미적분 단원평가

미분법 [A1]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

001. [eqn: lim _{x rarrow inf} {LEFT ( 1+ {1} over {2x} RIGHT ) ^{-4x}}]의 값은? ① ① [eqn: 1 over e^2] ② [eqn: 1 over e] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: e^2]
002. [eqn: lim _{x rarrow0} { {ln(1+2x)} over {e ^{x} -1}}]의 값은? ④ ① [eqn: 1 over 4] ② [eqn: 1 over 2] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2] ⑤ [eqn: 4]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

003. 함수 [eqn: f(x)=e ^{x} -x ^{2} +7x]에 대하여 [eqn: f` prime(0)]의 값을 구하여라. [eqn: 8]
004. 함수 [eqn: f(x) = left( 2^x + 4 right) log _2 x]에 대하여 [eqn: lim _{ x->1} { { f(x)} over { x ^2 - 1 } }]의 값은? ③ ① [eqn: 1 over {ln 2}] ② [eqn: { 2} over { ln 2 }] ③ [eqn: { 3} over { ln 2}] ④ [eqn: { 4} over { ln 2}] ⑤ [eqn: { 5} over { ln 2 }]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

005. [eqn: sin alpha= {4} over {5}], [eqn: cos beta= {sqrt {6}} over {3}]일 때, [eqn: sin ( alpha + beta )]의 값은? [eqn: left( pile{ `#` }]단, [eqn: pi over 2 < alpha < pi], [eqn: 0 < beta < pi over 2][eqn: pile{ `#` } right)] ③ ① [eqn: { 2 sqrt { 6} - sqrt { 3} } over { 15}] ② [eqn: {3 root 6 - 2 root 3 } over { 15}] ③ [eqn: { 4 sqrt { 6} - 3 root 3 } over { 15}] ④ [eqn: { 5 root 6 - 4 root 3} over { 15}] ⑤ [eqn: { 6 sqrt { 6 }- 5 sqrt { 3} } } over { 15}]
006. 좌표평면에서 두 직선 [eqn: y=2x], [eqn: y=4x]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sec ^ 2 theta]의 값은? ⑤ ① [eqn: 73 over 81] ② [eqn: 76 over 81] ③ [eqn: 79 over 81] ④ [eqn: 82 over 81] ⑤ [eqn: 85 over 81]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

007. 함수 [eqn: f(x)= x-1over{x^2 +x+1}]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값은? ② ① [eqn: 1over2] ② [eqn: 1over3] ③ [eqn: 1over4] ④ [eqn: 1over5] ⑤ [eqn: 1over6]
008. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x^3 +x)=x^4 +x^2 -x-1] 이 성립할 때, [eqn: f`'(2)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1over4] ② [eqn: 1over2] ③ [eqn: 3over4] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 5over4]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

009. 매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수 [eqn: x= {1-t} over {1+t], [eqn: y= t^2over1-t] 에서 [eqn: t=it-2]일 때, [eqn: dy over dx]의 값은? ④ ① [eqn: 1over9] ② [eqn: 2over9] ③ [eqn: 1over3] ④ [eqn: 4over9] ⑤ [eqn: 5over9]
010. 함수 [eqn: f(x)=x^3 -x^2 +4x-2]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: lim_h->0 {g(2+2h)-g(2-h)}overh]의 값은? ③ ① [eqn: 1over5] ② [eqn: 2over5] ③ [eqn: 3over5] ④ [eqn: 4over5] ⑤ [eqn: 1]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

011. 함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} +4)e ^{2x}]에 대하여 [eqn: f`''(0)]의 값을 구하여라. [eqn: 18]
012. 곡선 [eqn: y= {2} over {2x+1}] 위의 점 [eqn: (-1,```-2)]에서의 접선 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 7over2] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 9over2] ⑤ [eqn: 5]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

013. 함수 [eqn: f(x)=(x^2 -2x-3)e^x]이 감소하는 구간이 [eqn: [ alpha ,``` beta ]]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은? ⑤ ① [eqn: 2] ② [eqn: 2root2] ③ [eqn: 2root3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 2root5]
014. 함수 [eqn: f(x)= {x^2 +12}overx+2]의 극댓값을 [eqn: a], 극솟값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: b-a]의 값은? ⑤ ① [eqn: -16] ② [eqn: -10] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 16]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

015. 함수 [eqn: f(x)=x+root{a-x^2}]이 [eqn: x=2]에서 극댓값 [eqn: b]를 가질 때, [eqn: a+b]의 값은? ② (단, [eqn: a]는 상수이다.) ① [eqn: 11] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 14] ⑤ [eqn: 15]
016. 열린구간 [eqn: (0,```2 pi )]에서 함수 [eqn: f(x)=cos ^{2} x+x]의 변곡점의 개수는? ③ ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

