미적분 단원평가

적분법 [B2]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

001. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=1+cosx]이고 [eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f( pi )]의 값은? ④ ① [eqn: { pi } over { 4}+1] ② [eqn: { pi } over { 2}+1] ③ [eqn: { pi } over { 2}+2] ④ [eqn: { pi +1] ⑤ [eqn: { pi +2]
002. 정적분 [eqn: int_0 ^ 3 root { 9 - x^2 } dx]의 값은? ⑤ ① [eqn: 9 over 2] ② [eqn: 9 over 4] ③ [eqn: 9pi over 2] ④ [eqn: 9pi over 4] ⑤ [eqn: pi]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

003. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 [eqn: x!=0]인 임의의 점 [eqn: (x,```f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2x+ { k} over {x }]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]가 두 점 [eqn: rm A(1,```2)], [eqn: rm B( it e,```e ^{2} +2)]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ③ (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 3]
004. 함수 [eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { { 2sin ^{ 2}x } over { 1+cosx} }dx]에 대하여 [eqn: f(0)=3]일 때, [eqn: f left( { pi } over { 2} right)]의 값은? ① (단, 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x != (2n+1) pi]이다.) ① [eqn: pi+1] ② [eqn: pi+2] ③ [eqn: pi+3] ④ [eqn: 2pi+1] ⑤ [eqn: 3pi+1]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

005. 함수 [eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { k left(sin { x} over {2}+cos { x} over {2 } right)} ^{ 2}dx]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (pi,~f( pi ) )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=2x+3]일 때, [eqn: f(0)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) ② ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]
006. 미분가능한 함수 [eqn: f (x)]의 도함수가 [eqn: f' (x) = 3x over { 3x^2 +1 }]이고 [eqn: f(0) =3]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? ② ① [eqn: ln6 +3] ② [eqn: ln7 + 3] ③ [eqn: 3ln2 +3] ④ [eqn: 3ln2 +4] ⑤ [eqn: 2ln3 +4]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

007. 함수 [eqn: f(x) = int 4x^3 lnxdx]에 대하여 [eqn: f(1) =0]이고 [eqn: f(e) = ae^4 +b]일 때, 두 유리수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: e``]는 자연로그의 밑이다.) ② ① [eqn: 0``] ② [eqn: 1``] ③ [eqn: 2``] ④ [eqn: 3``] ⑤ [eqn: 4``]
008. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = cos pix + int_0 ^{ 1 over 2 } f(t) dt]를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? ② ① [eqn: 1 + 1over pi] ② [eqn: 1 + 2over pi] ③ [eqn: pi] ④ [eqn: 1 over pi] ⑤ [eqn: 2 over pi]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

009. 등식 [eqn: int _{-1} ^{4} { LEFT | e ^{x} -1 RIGHT | dx= {a} over {e} +be ^{4} +c`}]를 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ③ ① [eqn: -5] ② [eqn: -4] ③ [eqn: -3] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: -1]
010. 등식 [eqn: int _{-1} ^{1} {(x-2) ^{2} (x+1) ^{4} dx= int _{0} ^{2} {LEFT { x ^{6} -ax ^{5} +(a+3)x ^{4} RIGHT } dx}}]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

011. 함수[eqn: f(x)= int _{1} ^{x} {e ^{sin pi t}} dt]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)]라 할 때, [eqn: g(3)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ② ① [eqn: {sqrt {3}} over {2}] ② [eqn: 2] ③ [eqn: e] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: e+3]
012. [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} LEFT { cos LEFT ( - {pi } over {2} + {pi } over {n} RIGHT ) +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {2 pi } over {n} RIGHT ) RIGHT .}][eqn: LEFT . +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {3 pi } over {n} RIGHT ) +` CDOTS +cos LEFT ( - {pi } over {2} + {n pi } over {n} RIGHT ) RIGHT }]의 값은? ③ ① [eqn: 0] ② [eqn: {1} over {pi }] ③ [eqn: {2} over {pi }] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

013. 자연수 [eqn: n]과 [eqn: 1 LEQ k LEQ n]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의 점 [eqn: rm A _{it `k rm} ` it LEFT ( {k} over {n} ,```e ^{{k} over {n}} RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l _{k}]라 하자. 점 [eqn: rm A _{it k rm}]를 지나고 직선 [eqn: l _{k}]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm P _{itk}]라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} bar{rmOP _{itk}}}]의 값은? (단, [eqn: rm { O }]는 원점이고, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ② ① [eqn: e ^{2}] ② [eqn: {e ^{2}} over {2}] ③ [eqn: {e ^{2}} over {3}] ④ [eqn: {e ^{2}} over {4}] ⑤ [eqn: {e ^{2}} over {5}]
014. 함수 [eqn: f(x) = int (1-sinx)^2 cos xdx]에 대하여 [eqn: f left( pi over 2 right) = 0]일 때, 방정식 [eqn: f(theta) = - 1 over 3]을 만족시키는 [eqn: theta]의 값은? (단, [eqn: -pi < theta<pi``]) ③ ① [eqn: - pi over 3``] ② [eqn: - pi over 6``] ③ [eqn: 0``] ④ [eqn: pi over 6``] ⑤ [eqn: pi over 3``]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

015. 곡선 [eqn: y=lnx] 위의 점 [eqn: LEFT ( e,```1 RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 곡선 [eqn: y=lnx]와 접선 [eqn: l] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) ① ① [eqn: {e} over {2} -1] ② [eqn: {e} over {2}] ③ [eqn: e] ④ [eqn: e+ {1} over {2}] ⑤ [eqn: e+1]
016. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =cos {pi } over {4} t]일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? ⑤ ① [eqn: {4} over {pi }] ② [eqn: {6} over {pi }] ③ [eqn: {8} over {pi }] ④ [eqn: {10} over {pi }] ⑤ [eqn: {12} over {pi }]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

