기하 단원평가

이차곡선 [B1]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

001. 점 [eqn: (7,```6)]을 지나고 초점의 좌표가 [eqn: (4,```2)]이며 준선이 [eqn: y]축에 평행한 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} -4x-4y+16=0]과 [eqn: y ^{2} +ax-4y+b=0]이다. 이때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하여라. [eqn: 140]
002. 그림과 같이 직선 [eqn: l]을 축으로 하는 두 포물선 [eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}]의 초점은 점 [eqn: rmF]로 일치하고, 꼭짓점은 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]이다. [eqn: {bar{rm AF it}} =10], [eqn: {bar{rm BF it}} =5]일 때, 두 포물선의 한 교점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF]의 길이를 구하여라. [eqn: 15]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

003. 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선 [eqn: l]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 14]일 때, 점 [eqn: rmM]의 [eqn: x]좌표를 구하여라. [eqn: {5}}]
004. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(0,```3)], [eqn: rm B(4,```6)]과 포물선 [eqn: y = 1 over 12 x^2`] 위의 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABP]의 둘레의 길이의 최솟값은? ① ① [eqn: 14] ② [eqn: 16] ③ [eqn: 18] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 22]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

005. 포물선 [eqn: x ^{2} =12y] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]와 이 포물선의 꼭짓점 [eqn: rm O]를 이은 선분 [eqn: rm OP]의 중점 [eqn: rm Q]의 자취의 방정식은? ③ ① [eqn: x^2 = 1 over6 y] ② [eqn: x^2 =y] ③ [eqn: x^2 =6y] ④ [eqn: x^2 = y-3] ⑤ [eqn: x^2 =6(y-3)]
006. 타원 [eqn: 2x^2 -8x +3y^2 +12y +14=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 타원 [eqn: 2x^2 +3y^2 =k]와 일치한다. 이때, 상수 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: k]에 대하여 [eqn: m+nk]의 값은? ③ ① [eqn: -14] ② [eqn: -10] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 20]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

007. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {25} =1]의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']에 대하여 그림과 같이 두 선분 [eqn: rmOF], [eqn: rmOF']을 각각 [eqn: 4]등분한 점을 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 타원과 만나는 점을 차례대로 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: rmP _{4}], [eqn: rmP _{5}], [eqn: rmP _{6}]이라 하자. 이때 [eqn: rmbarFP _{1} +barFP _{2} +barFP _{3} +barFP _{4} +barFP _{5} +barFP _{6}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: {30}}] 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: rmP _{4}], [eqn: rmP _{5}], [eqn: rmP _{6}]의 [eqn: x]좌표는 모두 양수이다.)
008. 가로, 세로가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 평행하고 타원 [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 16 =1]에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라. [eqn: {24}}]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

009. 원 [eqn: x^2 +y^2 = 16] 위의 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, 선분 [eqn: rm PH]의 중점 [eqn: rm Q]의 자취의 방정식은 [eqn: px^2 +qy^2 =1]이다. 이때 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: q overp]의 값을 구하여라. [eqn: {4}}]
010. 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -3y ^{2} -16x+28=0]의 두 초점의 좌표가 [eqn: (a,```b)], [eqn: (c,```d)]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 합 [eqn: a+b+c+d]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

011. 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {25} - {y ^{2}} over {11} =1] 위의 점 [eqn: rm P]와 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']에 대하여 세 선분 [eqn: rmPF], [eqn: rmFF'], [eqn: rmPF']의 길이는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이때 [eqn: rm bar{PF}`^2 + bar{PF prime}`^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rm bar{PF prime } > bar{PF}]) [eqn: {338}}]
012. 그림과 같이 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 공유하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {c ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 한 교점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarPF`=3], [eqn: rmbarPF'`=7]이다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a ^{2} +2b ^{2} +3c ^{2}]의 값은? ③ ① [eqn: 55] ② [eqn: 57] ③ [eqn: 58] ④ [eqn: 63] ⑤ [eqn: 69]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

013. 좌표평면 위의 임의의 점 [eqn: rm P( it x,~y)]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 할 때, 점 [eqn: rmA(1,~0)]에 대하여 [eqn: {bar{rm AQ it}} = {bar{rm PQ it}}]를 만족하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식은? ② ① [eqn: x ^{2} -y ^{2} =-1] ② [eqn: x ^{2} -y ^{2} =1] ③ [eqn: 2x ^{2} -y ^{2} =-1] ④ [eqn: 2x ^{2} -y ^{2} =1] ⑤ [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =1]
014. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 = x] 위의 점 [eqn: {rmP}(1,```1)]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos2theta]의 값은? ⑤ 점 [eqn: rm P it (1,~1)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하면 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: (-1,```0)] [eqn: (-1,```0)]에서 포물선에 그은 접선의 접점 중 [eqn: rmP]가 아닌 것을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: (1,```-1)] 삼각형 [eqn: rmPQR]에서 각 [eqn: ANGLErmPRQ=2 theta]이므로 코사인법칙을 쓰자. ※ 배각 공식을 알고 있다면 [eqn: cos2 theta=2cos ^{2} theta-1]을 쓰는 것도 가능 ① [eqn: 1 over 5] ② [eqn: 3 over 10] ③ [eqn: 2 over 5] ④ [eqn: 1 over 2] ⑤ [eqn: 3 over 5]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

