수학1 단원평가

삼각함수 [B1]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

001. [eqn: 1 LEQ n LEQ 100]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 크기가 [eqn: 360 DEG TIMES n+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 90 DEG TIMES LEFT ( n+1 RIGHT )]인 각을 나타낸 동경을 [eqn: rm OP _{it n}]이라 하자. 동경 [eqn: rmOP_3], [eqn: rmOP_4], [eqn: cdots], [eqn: rmOP_100] 중에서 동경 [eqn: rm OP _{2}]와 같은 위치에 있는 동경 [eqn: rm OP _{it n}]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [eqn: 24]
002. 중심이 [eqn: rm O]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]와 부채꼴 [eqn: rm OCD]는 다음의 두 조건 (가), (나)를 모두 만족한다. (가) 부채꼴 [eqn: rm OAB]는 반지름이 [eqn: 2]이고 둘레는 [eqn: 7]이다. (나) 부채꼴 [eqn: rm OCD]는 반지름이 [eqn: 4]이고 중심각은 부채꼴 [eqn: rm OAB]의 두 배다. 이 때, 부채꼴 [eqn: rm OCD]의 넓이는? ② ① [eqn: 16] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 40] ⑤ [eqn: 48]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

003. 부등식 [eqn: LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) x+2>16x+a]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립하도록 실수 [eqn: a], [eqn: b]를 정할 때, 점 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT )]가 그리는 도형의 길이는? ① ① [eqn: {16} over {3} pi] ② [eqn: {17} over {3} pi] ③ [eqn: 6 pi] ④ [eqn: {19} over {3} pi] ⑤ [eqn: {20} over {3} pi]
004. 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rm ABC]와 [eqn: TRIANGLE rm CDE]는 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정삼각형이고, [eqn: ANGLE rm ACE= {2} over {3} pi]이다. 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {3}]인 원 [eqn: P]가 [eqn: TRIANGLE rm ABC]와 [eqn: TRIANGLE rm CDE]의 둘레를 외접하면서 시계 방향으로 한 바퀴 돌아 처음 출발한 자리로 왔을 때, 원 [eqn: rm P]의 중심이 움직인 거리가 [eqn: 23+ {8 sqrt {3}} over {3} pi]이다. [eqn: a]의 값은? ② ① [eqn: 4] ② [eqn: {9} over {2}] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: {11} over {2}] ⑤ [eqn: 6]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

005. 다음 그림과 같이 [eqn: ANGLE rm B=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm {bar{AC}}]의 삼등분점이 [eqn: rm D], [eqn: rm E]이다. [eqn: rm bar{BD} =cosx], [eqn: rm {bar{BE}} = sinx]일 때, [eqn: rm {bar{AC}}]의 길이는? ③ ① [eqn: {sqrt {5}} over {5}] ② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}] ③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {5}] ④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}] ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]
006. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 [eqn: rm {bar{AB}}]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: rm O]인 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB] 위에 점 [eqn: rm P]를 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm BAP RIGHT ) = {4} over {5}]가 되도록 잡는다. 부채꼴 [eqn: rm OBP]에 내접하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: r _{1}], 호 [eqn: rm AP]를 이등분하는 점과 [eqn: rm {bar{AP}}]의 중점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: r _{2}]일 때, [eqn: r _{1} r _{2}]의 값은? ① ① [eqn: {3} over {40}] ② [eqn: {1} over {10}] ③[eqn: {1} over {8}] ④ [eqn: {3} over {20}] ⑤ [eqn: {7} over {40}]

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007. [eqn: LEFT ( {1} over {cos ^{2} 1 DEG } + {1} over {cos ^{2} 2 DEG } + CDOTS + {1} over {cos ^{2} 44 DEG } RIGHT ) - LEFT ( tan ^{2} 1 DEG +tan ^{2} 2 DEG + CDOTS +tan ^{2} 45 DEG RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 43]
008. 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -2 sqrt {3} x+k=0]의 두 근이 [eqn: sin theta], [eqn: cos theta]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: tan theta], [eqn: {1} over {tan theta }]을 두 근으로 하는 이차방정식은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) ① ① [eqn: x ^{2} -6x+1=0] ② [eqn: x ^{2} -6x+2=0] ③ [eqn: x ^{2} -5x+7=0] ④ [eqn: x ^{2} -5x+1=0] ⑤ [eqn: x ^{2} -6x+7=0]

