미적분 단원평가

미분법 [B3]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

001. 다음 중 옳은 것은? ④ ① [eqn: lim _{x -> 0+} {log _{5} x= INF }] ② [eqn: lim _{x -> inf} {log _{{1} over {4}} x} =0] ③ [eqn: ` lim _{x`->inf} {3 ^{x} =-inf}] ④ [eqn: lim _{x->-inf} {3 ^{x} =0}] ⑤ [eqn: lim _{x->inf} {log _{{1} over {4}} x} =inf]
002. [eqn: cos A= 4over5], [eqn: cos B = 3over5]일 때, [eqn: sin (A-B) -cos(A+B)]의 값은? (단, [eqn: 0<A< piover2], [eqn: 3over2 pi <B< 2pi]) ③ ① [eqn: - 7over25] ② [eqn: - 1over25] ③ [eqn: 1over25] ④ [eqn: 3over 25] ⑤ [eqn: 7over25]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

003. [eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3x} RIGHT ) RIGHT }^6x]의 값은? ④ ① [eqn: e^2] ② [eqn: e^3] ③ [eqn: e^4] ④ [eqn: e^5] ⑤ [eqn: e^6]
004. 함수 [eqn: f(x) = log_2 4x - 3x+1]에 대하여 [eqn: lim_x->1 f(x) over x-1]의 값은? ① ① [eqn: 1overln2 -3] ② [eqn: 1overln2 -2] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: ln2 -3] ⑤ [eqn: ln2-2]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

005. [eqn: lim _{x -> 0} {{x(sin5x+sinx)} over {sec ^{2} x-1}}]의 값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
006. 함수 [eqn: f(x)= {cases{5+a rm ln it x```(0<x LEQ 1)#bx+3``````````(x>1)}}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

007. 함수 [eqn: f(x)= lim_h->0 {x^2 sin(x+h) - x^2 cos left( piover2 -x right)} over h]에 대하여 [eqn: f` prime left( {pi } over {2} right)]의 값은? ② ① [eqn: - pi^2] ② [eqn: - pi^2over4] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: pi^2 over4] ⑤ [eqn: pi^2]
008. 곡선 [eqn: y= sinx cosx] 위의 점 [eqn: left( pi over3 ,``` sqrt { 3}over4 right)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m^2]의 값은? ② ① [eqn: 3over16] ② [eqn: 1over4] ③ [eqn: 1over2] ④ [eqn: 3over4] ⑤ [eqn: 1]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

009. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x->0} {{f(x)} over {ln(1+x)} =3}]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)+e ^{x} -1} over {ln(1+x)}}]의 값은? ⑤ ① [eqn: `0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]
010. 곡선 [eqn: y=log _{2} x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP it (t,```log _{2} t)]와 두 점 [eqn: rm A(1,```0)], [eqn: rm B(3,```0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PAB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라고 할 때, [eqn: lim _{t -> 1+} {{t-1} over {S(t)}}]의 값을 구하면? ③ ① [eqn: {1} over {ln2}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: ln2] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

011. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmA(1,```0)], [eqn: rmB(-1,```0)]과 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: rmanglePAO=theta]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rm PBQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. 이때, [eqn: lim _{theta->0+} {S(theta)} over {theta ^{3}}]의 값은? ① ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 32]
012. 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라고 하자. 직선 [eqn: rmPQ]와 수직이고 점 [eqn: rm Q]를 지나는 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 점 [eqn: rm A(1,` `0)]에 대하여 [eqn: ANGLE rm POA=theta LEFT ( 0<theta< {pi} over {2} RIGHT )]라 할 때, [eqn: rm lim _{theta -> 0+} {{bar{QR} - bar{OP}} over {bar{AQ}}}]의 값은? ⑤ (단, 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고, [eqn: rm O]는 원점이다.) ① [eqn: {1} over {4}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {3} over {2}] ⑤ [eqn: 2]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

