기하 단원평가

평면벡터 [B3]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

001. [eqn: vec{a} =(-2,```5)], [eqn: vec{b} =(1,```2)]일 때, [eqn: vec{a} + vec{x} =4 vec{b}]를 만족하는 벡터 [eqn: vec{x}]의 크기는? ① [eqn: 3 sqrt {2}] ② [eqn: 3 sqrt {3}] ③ [eqn: 6] ④ ④ [eqn: 3 sqrt {5}] ⑤ [eqn: 3 sqrt {6}]
002. 세 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```-1)], [eqn: vec{b} =(4,```4)], [eqn: vec{c} =(-1,```5)]에 대하여 [eqn: t vec a + vec b]와 [eqn: vec c - vec b]가 서로 평행할 때 실수 [eqn: t]의 값을 구하여라. [eqn: 8]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

003. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```k)] [eqn: vec{b} =(k,```-3)]에 대하여 [eqn: vec{a} cdot vec{b} =5]를 만족하는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: p]라 할 때 [eqn: p ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 25]
004. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```-1)], [eqn: vec{b} =(-1,```3)]에 대하여 [eqn: veca + vec b ,~2 veca + vecb]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때 [eqn: tan theta]를 구하여라. [eqn: 1]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

005. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(3,```4-x)], [eqn: vec{b} =(7,```x)]가 서로 수직이기 위한 양의 실수 [eqn: x`]의 값을 [eqn: m], 서로 평행하기 위한 [eqn: x]의 값을 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: n overm]의 값은? ① ① [eqn: 2over5] ② [eqn: 4over5] ③ [eqn: 6over5] ④ [eqn: 8over5] ⑤ [eqn: 2]
006. 벡터 [eqn: vec{a} =(a _{1} ,```a _{2} )]는 크기가 [eqn: 2]이고 벡터 [eqn: vec{b} =(3,```4)]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, [eqn: 3a _{1} +4a _{2}]의 값은? ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

007. 점 [eqn: rm A it (3,```-2)]를 지나고 직선 [eqn: x -1 = 2 (y-2)]에 평행한 직선이 [eqn: (1,```a)]를 지날 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 9]
008. 직선 [eqn: l: {x+3} over {3} = {y-1} over {2}]이 직선 [eqn: m : {x+1} over 6 = {y+3} over -a]과는 서로 평행하고, 직선 [eqn: n : {x-2} over -b = y over 3]와는 서로 수직이다. [eqn: b-a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a!=0], [eqn: b!=0]) [eqn: 6]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

009. 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm AH] 위를 움직일 때, [eqn: rmleft |vec PA cdot vecPB right |]의 최댓값은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. [eqn: 7] [eqn: rm angle rmHPB = theta (30 DEG le theta le 90DEG )]라 하면 [eqn: rm vec PA cdot vec PB][eqn: rm = LEFT | vec{PA} RIGHT | LEFT | vec{PB} RIGHT | cos LEFT ( 180 DEG - theta RIGHT ) =- LEFT | vec{rm PA} RIGHT | LEFT | vec{PB} RIGHT | cos theta][eqn: rm =- left | vecPA right | left | vecPH right |] 따라서 [eqn: rm left | vecPA cdot vecPB right | = left | vecPA right | left | vec PH right |]이다. (단 [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)
010. 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: 2 vec{rm PA} + 3 vec{rm PB } + vec {rm PC} = k vec{rm BC}]를 만족시키는 점 [eqn: rm P]가 삼각형 [eqn: rm ABC}]의 내부에 있도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은? ③ [eqn: rmvec BP = 1 over 3 vec BA + {1 -{ itk }} over 6 vecBC]이다. 그림에서 색칠된 부분 (삼각형 [eqn: rm ABC}]의 변 제외)에 점 [eqn: rm P]가 있어야 하므로 [eqn: 0 < {1-k} over 6 < 2 over 3], [eqn: -3 < k<1] 따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0]이다. ① [eqn: -1] ② [eqn: -2] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -5]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

011. 좌표평면에 두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```1)], [eqn: vec{b} =(5,```3)]이 있다. [eqn: vecp = rmvecOP]라 하면 [eqn: m+n=6]인 음이 아닌 두 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: vec{p} =m vec{a} +n vec{b}]를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형 전체의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ① [eqn: 5root13] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 6root13] ③ ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 7root13]
012. 아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O]에 내접하는 정육각형이 있다. 두 삼각형 [eqn: rmOBC]와 [eqn: rmOEF]의 무게중심을 각각 [eqn: rmG _{1}], [eqn: rmG _{2}]라고 할 때, [eqn: vec{rmAG _{1} }cdot][eqn: vec{rm AG _{2} it}]의 값은? ⑤ ① [eqn: {1} over {5}] ② [eqn: {1} over {4}] ③ [eqn: {1} over {3}] ④ [eqn: {2} over {5}] ⑤ [eqn: {2} over {3}]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

