미적분 단원평가

적분법 [A1]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

001. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`'(x) = {x-1} over{ rootx +1}]에 대하여 [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 4 over3] ② [eqn: 5 over3] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 7 over3] ⑤ [eqn: 8 over3]
002. 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x) =2 e^x]이고 [eqn: f(0) =1]일 때, [eqn: f(ln2)]의 값은? ④ ① [eqn: 3 over2] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 5 over2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 7 over2]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

003. 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: (x,```y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3 ^{x} ln3-1]이다. 이 곡선이 점 [eqn: (0,```4)]를 지날 때, [eqn: f(1)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
004. 함수 [eqn: f(x) = INT {4^x -9} over{ 2^x +3} dx]에 대하여 [eqn: f(0) = 1 over {ln2}]일 때, [eqn: f`left( log_2 3 right)]의 값은? ③ ① [eqn: {2- ln2} over{ln3}] ② [eqn: {2+ ln2} over{ln3}] ③ [eqn: {3-3 ln3} over{ln2}] ④ [eqn: {3-2 ln3} over{ln2}] ⑤ [eqn: {3-ln3} over{ln2}]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

005. 함수 [eqn: f(x) = INT cos(pi +x)dx]에 대하여 [eqn: f left( pi over2 right) = f`'left( pi over3 right)]일 때, [eqn: f left( pi over 6 right)]의 값은? ③ ① [eqn: -1] ② [eqn: - 1 over2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1 over2] ⑤ [eqn: 1]
006. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x) = 2x root{ x^2 +1}]이고 [eqn: f(0) = - 1 over3]일 때, [eqn: f( 2 root2 )]의 값은? ⑤ ① [eqn: 9] ② [eqn: 11] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 17]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

007. 점 [eqn: (0,```-2)]를 지나는 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: (x,``` f(x))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2x over {1+x^2 }]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 모든 근의 곱은? ② ① [eqn: - e^2] ② [eqn: 1- e^2] ③ [eqn: 2- e^2] ④ [eqn: e^2 -1] ⑤ [eqn: 2e^2]
008. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f` prime (x)=(x-1)e ^{x}]이고 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? ② ① [eqn: e-1] ② [eqn: e] ③ [eqn: e+1] ④ [eqn: 2e-1] ⑤ [eqn: 2e]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

009. [eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { LEFT | cos2x RIGHT | }dx]의 값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
010. [eqn: int _{-pi} ^{pi} {} LEFT ( LEFT | x RIGHT | +cosx RIGHT ) dx]의 값은? ③ ① [eqn: pi] ② [eqn: 2pi] ③ [eqn: pi^2] ④ [eqn: pi^2 +1] ⑤ [eqn: 2pi^2]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

011. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2} over {n} LEFT ( root {n} of {e} + root {n} of {e ^{2}} + root {n} of {e ^{3}} +CDOTS + root {n} of {e ^{n}} RIGHT )]의 값은? ① ① [eqn: 2`LEFT ( e-1 RIGHT )] ② [eqn: 2e-1] ③ [eqn: 2e] ④ [eqn: 2e+1] ⑤ [eqn: 2LEFT ( e+1 RIGHT )]
012. [eqn: int _{ 1} ^{2 } { 2x^3 e^{x^2}}dx]의 값은? ④ ① [eqn: 2e^3] ② [eqn: 3e^3] ③ [eqn: 2e^4] ④ [eqn: 3e^4] ⑤ [eqn: 4e^4]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

013. [eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { LEFT ( sin^4 x +1 RIGHT )cosx }dx]의 값은? ① ① [eqn: 6over5] ② [eqn: 7over5] ③ [eqn: 8over5] ④ [eqn: 9over5] ⑤ [eqn: 2]
014. 곡선 [eqn: y= ln(x+1)]과 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=1], [eqn: y=2]로 둘러싸인 도형의 넓이는? ① ① [eqn: e^2 - e-1] ② [eqn: e^2 -e] ③ [eqn: e^2 -e +1] ④ [eqn: e^2 +e-1] ⑤ [eqn: e^2 +e]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

015. 기울기가 [eqn: e]이고 곡선 [eqn: y=e^x -1]에 접하는 직선과 [eqn: y]축 및 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ② ① [eqn: e over 4 - 1 over 2] ② [eqn: e over 2 -1] ③ [eqn: e-1] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: e + 1 over 2]
016. 곡선 [eqn: y=cosx -1][eqn: (0 le x le 2pi )]과 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ④ ① [eqn: pi over 2] ② [eqn: pi] ③ [eqn: 3 over 2 pi] ④ [eqn: 2 pi] ⑤ [eqn: 5 over 2 pi]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

017. [eqn: int _{ 0} ^{piover2 } { LEFT | cosx - sinx RIGHT | }dx]의 값은? ② ① [eqn: sqrt2 -1] ② [eqn: 2LEFT ( sqrt2 -1 RIGHT )] ③ [eqn: 2sqrt2 -1] ④ [eqn: 2sqrt2] ⑤ [eqn: 2sqrt2 +1]
018. 구간 [eqn: LEFT ( 0,```inf RIGHT )]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=lnx - int _{ 1} ^{e } {{2f(t)}overx }dt] 를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? ② ① [eqn: - 5over6] ② [eqn: - 2over3] ③ [eqn: - 1over2] ④ [eqn: - 1over3] ⑤ [eqn: - 1over6]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

