5A ACADEMY

診斷評價

[미적분]

이름 :
학교/학년 :
시험일 :
시험시간 :	60분
점수 :

	[미적분]
	수학 영역

다음 급수의 합은 [eqn: S]이다. [eqn: 20S]의 값을 구하여라.

[eqn: 40]

[eqn: 1 over 1 + 1over 1+2 + 1over 1+2+3 +`cdots`]

이차방정식 [eqn: x ^ 2 - 6x + 4 = 0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,
[eqn: lim _{ n-> inf} {alpha ^ n+1 + beta ^ n+1 } over { alpha ^ n + beta ^ n]의 값은?

⑤

① [eqn: -3 - sqrt { 5}]	② [eqn: -3 + sqrt { 5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3 - sqrt { 5}]	⑤ [eqn: 3+ sqrt { 5}]

그림과 같은 [eqn: bar{rm AB _{1} it} = bar{rm B _{1} C _{1}} =4]인 직각삼각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1}]이 있다.
두 선분 [eqn: rm AB rm _{it n}], [eqn: rm AC rm _{it n rm}][eqn: LEFT ( n=1,```2,```3,``` CDOTS RIGHT )]의 중점을 각각 [eqn: rm B rm _{it n+1 rm}],
[eqn: rm C rm _{it n+1 rm}]이라 하고, 부채꼴 [eqn: rm B _{it n+1} rm B _{it n} rm C _{it n+1}]을 삼각형 [eqn: rm A _{it rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm}]의
내부에 그리고, 선분 [eqn: rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm}]을 지름으로 하는 반원
[eqn: H _{n}]을 부채꼴 [eqn: rm B _{it n+1} rm B _{it n} rm C _{it n+1}]의 내부에 그린다. 이때, 부채꼴
[eqn: rm B _{it n+1} rm B _{it n} rm C _{it n+1}]의 내부와 반원 [eqn: H _{n}]의 외부의 공통 부분의
넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}]의 값은?

②

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: {4} over {5} pi]	⑤ [eqn: {5} over {6} pi]

				6

	수학 영역

[eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+cx)} over {e ^{ax+b} -1} =5]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: {b+c} over {a}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a ne0])

[eqn: 5`]

곡선 [eqn: y= lnx] 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP} LEFT ( t,```lnt RIGHT )]와
두 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,```0 RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( e,```0 RIGHT )]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAB]의
넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{ t->1+} { {S LEFT ( t RIGHT )} over{t-1}}]의 값은?

①

① [eqn: { e-1} over {2 }]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: 2 LEFT ( e-1 RIGHT )]

④ [eqn: { e LEFT ( e-1 RIGHT ) } over { 2}]	⑤ [eqn: e^2 -1]

[eqn: sin`alpha = 1 over root5], [eqn: cos`beta = 3 over root10]일 때, [eqn: alpha+beta]의 값은?
[eqn: left( 단,```0< alpha < pi over 2 ,``` 0 < beta < pi over 2 right)]

②

① [eqn: pi over 6]	② [eqn: pi over 4]	③ [eqn: pi over3]

④ [eqn: 2 over 3 pi]	⑤ [eqn: 3 over 4 pi]

그림과 같이 정사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: anglermPBQ=theta]라 할 때,
[eqn: tantheta]의 값은? (단, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 각각 [eqn: rmbarAD], [eqn: rmbarCD]의
중점이다.)

⑤

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {3} over {7}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: 3over4]

				6

	수학 영역

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2} -} {LEFT ( {sinx+cosx} over {sinx} RIGHT ) ^{tanx}}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: {2} over {3} e]

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm A= it {pi } over {2}], [eqn: bar{rm AB it}=1]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의
꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], [eqn: ANGLErmB=2theta]라
할 때, [eqn: lim _{theta-> 0} { {bar{rmCH}} over {theta ^{2}} }]의 값을 구하여라.

[eqn: 4]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cosx} over {1-sinx}]에 대하여 극한
[eqn: lim _{h->0} {{f LEFT ( {pi} over {3} +h RIGHT ) -f LEFT ( {pi} over {3} -h RIGHT )} over {h}}]
의 값은?

⑤

① [eqn: 8-4 sqrt {3} `]	② [eqn: 8-2 sqrt {3} `]	③ [eqn: 8+ sqrt {3} `]

④ [eqn: 8+2 sqrt {3} `]	⑤ [eqn: 8+4 sqrt {3} `]

함수 [eqn: f(x)=ln(x ^{lnx} )]에 대하여 [eqn: f`''( sqrt {e} )`]의 값은?