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009. 그림과 같이 [eqn: x GEQ 0]에서 정의된 함수 [eqn: y=3cos {x} over {2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=k LEFT ( 0<k<3 RIGHT )]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 [eqn: x_1]. [eqn: x_2], [eqn: x_3], [eqn: cdots]라 하자. [eqn: x _{9} +x _{10} =a pi]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 36]
010. 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2`]에서 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: 3`sin`(2 pi x)-a=0`] 의 실근의 개수를 [eqn: f(a)]라 하자. 집합 [eqn: A= LEFT { `f(a)`|`a`는```실수 RIGHT }]의 모든 원소의 합은? ① ① [eqn: 11] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 15]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

011. 두 함수 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = {sin LEFT ( pi + theta RIGHT )} over {1+cos LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )}], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = {cos LEFT ( pi + theta RIGHT )} over {1+cos LEFT ( {3} over {2} pi - theta RIGHT )}]일 때, [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) f LEFT ( - theta RIGHT ) g LEFT ( theta RIGHT ) g LEFT ( - theta RIGHT )]를 간단히 하면? ② ① [eqn: - {1} over {tan ^{2} theta }] ② [eqn: -tan ^{2} theta] ③ [eqn: {tan ^{2} theta } over {2}] ④ [eqn: tan ^{2} theta] ⑤ [eqn: {1} over {tan ^{2} theta }]
012. 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: f(x)=a sin {x+ pi } over {3} ``(0 LEQ x LEQ 6 pi )] 와 직선 [eqn: y=- {a} over {2}]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이의 최댓값이 [eqn: 6 pi]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하여라. [eqn: 4]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

013. [eqn: a], [eqn: b]는 양수이고 [eqn: alpha + beta + gamma = pi]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab rm cos gamma]일 때, [eqn: 9sin ^{2} LEFT ( pi + alpha + beta RIGHT ) +9cos gamma]의 최댓값은? ③ ① [eqn: 9] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 13]
014. [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]일 때, [eqn: log LEFT ( sin theta RIGHT ) -log LEFT ( cos theta RIGHT ) =- {1} over {2}` log3]을 만족시키는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {18 theta } over {pi }]의 값을 구하여라. [eqn: 3]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

015. [eqn: theta]가 [eqn: LEFT { sin LEFT ( {3} over {2} pi + theta RIGHT ) +cos LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2} =2sin LEFT ( 2 pi - theta RIGHT ) cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) +1]을 만족할 때, [eqn: -64sin theta cos theta]의 값을 구하여라. [eqn: 24]
016. [eqn: 0 LEQ x LEQ pi]일 때, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=sinx]와 [eqn: y=sin LEFT ( nx RIGHT )]의 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: a _{3} +a _{5}]의 값을 구하여라. [eqn: 9]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

017. 방정식 [eqn: sin ^{2} theta -cos theta -a+1=0]을 만족하는 [eqn: theta]의 값이 존재하기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? ④ (단, [eqn: 0 LEQ theta <2 pi]) ① [eqn: 0<a< {3} over {2}] ② [eqn: 0 LEQ a< {3} over {2}] ③ [eqn: 0<a LEQ {5} over {2}] ④ [eqn: 0 LEQ a LEQ {9} over {4}] ⑤ [eqn: 0<a< {9} over {4}]
018. 방정식 [eqn: coskx= {1} over {2}]의 모든 실근의 합을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? ⑤ (단, [eqn: 0 LEQ x<2 pi]) ① [eqn: 4 pi] ② [eqn: 6 pi] ③ [eqn: 8 pi] ④ [eqn: 10 pi] ⑤ [eqn: 12 pi]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