013. 함수 [eqn: f(x)=ax+2x ^{2} lnx-3x ^{2}]가 [eqn: x>0]에서 증가할 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위는? ④ ① [eqn: a LEQ -1] ② [eqn: a GEQ -1] ③ [eqn: a LEQ 4] ④ [eqn: a GEQ 4] ⑤ [eqn: a LEQ -4]
014. 두 방정식 [eqn: lnx-2=kx], [eqn: e ^{x+3} =kx]가 모두 실근을 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: a<k<b]일 때, [eqn: ab from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]의 값은? ④ ① [eqn: 1 over e^2 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================] ② [eqn: 1overe from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: e ^{2}]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

015. 함수 [eqn: f(x)= sqrt { x^3 +x^2 +x+1}]에 대하여 함수 [eqn: f(x-1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: g'(2)]의 값은? ① ① [eqn: {2} over {3}] ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 3over2] ⑤ [eqn: sqrt { 3}]
016. 닫힌 구간 [eqn: [-1,```1]]에서 함수 [eqn: f(x)=x sqrt { 1-x^2}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? ③ ① [eqn: {1} over {2}] ② [eqn: {3} over {4}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {5} over {4}] ⑤ [eqn: 3over2]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

017. 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=sin^5 `x``left(0<x< piover2 right)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: tan^4 `a]의 값을 구하여라. [eqn: 16``]
018. 좌표평면에서 점 [eqn: rmA(4,```4)]와 곡선 [eqn: y= { 1} over {x }] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmAP]의 길이의 최솟값은? ⑤ ① [eqn: 2sqrt { 2}] ② [eqn: 3] ③ [eqn: sqrt { 10}] ④ [eqn: 2sqrt { 3}] ⑤ [eqn: sqrt { 14}]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

019. 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 등식 [eqn: f(x)-g(x) = cos`x - 1 over12 x^2] 을 만족시킬 때, 방정식 [eqn: {g`'(x) }over{f`'(x)} + {f`'(x)} over {g`'(x)} =2]의 근의 개수는? ③ (단, [eqn: f`'(x)`g`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않는다.) ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]
020. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 일대일 대응 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: f(4)=f` prime (4)=2], [eqn: g(1)=g'(1)=2] 를 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: h(x)]에 대하여 [eqn: k(x)=(h CIRC g)(x)]일 때, [eqn: k(1)+k` prime (1)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 7] ② [eqn: 13over2] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: {11} over {2}] ⑤ [eqn: 5]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

021. 함수 [eqn: f(x)=|x^2 -1|e^-x]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ① ㄱ. [eqn: f'(0)=-1] ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. ㄷ. 양수 [eqn: k]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=k]의 실근의 개수의 최솟값은 [eqn: 2]이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
022. 아래 그림의 [eqn: rmOP], [eqn: rmOQ]는 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 사분원의 반지름이고, 선분 [eqn: rmAB]는 반지름 [eqn: rmOP]에 평행하며, 사각형 [eqn: rmABCD]는 정사각형이다. [eqn: angle rmAOB = theta][eqn: LEFT ( 0<theta<{pi}over{2} RIGHT )]라 할 때, 색칠한 부분의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta]의 값은? ④ ① [eqn: sqrt { 3}over3] ② [eqn: 1] ③ [eqn: sqrt { 3}] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

023.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: 0 <x<e])

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+a)=f(x)+b]이다.

(나) [eqn: -a le x le 0]일 때, [eqn: f(x)=x^2 e^x]이다.

①

잘라서 평행이동으로 이어붙이는 함수이다.

실수 전체에서 미분가능하려면 [eqn: f`'(0)=f`'(a)]이어야 한다.

① [eqn: -{ 8} over {e^2 }]	② [eqn: -{ 8} over { e}]	③ [eqn: -{ 4} over {e^2 }]

④ [eqn: -{ 4} over {e }]	⑤ [eqn: -{ 2} over {e^2 }]

024.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} e ^{x} +k&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )#`-x ^{2} `&```(x<0)}}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -f LEFT ( x RIGHT )]가

다음 조건을 만족하도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

①

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~`~~0 _{{} _{}}&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{}}#`-2f LEFT ( x RIGHT ) ^{{} ^{}}&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT ) ^{{} ^{}}}}]이므로 [eqn: k]의 값의 범위에 따라 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 그리면

