미적분 단원평가

미분법 [C1]

	미적분 단원평가 [미분법] C1

001. [eqn: lim _{x-> 0} {{e ^{x} +e ^{2x} +e ^{3x} + `CDOTS` +e ^{nx} -n} over {x} =55}]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? ③ ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12]
002. 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위에 정점 [eqn: rmA(0,```1)]과 동점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAP]의 중점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmAP]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 곡선을 따라 점 [eqn: rmA]에 한없이 가까워질 때, 점 [eqn: rmQ]는 어떤 점에 한없이 가까워지는가? ③ ① [eqn: LEFT ( {1} over {e} ,```0 RIGHT )] ② [eqn: LEFT ( {2} over {e} ,```0 RIGHT )] ③ [eqn: (1,```0)] ④ [eqn: (2,```0)] ⑤ [eqn: (e,```0)]

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003. [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= lim _{h-> 0} {{x ^{3h} -1} over {h}}]일 때, [eqn: lim _{x-> 0} {{f(1+4x)} over {2x}}]의 값을 구하여라. [eqn: 6]
004. 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} (x)=e ^{x} (a _{n} x+b _{n} )]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다. 이때 [eqn: log _{2} a _{10}]의 값을 구하여라. [eqn: 9] (가) [eqn: f _{1} (x)=xe ^{x}] (나) [eqn: f _{n+1} (x)=f _{n} (x)+f _{n} prime (x)]

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005. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f` prime (0)=2]를 만족하고, 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y)= {f(x)} over {e ^{y}} + {f(y)} over {e ^{x}}] 가 성립한다고 할 때, [eqn: f'(x)+f(x)= {k} over {e ^{x}}]를 만족하는 상수 [eqn: k]의 값은? ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
006. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=ln(1+x)]의 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: rmbarOP = rmbarOR]를 만족하는 [eqn: y]축 위의 점을 [eqn: rmR]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]로 한없이 가까이 갈 때, [eqn: {TRIANGLE rmOPR} over {TRIANGLE rmOQP}]의 극한값은? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: {sqrt {5}} over {2}`] ③ [eqn: sqrt {2}`] ④ [eqn: sqrt {3}`] ⑤ [eqn: 2`]

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007. [eqn: sqrt {3} `cos theta -sin theta = {1} over {2}]일 때, [eqn: sqrt {3} `sin theta +cos theta]의 값은 [eqn: a]이다. [eqn: 4a ^{2}]의 값을 구하여라. [eqn: LEFT ( 단,```0 LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )] [eqn: 15]
008. 함수 [eqn: f(x)=cosx(0 LEQ x LEQ pi)]의 역함수 [eqn: y=g(x)]에 대하여 [eqn: g LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) = alpha], [eqn: g LEFT ( {12} over {13} RIGHT ) = beta]일 때, [eqn: sin( alpha - beta )]의 값은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 98]

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009. 다음 그림과 같이 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(8,```0)]과 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: {rm P}(0,```a)]에 대하여 [eqn: rmangleAPB= theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값이 최대가 되는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표를 구하여라. (단, [eqn: a>0]) [eqn: 4] [eqn: rm ANGLE OPB=alpha], [eqn: rmangleOPA=beta]라 할 때, [eqn: tanalpha= {8} over {a}], [eqn: tanbeta= {2} over {a}]이고 [eqn: theta=alpha-beta]이므로 [eqn: tantheta= {tanalpha-tanbeta} over {1+tanalphatanbeta} = {6} over {a+ {16} over {a}}]이다. 산술기하.
010. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고, 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서 현 [eqn: rmAB]를 긋고, 점 [eqn: rmB]를 지나 선분 [eqn: rm{OB}]에 수직인 직선이 선분 [eqn: rmOA]의 연장선과 만나는 점을 [eqn: rmT]라 하자. 이때 [eqn: theta], [eqn: sin theta], [eqn: tan theta]의 대소 관계로 옳은 것은? [eqn: LEFT ( 단,```0`<` theta `< {pi} over {2} RIGHT )] ① ① [eqn: sin theta < theta <tan theta] ② [eqn: theta <sin theta <tan theta] ③ [eqn: sin theta <tan theta < theta] ④ [eqn: tan theta <sin theta < theta] ⑤ [eqn: theta <tan theta <sin theta]

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011. 함수 [eqn: f(x)=sinx+cosx]에 대하여 [eqn: f _{1} (x)=f(x)], [eqn: f _{2} (x)=f _{1}' (x)], [eqn: f _{3} (x)=f _{2} prime (x)], [eqn: f _{4} (x)=f _{3} prime (x)], [eqn: CDOTS] 으로 정의할 때, [eqn: f _{1} (x)+f _{2} (x)+f _{3} (x)+ CDOTS +f _{2020} (x)]를 간단히 한 것은? ③ ① [eqn: -2cosx] ② [eqn: -2sinx] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 2sinx] ⑤ [eqn: 2cosx]
012. 함수 [eqn: f(x)=sin {1} over {2} x]에 대하여 [eqn: f _{1} (x)=f(x)], [eqn: f _{n} (x)=f(f _{n-1} (x))] 로 정의한다. [eqn: a _{n} = lim _{x-> 0} {{f _{n} (x)} over {sinx}}]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: a _{1} = {1} over {2}] ㄴ. [eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {1} over {2}] ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =1] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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013. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x ^{2} +x)-f(2x)=(x ^{2} -2x) ^{3} +x] 를 만족할 때, [eqn: f` prime (2)]의 값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
014. [eqn: e ^{f(x)} = sqrt {{1-cosx} over {1+cosx}}]를 만족하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: 1]

