[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 다항함수의 적분법

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SOOHAN

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP01] 도함수와 원함수
	도함수를 적분하면 원함수.

예제 001	[2015학년도 수능(나형) 26번]

다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가 [eqn: f`'(x)][eqn: =6x^2 +4]이다.
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (0, ```6)]을 지날 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

예제 002	[2012년 7월(나형) 24번]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: {rmP}(x,```f(x))]에서의 접선의 기울기가

[eqn: 3x ^{2} -12]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하여라.

[eqn: 35]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 003	[한성은 WJ4049번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의

점 [eqn: {rmP}(x,```f(x))]에서의 기울기는 [eqn: x=3]에서 최솟값 [eqn: 2]를 갖는다.

[eqn: f(4)-f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 6]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP02] 정적분의 성질
	아래 문제 풀 수 있으면 될 듯.

예제 004	[2015년 10월(나형) 23번]

[eqn: int _{0} ^{10} {(x+1)^{2} } dx - int _{0} ^{10} {(x-1)^{2} } dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 200]

예제 005

정적분 [eqn: LEFT . int _{0} ^{1} {} {x ^{4}} over {x ^{2} +1} dx+ int _{1} ^{0} {} {1} over {t ^{2} +1}dt]의 값은?

②

① [eqn: - 5 over 6]	② [eqn: - 2 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP03] 정적분의 구간
	얘도.

예제 006	[2019학년도 수능(나형) 25번]

[eqn: int _{1} ^{4} {(x+|`x-3`|)dx}]의 값을 구하여라.

[eqn: 10]

예제 007	[2017년 10월(나형) 16번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: f(x)= cases{ 2x+2& ```(x<0)#-x^2 +2x+2 &```(x ge0) }]

라 하자. 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{-a} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 최댓값은?

②

① [eqn: 5]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {17} over {3}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {19} over {3}]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP04] 기함수/우함수의 적분
	① 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이면 [eqn: int _{-a} ^{a} {} f(x)dx=0]이다. ② 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이면 [eqn: int_-a ^a f(x)dx=2int_ 0 ^a f(x)dx]이다.

예제 008	[2019년 10월(나형) 6번]

[eqn: int _{-3} ^{3}{} left(x ^{3} +4x ^{2} right)dx+ int _{3} ^{-3} { } left(x ^{3} +x ^{2}right) }dx]의 값은?

④

① [eqn: 36]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 60]

예제 009	[2018년 대구 11월(나형) 9번]

[eqn: int _{-a} ^{a} {} (5x ^{3} +3x ^{2} +4x+a)dx=(a+1) ^{2}]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합은?

②

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {5}]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 010	[2016학년도 수능(나형) 20번]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(-x)=it-f(x)], [eqn: g(-x)=g(x)]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x) =f(x)g(x)]에 대하여

[eqn: int_-3^3 {(x+5)h`prime(x)}dx=10]

일 때, [eqn: h(3)]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP05] 미분과 적분
	① [eqn: int {d} over {dx} f(x)dx=f(x)+C] ② [eqn: {d} over {dx} int f(x)dx=f(x)]

예제 011	[2012년 7월(나형) 5번]

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {(x ^{2} +2x)dx}]일 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f(2+h)-f(2-h)} over {h}}]의 값은?

②

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

예제 012	[2019학년도 수능(나형) 14번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{ 1} ^{x } { LEFT { { d} over {dt }f(t) RIGHT }``dt`` }=x^3 + ax^2 -2]

를 만족시킬 때, [eqn: f`'(a)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP06] 정적분으로 정의된 함수의 극한
	[eqn: lim_x->a { 1} over {x-a }int_a ^x f(t)dt=f(a)]

예제 013	[2012년 10월(나형) 26번]

[eqn: lim_{x->2} 1 over {x^{2} -4} int_2 ^x left( t^{2} +3t-2 right) dt]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

예제 014	[2012년 7월(나형) 13번]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim _{x -> 1} {{ int _{1} ^{x} {f(t)dt} -f(x)} over {x ^{2} -1} =2}]

를 만족할 때, [eqn: f` prime (1)]의 값은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP07] 정적분과 항등식1
	항등식에 [eqn: int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]가 보이면 ① [eqn: x=a]를 대입한다. ② 양 변을 미분한다.
※ [eqn: int _{a} ^{x} {} tf(t)dt]를 미분하면 [eqn: xf(x)]이다. [eqn: int _{a} ^{x} {} (x-t)f(t)dt]를 미분하면 [eqn: int_a ^x f(t)dt]이다.

