수학2 단원평가

다항함수의 미분법 [B1]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

001. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} f LEFT ( 2 RIGHT ) -4f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}]의 값을 구하여라. [eqn: 4]
002. 자연수 [eqn: n]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ n,```n+1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 평균변화율은 [eqn: n+3]이다. 이때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 구간 [eqn: LEFT [ 1,```80 RIGHT ]]에서의 평균변화율은? ③ ① [eqn: 41] ② [eqn: 42] ③ [eqn: 43] ④ [eqn: 44] ⑤ [eqn: 45]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

003. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n} x ^{k}]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x ^{2} -1}} =39]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 12]
004. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT ) +xy] 를 만족시키고 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 3]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

005. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를 아래와 같이 정의할 때, 다음 중 옳은 것은? ① [eqn: A= LEFT { a| lim _{x -> a} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {x-a} 가`존재한다.} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { a`|`f LEFT ( a RIGHT ) = lim _{x -> a} {f LEFT ( x RIGHT )} RIGHT }] ① [eqn: A SUBSET B] ② [eqn: B SUBSET A] ③ [eqn: A=B] ④ [eqn: A SMALLINTER B != 0] ⑤ [eqn: A=B ^{c}]
006. 상수함수가 아닌 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +16 RIGHT }]이다. (나) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0] [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: 18] ② [eqn: 19] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 21] ⑤ [eqn: 22]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

007. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지가 [eqn: 0]이다. [eqn: lim _{x-> 4} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {sqrt {x} -2}} =12]일 때, [eqn: Q LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 6]
008. 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) -7] (나) [eqn: lim _{x-> 3} {{f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {x-3}} =1] 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,```g LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: 14a+7b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [eqn: 27]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

009. 곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( a,```a ^{3} +2a RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g LEFT ( a RIGHT )]라고 할 때, [eqn: lim _{a -> INF } {{g LEFT ( a+1 RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT )} over {a ^{2}}}]의 값은? ② ① [eqn: -12] ② [eqn: -6] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 12]
010. 삼차곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -ax ^{2} +ax+3]은 실수 [eqn: a]값에 관계없이 항상 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지난다. 이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 접하는 접선이 수직이 되기 위한 [eqn: a]값들의 합은? ① ① [eqn: 3] ② [eqn: {7} over {2}] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: {9} over {2}] ⑤ [eqn: 5]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

011. 곡선 [eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +5x+1]에 접하고 [eqn: y=2x-1]에 평행한 직선이 존재하지 않도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는? ① ① [eqn: 5] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 1]
012. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{2}]과 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-2 LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} +k]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,```3 RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]에 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]가 접할 때의 접점을 [eqn: rm][eqn: rmQ], 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmQRS]의 넓이는? (단, [eqn: k>0]) ② ① [eqn: 16] ② [eqn: 4 sqrt {17}] ③ [eqn: 12 sqrt {2}] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 5 sqrt {17}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

013. 점 [eqn: rmA LEFT ( 0,```-16 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+3b]의 값은? ③ ① [eqn: 12] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 18] ⑤ [eqn: 20]
014. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 두 조건을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값과 최솟값의 합의 값은? ③ (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | LEQ 3] (나) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2] ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

015. 미분가능한 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f(-2)=0]이다.) ④ ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=4]일 때 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다. ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 0,```2 RIGHT )]에서 감소한다. ㄹ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x=-2]에서 [eqn: x]축에 접한다. ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄷ ③ ㄷ, ㄹ ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ
016. 그림과 같이 일차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2], [eqn: 1]인 두 점에서 접한다. 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은? ① ① [eqn: {81} over {16}] ② [eqn: {83} over {16}] ③ [eqn: {85} over {16}] ④ [eqn: {87} over {16}] ⑤ [eqn: {89} over {16}]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

017. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3} x ^{3} -2ax ^{2} + LEFT ( 2a ^{2} -8 RIGHT ) x]의 극댓값이 [eqn: 0]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <0]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ④ ① [eqn: -12] ② [eqn: -14] ③ [eqn: -16] ④ [eqn: -18] ⑤ [eqn: -20]
018. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-2]에서 극댓값 [eqn: 1]을 갖는다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 [eqn: x=-2]인 점에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ② ① [eqn: {1} over {8}] ② [eqn: {1} over {4}] ③ [eqn: {1} over {2}] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