013. 세 점 [eqn: rm A(1,```2)], [eqn: rm B(-3,```4)], [eqn: rm C(1,```-1)]이 있다. [eqn: LEFT | rm vec{CP} RIGHT | = it r]를 만족시키는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} = bar{BP}]인 점 [eqn: rm P]가 존재하기 위한 양수 [eqn: r]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m]의 값은? ① [eqn: {6root5}over5] ② [eqn: {13 sqrt {5}} over {10}] ③ [eqn: {7 sqrt {5}} over {5}] ⑤ ④ [eqn: {3 sqrt {5}} over {2}] ⑤ [eqn: {8 sqrt {5}} over {5}]
014. 좌표공간에 한 직선 위에 있지 않은 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. [eqn: vec{rm OP it} = it s vec{rm OA it} + it t vec{rm OB it}]([eqn: s,~t]는 실수) 를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형에 대한 설명으로 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: s+t=1]이면 점 [eqn: rmP]는 두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 직선 위의 점이다. ㄴ. [eqn: s+t LEQ 1,~s GEQ 0,~t GEQ 0]이면 점 [eqn: rmP]는 삼각형 [eqn: rmOAB]의 경계와 내부의 모든 점이다. ㄷ. [eqn: 0 LEQ s LEQ 1,~0 LEQ t LEQ 1]이면 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmOA]와 선분 [eqn: rmOB]를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형의 경계와 내부의 모든 점이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

015. 좌표평면 위의 점 [eqn: rm A]가 부등식 [eqn: y ge {1} over {4} x ^{2} +3]이 나타내는 영역에서 움직일 때, 벡터 [eqn: rm vec{OB} = {vec{OA}} over {|` vec{OA} `|}]의 종점 [eqn: rm B]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) ① [eqn: {pi } over {3}] ② [eqn: sqrt {2}] ③ [eqn: sqrt {3}] ① ④ [eqn: {2 pi } over {3}] ⑤ [eqn: 3]
016. 영벡터가 아닌 벡터 [eqn: vec{{rmBA} _{ n+1} }}]과 [eqn: vec { {rmBA} _{ n} }]이 [eqn: vec{{rmBA} _{n+1}} = {1} over {2} vec{{rmBA } _{n}} (n=1,```2,```3,``` CDOTS )] 과 [eqn: rm LEFT | vec{BA _{1}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{2}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{3}} RIGHT | + LEFT | vec{BA _{4}} RIGHT | =15]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT | vec{{rmBA} _{k}} RIGHT |}]의 값은? ② ① [eqn: 14] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 22]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

017. 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위에 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]가 [eqn: rmbarPQ =barPR]를 만족하며 움직일 때, [eqn: rmvecPQ cdot vecQR]의 최솟값은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
018. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: RMA(2,```0)], [eqn: RMB(-2,```0)], [eqn: RMC(0,```2)]에 대하여 [eqn: {RMP}(x,```y)]가 [eqn: vec{RMAP} cdot vec{RMBP} le 21], [eqn: vec {RMAP} cdot vec{RMCP} ge0]을 만족할 때, 점 [eqn: RMP]가 나타내는 영역의 넓이는? ④ ① [eqn: 20pi] ② [eqn: 21pi] ③ [eqn: 22pi] ④ [eqn: 23pi] ⑤ [eqn: 24pi]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

019. 점 [eqn: rmP`]의 위치벡터를 [eqn: vec{p}], 점 [eqn: rmQ`]의 위치벡터를 [eqn: vecq `]라 하자. 좌표평면 위의 세 벡터 [eqn: vec{a} =(1,```4)], [eqn: vec{b} =(4,```2)], [eqn: vec{c} =(2,```-1)]에 대하여 [eqn: vecp], [eqn: vecq]는 각각 [eqn: vec{c} CDOT ( vec{p} - vec{a} )=0], [eqn: left|vecq -vecb right|=1]을 만족시킬 때, [eqn: left|rmvec PQ right| `]의 최솟값은? ④ ① [eqn: sqrt {5} -1] ② [eqn: root5 -2] ③ [eqn: 7root5}over5 -1] ④ [eqn: 8root5 }over5 -1] ⑤ [eqn: 8root5 }over5 -2]
020. 좌표평면에서 점 [eqn: rmA(12,```16)]과 점 [eqn: rmP]의 위치벡터를 각각 [eqn: veca], [eqn: vecp]라 할 때, [eqn: vecp cdot (vecp -veca )=0]을 만족시킨다. 점 [eqn: rmC(-6,```8)]에 대하여 [eqn: rmvecOP cdot vecOC]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ① [eqn: 50] ② [eqn: 52] ③ [eqn: 54] ④ ④ [eqn: 56] ⑤ [eqn: 58]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

