기하 단원평가

공간도형과 공간좌표 [B1]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] B1

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A it (1,```2,```t)], [eqn: \B it(-1,```t,```4)]에 대하여 선분 [eqn: \AB]의 길이의 최솟값은? 001. ② (단, [eqn: t]는 실수이다.) ① [eqn: 2] ② [eqn: sqrt {6}] ③ [eqn: 2 sqrt {2}] ④ [eqn: sqrt {10}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]
삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF]의 세 모서리 [eqn: rmBC], [eqn: rmBE], [eqn: rmDE]의 중점을 002. 각각 [eqn: rmL], [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 할 때, 보기에서 옳은 것만 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. 직선 [eqn: rmLN]의 꼬인 위치에 있는 모서리는 모두 [eqn: 7]개이다. ㄴ. 직선 [eqn: rmBE]와 평면 [eqn: rmANL]은 평행하다 ㄷ. 점 [eqn: rmM]에서 평면 [eqn: rmADFC]에 내린 수선과 직선 [eqn: rmLN]은 서로 수직이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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003. 좌표공간에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x-4y-6z+5=0]과 한 좌표축이 두 점에서 만날 때, 이 두 점 사이의 거리는? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
004. 그림과 같이 [eqn: rmbar{AB} = bar{AD} =2], [eqn: rm bar{BF} =4]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 직선 [eqn: rmBE]와 직선 [eqn: rmFH]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin` theta]의 값은? ② ① [eqn: {sqrt {22}} over {5}] ② [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}] ③ [eqn: {sqrt {23}} over {5}] ④ [eqn: {sqrt {94}} over {10}] ⑤ [eqn: {2 sqrt {6}} over {5}]

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005. 좌표공간의 점 [eqn: rmP(2,```2,```3)]을 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ] 사이의 거리는? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정사면체 [eqn: \ABCD]에서 두 모서리 [eqn: \AB], [eqn: \AD]의 중점을 006. 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 할 때, 삼각형 [eqn: \AMN]의 평면 [eqn: \BCD] 위로의 정사영의 넓이는? ③ ① [eqn: { root3}over2] ② [eqn: {root6 }over2] ③ [eqn: {3 root3}over4] ④ [eqn: root7 over2] ⑤ [eqn: root2]

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007. 좌표공간에서 세 점 [eqn: rmA(5,```2,```7)], [eqn: rm B(6,```2,```3)], [eqn: rm C(3,```-1,```0)]과 선분 [eqn: rmBC]의 연장선 위의 점 [eqn: rmD]가 [eqn: rm2 bar{BC} =3 bar{BD}]를 만족시킬 때, [eqn: rm{bar{AD} } ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 17] (단, 점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmBC] 위의 점이 아니다.)
008. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 선분 [eqn: rmBD]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmAG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: rm{BD} BOT {CG}] ㄴ. [eqn: rm{AG} BOT{BD}] ㄷ. [eqn: rm{MI} BOT{AG}] ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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009. 그림과 같이 좌표공간에서 세 모서리 [eqn: rm AD], [eqn: rm AB], [eqn: rm AE]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 평행한 직육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]는 다음 조건을 만족시킨다. 꼭짓점 [eqn: rm H]의 좌표가 [eqn: ( a , ```b, ```c )]일 때, [eqn: (a+ b + c )^2]의 값을 구하여라. (가) 점 [eqn: rm E]를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점은 점 [eqn: rm G]이다. (나) 꼭짓점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: ( 2, ```3, ```5 )]이다. [eqn: 25]
010. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정육면체 [eqn: rm ABCD- EFGH]에서 선분 [eqn: rm AG]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm I], 선분 [eqn: rm BD]를 [eqn: 5:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm J]라 할 때, 선분 [eqn: rm IJ]의 길이는? ② ① [eqn: 2root6] ② [eqn: root26] ③ [eqn: 2root7] ④ [eqn: root30] ⑤ [eqn: 4root2]

