]
018. 다음 그림은 미분가능한 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) f` prime LEFT ( b RIGHT ) <0] ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( c RIGHT ) =0]인 [eqn: c]의 값의 개수는 [eqn: 3]이다. (단, [eqn: a<c<b]) ㄷ. [eqn: {f LEFT ( b RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} =f` prime LEFT ( c RIGHT )]인 [eqn: c]의 값의 개수는 [eqn: 3]이다. (단, [eqn: a<c<b]) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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019. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: 5]를 갖는다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x=-1]인 점에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ④ ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: {2} over {3}] ④ [eqn: {5} over {6}] ⑤ [eqn: 1]
020. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ④ ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( -2,```-1 RIGHT )]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 1,```3 RIGHT )]에서 감소한다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: left(4,```5 right)]에서 증가한다. ㄹ. [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=2]에서 극대이다. ㅁ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 극소이다. ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄷ, ㄹ ⑤ ㄹ, ㅁ

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021. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{2} -3 LEFT ( a-3 RIGHT ) x]가 [eqn: x LEQ 0]에서 극값을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? ④ ① [eqn: -1] ② [eqn: 0] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3]
022. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 2,```5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +30]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? ② ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 17] ⑤ [eqn: 19]

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023. 함수 [eqn: y=x ^{3} +3x ^{2} -6x+k]가 두 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,```-7 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,```2 RIGHT )]를 이은 선분 [eqn: rmAB]와 만날 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? ② ① [eqn: -15 LEQ k LEQ -1] ② [eqn: -15 LEQ k LEQ 1] ③ [eqn: -1 LEQ k LEQ 15] ④ [eqn: -5 LEQ k LEQ 10] ⑤ [eqn: -10 LEQ k LEQ 5]
024. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{4} +2 LEFT ( a-2 RIGHT ) x ^{2} +10a GEQ {4} over {3} x ^{3} +8ax]가 성립하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]

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025. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: t^3 +t^2 -2t], [eqn: 4t ^{2} -2t] 이다. [eqn: t>0]에서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 위치가 같아지는 순간, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 속도를 각각 [eqn: v _{1}], [eqn: v _{2}]라 할 때, [eqn: v _{1} +v _{2}]의 값은? ⑤ ① [eqn: 45] ② [eqn: 47] ③ [eqn: 49] ④ [eqn: 51] ⑤ [eqn: 53]

[수학2 단원평가]

다항함수의 미분법 B2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	②	02	⑤	03	④	04	②	05	③
06	[eqn: 19]	07	①	08	③	09	①	10	③
11	④	12	②	13	①	14	①	15	②
16	④	17	⑤	18	⑤	19	④	20	④
21	④	22	②	23	②	24	④	25	⑤

6번 해설

(가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항을 [eqn: ax ^{n} LEFT ( a != 1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )]의 최고차항은 [eqn: a LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{2n}], [eqn: x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항은 [eqn: ax ^{n+3}]이다.

[eqn: RARROW] [eqn: 2n=n+3]이므로 [eqn: n=3]이다.

이때, 극한값이 [eqn: 4]이므로 [eqn: {a LEFT ( a-1 RIGHT )} over {a} =4]에서 [eqn: alpha=5]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5x ^{3} +bx ^{2} +cx+d]이다.

14번 해설

접점을 [eqn: LEFT ( t,```t ^{3} +3t ^{2} +5 RIGHT )]로 놓으면 접선의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( 3t ^{2} +6t RIGHT ) x-2t ^{3} -3t ^{2} +5]이다.

[eqn: LEFT ( a,```5 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 5= LEFT ( 3t ^{2} +6t RIGHT ) a-2t ^{3} -3t ^{2} +5], [eqn: t LEFT { 2t ^{2} +3 LEFT ( 1-a RIGHT ) t-6a RIGHT } =0]이다.

(ⅰ) [eqn: t=0]을 근으로 가질 때, [eqn: -6a=0]이다.

(ⅱ) [eqn: 0]이 아닌 중근을 가질 때 [eqn: D=3a ^{2} +10a+3=0]이다.

[eqn: a=-3] 또는 [eqn: a=- {1} over {3}]이다.

16번 해설

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로 이 접선에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {3}]이다.

직선 [eqn: y-2=- {1} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT )]가 원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,```a RIGHT )]를 지나야 하므로 [eqn: a= {7} over {3}]이다.

반지름의 길이 [eqn: r]는 두 점 [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,``` {7} over {3} RIGHT )] 사이의 거리 [eqn: r= {sqrt {10}} over {3}]이다.

23번 해설

선분 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y=3x-4 LEFT ( -1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]

선분 [eqn: rmAB]와 곡선이 만날 조건은 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -6x+k=3x-4]이

[eqn: -1 LEQ x LEQ 2]의 범위에서 실근을 갖는 것이다.