미적분 단원평가

미분법 [A2]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

001. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=c]에서의 순간변화율이 같을 때, 상수 [eqn: c]의 값을 구하여라. [eqn: 2]
002. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x-2]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```-3 RIGHT )]에서 접할 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( -1+h RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {2h}}]의 값은? ① ① [eqn: {1} over {2}] ② [eqn: 1] ③ [eqn: {3} over {2}] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: {5} over {2}]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

003. 두 다항함수 [eqn: f left(x right)], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =5], [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) g LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }}]의 값을 구하여라. [eqn: 27]
004. 다음과 같이 최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 만난다. 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a<b<c]) ④ ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) >0] ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) +f` prime LEFT ( c RIGHT ) <0] ㄷ. [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) f` prime LEFT ( b RIGHT ) f` prime LEFT ( c RIGHT ) >0] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	미적분 단원평가 [미분법] A2

005. [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{5} =x ^{5} +5x ^{4} +10x ^{3} +10x ^{2} +5x+1]임을 이용하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =32 CDOT x ^{5} +4 CDOT 16x ^{4} +10 CDOT 8x ^{3} +9 CDOT 4x ^{2} +5 CDOT 2x] 에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값을 구하면? ④ ① [eqn: -72] ② [eqn: -62] ③ [eqn: 82] ④ [eqn: 148] ⑤ [eqn: 160]
006. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +3xf` prime LEFT ( 1 RIGHT )]을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

007. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax ^{3} +b ^{2}&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )#bx ^{2} +ax+b&``` LEFT ( x<`1 RIGHT )}}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a != 0]) [eqn: 18]
008. 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax+b]가 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]으로 나누어 떨어질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 18]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

009. 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +3x+5] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```7 RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하고, 직선 [eqn: l]에 수직이고 이 곡선에 접하는 직선을 [eqn: m]이라 할 때, 직선 [eqn: m]의 방정식은? ③ ① [eqn: x-y+5=0] ② [eqn: x-y-5=0] ③ [eqn: x+y-9=0] ④ [eqn: x+y+9=0] ⑤ [eqn: x+2y-7=0]
010. 곡선 [eqn: y=x ^{3}] 위의 점 [eqn: {rmP} LEFT ( a,```a ^{3} RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: y]축과의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmO LEFT ( 0,```0 RIGHT )], [eqn: {rmR} LEFT ( a,```0 RIGHT )] 에 대하여 [eqn: rmTRIANGLE OPQ]와 [eqn: rmTRIANGLE OPR]의 넓이의 비는? ① ① [eqn: 2:1] ② [eqn: 2:3] ③ [eqn: 1:3] ④ [eqn: 1:2] ⑤ [eqn: 3:2]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

011. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT ) =2f` prime LEFT ( c RIGHT )]를 만족시키는 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: LEFT ( -1,```1 RIGHT )]에 존재하는 함수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x RIGHT | -2] ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-3x-2&``` LEFT ( x<`-1 RIGHT )#1&``` LEFT ( -1 LEQ x<1 RIGHT )#3x-2&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}] ㄷ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +5] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ
012. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 두 가지 조건을 만족할 때 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하면? ③ (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | LEQ 3] (나) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2] ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

013. 아래 그림은 미분가능한 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: g` prime LEFT ( -2 RIGHT )], [eqn: g` prime LEFT ( -1 RIGHT )], [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: g` prime LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: g` prime LEFT ( 5 RIGHT )]의 값 중 양수인 것은? ② ① [eqn: g'(-2)]와 [eqn: g'(-1)] ② [eqn: g'(-1)]과 [eqn: g'(1)] ③ [eqn: g'(1)]과 [eqn: g'(3)] ④ [eqn: g'(-1)]과 [eqn: g'(3)] ⑤ [eqn: g'(3)]과 [eqn: g'(5)]
014. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +2x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( -2 RIGHT ) =0], [eqn: f` prime LEFT ( c RIGHT ) =0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-2]에서만 극값을 갖는다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: c>0]) ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: - {3} over {2}] ③ [eqn: -1] ④ [eqn: - {1} over {2}] ⑤ [eqn: 0]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

015. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]에 대하여 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [eqn: {LEFT | a RIGHT |} over {a} + {LEFT | b RIGHT |} over {b} + {LEFT | c RIGHT |} over {c}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.) [eqn: 1]
016. 구간 [eqn: LEFT [ a,```b RIGHT ]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 극대 또는 극소가 되는 점의 개수를 [eqn: m], 극소가 되는 점의 개수를 [eqn: n]이라 하자. 이때 [eqn: m-n]의 값은? ⑤ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

017. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{3} +ax ^{2}]이 극댓값을 갖기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? ⑤ ① [eqn: a<`- {9} over {8}] ② [eqn: a<0] ③ [eqn: 0<a< {9} over {8}] ④ [eqn: a< {9} over {8}] ⑤ [eqn: a<0```또는```0<a< {9} over {8}]
018. 어느 완구판매회사에서는 신제품의 판매를 계획하고 신제품에 대하여 조사하였더니 다음과 같은 사실이 밝혀졌다. 가격을 [eqn: 1000]원으로 하면 하루에 [eqn: 10000]개를 팔 수 있다. 그런데 가격을 [eqn: 10x]원 올리면 판매량이 하루에 [eqn: 20x ^{2}]개가 감소한다고 한다. 또 이 제품을 판매하기 위하여 기본 비용 [eqn: 150000]원과 제품 [eqn: 1]개당 추가로 [eqn: 900]원의 비용이 든다고 한다. 하루의 이익이 최대가 될 때의 가격은? ② ① [eqn: 1050]원 ② [eqn: 1100]원 ③ [eqn: 1150]원 ④ [eqn: 1200]원 ⑤ [eqn: 1250]원

