미적분 단원평가

적분법 [B3]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

001. 정적분의 값을 옳게 구한 것은? ⑤ ① [eqn: int _{0} ^{2} {} e ^{x+1} dx=e ^{3}] ② [eqn: int _{1} ^{4} {} x sqrt {x} dx= {64} over {5}] ③ [eqn: int _{1} ^{2} {} {x ^{2} +3} over {x} dx= {3} over {2} -ln2] ④ [eqn: int _{0} ^{2} {} {3 ^{2x} -1} over {3 ^{x} -1} dx= {8} over {ln3} -1] ⑤ [eqn: int _{0} ^{{1} over {2} pi } {} (sinx+4cosx)dx=5]
002. 정적분 [eqn: int_-1 ^0 x sqrt { x+1}dx]의 값은? ② ① [eqn: -{ 3} over { 5}] ② [eqn: -{ 4} over { 15}] ③ [eqn: 1over3] ④ [eqn: 16over15] ⑤ [eqn: 19over15]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

003. [eqn: f(x)= int _{} ^{} {} {2x+6} over {x ^{2} -2x-3} dx]일 때, [eqn: f(7)-f(5)]의 값은? ⑤ ① [eqn: ln2] ② [eqn: ln3] ③ [eqn: 2ln2] ④ [eqn: ln5] ⑤ [eqn: ln6]
004. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {2x} over {sqrt {1-x ^{2}}}]이고 이 곡선이 점 [eqn: (1,```3)]를 지날 때, [eqn: f(0)]의 값은? ② ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

005. [eqn: int_0^{piover4} cos^2 x dx -int_0^{piover4} sin^2 xdx]의 값은? ③ [eqn: cos^2 x = { 1+cos2x} over {2 }], [eqn: sin^2 x= { 1-cos2x} over {2 }]이다. 좀 해둬.. ① [eqn: 0] ② [eqn: 1over4] ③ [eqn: 1over2] ④ [eqn: sqrt { 3}over2] ⑤ [eqn: 1]
006. [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(x)=x left{f(x)-lnx right], [eqn: F(1)= { 1} over { 2}] 가 성립할 때, [eqn: f(e)]의 값은? ④ ① [eqn: {e-1} over {2}] ② [eqn: {3} over {2}] ③ [eqn: e-1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: e+1]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

007. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+f(pi)]의 값은? ① (가) [eqn: int_pi^x {f(t)dt=left{g(x)-a right}cosx-2] (나) [eqn: g(x)=sinx int _{{pi } over {2}} ^{pi } {f(t)dt+3}] ① [eqn: 7] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 3]
008. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f ( x ) `]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x int _{0} ^{x} {} f(t)`dt- int _{0} ^{x} {} tf(t)`dt=ae ^{2x} -4x+b] 를 만족시킬 때, [eqn: f(a)`f(b)`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [eqn: 64]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

009. [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]일 때, 두 곡선 [eqn: y=sinx], [eqn: y=sin {1} over {2} x]로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① ① [eqn: 5] ② [eqn: 9over2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: {7} over {2}] ⑤ [eqn: 3]
010. 두 곡선 [eqn: y= LEFT ( sin`x RIGHT ) `ln`x], [eqn: y= {cos`x} over {x}]와 두 직선 [eqn: x= pi over2], [eqn: x=pi]로 둘러싸인 부분의 넓이는? ④ ① [eqn: {1} over {4} `ln pi] ② [eqn: {1} over {2} `ln pi] ③ [eqn: {3} over {4} `ln pi] ④ [eqn: ln pi] ⑤ [eqn: {5} over {4} `ln pi]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

011. 그림과 같이 [eqn: 0 le x le pi]에서 두 곡선 [eqn: y=cosx], [eqn: y=cos2x] 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=pi]로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S]의 값은? ② ① [eqn: sqrt { 3}] ② [eqn: { 3} over {2 } sqrt { 3}] ③ [eqn: 2sqrt { 3}] ④ [eqn: { 5} over { 2} sqrt { 3}] ⑤ [eqn: 3sqrt { 3}]
012. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= { e^x} over { sqrt { e^x +2} }]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=ln2], [eqn: x=ln14]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: S]이고, 두 직선 [eqn: x=ln2], [eqn: x=ln14]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: y= { 1} over {lna }]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: S_1]이다. [eqn: S_1]은 [eqn: S]의 [eqn: 1over3]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은? ① ① [eqn: 7^{3over4}] ② [eqn: 7 ^{{4} over {5}}] ③ [eqn: 7 ^{{5} over {6}}] ④ [eqn: 7 ^{{6} over {7}}] ⑤ [eqn: 7 ^{{7} over {8}}]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

