기하 단원평가

공간도형 [A1]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

001. 그림과 같은 정팔면체 [eqn: rm ABCDEF]의 각 모서리를 연장한 직선 중 직선 [eqn: rm AB]와 꼬인 위치에 있는 직선의 개수를 [eqn: a], 직선 [eqn: rm AB]와 수직인 직선의 개수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
002. 그림과 같은 직육면체에서 직선 [eqn: rm AF]를 반드시 포함하고 여섯 개의 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmG], [eqn: rmH] 중에서 적어도 하나를 포함하는 서로 다른 평면의 개수를 구하여라. [eqn: 4]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

003. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm A(5,```6,```3)], [eqn: rm B(3,```5,```9)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: (1,```a,```b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. [eqn: 19]
004. 좌표공간에 세 점 [eqn: rmO(0,```0,```0)], [eqn: rmA(2,```3,```5)], [eqn: rm B it (1,```a,```-1)]이 있다. [eqn: rm barOA = barOB]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 6]

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005. 좌표공간의 점 [eqn: rm A(2,```3,```-1)]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P], 점 [eqn: \A]를 [eqn: zx]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \Q]라 하자. 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ] 사이의 거리는? ⑤ ① [eqn: sqrt {6}] ② [eqn: sqrt {7}] ③ [eqn: 2 sqrt {2}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: sqrt {10}]
006. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm A(1,```2,```3)], [eqn: rm B(-1,```3,```2)]와 [eqn: xy]평면 위의 점 [eqn: \P]에 대하여 [eqn: \ bar{AP} + bar{BP}]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 30]

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007. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]에서 선분 [eqn: rm EF]의 중점을 [eqn: rm M], 선분 [eqn: rm EH]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm N]이라 할 때, 점 [eqn: rm A]와 선분 [eqn: rm MN] 사이의 거리는? ③ ① [eqn: {2sqrt85}over5] ② [eqn: {3sqrt85}over5] ③ [eqn: {2sqrt105}over5`] ④ [eqn: {3sqrt105}over5`] ⑤ [eqn: {4sqrt105}over5`]
008. 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 6인 삼각기둥에서 선분 [eqn: \BC]의 중점을 [eqn: \M], 선분 [eqn: \DF]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: \N]이라 할 때, 선분 [eqn: \MN]의 길이는? ① ① [eqn: 7] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11]

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009. 그림과 같이 두 반평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 이면각의 크기는 [eqn: 30 DEG]이고 교선 [eqn: l] 위의 한 점 [eqn: \A]와 평면 [eqn: alpha] 위의 한 점 [eqn: \B]에 대하여 선분 [eqn: \AB]와 교선 [eqn: l]이 이루는 각의 크기는 [eqn: 60 DEG]이다. [eqn: rm bar{AB} =8]이고 점 [eqn: \B]에서 평면 [eqn: beta]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 할 때, 선분 [eqn: \BH]의 길이는? ② ① [eqn: sqrt {3}] ② [eqn: 2 sqrt {3}] ③ [eqn: 3 sqrt {3}] ④ [eqn: 4 sqrt {3}] ⑤ [eqn: 5 sqrt {3}]
010. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 두 모서리 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF], 모서리 [eqn: rmBC]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmG]라 하자. 두 직선 [eqn: rmAE], [eqn: rmFG]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sintheta]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,```0le thetale { pi} over {2 } RIGHT )] ⑤ ① [eqn: { 2} over { 3}] ② [eqn: { sqrt { 5} } over { 3}] ③ [eqn: { sqrt { 6} } over { 3}] ④ [eqn: { sqrt { 7} } over { 3}] ⑤ [eqn: {2 sqrt { 2} } over { 3}]

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011. 그림과 같이 [eqn: rmbar{AB}= sqrt { 5}], [eqn: rmbar{AD}=2], [eqn: rmbar{AE}=1]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 직선 [eqn: rmEG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 하자. 선분 [eqn: rmDI]의 평면 [eqn: rmBFGC] 위로의 정사영의 길이를 [eqn: l]이라 할 때, [eqn: 81l^2]의 값을 구하여라. [eqn: 181]
012. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정팔면체가 있다. 삼각형 [eqn: \ABC]의 평면 [eqn: \BCDE] 위로의 정사영을 [eqn: K]라 하자. 도형 [eqn: K]의 평면 [eqn: \CFD] 위로의 정사영의 넓이는? ③ ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {sqrt {2}} over {3}] ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}] ④ [eqn: {2} over {3}] ⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]

