기하 단원평가

평면벡터 [A1]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

001. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(2,```4)], [eqn: vec{b} =(1,```3)]에 대하여 벡터 [eqn: vec a + 2 vec b]의 모든 성분의 합을 구하여라. [eqn: 14]
002. 그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB}} =2], [eqn: {bar{rmAD}} =3]인 직사각형 [eqn: rmABCD]에서 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM], 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmN]이라 할 때, [eqn: LEFT | {vec{rmBN}} - {vec{rmCM}} RIGHT |]의 값은? ⑤ ① [eqn: sqrt {5}] ② [eqn: sqrt {7}] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: sqrt {11}] ⑤ [eqn: sqrt {13}]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

003. 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않은 두 평면벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 있다. [eqn: m LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} RIGHT ) = LEFT ( 3+n RIGHT ) {vec{a}} +2n {vec{b}}] 를 만족시키는 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? ③ ① [eqn: {1} over {5}] ② [eqn: {2} over {5}] ③ [eqn: {3} over {5}] ④ [eqn: {4} over {5}] ⑤ [eqn: 1]
004. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(-2,```1)], [eqn: vec{b} =(1,```-1)]에 대하여 벡터 [eqn: veca - 2vecb]의 크기는? ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

005. 두 벡터 [eqn: veca =(1,~2)], [eqn: vecb =(3,~-1)]에 대하여 벡터 [eqn: vecc]는 벡터 [eqn: veca]와 평행하고 벡터 [eqn: vecc - vecb]는 벡터 [eqn: vecb]와 수직일 때, 벡터 [eqn: vecc]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: vecc != vec 0]) ③ ① [eqn: 10] ② [eqn: 20] ③ [eqn: 30] ④ [eqn: 40] ⑤ [eqn: 50]
006. 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: left| veca right|=2], [eqn: left|vecb right| =3], [eqn: vec{a} cdot LEFT ( vec{a} + vec{b} RIGHT ) =7] 일 때, 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기는? ③ ① [eqn: piover6] ② [eqn: piover4] ③ [eqn: piover3] ④ [eqn: 2over3 pi] ⑤ [eqn: 5over6 pi]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

007. 그림과 같이 [eqn: LEFT | {vec{rmAB}} RIGHT | =4], [eqn: ANGLE rmABC= {pi} over {4}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 3 sqrt {2}]일 때, 벡터 [eqn: {vec{rmBC}}]의 크기는? ② ① [eqn: 2 sqrt {2}] ② [eqn: 3] ③ [eqn: sqrt {10}] ④ [eqn: sqrt {11}] ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]
008. 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 4t-2,```-1 RIGHT )], [eqn: {vec{b}} = LEFT ( 2,```1+ {3} over {t} RIGHT )]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2}`]의 최솟값을 구하여라. (단, [eqn: t>0]) [eqn: 24]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

009. 좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,```1 RIGHT )]을 지나고 벡터 [eqn: vec{n} = LEFT ( 1,```2 RIGHT )]에 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,```b RIGHT )]라 하자. [eqn: a+b]의 값을 구하여라. [eqn: 9]
010. 좌표평면 위의 점 [eqn: (2,```-1)]을 지나고 벡터 [eqn: vec{u} =(3,```4)]에 평행한 직선 [eqn: l]이 있다. 직선 [eqn: l]과 원점 사이의 거리가 [eqn: k]일 때, [eqn: 10k]의 값을 구하여라. [eqn: 22]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

011. 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rm { ABCD }]의 변 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하고 [eqn: rm vec{AB} = vec{it a rm}], [eqn: rm vec{AD} = vec{ it b}]라 할 때, [eqn: vec{rm MN} =k vec{a} +l vec{b}]를 만족시키는 실수 [eqn: k], [eqn: l]에 대하여 [eqn: k+l]의 값은? ③ ① [eqn: -1] ② [eqn: - {1} over {2}] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: {1} over {2}] ⑤ [eqn: 1]
012. 좌표평면에 지름 [eqn: \AB]의 길이가 [eqn: 8]인 반원이 있다. 반원 위의 한 점 [eqn: \C]에 대하여 [eqn: \ bar{AC} =6]일 때, [eqn: \ vec{AC} cdot vec{AB} +2 vec{BC} cdot vec{AB}]의 값은? ④ ① [eqn: -32] ② [eqn: -28] ③ [eqn: -24] ④ [eqn: -20] ⑤ [eqn: -16]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

013. 좌표평면에서 두 직선 [eqn: l _{1} `:` {x+3} over {2} = {y+2} over {4}], [eqn: l _{2} `:`x-1= {y+1} over {3}]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은? ⑤ ① [eqn: {sqrt {2}} over {5}] ② [eqn: {2 sqrt {3}} over {5}] ③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {5}] ④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}] ⑤ [eqn: {7 sqrt {2}} over {10}]
014. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, [eqn: vec{rmAM}cdot vec{rmBC]의 값은? ② ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