	미적분 단원평가 [미분법] A2

019. 방정식 [eqn: x ^{3} -3x+k=0]의 근 중에서 적어도 한 근이 [eqn: 0]과 [eqn: 2] 사이에 있도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면? ③ ① [eqn: 0<k LEQ 2] ② [eqn: 0 LEQ k<2] ③ [eqn: -2<k LEQ 2] ④ [eqn: -2 LEQ k<2] ⑤ [eqn: -2<k<2]
020. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x+2]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같을 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=ax]의 교점의 개수에 대한 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? ⑤ ㄱ. [eqn: a=3]이면 교점의 개수는 [eqn: 3]이다. ㄴ. [eqn: a=1]이면 교점의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: a= {1} over {2}]이면 교점의 개수는 [eqn: 1]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	미적분 단원평가 [미분법] A2

021. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{3} -x ^{2} -9x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +5x ^{2} -x-a]에 대하여 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프보다 항상 위쪽에 있을 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? ⑤ ① [eqn: a<`-12] ② [eqn: a<`-2] ③ [eqn: a>4] ④ [eqn: a>12] ⑤ [eqn: a>24]
022. 다음은 [eqn: x GEQ 0]일 때, 부등식 [eqn: x ^{3} +2>6x ^{2} -9x]이 성립함을 증명하는 과정이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+2]로 놓으면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -12x+9=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )] [eqn: x GEQ 0]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {BOX{`````(가)`````}}]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `BOX{`````(나)`````} `0] [eqn: THEREFORE x ^{3} +2>6x ^{2} -9x] 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례대로 나열한 것은? ③ ① [eqn: 0], [eqn: >] ② [eqn: 0], [eqn: <] ③ [eqn: 2], [eqn: >] ④ [eqn: 2], [eqn: <] ⑤ [eqn: 2], [eqn: =]

	미적분 단원평가 [미분법] A2

023. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x= {1} over {2} t ^{3} -3t ^{2} +k``` LEFT ( k는```상수 RIGHT )] 이다. 점 [eqn: rm P]의 가속도가 [eqn: 0]일 때, 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: 32]이다. [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 40]
024. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 [eqn: t]초 후의 위치를 각각 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )], [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) =f` prime LEFT ( d RIGHT ) =0], [eqn: g` prime LEFT ( a RIGHT ) =g` prime LEFT ( d RIGHT ) =0]) ① ㄱ. 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 [eqn: 0<t<10]에서 두 번 만난다. ㄴ. 점 [eqn: rm A]는 [eqn: b<t<10]에서 운동방향을 두 번 바꾼다. ㄷ. 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]는 [eqn: c<t<d]에서 서로 반대 방향으로 움직인다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	미적분 단원평가 [미분법] A2

025. [eqn: t]초 후의 부피가 [eqn: V=t ^{3} -3t+2]로 주어진 물체가 있다. [eqn: t=2]일 때 이 물체의 부피의 증가율은? ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

[미적분 단원평가]

미분법 A2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	[eqn: 2]	02	①	03	[eqn: 27]	04	④	05	④
06	④	07	[eqn: 18]	08	④	09	③	10	①
11	⑤	12	③	13	②	14	④	15	[eqn: 1]
16	⑤	17	⑤	18	②	19	③	20	⑤
21	⑤	22	③	23	[eqn: 40]	24	①	25	⑤

3번 해설

[eqn: {1} over {n} =h]라 하면, [eqn: n -> INF]일 때, [eqn: h -> 0+]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) g LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }}][eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) g LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =3f LEFT ( 1 RIGHT ) g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: =27]

12번 해설

평균값의 정리에 의해 [eqn: { f(1)-f(0)} over {1-0 }=f`'(c)]를 만족하는 [eqn: c]가 [eqn: (0,```1)]에 존재한다.

[eqn: LEFT | {f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {1-0} RIGHT | = LEFT | f LEFT ( 1 RIGHT ) -2 RIGHT | = LEFT | f` prime LEFT ( c RIGHT ) RIGHT | LEQ 3] (단, [eqn: c IN LEFT ( 0,```1 RIGHT )])

이므로 [eqn: -1 LEQ f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ 5]이다.

18번 해설

가격이 [eqn: LEFT ( 1000+10x RIGHT )]원일 때의 이익을 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라 하면 판매량은 [eqn: LEFT ( 10000-20x ^{2} RIGHT )]개이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1000+10x RIGHT ) LEFT ( 10000-20x ^{2} RIGHT ) - LEFT { 150000+900 LEFT ( 10000-20x ^{2} RIGHT ) RIGHT }]

20번 해설

곡선과 직선이 제[eqn: 1]사분면에서 접할 때의 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,```t ^{2} -2t+2 RIGHT )]라 하면

접선의 방정식은 [eqn: y=3 LEFT ( t ^{2} -2 RIGHT ) x-2t ^{3} +2]이다.

직선이 원점을 지나므로 [eqn: -2t ^{3} +2=0]이고 [eqn: t=1]이다.

[eqn: a>1]이면 교점의 개수는 [eqn: 3], [eqn: a=1]이면 교점의 개수는 [eqn: 2], [eqn: a<1]이면 교점의 개수는 [eqn: 1]이다.