수학1 단원평가

수열 [A2]

	수학1 단원평가 [수열] A2

001. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} = {cases{LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} +1&``` LEFT ( a _{n} 이```짝수인```경우 RIGHT )#3a _{n} -1&```(a _{n} 이```홀수인```경우)}}] 을 만족시킨다. [eqn: a _{4}]의 값은? ⑤ ① [eqn: 10] ② [eqn: 11] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 13] ⑤ [eqn: 14]
002. 첫째항이 [eqn: -12], 공차가 [eqn: {4} over {7}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 처음으로 양수가 나오는 항은 제 몇 항인가? ③ ① 제[eqn: 21]항 ② 제[eqn: 22]항 ③ 제[eqn: 23]항 ④ 제[eqn: 24]항 ⑤ 제[eqn: 25]항

	수학1 단원평가 [수열] A2

003. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{3} +a _{5} =36]이고 [eqn: a _{2} a _{4} =180]일 때, [eqn: a _{n} <100]을 만족시키는 [eqn: n]의 최댓값을 구하여라. [eqn: 24]
004. 공차가 [eqn: 6]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: LEFT | a _{2} -3 RIGHT | = LEFT | a _{3} -3 RIGHT |]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? ② ① [eqn: 15] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 21] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 27]

	수학1 단원평가 [수열] A2

005. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{4} =20], [eqn: a _{13} =83]이고, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} =243]일 때, [eqn: n]의 값은? ③ ① [eqn: 7] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11]
006. 모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{n} :S _{3n} =1:9]일 때, [eqn: a _{2} =ka _{1}]이다. 상수 [eqn: k]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

	수학1 단원평가 [수열] A2

007. 첫째항이 [eqn: 14], 공차가 [eqn: -4]인 등차수열에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n}]의 최댓값은? ① ① [eqn: 32] ② [eqn: 36] ③ [eqn: 40] ④ [eqn: 44] ⑤ [eqn: 48]
008. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: a _{3} =0] (나) [eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{6} =6] [eqn: a _{n} GEQ 300]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: a], [eqn: a _{n}]의 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} >310]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라. [eqn: 132]

	수학1 단원평가 [수열] A2

009. [eqn: -3]과 [eqn: 11] 사이에 [eqn: n]개의 수를 나열한 수열 [eqn: -3], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}], [eqn: 11]이 등차수열을 이루고 그 합이 [eqn: 32]일 때, 공차 [eqn: d]와 항수 [eqn: n]을 구하면? ③ ① [eqn: d=2], [eqn: n=4] ② [eqn: d=2], [eqn: n=5] ③ [eqn: d=2], [eqn: n=6] ④ [eqn: d=3], [eqn: n=4] ⑤ [eqn: d=3], [eqn: n=6]
010. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항이 각각 [eqn: a _{n} =3n-32], [eqn: b _{n} =-2n+21]일 때, [eqn: LEFT ( LEFT | a _{1} RIGHT | + LEFT | a _{2} RIGHT | + CDOTS + LEFT | a _{18} RIGHT | RIGHT ) + LEFT ( LEFT | b _{1} RIGHT | + LEFT | b _{2} RIGHT | + CDOTS + LEFT | b _{18} RIGHT | RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: 401] ② [eqn: 411] ③ [eqn: 421] ④ [eqn: 431] ⑤[eqn: 441]

	수학1 단원평가 [수열] A2

011. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =n ^{2} +3n]일 때, [eqn: a _{4}]의 값은? ② ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 18]
012. [eqn: 2]와 [eqn: {2} over {3}] 사이에 두 수 [eqn: a], [eqn: b]를 넣어서 만든 [eqn: 4]개의 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: {2} over {3}]가 이 순서로 조화수열을 이룰 때, [eqn: {1} over {a} + {1} over {b}]의 값은? ② ① [eqn: {7} over {4}] ② [eqn: 2] ③ [eqn: {9} over {4}] ④ [eqn: {5} over {2}] ⑤ [eqn: 3]