③

① [eqn: 2e]	② [eqn: e]	③ [eqn: 1overe]

④ [eqn: {2} over {e}]	⑤ [eqn: 1]

				6

	수학 영역

함수 [eqn: f(x)=ln sqrt {{2+x} over {2-x}}][eqn: LEFT ( -2<x<2 RIGHT )]의 역함수를
[eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g`'(0)]의 값은?

④

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]와
[eqn: x=3]에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]의
시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: x_{ rm P}], [eqn: x_{ rm Q}]는 다음과 같다.
[eqn: x _{rm P it} =sint], [eqn: x _{rm Q it} =3-sint]
두 점 사이의 거리가 최대인 순간에 점 [eqn: rm P]의 가속도의
크기를 구하여라.

[eqn: 1]

실수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=(x-p)e ^{-x}]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

<보 기>

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=p+1]에서 최댓값을 가진다.

ㄴ. 함수 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: x=p+2]에서 최솟값을 가진다.

ㄷ. 점 [eqn: (k,```0)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의

개수가 [eqn: 1]인 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 2p+4]다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

				6

	수학 영역

정적분 [eqn: int_1^e^2 sqrtx {rmln}xdx]의 값은?
(단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

④

① [eqn: 1over9 (e^3 +1)]	② [eqn: 1over9 (2e^3 +1)]	③ [eqn: 4over9 (e^3 +1)]

④ [eqn: 4over9 (2e^3 +1)]	⑤ [eqn: 8over9 (e^3 +1)]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)= int _{ 1} ^{ x} { e^{sint}}dt]에 대하여
[eqn: f(a) =ln2]일 때, 정적분 [eqn: 60 int _{1} ^{a} {e ^{sinx+2f(x)}} dx]의 값을
구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 90]

[eqn: x>0]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)>0]이고
[eqn: LEFT ( x^2 +1 RIGHT )f(x)-4x= 4 int _{ 1} ^{ x} { left{tf(t)-1 right}dt}]
를 만족시킨다. 이때 [eqn: f(5)]의 값을 구하여라.

[eqn: 26]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한
두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: g(x)=int_1 ^x { f`'(t)} over {t }dt]

이다. [eqn: f(1)=2], [eqn: int_1 ^4 { f(x)} over {x^2 } dx=15]일 때, [eqn: int_1 ^4 g(x)dx]의
값을 구하여라.

[eqn: 54]

				6

	수학 영역

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음을 만족한다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: left{f`'(x)right} ^{2} =1+left{f(x)right} ^{2}]

(나) [eqn: f(2x)=2f(x)f`'(x)]

⑤

기역 : (나)의 식에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: left{2f`'(0)-1right}f(0)=0]이다. 증가하므로 [eqn: f`'(x)ge0]인데 (가)를 같이 째려보면

[eqn: f` prime (x) ge1]이다. 따라서 [eqn: 2f`'(0)-1]은 [eqn: 0]이 될 수 없고 [eqn: f(0)]의 값이 [eqn: 0]이다.

니은 : [eqn: f`'(2x)]를 [eqn: f(x)]에 대한 식으로 나타내어야 한다. (가)의 식에 [eqn: 2x]를 대입하자. [eqn: f`'(2x)= sqrt { 1+left{f(2x)right}^2}]이다.

[eqn: f` prime (2x)= sqrt {1+4 LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} LEFT { f` prime (x) RIGHT } ^{2}} =][eqn: sqrt {1+4 LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} ( LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1)}][eqn: =2 LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +1]

디귿 : [eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx]는 [eqn: int _{0} ^{1} {} {f`'(2x)-1} over {2} dx]이므로 [eqn: {1} over {4} f(2)- {1} over {2}]이다.

[eqn: f(1)=a]에서 [eqn: f`'(1)= sqrt {1+a ^{2}}], [eqn: f(2)=2f(1)f` prime (1)]에서 [eqn: f(2)=2a sqrt {1+a ^{2}}]이다.

<보 기>

ㄱ. [eqn: f(0)=0]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(2x)=2left{f(x)right} ^{2} +1]

이다.

ㄷ. [eqn: f(1)=a]라 하면,

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} dx= {1} over {2} a sqrt {1+a ^{2}} - {1} over {2}]

이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -pi,``pi RIGHT ]]에서 실수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: f(x)=a`sinx]

이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: |f`'(x) | le 1]이다.
[eqn: f(2pi) -f(-2pi)=2pi]일 때, [eqn: int_0 ^2pi f(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: {1} over {2} pi -2]	② [eqn: pi-2]	③ [eqn: 2pi -2]

④ [eqn: { 1} over { 2}pi^2 -2]	⑤ [eqn: pi ^{2} -2]

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