019. [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cos ^{2} x+sin ^{2} LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) +1} over {sin LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT )}]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값과 [eqn: f(x)]가 최소가 될 때의 [eqn: x]값의 곱은? ② ① [eqn: sqrt {2} pi] ② [eqn: {sqrt {2}} over {2} pi] ③ [eqn: {sqrt {2}} over {3} pi] ④ [eqn: sqrt {3} pi] ⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {5} pi]
020. 막대에 고정된 용수철에 추를 매달아 놓으면 다음 그림과 같이 평형을 이루는 상태가 된다. 이 추를 아래로 당겼다가 놓으면 용수철은 일정한 주기로 위, 아래로 움직이는 운동을 하게 된다. 평형을 이루는 상태에서 추를 아래로 [eqn: 4rmcm]만큼 당겼다가 놓을 때, 시각 [eqn: t]초에서의 막대로부터 추까지의 거리를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) {rmcm}}]라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =20+4cos {pi } over {2} t] (단, [eqn: 0 LEQ t LEQ 4])가 성립한다. 막대로부터 추까지의 거리가 [eqn: 18rmcm]가 되는 시각은? ③ ① [eqn: {2} over {3}]초 또는 [eqn: {4} over {3}]초 ② [eqn: {4} over {3}]초 또는 [eqn: 2]초 ③ [eqn: {4} over {3}]초 또는 [eqn: {8} over {3}]초 ④ [eqn: 2]초 또는 [eqn: {10} over {3}]초 ⑤ [eqn: {8} over {3}]초 또는 [eqn: {10} over {3}]초

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

021. 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 세 꼭짓점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에서 각 꼭짓점의 마주보는 변 [eqn: rm BC], [eqn: rm CA], [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E], [eqn: rm F]라 하자. [eqn: rm {bar{AD}}: bar { BE}: bar { CF}=3:4:6]일 때, [eqn: {2 LEFT ( rm sinA+sinB RIGHT )} over {rm sinC}]의 값을 구하여라. [eqn: 7]
022. [eqn: rm {bar{AB}} =8], [eqn: rm bar { BC}=7], [eqn: rm bar { CA}=3]인 [eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: rm bar { AC}]를 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: rmACQ]와 [eqn: rm bar { AB}]를 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: rmABR]를 다음 그림과 같이 그린다. 두 정삼각형 [eqn: rmACQ], [eqn: rmABR]의 외접원의 중심을 각각 [eqn: rmO _{ 1}], [eqn: rmO _{ 2}]라 할 때, [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}} ^{2}]의 값은? ④ ① [eqn: {70} over {3}] ② [eqn: {79} over {3}] ③ [eqn: {88} over {3}] ④ [eqn: {97} over {3}] ⑤ [eqn: {106} over {3}]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

023. [eqn: TRIANGLE rm ABC]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: TRIANGLE rm ABC]는 어떤 삼각형인가? ⑤ (가) [eqn: sinA=sinC`cosB] (나) [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} - sqrt {2} bc] ① [eqn: rmANGLE A=90 DEG]인 직각삼각형 ② [eqn: rm ANGLE B=90 DEG]인 직각삼각형 ③ [eqn: rmbarAB =barAC]인 이등변삼각형 ④ [eqn: rmbarAB =barBC]인 이등변삼각형 ⑤ [eqn: rm ANGLE C=90 DEG]인 직각이등변삼각형
024. 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A LEFT ( {3} over {2} pi ,```0 RIGHT )]을 이은 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 12]등분하는 점을 차례대로 [eqn: rmA _{1}], [eqn: rmA _{2}], [eqn: cdots], [eqn: rmA _{11}]이라 하자. 점 [eqn: rm A _{it k}]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 함수 [eqn: y=sinx]의 그래프의 교점을 [eqn: rm B _{it k}]라 할 때, [eqn: rm {bar{A _{1} B _{1}}} ^{2} + {bar{A _{2} B _{2}}} ^{2} + {bar{A _{3} B _{3}}} ^{2} + CDOTS + {bar{A _{11} B _{11}}} ^{2}]의 값은? (단, [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: cdots], [eqn: 11]) ② ① [eqn: {9} over {2}] ② [eqn: {11} over {2}] ③ [eqn: {13} over {2}] ④ [eqn: {15} over {2}] ⑤ [eqn: {17} over {2}]