	수학1 단원평가 [수열] A2

013. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{3} +a _{4} =36], [eqn: a _{10} :a _{11} =3:1]일 때, [eqn: a _{5} +a _{6}]의 값을 구하여라. [eqn: 4]
014. 각 항이 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{3} =96], [eqn: a _{6} =12]일 때, 처음으로 [eqn: 1]보다 작아지는 항은 제 몇 항인지 고르면? ⑤ ① 제[eqn: 6]항 ② 제[eqn: 7]항 ③ 제[eqn: 8]항 ④ 제[eqn: 9]항 ⑤ 제[eqn: 10]항

	수학1 단원평가 [수열] A2

015. 첫째항이 [eqn: 7]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: {S _{9} -S _{5}} over {S _{6} -S _{2}} =3]일 때, [eqn: a _{7}]의 값을 구하여라. [eqn: 63]
016. 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: -2], [eqn: a], [eqn: b]는 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a], [eqn: 2 sqrt {15}], [eqn: b]는 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 169]

	수학1 단원평가 [수열] A2

017. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+4=0]이 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: alpha], [eqn: p], [eqn: beta]는 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: alpha], [eqn: q], [eqn: beta]는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. 다음 중 이차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: p], [eqn: q]를 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, [eqn: q]는 양수) ⑤ ① [eqn: x ^{2} -5x+3=0] ② [eqn: x ^{2} +5x-3=0] ③ [eqn: x ^{2} -5x-6=0] ④ [eqn: x ^{2} +5x+6=0] ⑤ [eqn: x ^{2} -5x+6=0]
018. 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형이 있다. 첫 번째 시행에서 다음 그림과 같이 정사각형을 [eqn: 9]등분하여 중앙의 정사각형을 버린다. 두 번째 시행에서는 첫 번째 시행의 결과로 남은 나머지 [eqn: 8]개의 정사각형을 각각 [eqn: 9]등분하여 중앙의 정사각형을 버린다. 이와 같은 시행을 [eqn: 10]번 반복할 때, 남아 있는 도형의 넓이는 [eqn: {2 ^{p}} over {3 ^{q}}]이다. 이때 [eqn: p+q]의 값을 구하여라. [eqn: 48] (단, [eqn: p], [eqn: q]는 자연수)

	수학1 단원평가 [수열] A2

019. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 첫째항이 [eqn: 32]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열을 이룰 때, [eqn: sum _{k=1} ^{11} LEFT | log _{2} a _{k} RIGHT |]의 값을 구하여라. [eqn: 30]
020. 첫째항이 [eqn: 400], 공차가 [eqn: -5]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{3}}} + {1} over {sqrt {a _{3}} + sqrt {a _{5}}} + CDOTS + {1} over {sqrt {a _{59}} + sqrt {a _{61}}}] 의 값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

	수학1 단원평가 [수열] A2

021. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =n-10 LEFT [ {n} over {10} RIGHT ]] 일 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{100}]의 값을 구하여라. [eqn: 450] (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
022. 수열 [eqn: 1over1], [eqn: 1over2], [eqn: 2over1], [eqn: 1over3], [eqn: 2over2], [eqn: 3over1], [eqn: 1over4], [eqn: 2over3], [eqn: 3over2], [eqn: 4over1], [eqn: cdots] 에서 [eqn: {5} over {8}]은 제 몇 항인지 구하여라. [eqn: 71]

	수학1 단원평가 [수열] A2

023. [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{n+1} = {2a _{n} +1} over {a _{n} +2}]로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{10} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]는? ① (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수) ① [eqn: 3 ^{10}] ② [eqn: 3 ^{11}] ③ [eqn: 3 ^{12}] ④ [eqn: 3 ^{13}] ⑤ [eqn: 3 ^{14}]
024. 용량이 [eqn: 2 rm L]인 두 비커 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에 각각 물이 [eqn: 1 rm L]씩 들어있다. 비커 [eqn: rm A]에 있는 물의 [eqn: {1} over {3}]을 비커 [eqn: rm B]로 옮긴 후, 비커 [eqn: rm B]에 있는 물의 [eqn: {1} over {3}]을 비커 [eqn: rm A]로 옮기는 것을 [eqn: 1]회 시행이라고 한다. [eqn: n]회 시행 후 비커 [eqn: rm A]에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} =pa _{n} +q]가 성립한다. 상수 [eqn: p], [eqn: q]의 값은? ④ ① [eqn: p= {1} over {3}], [eqn: q= {1} over {3}] ② [eqn: p= {1} over {3}], [eqn: q= {2} over {3}] ③ [eqn: p= {4} over {9}], [eqn: q= {1} over {3}] ④ [eqn: p= {4} over {9}], [eqn: q= {2} over {3}] ⑤ [eqn: p= {5} over {9}], [eqn: q= {1} over {3}]

