미적분 단원평가

미분법 [B1]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

001. [eqn: 1]이 아닌 양수 [eqn: a]와 상수 [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 0} {{a ^{x} +b} over {ln(2x+1)} =ln5}]일 때, [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: 21] ② [eqn: 22] ③ [eqn: 23] ④ [eqn: 24] ⑤ [eqn: 25]
002. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 + lnx]에 대하여 [eqn: lim _{n -> inf} {n LEFT { f` LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) -f` LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]의 값은? ③ ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

003. [eqn: 0 LEQx LEQ2 pi]일 때, 방정식 [eqn: 4`sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT ) `cos` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) +3`cos`x=0] 을 만족시키는 모든 실근의 합은? ④ ① [eqn: {3} over {2} pi] ② [eqn: 2 pi] ③ [eqn: {5} over {2} pi] ④ [eqn: 3 pi] ⑤ [eqn: {7} over {2} pi]
004. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim from x->0 { sin 6 x } over { root ax+b - 2 } = 3]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a != 0]) ③ ① [eqn: 8] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 16]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

005. 함수 [eqn: f`(x)=a cosx+b sinx]에 대하여 [eqn: lim _{x rarrow {pi} over {2}} {{f LEFT ( x RIGHT ) -6} over {x- {pi} over {2}}} =4]일 때, [eqn: a+b]의 값은? ② (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
006. 함수 [eqn: f(x)= ax over{x^2 +3}]에 대하여 [eqn: lim _{x rarrow1} {} {f(x)-f(1)} over {x-1} = {3} over {4}], [eqn: lim _{h rarrow0} {} {f(h)} over {h} =b] 일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) ② ① [eqn: 6] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 14]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

007. [eqn: 0<x<2pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln(1+cos^2 x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm P( it a,```f(a))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {4cosa}over7]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? ⑤ ① [eqn: 3pi] ② [eqn: 7over2 pi] ③ [eqn: 4pi] ④ [eqn: 9over2 pi] ⑤ [eqn: 5pi]
008. 매개변수 [eqn: t(t>0)]으로 나타내어진 곡선 [eqn: x= {1-t} over {1+t}], [eqn: y= {t ^{2}} over {1+t}] 에 대하여 [eqn: t=n]([eqn: n]은 자연수)에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^inf 1overf(n)]의 값은? ① ① [eqn: - 3over2] ② [eqn: - 1over2] ③ [eqn: 1over2] ④ [eqn: 3over2] ⑤ [eqn: 5over2]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

009. 곡선 [eqn: x^2 +xy-y^2 =4] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선의 기울기가 모두 [eqn: 3]일 때, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리는? ② ① [eqn: 3root2] ② [eqn: 4root2] ③ [eqn: 5root2] ④ [eqn: 6root2] ⑤ [eqn: 7root2]
010. 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: lim_x->2 g(x)-1overx-2 =8] 을 만족시킬 때, 함수 [eqn: "{"f(x)"}"^2]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는? ② ① [eqn: 1over4] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

011. 곡선 [eqn: f(x)=x ln(ex+a)] 위의 점 [eqn: (0,```f(0))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]일 때, [eqn: lim_x->0 {f`'(x)-1}overx]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ② ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: e] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 2e]
012. 곡선 [eqn: y=lnx]에 접하고 직선 [eqn: 2x+y+1=0]에 수직인 직선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ② ① [eqn: ln2-1] ② [eqn: ln2- 1over2] ③ [eqn: ln2] ④ [eqn: ln2+ 1over2] ⑤ [eqn: ln2+1]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

013. 함수 [eqn: f(x)=ax-2sin2x]가 열린구간 [eqn: left(0,``` piover2 right)]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값은? ② ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10]
014. 열린구간 [eqn: (0,```2 pi )]에서 함수 [eqn: f(x)= {sinx} over {cosx+2}]가 극값을 갖는 서로 다른 실수 [eqn: x]의 개수는? ① ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

015. 곡선 [eqn: f(x)=cos^2 x(-k pi<x<k pi)]가 서로 다른 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT ) > {f(a)+f(b)} over {2}] 를 만족시킬 때, 양의 유리수 [eqn: k]의 최댓값은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 1over3] ④ [eqn: 1over4] ⑤ [eqn: 1over5]
016. 닫힌구간 [eqn: [1,```4e ^{2} ]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln`x+ a overx] 가 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가질 때, 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M-m]의 값은? ① ① [eqn: ln2+1+ {1} over {2e ^{2}}] ② [eqn: ln3+1+ 1over3e^2] ③ [eqn: ln4+1+ 1over4e^2] ④ [eqn: ln5+1+ 1over5e^2] ⑤ [eqn: ln6+1+ 1over6e^2]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

017. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x over{x^2 +1}gea] 가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? ① ① [eqn: - 1over2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: - 3over2] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: - 5over2]
018. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(0le t le2pi)]에서의 좌표 [eqn: (x,```y)]가 [eqn: x=2t-sint], [eqn: y=2t-cost] 로 주어질 때, 점 [eqn: rmP]의 속력의 최댓값은 [eqn: t=a]일 때이다. [eqn: a]의 값은? ② ① [eqn: 0] ② [eqn: 3over4 pi] ③ [eqn: pi] ④ [eqn: 7over4 pi] ⑤ [eqn: 2pi]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

019. 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: lim _{x ->inf} {x ^{a} ln LEFT ( b+ {c} over {x ^{2}} RIGHT ) =2}]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? ① ① [eqn: 5`] ② [eqn: 6`] ③ [eqn: 7`] ④ [eqn: 8`] ⑤ [eqn: 9`]
020. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원 [eqn: O]에서 길이가 [eqn: 2a], [eqn: 5a]인 호에 대한 현의 길이를 각각 [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: lim _{a-> 0+} {} {b+c} over {a}]의 값은? ⑤ ① [eqn: 5] ② [eqn: {11} over {2}] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: {13} over {2}] ⑤ [eqn: 7]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

021. 원점에서 곡선 [eqn: y=(x+a)e ^{-x}]에 오직 하나의 접선을 그을 수 있을 때, 상수 [eqn: a]의 값은? ④ (단, [eqn: a != 0]) ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]
022. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=e^-x LEFT ( sin`x +cos`x RIGHT ) ~ LEFT ( x>0 RIGHT )]가 극대일 때의 [eqn: x]의 값을 작은 것부터 차례대로 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}], [eqn: CDOTS]이라 하면 [eqn: x_20 -x_10 =k pi]이다. 이때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 20]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

023. 함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} +a`cosx]의 그래프가 변곡점을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: a != 0]) [eqn: 12]
024. 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)=xe ^{x}], [eqn: g(x)=-x ^{2} +k]일 때, 임의의 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 부등식 [eqn: f(x _{1} ) GEQ g(x _{2} )]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은? ⑤ ① [eqn: - {5} over {e}] ② [eqn: - {4} over {e}] ③ [eqn: - {3} over {e}] ④ [eqn: - {2} over {e}] ⑤ [eqn: - {1} over {e}]

	미적분 단원평가 [미분법] B1

025. 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: f(t)=e ^{2t}], [eqn: g(t)=kt ^{2}]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 속도가 같은 시각이 한 번뿐일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ② ① [eqn: e] ② [eqn: 2e] ③ [eqn: 3e] ④ [eqn: 4e] ⑤ [eqn: 5e]

[미적분 단원평가]

미분법 B1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	④	02	③	03	④	04	③	05	②
06	②	07	⑤	08	①	09	②	10	②
11	②	12	②	13	②	14	①	15	④
16	①	17	①	18	②	19	①	20	⑤
21	④	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 12]	24	⑤	25	②

22번 해설

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )=-e^-x LEFT ( sin`x +cos`x RIGHT )+e^-x LEFT ( cos`x -sin`x RIGHT )][eqn: =-2e^-x sin`x]

[eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT )=2e^-x sinx -2e^-x cosx][eqn: =2e^-x LEFT ( sin`x -cos`x RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )=0] [eqn: LRARROW] [eqn: sinx=0] [eqn: LRARROW] [eqn: x=n pi LEFT ( n=1,```2,```3,``` CDOTS RIGHT )]

[eqn: x= LEFT ( 2m-1 RIGHT ) pi]([eqn: m]은 자연수)일 때, [eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT )>0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖고,

[eqn: x=2m pi]([eqn: m]은 자연수)일 때, [eqn: f` ''LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값을 갖는다.

[eqn: x_10 =20pi], [eqn: x_20 =40pi]이므로 [eqn: x_20 -x_10 =20pi]이다.

24번 해설

임의의 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: f(x _{1} ) GEQ g(x _{2} )]가 성립하려면

[eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: g(x)]의 최댓값보다 크거나 같아야 한다.

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(-1)=- {1} over {e}]이고,

[eqn: g(x)=-x ^{2} +k]의 최댓값은 [eqn: g(0)=k]이므로 [eqn: k LEQ - {1} over {e}]이다.

25번 해설

시각 [eqn: t]에서의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도는 각각 [eqn: f'(t)=2e ^{2t}], [eqn: g'(t)=2kt]이다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같은 시각이 한 번뿐이려면 두 함수 [eqn: y=e ^{2t}], [eqn: y=kt]의 그래프가 접해야 한다.

접점의 [eqn: t]좌표를 [eqn: a]라 하면

[eqn: e ^{2a} =ka]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: 2e ^{2a} =k]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 [eqn: a= { 1} over {2 }], [eqn: k=2e]이다.