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013. 좌표공간의 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에서 구 [eqn: (x-4)^2 + ( y-6)^2 +(z-8 )^2 = 49] 위의 점까지의 거리의 최솟값은? ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ③ ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
014. 그림과 같이 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 모서리 [eqn: rmBF]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 직선 [eqn: rmAM]과 직선 [eqn: rmEG]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때 [eqn: cos theta]의 값은? ① ① [eqn: {sqrt {10}} over {5}] ② [eqn: {2 sqrt {3}} over {5}] ③ [eqn: {sqrt {14}} over {5}] ④ [eqn: {4} over {5}] ⑤ [eqn: {3 sqrt {2}} over {5}]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

015. [eqn: rm { barAB =8], [eqn: rm angleACB =90 DEG]인 삼각형 [eqn: rm { ABC }]에 대하여 점 [eqn: rm { C]를 지나고 평면 [eqn: rm { ABC]에 수직인 직선 위에 [eqn: rm { barCD =4]인 점 [eqn: rm { D]가 있다. 삼각형 [eqn: rm { ABD]의 넓이가 [eqn: 20]일 때, 삼각형 [eqn: rm { ABC]의 넓이를 구하여라. [eqn: 12``]
016. 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하고, 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: RMP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선 의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmbar{AB} = bar{PA} = bar{PB} =6], [eqn: bar{rmPH} =4]일 때, 점 [eqn: rm H]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리는? ① ① [eqn: sqrt {11}] ② [eqn: 2 sqrt {3}] ③ [eqn: sqrt {13}] ④ [eqn: sqrt {14}] ⑤ [eqn: sqrt {15}]

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017. 좌표공간에 두 점 [eqn: rmA(2,```1,``-1)], [eqn: rm B(1,```0,```1)]이 있다. 삼각형 [eqn: rmABP]가 정삼각형이 되도록 하는 [eqn: xy]평면 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: (a,```b,```c)]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 음이 아닌 정수이다.) ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
018. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A(-1,```2,```1)], [eqn: rm B(3,```4,```3)]을 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 [eqn: \C], [eqn: \D]라 하자. 두 직선 [eqn: \AB], [eqn: \CD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ① [eqn: 11over18] ② [eqn: 23over36] ③ [eqn: 2over3] ③ ④ [eqn: 25over36] ⑤ [eqn: 13over18]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

019. 좌표공간에 두 점 [eqn: rm A(0,```4,```4)], [eqn: rmB(ita,~0,~1)]과 구 [eqn: S:x ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-2) ^{2} =3]이 있다. 직선 [eqn: rmAB]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영과 구 [eqn: S]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이 서로 접할 때, 양수 [eqn: a]의 값은? ① [eqn: 2] ② [eqn: root6] ③ [eqn: 2 root2] ③ ④ [eqn: 2 root3] ⑤ [eqn: 4]
020. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm A( it a,```-1,```-3)], [eqn: rm B( it 6,```b,```c)]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점과 구 [eqn: x^2 + y^ 2 + z^2 - 6x + 2y + 8z +10=0]의 중심이 일치할 때, [eqn: abc]의 값을 구하여라. [eqn: 14]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

021. 좌표공간의 정육면체 [eqn: \ABCD-EFGH]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: rm A(2,```1,```1)], [eqn: rm E(2,```1,```-1)]이다. (나) 세 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmAB], [eqn: rmAE]는 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 평행하다. 점 [eqn: \G]의 좌표가 [eqn: (a,```b,```c)]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a<2,`b>1]) [eqn: 10]
022. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rm ABCD]에서 모서리 [eqn: rm AD]의 중점을 [eqn: rm M]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rm BCM]의 평면 [eqn: rm BCD] 위로의 정사영의 넓이는? ① ① [eqn: { 2 sqrt { 3} } over { 3}] ② [eqn: { sqrt { 15} } over {3 }] ③ [eqn: sqrt { 2}] ④ [eqn: { sqrt { 21} } over {3 }] ⑤ [eqn: { 2 sqrt { 6} } over {3 }``]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

023. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A(-1,```1,```2)], [eqn: rm B(1,```5,```-2)]를 지름의 양 끝점으로 하는 구 [eqn: S]가 있다. 구 [eqn: S] 위의 한 점 [eqn: rm C(0,```0,```0)]에 대하여 삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이는? ① [eqn: root5] ② [eqn: 2 root5] ③ [eqn: 3root5] ③ ④ [eqn: 4 root5] ⑤ [eqn: 5 root5]
024. 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 반구의 밑면의 둘레 위에 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있고, 반구 위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 점 [eqn: rmC]에서 밑면에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmOB] 위에 있고, [eqn: angle rm AOB = angle BOC = pi over6]이다. 각 [eqn: rmAOC]의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ① [eqn: 1over4] ② [eqn: 1over3] ③ [eqn: 1over2] ⑤ ④ [eqn: 2over3] ⑤ [eqn: 3over4]