예제 015	[2017년 10월(나형) 9번]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =x ^{3} +ax ^{2} -3x+1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

예제 016	[2017년 경남 10월(나형) 15번]

다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

[eqn: xf(x)= int _{-1} ^{x} {} LEFT { f(t)+2t ^{2} +t RIGHT } dt]

일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

②

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 017	[한성은 SH4760번]

실수 [eqn: a]와 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{a} ^{x} {(x-t)f(t)dt} =x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} +x]

을 만족시킨다. [eqn: f(a)]의 값은?

②

[eqn: f(x)=12x^2 -6x-2], [eqn: a=1]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP08] 정적분과 항등식2
	항등식에 [eqn: int _{a} ^{b} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]가 보이면 ① [eqn: int _{a} ^{b} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}=k]라 둔다. ② [eqn: int _{a} ^{b} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}=k]를 푼다.

예제 018	[2013년 7월(나형) 12번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f(x)`=`x^2 -2x+ int _{ 0} ^{1 } {tf(t) }dt`]를 만족시킬 때, [eqn: f(3)`]의 값은?

①

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {17} over {6}]

④ [eqn: {19} over {6}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

예제 019	[2014학년도 9월(A형) 28번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int from 0 to x {f(t)}dt= x^3 - 2x^2 -2x int from 0 to 1 {f(t)}dt]

일 때, [eqn: f(0)=a]라 하자. [eqn: 60a]의 값을 구하여라.

[eqn: 40]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 020	[한성은 TY6314번]

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=3x^2 +x int_0 ^2 tf`'(t)dt+int_0 ^2 f(t)dt]

를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP09] 정적분과 항등식3
	차수를 조사하자.

예제 021	[한성은 HU4251번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {} LEFT { f(x)+f(t) RIGHT } dt=2 int _{1} ^{x} {} tf` prime (t)dt]

를 만족시킨다. [eqn: f(0)=2]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 18]

예제 022	[2020학년도 수능(나형) 28번]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_{1}^{x} f(t)dt={x - 1}over{2} LEFT {f(x)+f(1) RIGHT }]이다.

(나) [eqn: int_{0}^{2} f(x)dx=5 int_{- 1}^{1}}x f(x)dx]

[eqn: 7]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP10] 정적분으로 정의된 함수의 미분
	[eqn: int_a ^x f(t)dt]를 미분하면 [eqn: f(x)]이다.

예제 023	[2013학년도 수능(나형) 21번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+a]에 대하여 함수

[eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {f(t)} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP11] 도함수의 넓이
	[eqn: int_a ^b f`'(x)dx=f(b)-f(a)] : 도함수의 적분은 원함수의 함숫값 차이다.

예제 024	[2012년 10월(나형) 10번]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]가

[eqn: f(-1)=f(1)=f(2)=0], [eqn: f(0)=2]

를 만족시킬 때, [eqn: int_0 ^2 f` prime (x) dx]의 값은?

①

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 025	[2017년 대구 8월(나형) 20번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1`]에서 극댓값,

[eqn: x=1`]에서 극솟값을 가진다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 서로 다른 세 실근

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]([eqn: alpha < beta < gamma])를 가진다.

[eqn: g(x)= int _{-1} ^{x} {LEFT | f`'(t) RIGHT | dt}]라 할 때, [eqn: g( gamma )-g( alpha )]의 값은?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

예제 026	[2013학년도 수능 19번]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0)>0]을 만족시킨다.
함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=left|int_0 ^x f(t)dt right|]

라 할 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가

그림과 같다. 보기에서 옳은 것만을

있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f`'(0)<0]

ㄷ. [eqn: int_m ^m+2 f(x)dx>0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP12] 정적분으로 정의된 함수의 그래프1
	[eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]의 그래프를 그리기 위해, ① [eqn: g'(x)=f(x)] ② [eqn: g(a)=0]

예제 027	[2014년 7월(나형) 19번]

양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {(t-a)(t-b)dt}]가 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: a+b]의 값은?

②

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= {1} over {2}]에서 극값을 갖는다.

