기하 단원평가

평면벡터 [B2]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

001. 두 벡터 [eqn: veca = left(1,```1over t right)], [eqn: vecb = (t,```1-2t)]가 서로 수직일 때, [eqn: |2{vec{a}}+vec{b} |`^2]의 값은? (단, [eqn: t !=0]) ② ① [eqn: 9] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 13]
002. 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: rm ANGLErmB=90 DEG], [eqn: rmANGLEC=30 DEG]이다. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm {vec{PB}} + {vec{PC}} = {vec{0}}]를 만족시킬 때, [eqn: LEFT | rm {vec{PA}} RIGHT | ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 28]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

003. 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm {vec{AB}} = it {vec{a}}], [eqn: rm {vec{BC}} = it {vec{b}}], [eqn: rm vec CA = it vec c]라 할 때, [eqn: vec a - 2 vec b - vec c]의 크기는? ④ ① [eqn: rm 4] ② [eqn: 2 root 5] ③ [eqn: 2 root 6] ④ [eqn: rm 2 root 7] ⑤ [eqn: 4 root 2]
004. 그림과 같이 원에 내접하는 정팔각형에서 [eqn: LEFT | rm {vec{AB}} + {vec{AF}} RIGHT | =8]일 때, 정팔각형의 넓이는? ④ ① [eqn: 16] ② [eqn: 16 sqrt {2}] ③ [eqn: 32] ④ [eqn: 32 sqrt {2}] ⑤ [eqn: 64]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

005. 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 서로 평행하지 않을 때, 세 벡터 [eqn: {vec{p}}], [eqn: {vec{q}}], [eqn: {vec{r}}]는 [eqn: {vec{p}} =2 {vec{a}} + {vec{b}}], [eqn: {vec{q}} = {vec{a}} -2 {vec{b}}], [eqn: {vec{r}} =10 {vec{a}} -k {vec{b}}] 로 나타내어진다. 이때, [eqn: vec p + vec q]와 [eqn: vec q - vec r]가 서로 평행하기 위한 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 5]
006. 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 변 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmP], 대각선 [eqn: rmDB]를 [eqn: m:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있을 때, 실수 [eqn: m]의 값을 구하여라. [eqn: 2]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

007. 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: {vec{rm AB it}} =a], [eqn: {vec{rm AC it}} =b]라 하고 변 [eqn: \AC]의 중점을 [eqn: RM D], 변 [eqn: RM BC]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점을 [eqn: RM E]라 하자. [eqn: VEC {\DE} = m vec a + n vec b]일 때, 실수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n]의 값은? ④ ① [eqn: 1 over 4] ② [eqn: 1 over 3] ③ [eqn: 2 over 5] ④ [eqn: 1 over 2] ⑤ [eqn: 2 over 3]
008. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]에 대하여 [eqn: vec{rm GA it} = vec{ it a}], [eqn: {vec{rm GB it}} = {vec{ it b}}]라 할 때, [eqn: {vec{rm CA}} =itm {vec{a}} +n {vec{b}}]이다. 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

009. 넓이가 [eqn: 60]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: 7 {vec{rm PA}} +5 {vec{rm PB}} +3 {vec{rm PC}} =2 {vec{rm CA}}] 일 때, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이는? ② ① [eqn: 15] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 40] ⑤ [eqn: 45]
010. 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OA}} ` RIGHT | =5], [eqn: LEFT | ` {vec{rm OB}} ` RIGHT | =5], [eqn: ANGLE rm AOB=60DEG] 일 때, [eqn: {vec{rm OP}} =itm {vec{rm OA}} +itn {vec{rm OB}}], [eqn: m+n LEQ 2], [eqn: m GEQ 0], [eqn: n GEQ 0]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? ④ ① [eqn: 15] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 25] ④ [eqn: 30] ⑤ [eqn: 35]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

011. 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,```1 RIGHT )], [eqn: {vec{b}} = LEFT ( -1,```1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{p}} = {vec{a}} +k {vec{b}}]일 때, [eqn: LEFT | `{vec{p}} ` RIGHT |]의 최솟값은? ③ (단, [eqn: k]는 실수이다.) ① [eqn: sqrt {5}] ② [eqn: sqrt {6}] ③ [eqn: 2 sqrt {2}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]
012. 모눈종이 위의 세 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}], [eqn: {vec{c}}]가 그림과 같이 나타날 때, [eqn: {vec{c}} =p {vec{a}} +q {vec{b}}]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값은? ⑤ ① [eqn: {29} over {2}] ② [eqn: {65} over {4}] ③ [eqn: 17] ④ [eqn: {73} over {4}] ⑤ [eqn: {41} over {2}]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

