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診斷評價

[수학2]

이름 :
학교/학년 :
시험일 :
시험시간 :	60분
점수 :

	[수학2]
	수학 영역

[eqn: lim _{ x-> 1} { {x^2 + ax + b} over {x-1} =3}]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b`]의 값에 대하여
[eqn: a-10b]의 값을 구하여라.

[eqn: 21]

함수

[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +x+a} over {x-1}&```(x != 1)#b&```(x=1)}}]

가 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: a+b]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수

[eqn: f(x)= {cases{ax+b&```(x>0)#ax ^{2} -2x+1&```(x LEQ 0)}}]

이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 점 [eqn: rm P LEFT ( it t,``` t RIGHT )]([eqn: 0<t<1])를 지나고 [eqn: y]축과
수직인 직선이 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= sqrt { x}]와 만나는 점을
각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 하자. [eqn: rm bar{PQ} it =f(t)], [eqn: rm bar{PR} it =g(t)]라 할 때,
[eqn: lim _{t->1-} {g(t)} over {f(t)}]의 값은?

④

[eqn: f(t)= sqrt {t} -t], [eqn: g(t)=t-t ^{2}]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

				6

	수학 영역

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3`], 높이가 [eqn: 18`]인 원뿔에
내접하는 원기둥 중에서 부피가 최대인 것의
밑면의 반지름의 길이를 구하여라.

[eqn: 2`]

사차방정식

[eqn: 3x ^{4} +4x ^{3} -12x ^{2} -a+1=0`]

이 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의
범위는 [eqn: alpha<a<beta]이다. [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 17]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치를
[eqn: x`]라 하면

[eqn: x=2t ^{3} -21t ^{2} +60t`]

인 관계가 성립한다. 점 [eqn: rmP`]가 출발 후 운동 방향을
두 번 바꾼다고 할 때, 운동 방향을 바꾸는 두 지점
사이의 거리는?

③

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기가
[eqn: 3x+1]이고, 이 곡선이 점 [eqn: LEFT ( 0,``` {1} over {2} RIGHT )]을 지날 때, [eqn: f(1)]의
값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

				6

	수학 영역

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+ int _{0} ^{3} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx=p]이다. [eqn: 20p]의 값을
구하여라.

[eqn: 90]

곡선 [eqn: y= x^3 - 3x^2 +x + 5] 위의 점 [eqn: (0,```5)]에서 이 곡선에
접하는 직선을 그을 때, 이 직선과 곡선으로 둘러싸인
부분의 넓이는 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 31]

직선 궤도를 매초 [eqn: rm 30 (m/s)]의 속도로 달리는 열차가
있다. 이 열차가 브레이크를 걸고 나서 [eqn: t]초 후의 속도가

[eqn: v(t)= LEFT ( 30- {3} over {2} t RIGHT )][eqn: rm (m/s)]

라 할 때, 브레이크를 건 후부터 정지할 때까지 열차가
움직인 거리는?

③

① [eqn: 200]	② [eqn: 250]	③ [eqn: 300]

④ [eqn: 350]	⑤ [eqn: 400]

원점 [eqn: rm O]에서 곡선 [eqn: y= 1over4 x^4 +3]에 그은 접선의 접점을
[eqn: rmP]라 할 때, [eqn: bar{rmOP}]의 값은? (단, [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

④

① [eqn: sqrt { 10}]	② [eqn: 2sqrt { 3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

				6

	수학 영역

삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: { f(3)-f(1)} over {2 }=f`'(3)]을 만족시킬 때,
방정식 [eqn: f(x)=f`'(3)(x-3)+f(3)]의 서로 다른 두 실근의
합은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항함수 [eqn: f(x)]가
다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f` prime (1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 19``]

(가) [eqn: lim_x->inf `{left{f(x)right}^2 -f(x^2 )}over{x^3 f(x)} =4``]

(나) [eqn: lim_x->0 {f'(x)}over x =4]

곡선 [eqn: y= 1overx] ([eqn: x>0]) 위에 점 [eqn: rmA(1,```1)]과 [eqn: rmA]와 다른
점 [eqn: rmP]를 잡은 후 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]에 수직인 직선이
직선 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에
한없이 가까이 갈 때, 점 [eqn: rmQ]가 수렴하는 점은?