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011. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정팔면체 [eqn: rmABCDEF]에서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 평면 [eqn: rm BCDE] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하고, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 평면 [eqn: rm BCF] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: T]라 할 때, [eqn: S ^{2} +T ^{2}]의 값은? ② ① [eqn: { 7} over { 6}] ② [eqn: { 4} over {3 }] ③ [eqn: { 3} over { 2}] ④ [eqn: { 5} over {3 }] ⑤ [eqn: { 11} over { 6}]
012. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]에서 두 평면 [eqn: rm AFGD], [eqn: rm DEFC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ③ ① [eqn: {1} over {6}] ② [eqn: {1} over {3}] ③ [eqn: {1} over {2}] ④ [eqn: {2} over {3}] ⑤ [eqn: {5} over {6}]

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013. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사면체 [eqn: rmABCD]의 모서리 [eqn: rmBC]는 평면 [eqn: alpha] 위에 있고, 삼각형 [eqn: rmABC]는 평면 [eqn: alpha]에 수직이다. 이 때, 삼각형 [eqn: rmBCD]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos`theta]의 값은? ⑤ ① [eqn: {sqrt {2}} over {6}] ② [eqn: {sqrt {3}} over {6}] ③ [eqn: {1} over {3}] ④ [eqn: {sqrt {6}} over {3}] ⑤ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]
014. 그림과 같이 밑면이 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원이고, 높이가 [eqn: 4]인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면인 원의 둘레 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rm bar{AB} =3 sqrt {2}]이고, 점 [eqn: rm A]에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A']이라 하자. 위쪽 밑면의 중심을 [eqn: rm O]라 하고 직선 [eqn: rm OA prime]과 직선 [eqn: rm AB]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos `theta]의 값은? ③ ① [eqn: {2} over {10}] ② [eqn: {sqrt {2}} over {5}] ③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {10}] ④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {5}] ⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

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015. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmMB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 선분 [eqn: rmCH]의 길이는? ③ ① [eqn: { sqrt { 22} } over {3 }] ② [eqn: { sqrt { 23} } over {3 }] ③ [eqn: { 2 sqrt { 6} } over {3 }] ④ [eqn: { 5} over {3 }] ⑤ [eqn: { sqrt { 26} } over {3 }]
016. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에 대하여 모서리 [eqn: rmDH]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmEGM]의 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmF], [eqn: rmC]를 포함하는 평면 위로의 정사영의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: 12S^2]의 값을 구하여라. [eqn: 64]

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017. 점 [eqn: rmA(1,```2,```3)]과 구 [eqn: (x+1) ^{2} +y ^{2} +(z-2) ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]를 잇는 선분 [eqn: rmAP]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: {rmQ}(x,```y,```z)]의 자취에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? ⑤ ㄱ. 점 [eqn: rmQ]의 자취는 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {3}]인 구이다. ㄴ. 원점 [eqn: rmO]에서 점 [eqn: rmQ]까지의 거리의 최솟값은 [eqn: 3]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmQ]의 자취를 [eqn: xy]평면 위로 정사영 했을 때의 넓이는 [eqn: {pi} over {9}]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ
018. 그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]에서 [eqn: rm A(0,```3,```3)], [eqn: rm E(0,```3,```0)], [eqn: rm F(3,```3,```0)], [eqn: rm H(0,```6,```0)]이다. 점 [eqn: rm M(1,```5,```6)]과 정육면체의 모서리 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 직선 [eqn: rm MP]가 [eqn: xy]평면과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 이때, 선분 [eqn: rm MQ]의 길이의 최댓값은? ⑤ ① [eqn: 2root11] ② [eqn: 2root13] ③ [eqn: 2root14] ④ [eqn: 2root15] ⑤ [eqn: 2root17]

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019. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm A(2,```0,```0)], [eqn: rm B(0,```2,```0)]에 대하여 선분 [eqn: \AB] 위의 한 점을 [eqn: \C]라 하자. 점 [eqn: rm D(0,```0,```4)]에 대하여 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD] 사이의 거리의 최솟값은? ③ ① [eqn: sqrt {2}] ② [eqn: 2 sqrt {2}] ③ [eqn: 3 sqrt {2}] ④ [eqn: 4 sqrt {2}] ⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]
020. 그림과 같이 세 모서리 [eqn: \AD], [eqn: \BD], [eqn: \CD]가 서로 수직인 사면체 [eqn: \ABCD]에 대하여 다음이 성립한다. (가) [eqn: bar\AD][eqn: =1], [eqn: bar \BD =3] (나) 평면 [eqn: \ABC]와 평면 [eqn: \BCD]가 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos theta = 6 over 7]이다. 삼각형 [eqn: \BCD]의 넓이를 구하여라. [eqn: 3]