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015. 함수 [eqn: f(x)=ln(lnx)(x>1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: {g'(0)} over {g(0)}]의 값을 구하여라. ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: sqrt { e}] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: e^2]
016. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=kx+ln(x ^{2} +4)]의 역함수가 존재하기 위한 상수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: |k|ge a]이다. [eqn: 60a]의 값을 구하여라. [eqn: 30]

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017. 방정식 [eqn: 3x-k=lnx]가 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? ③ ① [eqn: 1-ln3] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 1+ln3] ④ [eqn: 2+ln3] ⑤ [eqn: 3]
018. [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi} over {3}]를 만족하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: cosx-k LEQ k sinx]가 성립하도록 실수 [eqn: k]의 값을 정할 때, 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하여라. ② ① [eqn: { 1} over { 2}] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 3over2] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 5over2]

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019. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim _{x-> 2} {{x-2} over {g(x)`-3} =4}]가 성립한다. 이때 [eqn: f`'(3)]의 값을 구하여라. ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
020. 함수 [eqn: g(x)= {2x+1} over {x ^{2} -x+2}]과 이차 이상의 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 합성함수 [eqn: h(x)=(f CIRC g)(x)]가 다음 두 조건을 모두 만족한다. (가) [eqn: h(0)`=3] (나) [eqn: h'(0)=5] 이때 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (2x-1) ^{2}]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(4)]를 구하여라. [eqn: 17]

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021. [eqn: f(a)= lim _{x-> a} {{x ^{3} -a ^{3}} over {e ^{x} -e ^{a}}}]일 때, [eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+h)-f(1-2h)} over {h}}]의 값을 구하여라. ④ ① [eqn: {3} over {e}] ② [eqn: {5} over {e}] ③ [eqn: {7} over {e}] ④ [eqn: 9 over e] ⑤ [eqn: {11} over {e}]
022. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}][eqn: (x _{1} <x _{2} )]에 대하여 [eqn: {f`'(x _{1} )} over {f'(x _{2} )} <1]을 만족할 때, 보기에서 [eqn: y=f(x)]가 될 수 있는 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f`'(x _{2} ) != 0]) ① ㄱ. [eqn: y=`-e ^{x}] ㄴ. [eqn: y=`ln`x] ㄷ. [eqn: y=`x`+`sin`x] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

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023. [eqn: 2] 이상의 양의 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=sin ^{n} x]의 그래프에서 변곡점의 좌표를 [eqn: (a _{n} ,```b _{n} )]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n}}]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,```0<x< {pi} over {2} RIGHT )] ⑤ ① [eqn: - {1} over {sqrt {e}}] ② [eqn: - {1} over {e}] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: {1} over {e}] ⑤ [eqn: {1} over {sqrt {e}}]
024. [eqn: x>1]일 때, 함수 [eqn: f(x)= {x ^{t}} over {x-1} (t>1)]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자. 이때 [eqn: lim _{t-> INF } {{g(t)} over {t}}]의 값은? ② ① [eqn: {1} over {2} e] ② [eqn: e] ③ [eqn: sqrt {2} e] ④ [eqn: sqrt {3} e] ⑤ [eqn: 2e]

	미적분 단원평가 [미분법] C1

025. 그림과 같이 폭이 각각 [eqn: rm8m], [eqn: 1rmm]인 통로가 직각으로 만나고 있다. 막대를 바닥면에 수평으로 들고 모서리를 돌아갈 수 있는 막대의 최대 길이는 [eqn: a rmm]이다. [eqn: a^2]의 값을 구하여라. (단, 막대의 두께는 무시한다.) [eqn: 125] 짱구를 굴려보자. 그림과 같이 점 [eqn: rmP]를 지나는 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최솟값이 답이다. 선분 [eqn: rmAB]와 대충 [eqn: y]축 방향이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: rm bar{AP} = {8} over {sintheta}], [eqn: rm bar{BP} = {1} over {costheta}]이다. [eqn: rm bar{AB} = { 8 } over {sintheta } + { 1} over { costheta}]를 미분하면 [eqn: sintheta= {2} over {sqrt {5}}], [eqn: costheta= {1} over {sqrt {5}}]일 때 최소이다.

[미적분 단원평가]

미분법 C1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	③	02	③	03	[eqn: 6]	04	[eqn: 9]	05	②
06	③	07	[eqn: 15]	08	[eqn: 98]	09	[eqn: 4]	10	①
11	③	12	⑤	13	①	14	[eqn: 1]	15	①
16	[eqn: 30]	17	③	18	②	19	④	20	[eqn: 17]
21	④	22	①	23	⑤	24	②	25	[eqn: 125]

9번 해설

[eqn: rm ANGLE OPB=alpha], [eqn: rmangleOPA=beta]라 할 때, [eqn: tanalpha= {8} over {a}], [eqn: tanbeta= {2} over {a}]이고 [eqn: theta=alpha-beta]이므로

[eqn: tantheta= {tanalpha-tanbeta} over {1+tanalphatanbeta} = {6} over {a+ {16} over {a}}]이다. 산술기하.

25번 해설

짱구를 굴려보자. 그림과 같이 점 [eqn: rmP]를 지나는 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최솟값이 답이다.

선분 [eqn: rmAB]와 대충 [eqn: y]축 방향이 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: rm bar{AP} = {8} over {sintheta}], [eqn: rm bar{BP} = {1} over {costheta}]이다.

[eqn: rm bar{AB} = { 8 } over {sintheta } + { 1} over { costheta}]를 미분하면 [eqn: sintheta= {2} over {sqrt {5}}], [eqn: costheta= {1} over {sqrt {5}}]일 때 최소이다.