017. [eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는 이계도함수가 존재하고 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f(1) =2] (나) [eqn: xf'(x) - 2f(x) +3 =0] 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f`'(x) !=0]) ⑤ ㄱ. [eqn: f`'(1) =1] ㄴ. [eqn: f`''(1) =1] ㄷ. [eqn: f (root 3 ) = 3] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
018. 곡선 [eqn: x =y^2 - 1]([eqn: y ge 0])과 두 직선 [eqn: y =0], [eqn: y= x -1]로 둘러싸인 도형의 넓이는? ② ① [eqn: 8over 3] ② [eqn: 10 over 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 14 over 3] ⑤ [eqn: 16 over 3]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

019. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ {pi } over {4} ,``` {pi } over {2} RIGHT ]]의 임의의 점 [eqn: x]에서 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 어떤 입체도형을 자른 단면이 한 변의 길이가 [eqn: sinx]인 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? ② ① [eqn: {pi +1} over {8}] ② [eqn: {pi +2} over {8}] ③ [eqn: {pi +4} over {8}] ④ [eqn: {2 pi +1} over {8}] ⑤ [eqn: {pi +1} over {4}]
020. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: (0,```3)], [eqn: (6,```11)]을 지날 때, [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} sqrt {1+ LEFT { f` prime LEFT ( {6k} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} CDOT {3} over {n}]의 최솟값은? ② ① [eqn: 3] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 11]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

021. 함수 [eqn: f(x) = int x over root{x^2 + 3 } dx]에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (1,```-1)]을 지나고, [eqn: x]축과 만나는 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: rm bar{AB} ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 24``]
022. 함수 [eqn: f(x) = int 1 over { 4x^2 -1 } dx]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0RIGHT )=0]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{24 } f(k)]의 값은? ③ ① [eqn: -ln 7] ② [eqn: -1] ③ [eqn: - 1 over 2 ` ln 7] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: ln 7]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

023. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + f(-x) = x^2 + cos x] 를 만족시킬 때, 정적분 [eqn: int_{ - pi over 2 } ^{ pi over 2 } f(x) dx]의 값은? ⑤ ① [eqn: pi^3 over 24 + pi over 2] ② [eqn: pi^3 over 24 - pi over 2] ③ [eqn: pi^3 over 24] ④ [eqn: pi^3 over 24 -1] ⑤ [eqn: pi^3 over 24 +1]
024. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)>0] (나) [eqn: f(0)=0], [eqn: f(5)=5] [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) +f ^{-1} LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {5} over {n}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: f ^{-1} (x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이다.) [eqn: 25]

	미적분 단원평가 [적분법] B2

025. 그림과 같이 [eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 정의된 두 곡선 [eqn: y=x LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2n}], [eqn: y=x LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2n+1}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {q} over {p}]이다. [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: 10] (단, [eqn: n]은 자연수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[미적분 단원평가]

적분법 B2 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	④	02	⑤	03	③	04	①	05	②
06	②	07	②	08	②	09	③	10	④
11	②	12	③	13	②	14	③	15	①
16	⑤	17	⑤	18	②	19	②	20	②
21	[eqn: 24]	22	③	23	⑤	24	[eqn: 25]	25	[eqn: 10]

16번 해설

[eqn: 0 LEQ t LEQ 2]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) GEQ 0]이고, [eqn: 2 LEQ t LEQ 6]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) LEQ 0]이므로

점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지 실제로 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s= int _{0} ^{6} {LEFT | `v LEFT ( t RIGHT ) `RIGHT | dt}][eqn: = int _{0} ^{2} {cos{pi } over {4} t`dt+ int _{2} ^{6} {LEFT ( -cos {pi } over {4} t RIGHT ) dt}}][eqn: = {12} over {pi }]

19번 해설

[eqn: int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {} sin ^{2} xdx= int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {} {1-cos2x} over {2} dx= LEFT [ {1} over {2} x- {1} over {4}` sin2x right]_ {{ pi} over {4 }}^ {{ pi} over {2 }}]이다.

※ 반각 써서 [eqn: sin^2 x] 적분하는 것 알아둬.

23번 해설

[eqn: int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx= int _{- {pi } over {2}} ^{0} {} f(x)dx+ int _{0} ^{{pi} over {2}} {} f(x)dx]
[eqn: = int _{0} ^{{pi} over {2}} {} f(-t)dt+ int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx] ([eqn: x=-t] 치환)
[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} left{f(x)+f(-x)right}dx] ([eqn: x=-t] 치환)

24번 해설

조건 (가)에서 함수 [eqn: f(x)]는 증가함수이고 조건 (나)에서 [eqn: f ^{-1} (0)=0], [eqn: f ^{-1} (5)=5]이므로

조건을 만족시키는 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f ^{-1} (x)]의 그래프 중 하나는 그림과 같다.

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { f LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) +f ^{-1} LEFT ( {5k} over {n} RIGHT ) RIGHT } {5} over {n}}][eqn: = int _{0} ^{5} {LEFT { f(x)+f ^{-1} (x) RIGHT }} `dx][eqn: = int _{0} ^{5} {f(x)dx} + LEFT ( 25- int _{0} ^{5} {f(x)} dx RIGHT )][eqn: =25]