수2 단원평가

다항함수의 미분법 [A1]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

001. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +ax+b]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-2], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =-2]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ① (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ① [eqn: -1] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -5]
002. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax ^{2} -1&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )#x ^{2} +bx+2&``` LEFT ( x<1 RIGHT )}}]이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ① ① [eqn: -8] ② [eqn: -7] ③ [eqn: -6] ④ [eqn: -5] ⑤ [eqn: -4]

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003. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +6x+2]에 대하여 [eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( a+2h RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {h} =24}]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? ② ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]
004. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x+2 RIGHT ) -9} over {x ^{2} -1} =7}]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f`' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? ③ ① [eqn: 21] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 23] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 25]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

005. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2xf` prime LEFT ( 1 RIGHT )]일 때, [eqn: f`' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 6]
006. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]로 정의되는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =4]를 만족시킨다. [eqn: g`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? ① ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]

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007. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +5x+1]의 그래프 위에 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =8]인 점이 두 개 있다. 이 두 점 사이의 거리는? ② ① [eqn: sqrt {37}] ② [eqn: 2 sqrt {37}] ③ [eqn: 3 sqrt {37}] ④ [eqn: 4 sqrt {37}] ⑤ [eqn: 5 sqrt {37}]
008. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때 (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT { f`' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f LEFT ( x RIGHT )]이다. (나) [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =2] [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? ① [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: n]차 다항식이라 두자. [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f LEFT ( x RIGHT )]에서 좌변은 [eqn: 2n-2]차, 우변의 [eqn: n]차이므로 [eqn: n=2]이다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c``` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 두고 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f LEFT ( x RIGHT )]에 대입하여 항등식을 풀고 (나)의 조건에서 [eqn: b]값을 찾도록 하자. ① [eqn: 16] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 22] ⑤ [eqn: 24]

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009. 곡선 [eqn: y=x ^{3} +6x ^{2} +3x+1]에 접하고 기울기가 [eqn: -9]인 직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,```a RIGHT )]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 2]
010. 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x-3]에 접하고 직선 [eqn: y= {1} over {2} x+2]에 수직인 직선의 방정식이 [eqn: y=mx+n]일 때, 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 20]

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011. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( -1,```1 RIGHT )]에서 이 곡선과 만날 때, [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: {13} over {2}] ② [eqn: {15} over {2}] ③ [eqn: {17} over {2}] ④ [eqn: {19} over {2}] ⑤ [eqn: {21} over {2}]
012. 곡선 [eqn: y=x ^{3} -9x ^{2} +2x+1]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m]의 최솟값은? ② ① [eqn: -27] ② [eqn: -25] ③ [eqn: -23] ④ [eqn: -21] ⑤ [eqn: -19]

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013. 점 [eqn: LEFT ( 0,```-4 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -2]에 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT )]이라 할 때, [eqn: a]의 값은? ② ① [eqn: {7} over {6}] ② [eqn: {4} over {3}] ③ [eqn: {3} over {2}] ④ [eqn: {5} over {3}] ⑤ [eqn: {11} over {6}]
014. 점 [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +2x+3]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는? ⑤ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+3]이라고 하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-2x+2]이다. 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```-a ^{2} +2a+3 RIGHT )]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y- LEFT ( -a ^{2} +2a+3 RIGHT ) = LEFT ( -2a+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )] 이다. 점 [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )]를 지나므로 대입하여 계산하면 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=3]이다. 따라서 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 3,```0 RIGHT )]이다 ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 2 sqrt {2}] ④ [eqn: 2 sqrt {3}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

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015. 곡선 [eqn: y=2x ^{3} -4x+5] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```3 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ② ① [eqn: {1} over {8}] ② [eqn: {1} over {4}] ③ [eqn: {1} over {2}] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
016. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -4x+3]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,```a RIGHT ]]에서 평균값 정리를 만족시키는 [eqn: x]값이 [eqn: - {1} over {2}]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a>-2]) [eqn: 1]

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017. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( 8a-a ^{2} RIGHT ) x+5]가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라. [eqn: 21]
018. 구간 [eqn: LEFT [ a,```b RIGHT ]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 극대 또는 극소가 되는 점의 개수는? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