013. [eqn: lim _{n -> INF } {} {pi ^{2}} over {n ^{2}} LEFT ( sin {pi } over {n} +2sin {2 pi } over {n} +3sin {3 pi } over {n} + CDOTS +n`sin {n pi } over {n} RIGHT )]의 값은? ③ ① [eqn: 0] ② [eqn: {1} over {2} pi] ③ [eqn: pi] ④ [eqn: 2 pi] ⑤ [eqn: 3 pi]
014. [eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=n+1} ^{2n} {sqrt {k}} over {n sqrt {n}} = int _{a} ^{b} {sqrt {x}} dx]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? ④ ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

015. 곡선 [eqn: y= sqrt { x+2}]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? ④ ① [eqn: sqrt { 6}] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 2sqrt { 3}] ④ [eqn: 4sqrt { 3}] ⑤ [eqn: 8]
016. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt { lnx}]와 [eqn: x]축, [eqn: x=e]로 둘러싸인 도형에서 [eqn: y= sqrt { lnx}] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자. 선분 [eqn: rmPQ]를 한 변으로 하는 정사각형을 [eqn: x]축과 수직인 평면 위에 그릴 때, 이 사각형이 그리는 입체의 부피는? ③ ① [eqn: e-1] ② [eqn: e+1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2e-1] ⑤ [eqn: 2e+1]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

017. [eqn: x=0]에서 [eqn: x=ln2]까지의 곡선 [eqn: y = 1 over 8 e^2x + 1 over 2 e^-2x]의 길이는? ⑤ ① [eqn: 1 over 2] ② [eqn: 9 over 16] ③ [eqn: 5 over 8] ④ [eqn: 11 over 16] ⑤ [eqn: 3 over 4]
018. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(0leqt LEQ 2 pi )]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: x=t+2cost], [eqn: y= sqrt {3} `sint] 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: t= {pi} over {2}]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: (-1,```0)]이다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 속도의 크기의 최솟값은 [eqn: 1]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t= pi]에서 [eqn: t=2pi]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 pi +2]이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	미적분 단원평가 [적분법] B3

019. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킬 때, 다음 보기에서 정적분의 값이 [eqn: 0]인 것을 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: int _{- pi } ^{pi } {} sinf(x)dx] ㄴ. [eqn: int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {} cosf(x)dx] ㄷ. [eqn: int _{-2 pi } ^{2 pi } {} f(x)sinxdx] ㄹ. [eqn: int _{- pi } ^{pi } {} f(x)cosxdx] ① ㄱ, ㄴ ② ㄱ, ㄹ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄷ, ㄹ
020. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_0^x {f(-t)`dt} + d over dx} left{ int_0^x {tf(x-t)`dt} right} = 2 (x-1)+a] 를 만족시킬 때, [eqn: 10int_-a^a{f(x)`dx}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [eqn: 40]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

021. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int_0 ^x f(t)dt= { d} over { dx}int_0 ^x f(t)dt-e^x +1] 을 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f'(x)=f(x)+e^x] ㄴ. [eqn: left{e^-x f(x)right}'=1] ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
022. 닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= cases{ 1&(0 le x <1 ) #2x-1 &(1 le x <2)#3&(2 le x le 4) }] 일 때, [eqn: int _0 ^ {1 over { 3}} sqrt { 3x} f(3x+1) dx]의 값은? ② ① [eqn: 7over15] ② [eqn: {22} over {45}] ③ [eqn: {23} over {45}] ④ [eqn: {8} over {15}] ⑤ [eqn: {5} over {9}]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