[eqn: k GEQ 0]일 때	[eqn: -4<k<0]일 때	[eqn: k=-4]일 때	[eqn: k<`-4]일 때

미분가능하지 않은 점의 개수는 각각 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 2]이다. 조건을 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: -4<k<0]이다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2]개다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	미적분 단원평가 [미분법] B3

025. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} e ^{ax}][eqn: (a<0)]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) GEQ t][eqn: (t>0)]을 만족시키는 [eqn: x]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 정의하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t= {16} over {e ^{2}}]에서 불연속일 때, [eqn: 100a ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: lim_x->inf f(x) =0]) [eqn: 25] [eqn: f(x) = x^2 e^ax (a<0)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⅰ) [eqn: 0 <t < k]일 때, 그림을 째려보자. [eqn: g(t)=alpha_3]이다. ⅱ) [eqn: t = k]일 때, [eqn: g(t)=- {2} over {a}]이다. ⅲ) [eqn: t> k`]일 때, [eqn: f(gamma)=t`]의 실근을 [eqn: gamma`]라 하면 [eqn: g(t) = gamma`]이다. [eqn: g(t)]는 [eqn: 0<t<k], [eqn: t>k]인 모든 점에서 연속함수이므로 [eqn: t=k]에서의 연속성을 조사하면 된다. [eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } = - 2 over a]에서 [eqn: a<0]이므로 [eqn: - {2} over {a} >0] [eqn: lim _{t -> k+} {g(t)} = beta]에서 [eqn: beta <0]이므로 [eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } != lim _{t -> k +} {g(t)}]이다. 따라서 함수 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t=k]에서만 불연속이다. [eqn: k = 4 over{a^2 e^2} = 16 over e^2`]이므로 [eqn: a ^{2} = {1} over {4}]이다.

[미적분 단원평가]

미분법 B3 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	④	02	③	03	④	04	①	05	④
06	④	07	②	08	②	09	⑤	10	③
11	①	12	⑤	13	④	14	④	15	①
16	③	17	[eqn: 16``]	18	⑤	19	③	20	⑤
21	①	22	④	23	①	24	①	25	[eqn: 25]

23번 해설

잘라서 평행이동으로 이어붙이는 함수이다.

실수 전체에서 미분가능하려면 [eqn: f`'(0)=f`'(a)]이어야 한다.

24번 해설

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~`~~0 _{{} _{}}&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{}}#`-2f LEFT ( x RIGHT ) ^{{} ^{}}&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT ) ^{{} ^{}}}}]이므로 [eqn: k]의 값의 범위에 따라 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 그리면

[eqn: k GEQ 0]일 때	[eqn: -4<k<0]일 때	[eqn: k=-4]일 때	[eqn: k<`-4]일 때

미분가능하지 않은 점의 개수는 각각 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 2]이다. 조건을 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: -4<k<0]이다.

25번 해설

[eqn: f(x) = x^2 e^ax (a<0)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

ⅰ) [eqn: 0 <t < k]일 때, 그림을 째려보자. [eqn: g(t)=alpha_3]이다.

ⅱ) [eqn: t = k]일 때, [eqn: g(t)=- {2} over {a}]이다.

ⅲ) [eqn: t> k`]일 때, [eqn: f(gamma)=t`]의 실근을 [eqn: gamma`]라 하면 [eqn: g(t) = gamma`]이다.

[eqn: g(t)]는 [eqn: 0<t<k], [eqn: t>k]인 모든 점에서 연속함수이므로

[eqn: t=k]에서의 연속성을 조사하면 된다.

[eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } = - 2 over a]에서 [eqn: a<0]이므로 [eqn: - {2} over {a} >0]

[eqn: lim _{t -> k+} {g(t)} = beta]에서 [eqn: beta <0]이므로 [eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } != lim _{t -> k +} {g(t)}]이다.

따라서 함수 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t=k]에서만 불연속이다. [eqn: k = 4 over{a^2 e^2} = 16 over e^2`]이므로 [eqn: a ^{2} = {1} over {4}]이다.