	기하 단원평가 [공간도형과 공간좌표] A1

025. 사면체 [eqn: rmABCD]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: {rmAB} bot {rmBC}], [eqn: {rmAB} bot {rmCD}] (나) [eqn: bar{rmAB }=4] (다) 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: rmCD] 사이의 거리는 [eqn: 5]이다. 두 평면 [eqn: rmACD], [eqn: rmBCD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ④ ① [eqn: 2 over5] ② [eqn: 7 over15] ③ [eqn: 8 over15] ④ [eqn: 3over5] ⑤ [eqn: 2over3]

[기하벡터 단원평가]

공간도형과 공간좌표 A1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	④	02	[eqn: 4]	03	[eqn: 19]	04	[eqn: 6]	05	⑤
06	[eqn: 30]	07	③	08	①	09	②	10	⑤
11	[eqn: 181]	12	③	13	③	14	①	15	[eqn: 12``]
16	①	17	④	18	③	19	③	20	[eqn: 14]
21	[eqn: 10]	22	①	23	③	24	⑤	25	④

6번 해설

점 [eqn: rm A(1,```2,```3)]을 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A prime]이라 하면 [eqn: \A'(1,```2,```-3)]이다.

[eqn: \ bar{AP} + bar{BP} = bar{A prime P} + bar{BP}][eqn: \ GEQ bar{A'B}][eqn: = sqrt {30}]

10번 해설

삼각형 [eqn: rmCDE]에서 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmG]는 각각 선분 [eqn: rmCD]와 선분 [eqn: rmCE]의 중점이므로 [eqn: rmbar{FG}⫽bar{DE}]이다.
따라서 두 직선 [eqn: rmAE], [eqn: rmFG]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rmAE,~DE``]가 이루는 각의 크기와 같다.

13번 해설

구의 중심을 [eqn: rm C]라 하면 점 [eqn: rm C]의 좌표는 [eqn: (4,```6,```8)], 점 [eqn: rm C]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

점 [eqn: rm H]의 좌표는 [eqn: (4,```0,```0)]이다. 점 [eqn: rm P]의 좌표가 [eqn: (4,```0,```0)]일 때가 구하는 최솟값이다.

19번 해설

두 점 [eqn: rm A(0,```4,```4)], [eqn: rm B( it a,```0,```1)]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영은 각각 [eqn: rm A prime (0,```4,```0)], [eqn: rm B prime ( it a,```0,```0)]이므로

[eqn: xy]평면에서 직선 [eqn: rmA prime B prime]의 방정식은 [eqn: {x} over {a} + {y} over {4} =1], 즉, [eqn: 4x+ay -4a=0]이다.

구 [eqn: S]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 방정식은 [eqn: x ^{2} +(y-1) ^{2} =3]이다.

이들이 서로 접하므로 [eqn: {|a-4a|} over {sqrt {4 ^{2} +a ^{2}}} = sqrt {3}]이므로 [eqn: a=2 root2]이다.

22번 해설

삼각형 [eqn: rm DBC]에서 선분 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rm N]이라 하고, 선분 [eqn: rm DN]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점과 [eqn: 1:2]로

내분하는 점을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmM']이라 하자. 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm M]의 평면 [eqn: rm DBC] 위로의 정사영이 각각

[eqn: rmA'], [eqn: rmM']이므로 구하는 정사영의 넓이는 삼각형 [eqn: rm M prime BC]의 넓이이다.
구하는 정사영의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES rm bar{BC} TIMES bar{M prime N} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES LEFT ( sqrt {3} TIMES {2} over {3} RIGHT )][eqn: ={ 2 sqrt { 3} } over { 3}]이다.

23번 해설

점 [eqn: rmC]는 구 위의 한 점이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rm angle ACB = pi over2]인 직각삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는 [eqn: 1 over2 times rm barAC times barBC][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {6} TIMES sqrt {30}][eqn: =3 sqrt {5}]이다.

24번 해설

[eqn: rm bar{OH} =2 sqrt {3}]이므로 점 [eqn: rmH]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하면 [eqn: rm bar{OD} =3]이다.
삼수선의 정리에 의해 [eqn: rm {CD} BOT {OA}]이므로 삼각형 [eqn: rmOCD]는 직각삼각형이다. [eqn: cos theta = {rmbarOD}over{rm barOC} = 3 over4]이다.

25번 해설

조건(가)에서 [eqn: rm {AB} BOT {BC}], [eqn: rm AB bot CD]이므로 [eqn: rm AB bot (평면```BCD)]

점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm BH bot CD]이고,

조건 (나), (다)에서 [eqn: rmbarAB = 4], [eqn: rm barAH = 5]이므로 직각삼각형 [eqn: rmABH]에서 [eqn: rm barBH = root{5^2 -4^2 }=3]이다.

[eqn: cos theta = { rm barBH}over{rm barAH} = 3 over5]이다.