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021. 한 모서리의 길이가 각각 [eqn: 2]와 [eqn: 1]인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmO]와 두 모서리가 겹쳐지도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 [eqn: \AB]와 [eqn: \CD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos {theta } over {2}]의 값은? ① ① [eqn: {sqrt {6}} over {3}] ② [eqn: {sqrt {70}} over {10}] ③ [eqn: {2 sqrt {22}} over {11}] ④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}] ⑤ [eqn: {sqrt {130}} over {13}]
022. 그림은 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 정삼각기둥 [eqn: rmABC-DEF]의 밑면 [eqn: \ABC]와 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmOABC]의 밑면 [eqn: \ABC]를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 [eqn: rm OB], [eqn: rm BE]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: \N]이라 하고, 두 평면 [eqn: rm MCA], [eqn: rm NCA]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ③ ① [eqn: {3 sqrt {2} -2 sqrt {3}} over {6}] ② [eqn: {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}] ③ [eqn: {3 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}] ④ [eqn: {sqrt {2} + sqrt {3}} over {6}] ⑤ [eqn: {2 sqrt {2} + sqrt {3}} over {6}]

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023. 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형을 밑면으로 하고 [eqn: {bar{rm OA it}} = {bar{rm OB it}} = {bar{rm OC it}} = {bar{rm OD it}} =2 sqrt {5}]인 정사각뿔 [eqn: rmO`-` ABCD`]가 있다. 두 선분 [eqn: rmOA`], [eqn: rmAB`]의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 평면 [eqn: rmOCD] 위로의 정사영의 넓이는? ③ ① [eqn: 1 over2] ② [eqn: 3 over4] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 5 over4] ⑤ [eqn: 3 over2]
024. 그림과 같이 높이가 [eqn: 4]인 원기둥의 위쪽 밑면의 둘레 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 원기둥의 옆면의 한 점 [eqn: \C]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \ABC]의 원기둥의 아래쪽 밑면으로의 정사영이 넓이가 [eqn: sqrt {3}]인 정삼각형일 때, 삼각형[eqn: \ABC]의 넓이의 최댓값은? ④ ① [eqn: 4] ② [eqn: sqrt {17}] ③ [eqn: 3 sqrt {2}] ④ [eqn: sqrt {19}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

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025. 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기는 [eqn: pi over3]이고, 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: {rm∠ A} = pi over 2], [eqn: rm bar BC = 4 root2]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 세 점 [eqn: rm A,``B,``C]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB'], [eqn: rmC']이라 하고, [eqn: {rm ∠B'A'C' = } theta]라 하자. [eqn: rm bar {A'B'} = 3]일 때, [eqn: sin theta = q overp root11]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 41]

[기하 단원평가]

공간도형과 공간좌표 B1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	②	02	③	03	④	04	②	05	④
06	③	07	[eqn: 17]	08	⑤	09	[eqn: 25]	10	②
11	②	12	③	13	⑤	14	③	15	③
16	[eqn: 64]	17	⑤	18	⑤	19	③	20	[eqn: 3]
21	①	22	③	23	③	24	④	25	[eqn: 41]

6번 해설

삼각형 [eqn: rmAMN]은 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형이므로 삼각형 [eqn: rmAMN]의 넓이는 [eqn: {9 sqrt {3}} over {4}]이다.

또 정사면체의 두 면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos` theta = {1} over {3} `]이다.

따라서 구하는 정사영의 넓이는 [eqn: {9 sqrt {3}} over {4} times {1} over {3} = {3 sqrt {3}} over {4}]이다.

13번 해설

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmK]라고 하면

[eqn: rmangleDHK=theta]이므로 [eqn: rmANGLE AHD=90DEG- theta]이다.
이 때, 삼각형 [eqn: rmAHD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos(90DEG- theta ) = rm{{bar{AH}}^{2} + {bar{HD}} ^{2} - {bar{AD}} ^{2}} over {2cdot bar{AH} cdot bar{HD}}][eqn: = {{3} over {4} + {3} over {4} -1} over {2cdot {sqrt {3}} over {2} cdot{sqrt {3}} over {2}} = {1} over {3}]

이므로 [eqn: sin`theta= {1} over {3}], [eqn: cos theta = {2 sqrt {2}} over {3}]이다.