⑤

① [eqn: (1,```1)]	② [eqn: LEFT ( 3over2 ,``` 3over2 RIGHT )]	③ [eqn: (2,```2)]

④ [eqn: LEFT ( 5over2 ,``` 5over2 RIGHT )]	⑤ [eqn: (3,```3)]

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	수학 영역

삼차함수 [eqn: f(x)]와 그 도함수 [eqn: f'(x)]에 대하여 두 집합
[eqn: A], [eqn: B]를
[eqn: A=left{`x`|`f(x)=0,```x는```실수right}],
[eqn: B= LEFT { `x`|`f` prime (x)=0,```x는```실수 RIGHT }]
라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.)

⑤

<보 기>

ㄱ. [eqn: n(B)=1]이면 [eqn: n(A)=1]이다.

ㄴ. [eqn: 1 inA], [eqn: 1 inB]이면 [eqn: n(A)=2]이다.

ㄷ. [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]이고 [eqn: f(2)<f`'(2)]이면

[eqn: f(1)>f` prime (1)]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2-x)=f(2+x)]를 만족시킨다.
구간 [eqn: [t-1,```t]]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라고 할 때,
[eqn: -1 le t le0]에서 [eqn: g(t)]는 상수함수이다. 이때, [eqn: g'(4)]의
값은?

②

① [eqn: -48``]	② [eqn: -40``]	③ [eqn: -32``]

④ [eqn: -16``]	⑤ [eqn: -8``]

최고차항의 계수가 [eqn: { 1} over {12 }]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)=|f(x)-f(a)|]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: |b-a|]의 값은?

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 오직 [eqn: x=b]에서만

미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: g(x)=36]의 서로 다른 실근의

개수는 [eqn: 3]이다.

③

함수를 [eqn: x]축의 방향으로 평행이동시켜도 답에 영향을 주지 않는다.

[eqn: a=0], [eqn: b=4beta]라 두면 [eqn: f(x)= {1} over {12} x ^{3} (x-4 beta )]이고

[eqn: f(3beta)=-36]이므로 [eqn: beta=2]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

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	수학 영역

두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_0 ^3 left{f(x)-g(x)right}dx]의 값은?

(가) [eqn: f`'(0)=g'(0)]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_-1 ^x tf(t)dt ge int_-1 ^x tg(t)dt]

이다.

(다) [eqn: lim_x->1 { f(x)-g(x)} over { x-1}=8]

⑤

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: a>0]인 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(x)=x ^{2} (x-2a) ^{2}]이고
[eqn: g(x)= {|f`'(x)|-f`'(x)} over {2}]이다. [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: int _{alpha} ^{x} {} g(t)dt=f(x)]
의 가장 작은 근이 [eqn: 0], 가장 큰 근이 [eqn: 2+ sqrt {2}]가 되도록 하는
실수 [eqn: alpha]의 최댓값을 [eqn: b]라 하자. [eqn: a+b]의 값은?

②

함수 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)=int _{alpha} ^{x} g(t)dt]의 개형은 다음과 같다.

(㉠) [eqn: y=g(x)]	(㉡) [eqn: y=h(x)]

방정식 [eqn: h(x)=f(x)]의 가장 작은 근이 [eqn: 0]이려면 [eqn: h(0)=0]이다.

두 함수의 그래프를 겹쳐서 그려보면 다음과 같다.

(㉢) [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=h(x)]

[eqn: alpha]는 [eqn: h(alpha)=0]를 만족하면 된다.

[eqn: RARROW] [eqn: alpha]가 가질 수 있는 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ alpha le a]이다.

방정식 [eqn: h(x)=f(x)]의 가장 큰 근은 방정식 [eqn: f(x)=][eqn: f(a)]의

가장 큰 근이다.

[eqn: RARROW] 가장 큰 근은 [eqn: (1+ sqrt { 2 })a]이고 이 값이

[eqn: 2+ sqrt { 2}]이므로 [eqn: a= sqrt { 2}]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 4sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 8]

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