015. 쌍곡선 [eqn: x^2 over 12 - y^2 over 8 =1] 위의 점 [eqn: (a,```b)]에서의 접선이 타원 [eqn: {(x-2) ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: a^2 +b^2 ``]의 값을 구하여라. [eqn: 52]
016. 타원 [eqn: 6x ^{2} +3y ^{2} =18] 위의 점과 직선 [eqn: y=x+4] 사이의 거리의 최댓값과 최솟값의 차는? ③ ① [eqn: root2] ② [eqn: 2root2] ③ [eqn: 3 root2] ④ [eqn: 4root2] ⑤ [eqn: 5root2]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

017. 그림에서 두 점 [eqn: rm A it], [eqn: rmC]는 [eqn: x]축 위의 점이고 점 [eqn: {rm A]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]에 접선을 그어 그 접점을 각각 [eqn: rm B], [eqn: rmD]라 하면 사각형 [eqn: {rm ADCB]는 정사각형이다. 이때 점 [eqn: {rm C]의 좌표는? ④ (단, 점 [eqn: {rm A]의 [eqn: x]좌표는 음수이다.) ① [eqn: (2root2 ,```` 0)] ② [eqn: (4,````0)] ③ [eqn: (4 root2 ,```` 0)] ④ [eqn: (6,````0)] ⑤ [eqn: (6root 2 ,````0)]
018. 포물선 [eqn: x ^{2} =8y] 밖의 한 점 [eqn: (5,```a)]에서 포물선에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, [eqn: a]의 값은? ③ 포물선의 준선 위의 점에서 포물선에 그은 두 접선은 수직 ① [eqn: -4] ② [eqn: -3] ③ [eqn: -2] ④ [eqn: -1] ⑤ [eqn: 0]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

019. 점 [eqn: rm P(4,```4)]에서 타원 [eqn: 2x ^{2} +y ^{2} =4]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rm Q it (x _{1} ,```y _{1} )], [eqn: rm R(itx _{2} ,```y _{2} )]라 할 때, [eqn: x _{1} x _{2}]의 값은? ② ① [eqn: - {2} over {3}] ② [eqn: - {1} over {2}] ③ [eqn: - {1} over {3}] ④ [eqn: {1} over {2}] ⑤ [eqn: {2} over {3}]
020. 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2}-3y ^{ 2}=1]과 타원 [eqn: x ^{2} +ky ^{2} =1]의 한 교점에서의 두 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ③ 접점의 좌표를 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]이라 놓고 각각의 곡선 위에서의 접선의 방정식을 구한다. 기울기의 곱은 [eqn: -1]이라는 것을 이용하고, 접점을 타원과 쌍곡선에 각각 대입하여 연립 ① [eqn: 2] ② [eqn: {11} over {5}] ③ [eqn: {12} over {5}] ④ [eqn: {13} over {5}] ⑤ [eqn: {14} over {5}]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

021. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =12x`]의 초점 [eqn: rmF`]를 지나면서 기울기가 양수인 직선이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 할 때, [eqn: bar{rmPH}: bar{rmQI} = 4:1]이다. 선분 [eqn: rmPQ`]의 길이는? ③ [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}] 쓰자. [eqn: rm {bar{PF}} =ita], [eqn: rm {bar{FQ}} = it b]라 놓으면 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {3}]이고 [eqn: a-3`:`b-3=`4`:`1] 연립해서 정리하면 [eqn: a=9], [eqn: b= {9} over {2}] ※ 준선이 아니라 [eqn: y]축에 내린 수선임에 주의 ① [eqn: 25 over 2`] ② [eqn: 13`] ③ [eqn: 27 over 2`] ④ [eqn: 14`] ⑤ [eqn: 29 over 2`]
022. 자연수 [eqn: r]에 대하여 타원 [eqn: {x ^{2}} over {20} + {y ^{2}} over {4} =1][eqn: (y GEQ 0)]과 원 [eqn: (x-4) ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]이 만나는 점을 [eqn: rm P _{itr}]이라 하자. 점 [eqn: rmA(-4,~0)]에 대하여 [eqn: sum _{r=1} ^{8} {bar{rm P _{itr} A it}} =a+b sqrt {5}]일 때, 두 유리수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ① [eqn: rm bar{P _{r} A} =4 sqrt {5}][eqn: -r] ① [eqn: -4] ② [eqn: -2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