021. 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하는 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 2]인 원을 각각 [eqn: O_1], [eqn: O_2]라 할 때, 원 [eqn: O _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmA(1,```0)], [eqn: {rmB}(a,```b)]와 원 [eqn: O _{2}] 위의 점 [eqn: {rmC}(1,```c)]에 대하여 원 [eqn: O _{1}] 위의 점 [eqn: rmD]가 [eqn: rm vec{BD} = vec{AC}]를 만족시킨다. [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: c>0]) ② [eqn: c= sqrt { 3}]이다. [eqn: {rmD}(p,```q)]라고 하면 [eqn: vec{rm BD it} =(p-a,```q-b)]이고 [eqn: rm vec{BD} = vec{AC}]에서 [eqn: p=a], [eqn: q-b= sqrt {3}]이다. [eqn: b=- sqrt { 1-a^2}]을 대입하여 계산하면 [eqn: a= {1} over {2}]이다. ① [eqn: 1] ② [eqn: {1+ sqrt {3}} over {2}] ③ [eqn: 1+ {sqrt {3}} over {2}] ④ [eqn: 1+ sqrt {3}] ⑤ [eqn: 2+ {sqrt {3}} over {2}]
022. 직선 [eqn: l _{1} :x= y-1overroot2] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 직선 [eqn: l_2 : root2 (1-x)=y+4 `] 위의 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: rmbarAB =4], [eqn: rmbarCD =3`]일 때, [eqn: left|rm vecAB +vecCD right|^2]의 모든 값의 합은? ① [eqn: 40] ② [eqn: 45] ③ [eqn: 50] ③ ④ [eqn: 55] ⑤ [eqn: 60]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

023. 좌표평면에서 중심이 [eqn: rmA(3,```4)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: O _{1}]이 있다. 동점 [eqn: rmP]가 원 [eqn: O _{1}]의 원주 위를 한 바퀴 회전할 때, 동점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rmvec{AP}cdot vec{PQ} =0], [eqn: □ vec{rmPQ} □=4]인 관계를 만족한다. 이 때, [eqn: □ vec{rmOQ} □]의 최댓값은? (단, [eqn: O]는 원점) ① [eqn: 2 sqrt {5}] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 5+2 sqrt { 5}] ③ [eqn: rmvec{AP}cdot vec{PQ}=0]이면 [eqn: rmbar{AP}botbar{PQ}]이므로 [eqn: rm|vec{PQ}| =4]에서 [eqn: bar{rmAQ} =2 sqrt {5}]이다. 즉, 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmA(3,```4)]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원주 위를 움직이면, 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rmA(3,```4)]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {5}]인 원 위를 움직인다. ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11]
024. 포물선 [eqn: y ^{2} =2x] 위의 두 동점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 두 벡터 [eqn: {rmvecOP], [eqn: rmvecOQ]의 내적 [eqn: rmvec{OP} cdot vec{OQ}]의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ① [eqn: - {1} over {4}] ② [eqn: - {1} over {2}] ③ [eqn: -1] ③ 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: {rmP}left( {alpha ^{2}} over {2} ,```alpha`right)], [eqn: rmQ left( {beta ^{2}} over {2} ,```beta right)]로 놓으면, [eqn: vec{rmOP}cdot vec{rmOQ}= {alpha ^{2}} over {2} cdot{beta ^{2}} over {2} +alpha cdotbeta][eqn: = {1} over {4} (alphabeta+2) ^{2} -1] 이므로, 내적 [eqn: rmvec{OP}cdot vec{OQ}]의 최솟값은 [eqn: -1]이다. ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -4]

	기하 단원평가 [평면벡터] B3

025. 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rmbarAB = 2], [eqn: rmbarAD = 4]이고, 두 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmBC]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하자. 정사각형 [eqn: rmMNCD]에 내접하는 원을 [eqn: O]라 할 때, 점 [eqn: rmB]에서 원 [eqn: O]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자. 원 [eqn: O] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 두 벡터 [eqn: rmvecBF], [eqn: rmvecEP]의 내적 [eqn: rmvec BF cdot vecEP]의 최댓값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 10k]의 값을 구하여라. [eqn: 48] [eqn: rmvecBF cdot vecEP][eqn: = rmvecBF cdot( vecBP - vecBE )][eqn: = rmvecBF cdot vecBP - vecBF cdot vecBE] 한편, [eqn: rmangleOBE = alpha]라 두면 [eqn: rmangleFBE = 2alpha] 삼각형 [eqn: rmOBE]에서 [eqn: cosalpha= 3 oversqrt10]이고 [eqn: cos2alpha][eqn: = 2cos^2 alpha-1][eqn: = 4 over5]이므로 [eqn: rmvecBF cdot vecBE][eqn: = rm|vecBF | |vecBE | cos2alpha][eqn: = 3times3times4 over5 = 36 over5] 원 위의 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rmvecBF cdot vecBP = barBF times barBP times cos (rmangleFBP )= barBF times barBH] [eqn: 2 le rmbarBH le 4]이므로 [eqn: rmvecBF cdot vecBP]의 최댓값은 [eqn: 12`]이다.