019. 그림과 같이 곡선 [eqn: y= e^-2x]에 대하여 이 곡선과 [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=roote]로 둘러싸인 부분을 [eqn: A], 이 곡선과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=k][eqn: (k>0)]로 둘러싸인 부분을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 서로 같을 때, [eqn: ln(2e^-2k )]의 값은? ③ ① [eqn: 1 over 4] ② [eqn: 3 over 8] ③ [eqn: 1 over 2] ④ [eqn: 5 over 8] ⑤ [eqn: 3 over 4]
020. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v(t)=sin2t-sint]일 때, 점 [eqn: rmP]가 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 것은 출발한 지 [eqn: k]초 후이다. 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 0 le t le 2pi]) ④ ① [eqn: { pi} over { 3}] ② [eqn: { pi} over { 2}] ③ [eqn: { 2} over { 3}pi] ④ [eqn: pi] ⑤ [eqn: { 5} over { 3}pi]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

021. 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int_{- pi over 2}^{pi over 2}}{f(x)`sin`x`dx} = 4}] 를 만족시킬 때, [eqn: f(2) - f(-2)]의 값은? ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 14]
022. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각이 [eqn: { pi} over {2 }]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]와 [eqn: rmarchAC =archCB]를 만족하는 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmC]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 호 [eqn: rm arch{CB}]를 [eqn: n]등분하는 점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: rmP_0 (=C)], [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: cdots], [eqn: {rmP}_n-1], [eqn: {rmP}_n (={rmB})] 라 하고, [eqn: {rmP}_k]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rmH}_k]라 하자. 삼각형 [eqn: {rmOP}_k{rmH}_k]의 넓이를 [eqn: S_k]([eqn: k=1,```2,```cdots,```n])이라 할 때, [eqn: lim _{n ->inf } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n}S_k]의 값은? ② ① [eqn: {1} over { pi }] ② [eqn: { 1} over { 2pi}] ③ [eqn: {1} over {4 pi }] ④ [eqn: { 1} over {2 }] ⑤ [eqn: {1} over {4}]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

023. 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: xf(x)= 3x+ int _{ 1} ^{x } { f(t)}dt] 를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( e^6 RIGHT )`]의 값을 구하여라. [eqn: 21]
024. 좌표평면 위에 직선 [eqn: y=6-2x]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. [eqn: 0 le x le 3]일 때, 두 점 [eqn: rm P it (x,```0)], [eqn: rm Q it (x,```6-2x)]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 선분 [eqn: rm PQ]를 지름으로 하는 반원이다. 이 입체도형의 부피가 [eqn: q over p pi`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 11]

	미적분 단원평가 [적분법] A1

025. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f`'(x) = cases{kx&```(x<0) #1+ sin left( pi over2 -x right) &```(x>0) }] 이고, [eqn: f(-1) =1], [eqn: f left( pi over2 right) = pi over2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 4]

[미적분 단원평가]

적분법 A1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	⑤	02	④	03	⑤	04	③	05	③
06	⑤	07	②	08	②	09	①	10	③
11	①	12	④	13	①	14	①	15	②
16	④	17	②	18	②	19	③	20	④
21	②	22	②	23	[eqn: 21]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 4]

19번 해설

[eqn: e^-2x = roote = e^{1 over 2}]에서 [eqn: x=it - 1 over 4]이다. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=e^-2x]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및

직선 [eqn: x=it - 1 over 4]로 둘러싸인 부분을 [eqn: C]라 하고, 세 부분 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 넓이를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 하자.

이때 [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같으므로 [eqn: a+c=b+c`]이다.

[eqn: a+c = 1 over 4 times roote = roote over 4]

[eqn: b+c][eqn: = int _{ - 1 over 4} ^{ k} {e^-2x }dx][eqn: =it - 1 over 2 e^-2k + roote over 2]

즉, [eqn: roote over 4 = it - 1 over 2 e^-2k + roote over 2]에서 [eqn: 1 over 2 e^-2k = roote over 4]이므로 [eqn: e^-2k = roote over 2]이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: ln(2e^-2k )][eqn: = ln roote][eqn: = 1 over 2]이다.

18번 해설

[eqn: int _{1} ^{e} f(t)dt=k]라 하면 [eqn: f(x)=lnx- {2k} over {x}]이다.

[eqn: k=int _{1} ^{e} left{lnt- {2k} over {t} right}dt]를 푼다.

21번 해설

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]라 하자. [eqn: int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {} f(x)`sin`x`dx= int _{- {pi } over {2}} ^{{pi } over {2}} {} bx sinx dx]이다.

25번 해설

[eqn: sin left( pi over2 -x right) = cos x]이므로 [eqn: f`'(x) = cases{ kx&```(x<0) #1+ cosx&```(x>0) }]이다.

[eqn: f(x) = cases{ k over2 x^2 +C_1& ```(x<0)# x+ sinx +C_2& ```(x>0)}] (단, [eqn: C_1], [eqn: C_2]는 적분상수)

[eqn: f(-1) = k over2 +C_1 =1]에서 [eqn: C_1 =1 - k over2],

[eqn: f`left( pi over2 right) = pi over2 +1+C_2 = pi over2]에서 [eqn: C_2 =-1]이다.

[eqn: f(x)]는 연속이므로 [eqn: lim _{x-> 0-} {f(x)}=lim _{x-> 0-} left( k over2 x^2 +C_1 right) =C_1],

[eqn: lim _{x-> 0+} {f(x)}=lim _{x-> 0+} left(x+ sinx +C_2right) =C_2]에서 [eqn: C_1 =C_2]이어야 한다.

[eqn: 1- k over2 =-1]이므로 [eqn: k=4]이다.