023. 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =12x`]의 초점을 [eqn: rmF`]라 하고, 점 [eqn: RMF`]를 한 초점으로 하고 중심이 원점인 쌍곡선이 포물선 [eqn: y^2 = 12x`]와 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA`]라 하자. [eqn: rm BAR AF = 5`]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? ⑤ 정의 이용해야 하니 포물선의 준선 그린 후 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 수선 내리고 피타고라스 이차곡선이 두 개 나오면 보통 교점이 나올텐데 그 점에서 정의 두 번 쓰면 된다. ① [eqn: 2 OVER3`] ② [eqn: 1`] ③ [eqn: 4 OVER3`] ④ [eqn: 5 OVER3`] ⑤ [eqn: 2`]
024. 점 [eqn: (4,~1)]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 그은 두 접선이 수직으로 만날 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 17] [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}]에 점 [eqn: (4,~1)]을 대입하고 적당히 이항 후 양변 제곱해서 [eqn: m _{1} m _{2} =-1] 쓰자. ※ 자취가 원점을 중심으로 하는 원이라는 사실을 알고 있다면 더 쉽게 풀 수 있다. [eqn: (a,```b)]에서 타원에 수직인 두 접선을 그을 수 있고 [eqn: (4,```1)] 또한 같은 원 위에 있으니 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =17]

	기하 단원평가 [이차곡선] B1

025. 직선 [eqn: y=ax+2]가 포물선 [eqn: y ^{2} -4x-2y+9=0]과 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M ^{2} +m ^{2}]의 값은? ④ 기울기 공식의 아버지. 판별식 ① [eqn: {1} over {2} `] ② [eqn: {3} over {4} `] ③ [eqn: 1`] ④ [eqn: {5} over {4} `] ⑤ [eqn: {3} over {2} `]

[기하 단원평가]

이차곡선 B1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	[eqn: 140]	02	[eqn: 15]	03	[eqn: {5}}]	04	①	05	③
06	③	07	[eqn: 30]	08	[eqn: 24]	09	[eqn: 4]	10	④
11	[eqn: 338]	12	➂	13	②	14	⑤	15	[eqn: 52]
16	③	17	④	18	③	19	②	20	③
21	③	22	①	23	⑤	24	[eqn: 17]	25	④

14번 해설

점 [eqn: rm P it (1,```1)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하면 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: (-1,```0)]이다.

[eqn: (-1,```0)]에서 포물선에 그은 접선의 접점 중 [eqn: rmP]가 아닌 것을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: (1,```-1)]이다.

삼각형 [eqn: rmPQR]에서 각 [eqn: ANGLErmPRQ=2 theta]이므로 코사인법칙을 쓰자.

※ 배각 공식을 알고 있다면 [eqn: cos2 theta=2cos ^{2} theta-1]을 쓰는 것도 가능하다.

18번 해설

포물선의 준선 위의 점에서 그은 두 접선은 수직.

20번 해설

접점의 좌표를 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]이라 놓고 각각의 곡선 위에서의 접선의 방정식을 구한다.

기울기의 곱은 [eqn: -1]이라는 것을 이용하고, 접점을 타원과 쌍곡선에 각각 대입하여 연립.

21번 해설

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {p}]을 쓰자.

[eqn: rm {bar{PF}} =ita], [eqn: rm {bar{FQ}} = it b]라 놓으면 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {3}]이고 [eqn: (a-3):(b-3)=4:1]

연립해서 정리하면 [eqn: a=9], [eqn: b= {9} over {2}]이다.

※ 준선이 아니라 [eqn: y]축에 내린 수선임에 주의

23번 해설

정의 이용해야 하니 포물선의 준선 그린 후 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 수선 내리고 피타고라스.

이차곡선이 두 개가 교점을 가지고 나오면 그 점에서 정의를 두 번 쓰면 된다.

24번 해설

[eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}]에 점 [eqn: (4,```1)]을 대입하고 적당히 이항 후 양변 제곱해서 [eqn: m _{1} m _{2} =-1]을 쓰자.

조건을 만족하는 점의 자취가 원점을 중심으로 하는 원이라는 사실을 알고 있다면 더 쉽게 풀 수 있다.

[eqn: (a,```b)]에서 타원에 수직인 두 접선을 그을 수 있고 [eqn: (4,```1)] 또한 같은 원 위에 있으니 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =17]이다.