019. 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이고, [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가질 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 8] 우함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +bx ^{2} +d]로 둘 수 있다. [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가지므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+b+d=-1], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2b=0] 이다. [eqn: b=-2], [eqn: d=0]이다.
020. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -2,```2 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{3} +3x ^{2} +a]의 최솟값이 [eqn: -4]일 때, 최댓값은? ① (단, [eqn: a]는 상수이다.) ① [eqn: 16] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 22] ⑤ [eqn: 24]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

021. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +x ^{2} -3], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +8x+a]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 개의 음의 실근과 한 개의 양의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는? ② ① [eqn: 10] ② [eqn: 11] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 13] ⑤ [eqn: 14]
022. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} +9x+2-k=0]이 구간 [eqn: LEFT [ -1,```2 RIGHT ]]에서 적어도 한 개의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? ⑤ 준 방정식은 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} +9x+2=k]이다. [eqn: -1 le x le 2]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+2]의 그래프를 그리자. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k]가 구간 [eqn: LEFT [ -1,```2 RIGHT ]]에서 적어도 한 개의 실근을 가지려면 [eqn: -14 LEQ k LEQ 6]이다. 즉, 정수 [eqn: k]는 [eqn: -14], [eqn: -13], [eqn: -12], [eqn: CDOTS], [eqn: 6]의 [eqn: 21]개다. ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

023. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -4x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x-a]에 대하여 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프보다 항상 위쪽에 있도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 5]
024. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t``` LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=-t ^{2} +6t]이다. 점 [eqn: rmP]의 속도가 [eqn: 2]일 때, 점 [eqn: rmP]의 위치는? ① ① [eqn: 8] ② [eqn: {17} over {2}] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: {19} over {2}] ⑤ [eqn: 10]

	수2 단원평가 [다항함수의 미분법] A1

025. 한 변의 길이가 [eqn: 10rmcm]인 정사각형의 각 변의 길이가 매 초 [eqn: 2rmcm]씩 길어질 때, 정사각형의 넓이가 [eqn: 400rmcm ^{2}]가 되는 순간의 넓이의 변화율은? (단, 단위는 [eqn: rm cm ^{2} /s]이다.) ④ ① [eqn: 65] ② [eqn: 70] ③ [eqn: 75] ④ [eqn: 80] ⑤ [eqn: 85]

[수2 단원평가]

다항함수의 미분법 A1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	①	02	①	03	②	04	③	05	[eqn: 6]
06	①	07	②	08	①	09	[eqn: 2]	10	[eqn: 20]
11	②	12	②	13	②	14	⑤	15	②
16	[eqn: 1]	17	[eqn: 21]	18	④	19	[eqn: 8]	20	①
21	②	22	⑤	23	[eqn: 5]	24	①	25	④

8번 해설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: n]차 다항식이라 두자.

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f LEFT ( x RIGHT )]에서 좌변은 [eqn: 2n-2]차, 우변의 [eqn: n]차이므로 [eqn: n=2]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c``` LEFT ( a != 0 RIGHT )]라 두고 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =f LEFT ( x RIGHT )]에 대입하여 항등식을 풀고

(나)의 조건에서 [eqn: b]값을 찾도록 하자.

14번 해설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+3]이라고 하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-2x+2]이다.

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```-a ^{2} +2a+3 RIGHT )]이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: y- LEFT ( -a ^{2} +2a+3 RIGHT ) = LEFT ( -2a+3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

이다. 점 [eqn: LEFT ( 2,```4 RIGHT )]를 지나므로 대입하여 계산하면 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=3]이다.

따라서 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 3,```0 RIGHT )]이다

19번 해설

우함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +bx ^{2} +d]로 둘 수 있다.

[eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가지므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+b+d=-1], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2b=0]

이다. [eqn: b=-2], [eqn: d=0]이다.

22번 해설

준 방정식은 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} +9x+2=k]이다.

[eqn: -1 le x le 2]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+2]의 그래프를 그리자.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k]가 구간 [eqn: LEFT [ -1,```2 RIGHT ]]에서 적어도 한 개의 실근을

가지려면 [eqn: -14 LEQ k LEQ 6]이다.

즉, 정수 [eqn: k]는 [eqn: -14], [eqn: -13], [eqn: -12], [eqn: CDOTS], [eqn: 6]의 [eqn: 21]개다.