	수학1 단원평가 [수열] A2

025. 다음은 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 [eqn: sum _{i=1} ^{2n-1} LEFT { i+ LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } = LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{3} +n ^{3}] [eqn: cdots] [eqn: (*)] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. <증명> (1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1+0 ^{2} =0 ^{3} +1 ^{3}]이므로 [eqn: (*)]이 성립한다. (2) [eqn: n=k]일 때, [eqn: (*)]이 성립한다고 가정하고, [eqn: n=k+1]일 때 [eqn: (*)]이 성립함을 보이자. [eqn: sum _{i=1} ^{2k+1} LEFT ( i+k ^{2} RIGHT ) = sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT { i+ LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } + sum _{i=1} ^{2k-1} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) + BOX{````` ( 가) `````}] [eqn: =`box{`````(나)`````}] 그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: (*)]이 성립한다. 따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (*)]이 성립한다. 위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: {g LEFT ( 4 RIGHT )} over {f LEFT ( 4 RIGHT )}]의 값은? ⑤ ① [eqn: {23} over {7}] ② [eqn: {24} over {7}] ③ [eqn: {25} over {7}] ④ [eqn: {26} over {7}] ⑤ [eqn: {27} over {7}]

[수열 단원평가]

수열 A2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	⑤	02	③	03	[eqn: 24]	04	②	05	③
06	②	07	①	08	[eqn: 132]	09	③	10	②
11	②	12	②	13	[eqn: 4]	14	⑤	15	[eqn: 63]
16	[eqn: 169]	17	⑤	18	[eqn: 48]	19	[eqn: 30]	20	①
21	[eqn: 450]	22	[eqn: 71]	23	①	24	④	25	⑤

7번 해설

[eqn: S _{n} = {n LEFT { 2 TIMES 14+ LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT }} over {2}][eqn: =-2(n-4) ^{2} +32]

10번 해설

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지 음수이고, 제[eqn: 11]항부터 양수이다.

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지 양수이고, 제[eqn: 11]항부터 음수이다.

19번 해설

[eqn: log _{2} a _{k} =log _{2} 32times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1} =6-k]

[eqn: sum _{k=1} ^{11} LEFT | loga _{k} RIGHT | = sum _{k=1} ^{11} LEFT | 6-k RIGHT | =30]

※ 등비수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 수열 [eqn: left{log _{p} a _{n} right}]은 등차수열이다.

21번 해설

[eqn: a _{n}]은 [eqn: n]을 [eqn: 10]으로 나눈 나머지, 즉, [eqn: n]의 [eqn: 1]의 자리수를 나타낸다.

[eqn: a _{1} =a _{11} =a _{21} =cdots=a _{91} =1]

[eqn: a _{2} =a _{12} =a _{22} =cdots=a _{92} =2]

[eqn: vdots]

[eqn: a _{10} =a _{20} =a _{30} =cdots=a _{100} =0]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{100} =10 LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +9 RIGHT ) =450]이다.

24번 해설

[eqn: n]번의 시행 후 두 비커 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에 있는 물의 양을 각각 [eqn: a _{n}], [eqn: b _{n}]이라고 하면

[eqn: a _{n+1} = {2} over {3} a _{n} + {1} over {3} LEFT ( {1} over {3} a _{n} +b _{n} RIGHT ) = {7} over {9} a _{n} + {1} over {3} b _{n}]

그런데 [eqn: a _{n} +b _{n} =2]이므로

[eqn: a _{n+1} = {7} over {9} a _{n} + {1} over {3} LEFT ( 2-a _{n} RIGHT ) = {4} over {9} a _{n} + {2} over {3}]

따라서 [eqn: p= {4} over {9}], [eqn: q= {2} over {3}]이다.