013. 서로 다른 네 점 [eqn: rm A LEFT ( it x,```1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -1,```-2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 2,``` it y RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 7,```0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm ABCD]에 대하여 대각선 [eqn: rm BD]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하자. 두 벡터 [eqn: {vec{rm AM}}], [eqn: {vec{rm MC it}}]가 서로 같은 벡터가 되도록 하는 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 값은? ④ ① [eqn: 13] ② [eqn: 17] ③ [eqn: 20] ④ [eqn: 25] ⑤ [eqn: 32]
014. 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 1,```2 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 9,```7 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 [eqn: LEFT | rm {vec{AP}} - {vec{BP}} + {vec{CP}} RIGHT | =4]를 만족시킨다. 이때 점 [eqn: rmP]와 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하여라. [eqn: 17]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

015. 두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(t ^{2,} ```-4)], [eqn: vec{b} =(-4,```3t)]에 대하여 [eqn: vec a cdot vec b]의 최댓값은? (단, [eqn: t]는 실수이다.) ① ① [eqn: 9] ② [eqn: 19 over 2] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 21 over 2] ⑤ [eqn: 11]
016. 세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A], [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: vec{a} =rm vec{OA}], [eqn: vec{b} = rm vec{OB}]가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, 두 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는? (가) [eqn: vec{a} cdot vec{b} =2``] (나) [eqn: LEFT |` vec{a}` RIGHT | =2], [eqn: LEFT |` vec{b} `RIGHT | =3``] ② ① [eqn: 3 sqrt {2} ``] ② [eqn: 4 sqrt {2} ``] ③ [eqn: 3 sqrt {3} ``] ④ [eqn: 4 sqrt {3} ``] ⑤ [eqn: 5 sqrt {3} ``]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

017. 등식 [eqn: LEFT ( vec{rm CA it} - vec{rm AB it} RIGHT ) cdot vec{rm BC it} =0]을 만족시키는 삼각형 [eqn: rmABC]는 어떤 삼각형인가? ④ ① 정삼각형 ② [eqn: ANGLE rm BAC=90 DEG]인 직각삼각형 ③ [eqn: ANGLE rm ABC=90DEG]인 직각삼각형 ④ [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmAC}}]인 이등변삼각형 ⑤ [eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmBC}}]인 이등변삼각형
018. 두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( {3} over {2} ,```2 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( - {1} over {2} ,```1 RIGHT )]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{a} +vecb], [eqn: veca -vecb]가 이루는 각의 크기는? ② ① [eqn: 30DEG] ② [eqn: 45DEG] ③ [eqn: 60DEG] ④ [eqn: 90DEG] ⑤ [eqn: 120DEG]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

019. 두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( t ^{2} ,```1-2t RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 2t+k,```t ^{2} -kt+1 RIGHT )]이 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 서로 수직이 되지 않도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? ④ ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8]
020. 두 직선 [eqn: {x-2} over {m} =3-y], [eqn: {x+5} over {3} =y-7]이 이루는 각의 크기가 [eqn: 45DEG]일 때, 양수 [eqn: m]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

021. 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,```4 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 5,```-2 RIGHT )]와 점 [eqn: rm P]의 위치벡터를 각각 [eqn: vec a], [eqn: vec b], [eqn: vec p]라 할 때, [eqn: LEFT( {vec{p}} - {vec{a}} RIGHT ) cdot LEFT ( {vec{p}} - {vec{b}} RIGHT )=0]을 만족시키는 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? ② ① [eqn: 4 sqrt {3} pi] ② [eqn: 2 sqrt {13} pi] ③ [eqn: 2 sqrt {14} pi] ④ [eqn: 2 sqrt {15} pi] ⑤ [eqn: 8pi]
022. 그림과 같은 정삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: |` rm {vec{AB}} +2 {vec{AC}} `|= root 21] 일 때, 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 한 변의 길이는? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: sqrt {2}] ③ [eqn: sqrt {3}] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: sqrt {5}]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

023. 좌표평면에서 타원 [eqn: x ^{2} +5y ^{2} =5] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 있다. [eqn: rm {vec{OX}} = {2 over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT |} } {vec{OP}}}] 를 만족시키는 점 [eqn: rm X]가 나타내는 도형과 타원 [eqn: x ^{2} +5y ^{2} =5]가 만나는 점들 중에서 서로 다른 두 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) ③ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
024. 그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]와 점 [eqn: rm A]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이 있다. 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 벡터 [eqn: rm vec{PB}]와 벡터 [eqn: rm vec{PC}]의 내적 [eqn: rm vec{PB} cdot vec{PC}]의 최솟값은? ③ ① [eqn: 18-8 sqrt {5}] ② [eqn: 18-6 sqrt {5}] ③ [eqn: 20-8 sqrt {5}] ④ [eqn: 20-6 sqrt {5}] ⑤ [eqn: 20-4 sqrt {5}]