019. 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=alpha]에서 극소, [eqn: x=beta]에서 극대가 된다. [eqn: alpha+beta=4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 근의 합을 구하여라. [eqn: 6]
020. 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 사차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 다음 중 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]가 극소인 [eqn: x]의 값은? ④ ① [eqn: a] ② [eqn: b] ③ [eqn: c] ④ [eqn: d] ⑤ [eqn: e]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

021. 곡선 [eqn: y=27-3x ^{2}]과 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]와 이 곡선으로 둘러싸인 부분에 사다리꼴 [eqn: rmABCD]를 내접시킬 때, 그 면적의 최댓값을 구하여라. [eqn: 96]
022. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 20] (가) [eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x-1} =0}] (나) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]은 원점을 지나고 [eqn: x]축과의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다.

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

023. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +12x ^{2} -2x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +12x ^{2} +4x+a]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로다른 두 개의 음의 실근과 한 개의 양의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
024. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 최솟값은? ② (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여, [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )] (나) [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =20] (다) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ f`' LEFT ( x RIGHT )] ① [eqn: 12] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 28]

	수학2 단원평가 [다항함수의 미분법] B1

025. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치는 각각 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t ^{4} -8t ^{3}], [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2at]이다. [eqn: t>0]에서 두 점 [eqn: rm][eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 서로 같을 때가 두 번이기 위한 정수 [eqn: a]의 최솟값은? ② ① [eqn: -64] ② [eqn: -63] ③ [eqn: -62] ④ [eqn: -61] ⑤ [eqn: -60]

[수학2 단원평가]

다항함수의 미분법 B1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	[eqn: 4]	02	③	03	[eqn: 12]	04	[eqn: 3]	05	①
06	②	07	③	08	[eqn: 27]	09	②	10	①
11	①	12	②	13	③	14	③	15	④
16	①	17	④	18	②	19	[eqn: 6]	20	④
21	[eqn: 96]	22	[eqn: 20]	23	③	24	②	25	②

12번 해설

접선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=2x-3]이다.

접점 [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]라 하면 [eqn: b=2a-3]이고, 직선 [eqn: l]에 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]가 접하므로

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =-4x+24], [eqn: g`' LEFT ( a RIGHT ) =-4a+24=2]

이다. [eqn: a= {11} over {2}], [eqn: b=8]이고 점 [eqn: rmQ LEFT ( {11} over {2} ,```8 RIGHT )]이다. [eqn: g LEFT ( {11} over {2} RIGHT ) =8]이므로 [eqn: k= {17} over {2}],

원점으로부터 가까운 점을 [eqn: rmR]라 하면 [eqn: rmR LEFT ( 6- {sqrt {17}} over {2} ,```0 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( 6+ {sqrt {17}} over {2} ,```0 RIGHT )]이다.

17번 해설

(ⅰ) [eqn: a=-4]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3} x ^{3} +8x ^{2} +24x]이다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {3} +8+24>0]이므로 주어진 조건을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {3} x ^{3} -4x ^{2}]이다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =- {10} over {3} <0]이므로 주어진 조건을 만족한다.

19번 해설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d``` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 놓으면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 모든 근의 합은

근과 계수와의 관계에 의하여 [eqn: - {b} over {a}]이다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} +2bx+c=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 [eqn: alpha+beta=- {2b} over {3a} =4]이다.

22번 해설

이때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]이라 하면 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: c=0]이고, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]이므로 [eqn: 1+a+b=4]이다.

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b]에서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: 3+2a+b=0]

두 식 [eqn: 1+a+b=4], [eqn: 3+2a+b=0]을 연립하여 해결.

24번 해설

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{2} +b], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2ax]

조건 (나)에서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2a=20]이므로 [eqn: a=8]

조건 (다)에 의해서 [eqn: x ^{4} +8x ^{2} +b GEQ 4x ^{3} +16x]이고 이를 풀면 [eqn: b GEQ 16]이다.

25번 해설

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 서로 같을 때가 두 번이기 위해서

[eqn: t>0]에서 방정식 [eqn: 4t ^{3} -24t ^{2} =2a]가 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

방정식은 [eqn: 2t ^{3} -12t ^{2} =a]과 같다. 이때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{3} -12t ^{2}]이라 하면

이므로 서로 다른 두 점에서 만나려면 [eqn: -64<a<0]이다.