[기하 단원평가]

평면벡터 B3 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	④	02	[eqn: 8]	03	[eqn: 25]	04	[eqn: 1]	05	①
06	③	07	[eqn: 9]	08	[eqn: 6]	09	[eqn: 7]	10	③
11	③	12	⑤	13	⑤	14	⑤	15	①
16	②	17	①	18	④	19	④	20	④
21	②	22	③	23	③	24	③	25	[eqn: 48]

9번 해설

[eqn: rm angle rmHPB = theta (30 DEG le theta le 90DEG )]라 하면

[eqn: rm vec PA cdot vec PB][eqn: rm = LEFT | vec{PA} RIGHT | LEFT | vec{PB} RIGHT | cos LEFT ( 180 DEG - theta RIGHT ) =- LEFT | vec{rm PA} RIGHT | LEFT | vec{PB} RIGHT | cos theta][eqn: rm =- left | vecPA right | left | vecPH right |]

따라서 [eqn: rm left | vecPA cdot vecPB right | = left | vecPA right | left | vec PH right |]이다.

10번 해설

[eqn: rmvec BP = 1 over 3 vec BA + {1 -{ itk }} over 6 vecBC]이다.

그림에서 색칠된 부분 (삼각형 [eqn: rm ABC}]의 변 제외)에 점 [eqn: rm P]가 있어야 하므로

[eqn: 0 < {1-k} over 6 < 2 over 3], [eqn: -3 < k<1]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0]이다.

21번 해설

[eqn: c= sqrt { 3}]이다. [eqn: {rmD}(p,```q)]라고 하면 [eqn: vec{rm BD it} =(p-a,```q-b)]이고 [eqn: rm vec{BD} = vec{AC}]에서 [eqn: p=a], [eqn: q-b= sqrt {3}]이다.

[eqn: b=- sqrt { 1-a^2}]을 대입하여 계산하면 [eqn: a= {1} over {2}]이다.

23번 해설

[eqn: rmvec{AP}cdot vec{PQ}=0]이면 [eqn: rmbar{AP}botbar{PQ}]이므로 [eqn: rm|vec{PQ}| =4]에서 [eqn: bar{rmAQ} =2 sqrt {5}]이다.

즉, 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmA(3,```4)]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원주 위를 움직이면,

점 [eqn: rmQ]는 [eqn: rmA(3,```4)]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {5}]인 원 위를 움직인다.

24번 해설

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: {rmP}left( {alpha ^{2}} over {2} ,```alpha`right)], [eqn: rmQ left( {beta ^{2}} over {2} ,```beta right)]로 놓으면,

[eqn: vec{rmOP}cdot vec{rmOQ}= {alpha ^{2}} over {2} cdot{beta ^{2}} over {2} +alpha cdotbeta][eqn: = {1} over {4} (alphabeta+2) ^{2} -1]

이므로, 내적 [eqn: rmvec{OP}cdot vec{OQ}]의 최솟값은 [eqn: -1]이다.

25번 해설

[eqn: rmvecBF cdot vecEP][eqn: = rmvecBF cdot( vecBP - vecBE )][eqn: = rmvecBF cdot vecBP - vecBF cdot vecBE]

한편, [eqn: rmangleOBE = alpha]라 두면 [eqn: rmangleFBE = 2alpha]

삼각형 [eqn: rmOBE]에서 [eqn: cosalpha= 3 oversqrt10]이고 [eqn: cos2alpha][eqn: = 2cos^2 alpha-1][eqn: = 4 over5]이므로

[eqn: rmvecBF cdot vecBE][eqn: = rm|vecBF | |vecBE | cos2alpha][eqn: = 3times3times4 over5 = 36 over5]

원 위의 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때,

[eqn: rmvecBF cdot vecBP = barBF times barBP times cos (rmangleFBP )= barBF times barBH]

[eqn: 2 le rmbarBH le 4]이므로 [eqn: rmvecBF cdot vecBP]의 최댓값은 [eqn: 12`]이다.