	기하 단원평가 [평면벡터] B2

025. 세 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}], [eqn: {vec{rmOC}}]가 다음 조건을 만족시킨다. 두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은? (가) [eqn: rm vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} = vec{0}] (나) [eqn: rm vec{OA} =1], [eqn: rm vec{OB} =2], [eqn: rm vec{OC} = sqrt {2}] ① ① [eqn: - {3} over {4}] ② [eqn: - {2} over {3}] ③ [eqn: - {1} over {2}] ④ [eqn: - {1} over {3}] ⑤ [eqn: - {1} over {4}]

[기하 단원평가]

평면벡터 B2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	②	02	[eqn: 28]	03	④	04	④	05	[eqn: 5]
06	[eqn: 2]	07	④	08	③	09	②	10	④
11	③	12	⑤	13	④	14	[eqn: 17]	15	①
16	②	17	④	18	②	19	④	20	②
21	②	22	③	23	③	24	③	25	①

22번 해설

[eqn: | rm {vec{AB}} +2 {vec{AC}} |=3 LEFT | {{vec{AB}} +2 {vec{AC}}} over {3} RIGHT | =3 LEFT | {vec{rmAD}} RIGHT |]라 하면

[eqn: {vec{rmAD}}]는 [eqn: rmA]를 시점으로 하고 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmD]를 종점으로 하는 벡터이다.

[eqn: LEFT | {vec{rm AD it}} RIGHT | = {sqrt {21}} over {3}]이고 삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: 3a]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmACD]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: {7} over {3} =9a ^{2} +a ^{2} -2 TIMES3a TIMESa TIMEScos60 DEG]

따라서 [eqn: 3a= sqrt {3}]이다.

23번 해설

[eqn: rm {vec{OX}} = {2 over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT |} } {vec{OP}}}]에서 점 [eqn: rm X]가 나타내는 도형은 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원이다.

따라서 점 [eqn: rm X]가 나타내는 도형의 방정식은 [eqn: x ^{2} `+y ^{2} `=4`]이다.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]와 타원 [eqn: x ^{2} +5y ^{2} =5]의 교점의 좌표를 구하면

[eqn: rm A left( {sqrt {15}} over {2},``` {1} over {2} right)], [eqn: rm B left(- {sqrt {15}} over {2},``` {1} over {2} right)], [eqn: rm C left(- {sqrt {15}} over {2} ,```- {1} over {2} right)], [eqn: rm D left( {sqrt {15}} over {2} ,```- {1} over {2} right)]

이다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 4+1=5]이다.

※ [eqn: rm vec{OX} =2times {vec{OP}} over {LEFT | vec{OP} RIGHT |}]에서 [eqn: rm {vec{OP}} over {LEFT | vec{OP} RIGHT |}]는 크기가 [eqn: 1]이고 방향이 [eqn: rmvecOP]와 같은 벡터이다.

24번 해설

[eqn: rm {vec{PB}} cdot {vec{PC}} = LEFT ( {vec{rmPM}} + {vec{rmMB}} RIGHT ) cdotLEFT ( {vec{rmPM}} + {vec{rmMC}} RIGHT )]

[eqn: =` LEFT | {vec{rmPM}} RIGHT | ^{2} + {vec{rmPM}} cdot LEFT ( {vec{rmMB}} + {vec{rmMC}} RIGHT ) + {vec{rmMB}} cdot{vec{rmMC}}]

[eqn: = LEFT | {vec{rm PM it}} RIGHT | ^{2} + {vec{rm PM it}}cdot{vec{rm 0 it}} - LEFT | {vec{rmMB}} RIGHT | ^{2}]

[eqn: =LEFT | {vec{rm PM it}} RIGHT | ^{2} -4]

[eqn: rm vec{PB} cdot vec{PC}]는 선분 [eqn: rm`PM]의 길이가 최소일 때 최소가 되므로 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rm`AM] 위에 있을 때 최소이다.

※ [eqn: rm vec{PB} CDOT vec{PC} = LEFT| vec{rm PM} right|^2 -left|vecMB right|^2]은 기억해두자.

25번 해설

[eqn: rm vec{OA}+ vec{OB} + vec{OC} = vec{0}]에서 [eqn: rm vec{OA} + vec{OB} =- vec{OC}]이므로

[eqn: rm ( vec{OA} + vec{OB} ) cdot ( vec{OA} + vec{OB} )=(- vec{OC} ) cdot (- vec{OC} )]

이다. [eqn: rm LEFT | {vec{OA}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{OA}} cdot {vec{OB}} + LEFT | {vec{OB}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{OC}} RIGHT | ^{2}]에서 [eqn: 1+2 rm vec{OA} cdot vec{OB} +4=2]이다.