16번 해설

면 [eqn: rm`ACF`]과 면 [eqn: rm ` DE G`]는 평행하므로 주어진 문제는 면 [eqn: rm`ACF`]를 면 [eqn: rm`ACF`]로 바꾸어 생각하면 된다.

꼭짓점 [eqn: rm D`]에서 선분 [eqn: rm`EG`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`I`]라 하면 삼각형 [eqn: rm`DIM`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos ANGLE rmDIM= {2 sqrt {2}} over {3}]이다. 따라서 [eqn: S= {1} over {2} cdot2 sqrt {2} cdot sqrt {3} cdot {2 sqrt {2}} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3}]이고 [eqn: 12S ^{2} =64`]이다.

17번 해설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a,```b,```c)]로 놓으면 점 [eqn: rmP]는 구 위의 점이므로 [eqn: (a+1) ^{2} +b ^{2} +(c-2) ^{2} =1]이다.

또, 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAP]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이므로 [eqn: {rmQ} LEFT ( {a+2} over {3} ,``` {b+4} over {3} ,``` {c+6} over {3} RIGHT )]이고

이 때, [eqn: x= {a+2} over {3}], [eqn: y= {b+4} over {3}], [eqn: z= {c+6} over {3}]에서 [eqn: a=3x-2], [eqn: b=3y-4], [eqn: c=3z-6]이다.

대입하여 정리하면 [eqn: rmQ]의 자취의 방정식은 [eqn: left(x- {1} over {3} right) ^{2}][eqn: +left(y- {4} over {3} right) ^{2} +left(z- {8} over {3} right) ^{2} = {1} over {9}]이다.

21번 해설

그림과 같이 작은 정육면체를 큰 정육면체 안으로 평행이동하면

점 [eqn: \D]는 선분 [eqn: \AB]의 중점이 되고 점 [eqn: \E]는 선분 [eqn: \AC]의 중점이다.

따라서 두 직선 [eqn: \AB]와 [eqn: \CD]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: \ ANGLE CDA]이고

[eqn: \ bar{AD} = bar{CD} = sqrt {3}], [eqn: \ bar{BC} =2 sqrt {2}]이므로 [eqn: \cos {theta } over {2} = {bar{DE}} over {bar{CD}} = {{1} over {2} bar{BC}} over {bar{CD}}][eqn: = {sqrt {6}} over {3}]이다.

24번 해설

원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: 2]이므로 [eqn: rmbar AB =2]이다.

삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이가 최대가 될 때는 점 [eqn: \C]가 아래쪽 밑면의 둘레의 있을 때이다.

이때 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형의 높이는 [eqn: {sqrt {3}} over {2} TIMES 2= sqrt {3}]이므로

점 [eqn: \C]에서 변 [eqn: \AB]까지의 거리는 [eqn: sqrt {4 ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2}} = sqrt {19}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {19} = sqrt {19}]이다.

25번 해설

직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmANGLE A= {pi } over {2}], [eqn: rm {bar{BC}} =4 sqrt {2}]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} =4]이다.

평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: beta]의 교선을 [eqn: l]이라 하고, 선분 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: l]이 이루는 각의 크기를 [eqn: phi]라 하자.

길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]의 평면 [eqn: beta]로의 정사영의 길이가 [eqn: 3]인 것을 잘 째려보면 [eqn: sinphi= { sqrt { 7} } over {2 sqrt { 3} }]이다.

[eqn: RARROW] 선분 [eqn: rmAC]와 직선 [eqn: l]이 이루는 각의 크기는 [eqn: { pi} over {2 }-phi]이므로 [eqn: rmbarA'C' = sqrt { 11}]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 8]이이므로 정사영인 삼각형 [eqn: rmA'B'C']의 넓이는 [eqn: 4]이다.

이 값이 [eqn: { 1} over { 2}times3 times sqrt { 11} times sintheta]이므로 [eqn: sin theta = {8 sqrt {11}} over {33}]이다.