023. 함수 [eqn: f(x)=(2x ^{2} +a)e ^{x}]의 역함수가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 함수 [eqn: g(x)=(2x ^{2} +m)e ^{x}]의 역함수를 [eqn: h(x)]라 할 때, [eqn: int _{m} ^{4e} h(x)dx]의 값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
024. 함수 [eqn: f(x)=sin pi x]와 이차함수 [eqn: g(x)=x(x+1)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)= int _{g(x)} ^{g(x+1)} {f(t)dt}] 라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는? ⑤ [eqn: g(x+1)-g(x)=2n]([eqn: n]은 정수) 또는 [eqn: g(x+1)+g(x)=2m]([eqn: m]은 정수)이다. [eqn: g(x)=x(x+1)]이므로 [eqn: g(x+1)-g(x)=2(x+1)]이고 [eqn: g(x+1)+g(x)=2(x+1) ^{2}]이다. [eqn: 2(x+1)=2n]([eqn: n]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1`]이고, [eqn: 2(x+1) ^{2} =2m]([eqn: m]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: sqrt {2} -1], [eqn: sqrt {3} -1], [eqn: 1`]이다. 따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5]이다. ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	미적분 단원평가 [적분법] B3

025. 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: f(x)>0]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: g(x)=-lnf(x)] 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: g(1)=-ln18] (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g'(7) LEQ g'(x) LEQ g'(1)]이다. 함수 [eqn: h(x)= int _{x} ^{x+2} {g(t)dt}]가 [eqn: x=k]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: {k} over {e ^{g(0)}}]의 값을 구하여라. [eqn: 75] 조건 (나)에서 [eqn: g`''(1)=g`''(7)=0]이므로 [eqn: f(x)=ax ^{2} -8ax+25a]이고, 조건 (가)에서 [eqn: a=1]이다. [eqn: f(x)]가 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이다. 따라서 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=3]에서 최댓값을 가진다. [eqn: k=3]이고, [eqn: g(0)=-ln25]이다. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[미적분 단원평가]

적분법 B3 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	⑤	02	②	03	⑤	04	②	05	③
06	④	07	①	08	[eqn: 64]	09	①	10	④
11	②	12	①	13	③	14	④	15	④
16	③	17	⑤	18	⑤	19	②	20	[eqn: 40]
21	⑤	22	②	23	④	24	⑤	25	[eqn: 75]

3번 해설

구석구석 공부하자.

[eqn: int _{} ^{} {} {2x+6} over {x ^{2} -2x-3} dx= int _{} ^{} {} LEFT ( {3} over {x-3} - {1} over {x+1} right)dx=3ln|x-3|-ln|x+1|+C RIGHT .]

수능에 출제되거나 할 것 같지는 않지만.

※ [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=3]에서 정의되지 않는다. 따라서

[eqn: f(x)= {cases{3ln(-x+3)-ln(-1-x)+C _{3}&```(x< -` 1)#3ln(-3+3)-ln(x+1)+C _{3}&```(-1<x<3)#3ln(x-3)-ln(x+1)+C _{3}&```(3<x)}}]

이다.

5번 해설

[eqn: cos^2 x = { 1+cos2x} over {2 }], [eqn: sin^2 x= { 1-cos2x} over {2 }]이다. 좀 해둬..

24번 해설

[eqn: g(x+1)-g(x)=2n]([eqn: n]은 정수) 또는 [eqn: g(x+1)+g(x)=2m]([eqn: m]은 정수)이다.

[eqn: g(x)=x(x+1)]이므로 [eqn: g(x+1)-g(x)=2(x+1)]이고 [eqn: g(x+1)+g(x)=2(x+1) ^{2}]이다.

[eqn: 2(x+1)=2n]([eqn: n]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1`]이고,

[eqn: 2(x+1) ^{2} =2m]([eqn: m]은 정수)를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: sqrt {2} -1], [eqn: sqrt {3} -1], [eqn: 1`]이다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5]이다.

25번 해설

조건 (나)에서 [eqn: g`''(1)=g`''(7)=0]이므로 [eqn: f(x)=ax ^{2} -8ax+25a]이고, 조건 (가)에서 [eqn: a=1]이다.

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=3]에서 최댓값을 가진다. [eqn: k=3]이고, [eqn: g(0)=-ln25]이다.