015. 벡터 [eqn: vec{a} =(1,```2)]에 대하여 [eqn: veca botvecb], [eqn: left| veca right| = left|vecb right|]이고 [eqn: x]성분이 양수인 벡터 [eqn: vecb]의 모든 성분의 합은? ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
016. 점 [eqn: rm A(-1,```2)]에 대하여 [eqn: left| vec {rmAP} right| =4`]를 만족시키는 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 도형의 방정식은? ① [eqn: (x+1)^2 +(y+2)^2 =16] ② [eqn: (x+1) ^{2} +(y-2) ^{2} =4] ③ [eqn: (x+1) ^{2} +(y-2) ^{2} =16] ④ [eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} =16] ⑤ [eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} =4] ③

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

017. 세 벡터 [eqn: veca =(1,```2)], [eqn: vecb =(4,```2)], [eqn: vecc =(0,```2)]에 대하여 [eqn: 2 veca + vec b +vec c]와 같은 방향의 단위벡터를 [eqn: vece = (e_1, ```e_2 )]라 하자. [eqn: 10 times (e_1 + e_2 )]의 값은? ④ ① [eqn: 11] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 15]
018. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 두 변 [eqn: rmCA], [eqn: rmAB]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하자. [eqn: rm|`vecAC +vecMN`|]의 값은? ③ ① [eqn: 1`] ② [eqn: sqrt2``] ③ [eqn: sqrt3``] ④ [eqn: 2``] ⑤ [eqn: sqrt5``]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

019. 평면에 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rmvecAB`=2vecAP], [eqn: rmvecAC =-3vecAQ] 를 만족시키는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPCQ]의 넓이는? ④ ① [eqn: 3sqrt3``] ② [eqn: 4sqrt3``] ③ [eqn: 5sqrt3``] ④ [eqn: 6sqrt3``] ⑤ [eqn: 7sqrt3``]
020. 그림과 같이 지름의 길이가 [eqn: 12]인 원 [eqn: O]에 삼각형 [eqn: rmABC]가 내접하고 있다. [eqn: {bar{rm AC}} =9]일 때, [eqn: {vec{rm BA}} cdot {vec{rm BC}}]를 구하여라. [eqn: 63``]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

021. 세 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2 : x-1overa =-y+1], [eqn: l_3 : x+3 overb = y overa ~(ab!=0)] 이 다음 조건을 만족시킬 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? ① ① [eqn: -3root3] ② [eqn: -9] ③ [eqn: -9root3] (가) 직선 [eqn: l_1]의 방향벡터는 [eqn: vec{u} =(1,``` sqrt {3} )]이다. (나) 두 직선 [eqn: l _{1}]과 [eqn: l _{3}]는 서로 수직이다. (다) 두 직선 [eqn: l _{1}]과 [eqn: l _{2}]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: 30 DEG]이다. ④ [eqn: -27] ⑤ [eqn: -27root3]
022. 원 [eqn: x^2 +y^2 =4] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 움직이고 있다. [eqn: vec{rm AB it}cdot vec{rm AC it}]의 최솟값이 [eqn: m]일 때, [eqn: m^2]의 값을 구하여라. [eqn: 4]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

023. 좌표평면에 원 [eqn: (x-5) ^{2} +(y-10) ^{2} =13] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rm Q(3,```2)]에 대하여 [eqn: rm vec{OP} cdot vec{OQ}]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. (단, [eqn: \O]는 원점이다.) [eqn: 70]
024. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(4,```0)], [eqn: rmB(0,```4)]에 대하여 점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 [eqn: vec{rmPA} cdot vec{rmPB} le 0], [eqn: vec{rmOP} cdot (vec{rmOA} + vec{rmOB}) le 16]를 만족시킬 때, 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는? ④ ① [eqn: pi] ② [eqn: 2pi] ③ [eqn: 3pi] ④ [eqn: 4pi] ⑤ [eqn: 5pi]

	기하 단원평가 [평면벡터] A1

025. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 꼭짓점 [eqn: rm C]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: rm {vec{CA}} cdot rm {vec{CH}}]의 값은? ① (가) 점 [eqn: rmH]가 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분한다. (나) [eqn: rm {vec{AB}} cdot{vec{AC}} =40] (다) 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: 30]이다. ① [eqn: 36] ② [eqn: 37] ③ [eqn: 38] ④ [eqn: 39] ⑤ [eqn: 40]

[기하 단원평가]