	수학1 단원평가 [삼각함수] B1

025. 다음 그림은 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]부터 [eqn: 1]씩 증가하는 원들이 두 직선 [eqn: y= {3} over {4} x], [eqn: y=0]과 각각 만나는 점들의 일부를 [eqn: rm P _{1}]부터 시작하여 화살표 방향을 따라 [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: rmP _{4}], [eqn: cdots]으로 나타낸 것이다. 점 [eqn: rm P _{25}]의 [eqn: x]좌표는? ① ① [eqn: {52} over {5}] ② [eqn: 11] ③ [eqn: {56} over {5}] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: {64} over {5}]

[수학1 단원평가]

삼각함수 B1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	[eqn: 24]	02	②	03	①	04	②	05	③
06	①	07	[eqn: 43]	08	①	09	[eqn: 36]	10	①
11	②	12	[eqn: 4]	13	③	14	[eqn: 3]	15	[eqn: 24]
16	[eqn: 9]	17	④	18	⑤	19	②	20	③
21	[eqn: 7]	22	④	23	⑤	24	②	25	①

5번 해설

점 [eqn: rm D], [eqn: rm E]에서 [eqn: rm {bar{BC}}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm F], [eqn: rm G]라 하고, [eqn: rm {bar{AB}} =3 it a], [eqn: rm {bar{BC}} =3 it b]라고 하면

[eqn: TRIANGLE rm DBF]에서 [eqn: cos ^{2} x= LEFT ( 2a RIGHT ) ^{2} +b ^{2}], [eqn: TRIANGLE rm EBG]에서 [eqn: sin ^{2} x=a ^{2} + LEFT ( 2b RIGHT ) ^{2}]이다.

12번 해설

[eqn: A-B=x rm sin it y+y rm sin it x- LEFT ( x rm cos it x+y rm cos it y RIGHT ) =x LEFT ( siny-cosx RIGHT ) +y LEFT ( sinx-cosy RIGHT )]

[eqn: 0<x< {pi } over {4}], [eqn: 0<y< {pi } over {4}]인 모든 [eqn: x], [eqn: y][eqn: LEFT ( x != y RIGHT )]에 대하여 [eqn: siny<cosx], [eqn: sinx<cosy]

이므로 [eqn: x LEFT ( siny-cosx RIGHT ) +y LEFT ( sinx-cosy RIGHT ) <0]이다. 따라서 [eqn: A-B<0]이다.

13번 해설

[eqn: alpha + beta + gamma = pi]이므로 [eqn: 9sin ^{2} LEFT ( pi + alpha + beta RIGHT ) +9cos gamma =9sin ^{2} LEFT ( pi + pi - gamma RIGHT ) +9cos gamma =-9 LEFT { LEFT ( cos gamma - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4} RIGHT }]이다.

한편, [eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab rm cos gamma]이므로 [eqn: cos gamma = {a ^{2} +b ^{2}} over {3ab} = {1} over {3} LEFT ( {a} over {b} + {b} over {a} RIGHT ) ge {2} over {3}]이다. (산술기하)

최댓값은 [eqn: cos gamma = {2} over {3}]일 때 [eqn: -9 LEFT { LEFT ( {2} over {3} - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4} RIGHT } =11]이다.

21번 해설

[eqn: sinA:sinB:sinC= it a:b:c= {2S} over {3k} : {2S} over {4k} : {2S} over {6k} =4:3:2]

이다. 양수 [eqn: l]에 대하여 [eqn: sinA=4 it l], [eqn: sinB=3 it l], [eqn: sinC=2 it l]로 놓고 대입.

22번 해설

[eqn: {rm bar{AC} it} over {sin60 DEG } =2 it R _{1}]에서 [eqn: R _{1} = sqrt {3}], [eqn: {rm bar{AB} it} over {sin60 DEG } =2 it R _{2}]에서 [eqn: R _{2} = {8 sqrt {3}} over {3}]이다.

[eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 코사인법칙을 치면 [eqn: rmangleA=60 DEG]이다. 따라서 [eqn: ANGLE rm O _{1} AO _{2} =120 DEG]이므로

[eqn: TRIANGLE rm O _{1} AO _{2}]에서 코사인법칙을 치면 [eqn: {rm bar{O _{1} O _{2}}}^2 = {97} over {3}}]이다.