017. 닫힌구간 [eqn: [-2,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)= x-1over{x^2 -x+1}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M-m]의 값은? ① ① [eqn: 4over3] ② [eqn: 5over3] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 7over3] ⑤ [eqn: 8over3]
018. 방정식 [eqn: e^x+2 =x+k]가 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

019. 부등식 [eqn: x lnx ge2x+a]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은? (단, [eqn: lim_x->0+ x lnx=0]) ② ① [eqn: -2e] ② [eqn: -e] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: e] ⑤ [eqn: 2e]
020. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(itx,```y)]의 시각 [eqn: t(t>0)]에서의 위치가 [eqn: x=at^2], [eqn: y=2at^3 +t] 일 때, [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은 [eqn: root13]이다. 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? ③ ① [eqn: - 1over10] ② [eqn: - 1over5] ③ [eqn: - 3over10] ④ [eqn: - 2over5] ⑤ [eqn: - 1over2]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

021. [eqn: a>1]일 때, 함수 [eqn: f(x) = { a^x + log _4 x } over { 4^x + log _a x }]에 대하여 [eqn: lim _{ x -> 0+} {f(x) = 2 }]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 16]
022. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -8x+5=0]의 두 근이 [eqn: tan alpha], [eqn: tan beta]일 때, [eqn: LEFT | tan LEFT ( alpha - beta RIGHT ) RIGHT |]의 값은? ① ① [eqn: {sqrt {11}} over {3}] ② [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}] ③ [eqn: {sqrt {13}} over {3}] ④ [eqn: {sqrt {14}} over {3}] ⑤ [eqn: {sqrt {15}} over {3}]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

023. 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->1 f(x)-2overx-1 =8] 을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g'(2)= q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 17]
024. 직선 [eqn: y=ax-1]이 두 곡선 [eqn: y=lnx], [eqn: y=bx^2]에 동시에 접할 때, [eqn: ab]의 값은? ③ (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) ① [eqn: 1over2] ② [eqn: 1over3] ③ [eqn: 1over4] ④ [eqn: 1over5] ⑤ [eqn: 1over6]

	미적분 단원평가 [미분법] A1

025. 사차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 [eqn: d overdx`ln"{"f(x)"}"^2 ge0]을 만족시키는 [eqn: 10] 이하의 정수 [eqn: x]의 개수를 구하여라. [eqn: 11]

[미적분 단원평가]

미분법 A1 정답표

문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답	문항	정답
01	①	02	④	03	[eqn: 8]	04	③	05	③
06	⑤	07	②	08	⑤	09	④	10	③
11	[eqn: 18]	12	④	13	⑤	14	⑤	15	②
16	③	17	①	18	③	19	②	20	③
21	[eqn: 16]	22	①	23	[eqn: 17]	24	③	25	[eqn: 11]

21번 해설

함수 [eqn: f(x) ={ a^x + log _4 x } over { 4^x + log _a x }]에서 [eqn: lim _{ x -> 0+} {log _a x = - inf }]이다.

이때 밑 변환공식을 쓰면 [eqn: lim _{ x ->0+} {f(x) }][eqn: = lim _{x rarrow 0+} {{a ^{x} + {logx} over {log4}} over {4 ^{x} + {logx} over {loga}}}]이므로

[eqn: logx]의 계수를 비교하면 [eqn: log _4 a = 2]에서 [eqn: a= 4^2 = 16]이다.

23번 해설

[eqn: lim_x->1 f(x)-2overx-1 =8]에서 [eqn: f(1)=2], [eqn: f`'(1)=8]이다.

한편 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(f(2x))=x],

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하고 정리하면 [eqn: g prime (f(2x))= {1} over {2f` prime (2x)}]이다.

양변에 [eqn: x= 1over2]을 대입하면 [eqn: g'(f(1))= 1over{2f`'(1)]이고, [eqn: g'(2)= 1over2times8 = 1over16]이다.

25번 해설

[eqn: d overdx `ln"{"f(x)"}"^2][eqn: = d overdx "{"2 lnf(x)"}"][eqn: = {2f`'(x)}overf(x)]

[eqn: d overdx`ln"{"f(x)"}"^2 ge0]에서 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: f`'(x)ge0]이어야 한다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]가 증가하여야 하므로 주어진 그래프에서 증가하는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: -3le x le-1] 또는 [eqn: x ge3]

따라서 만족시키는 [eqn: 10] 이하의 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3+8=11]이다.