평면벡터 A1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	[eqn: 14]	02	⑤	03	③	04	⑤	05	③
06	③	07	②	08	[eqn: 24]	09	[eqn: 9]	10	[eqn: 22]
11	③	12	④	13	⑤	14	②	15	④
16	③	17	④	18	③	19	④	20	[eqn: 63``]
21	①	22	[eqn: 4]	23	[eqn: 70]	24	④	25	①

8번 해설

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = LEFT ( 4t,``` {3} over {t} RIGHT )], [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2} =16t ^{2} + {9} over {t ^{2}}]이고 [eqn: t ^{`2} >0`]이다. 산술기하 치면

[eqn: 16t ^{2} + {9} over {t ^{2}} GEQ 2 sqrt {16t ^{2} TIMES {9} over {t ^{2}}} =24]

따라서 [eqn: t= {sqrt {3}} over {2}]일 때, [eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 24]이다.

19번 해설

[eqn: rmvecAB =2vecAP], [eqn: rmvecAC =-3vecAQ]에서 [eqn: rmvecAP = 1over2 vecAB], [eqn: rmvecAQ = - 1over3 vecAC]이므로 [eqn: |`rmvecAQ`|= 1over3 |`vecAC`|=2]이다.

삼각형 [eqn: rmPOQ`]는 다음 그림과 같다. 이때 [eqn: rmanglePCA = piover6]이므로 삼각형 [eqn: rmPCQ`]의 넓이는

[eqn: rm1over2 times barCQ times barCP times sin piover6][eqn: = 1over2 times rm (barCA +barAQ ) times left(barCA times cos piover6 right) times sin piover6][eqn: =6sqrt3``]

21번 해설

두 직선 [eqn: l_2], [eqn: l_3]의 방향벡터를 각각 [eqn: vecu_1], [eqn: vecu_2]라 하면 [eqn: vec{u _{1}} =(a,```-1)], [eqn: vec{u _{2}} =(b,```a)]이다.
조건 (가), (나)에서 [eqn: vec{u} cdot vec{u _{2}} =0`]이므로 [eqn: b+root3 a=0]이다. 조건 (다)에서

[eqn: cos30 DEG = {LEFT | vec{u} CDOT vec{u _{1}} RIGHT |} over {LEFT | vec{u} RIGHT | LEFT | vec{u _{1}} RIGHT |} = {LEFT | a- sqrt {3} RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +( sqrt {3} ) ^{2}} sqrt {a ^{2} +(-1) ^{2}}} = {LEFT | a- sqrt {3} RIGHT |} over {2 sqrt {a ^{2} +1}}]
이다. 풀면 [eqn: a=-root3]이고 [eqn: b=3]이다.

22번 해설

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 [eqn: x]축과 평행하도록 위치시켜도 일반성을 잃지 않는다.

[eqn: x]축과 평행한 선분 [eqn: rmAB]를 놓고 생각하도록 하자.

[eqn: vec{rmAB} cdot vec{rmAC}]가 최소가 될 때는 선분 [eqn: rmAB]에 연장선에 내린 수선의

발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rmH]가 [eqn: rm{vecAB]와 반대 방향에 위치하고 [eqn: rm LEFT | {vec{AH}} RIGHT | it]가

최대일 때, 내적의 값이 최소일 수 있다. 내적의 값이 최소일 때

[eqn: {rm LEFT | vecAB RIGHT |}=a] , [eqn: rm LEFT | {vec{AH}} RIGHT | it =b]라 하면 [eqn: {a} over {2} +b=2]이다.

[eqn: {a} over {2} +b`ge`2 sqrt {{a} over {2} timesb}]에서 [eqn: ab`le`2]이므로 [eqn: m=-2]이다.

23번 해설

[eqn: rmA(5,````10)]이라 하자. [eqn: rmvecOP = vecOA +vecAP]이므로

[eqn: rmvecOP cdot vecOQ =vecOA cdot vecOQ +vecAP cdot vecOQ]

이다. [eqn: rmvecOA cdot vecOQ =(5,```10)cdot(3,```2)=35]이고, [eqn: |rmvecAP |= sqrt { 13}]으로 일정하므로

[eqn: rmvecAP cdot vecOQ]는 두 벡터가 같은 방향일 때 최댓값 [eqn: rm|vecAP | times|vecOQ |]를 가지고,

두 벡터가 서로 반대 방향일 때 최솟값 [eqn: rm -| vec{AP} | TIMES | vec{OQ} |]을 갖는다.

24번 해설

[eqn: vec{rmPA} cdot vec{rmPB} le 0]에서 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원과 그 내부를 움직인다.

[eqn: vec{rmOP} cdot (vec{rmOA} + vec{rmOB}) le 16]에서 점 [eqn: rmP]는 부등식 [eqn: x+y le 4]가 나타내는 영역에 존재한다.