(나) [eqn: f(a)-f(b)= {1} over {6}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 028	[2009학년도 9월 10번]

함수 [eqn: f(x)= cases{ -1& ```(x<1)# -x+2&```(x ge1) }]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int _-1 ^x {(t-1) f(t)dt}]

라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: g(x)]는 구간 [eqn: (1,```2)]에서 증가한다.

ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=k]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는

실수 [eqn: k]가 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP13] 정적분으로 정의된 함수의 그래프2
	[eqn: g(x)=int_a ^x f(t)dt]에서 [eqn: g(a)=0]이다. [eqn: RARROW] [eqn: x=a]에서 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: x]축과 만난다.

예제 029	[한성은 SR0753번]

[eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: int_alpha ^x (t^3 -3t+1)dt=0]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: alpha]의 개수는?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

예제 030	[한성은 KU6767번]

[eqn: 3 le a]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x(x-3)(x-a)]이다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{b} ^{x} {} f(t)dt ge0]가 되도록 하는 실수 [eqn: b]의 값이 [eqn: 2]개일 때, [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 031	[한성은 DX2522번]

최고차항의 계수가 양수이고 [eqn: f(2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)=int _{a} ^{x} f(t)dt]

는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(6)]의 값을 구하여라.

(가) 방정식 [eqn: g(x)=g(2)]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.
(나) 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(2)]의 값을 [eqn: h(a)]라 할 때,

[eqn: h(a)]는 [eqn: a=5]일 때 최댓값 [eqn: 27]을 가진다.

[eqn: 64]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP14] 넓이의 변화량
	알아서.

예제 032	[2023학년도 6월 20번]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{x} ^{x+1} {LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]

는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=4]에서 극소이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 033	[2019학년도 9월(나형) 21번]

사차함수 [eqn: f(x) = x^4 + ax^2 + b]에 대하여 [eqn: x ge 0]에서 정의된 함수

[eqn: g(x) = int_-x ^2x left{ f(t) - |`f(t)`| right} dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f( root 2 )]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

(가) [eqn: 0< x< 1]에서 [eqn: g(x) = c_1]([eqn: c_1]는 상수)

(나) [eqn: 1< x< 5]에서 [eqn: g(x)]는 감소한다.

(다) [eqn: x> 5]에서 [eqn: g(x) = c_2]([eqn: c_2]는 상수)

④

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP15] 적분값의 최대최소
	알아서.

예제 034	[한성은 XX9431번]

[eqn: 0<t<4]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=-x^2 +4x]의 그래프와 직선 [eqn: y=t], [eqn: y]축

및 직선 [eqn: x=4]로 둘러싸인 세 도형의 넓이의 합을 [eqn: S(t)]라 하자. [eqn: S(t)]의 최솟값은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 035	[2017학년도 9월(나형) 29번]

구간 [eqn: LEFT [ 0,```8 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f(x)= {cases{it -x LEFT ( x-4 RIGHT )&``` LEFT ( 0 LEQ x<4 RIGHT )#x-4&``` LEFT ( 4 LEQ x LEQ 8 RIGHT )}}]

이다. 실수 [eqn: a LEFT ( 0 LEQ a LEQ 4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{a+4} {f(x)} dx]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다.

[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 43]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP16] 둘러싸인 도형의 넓이
	두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 대충 [eqn: int_a ^b |f(x)-g(x)|dx]이다.

예제 036	[2020학년도 수능(나형) 26번]

두 함수

[eqn: f(x)={1}over{3}x(4 - x)],   [eqn: g(x)= LEFT |` x - 1 ` RIGHT | - 1]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

예제 037	[2009학년도 9월 7번]

두 곡선 [eqn: y=x^4 -x^3], [eqn: y=-x^4 +x]로 둘러싸인

도형의 넓이가 곡선 [eqn: y=ax(1-x)]에 의하여

이등분될 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: 0<a<1])

④

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 5 over 8]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 7 over 8]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP17] 이차함수와 넓이1
	혓바닥 : [eqn: left|{ k} over { 6} (beta-alpha)^3 right|]

예제 038	[2012년 4월 13번]

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) `=f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `=0]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4], 극솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

④

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP18] 이차함수와 넓이2
	꼭짓점에서 직사각형 [eqn: RARROW] [eqn: 1:2]

예제 039	[2014학년도 9월(나형) 13번]

그림은 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2]과 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: {rmA}(n,```0)],

[eqn: {rmB}left(n,```n^2 right)], [eqn: {rmC}left(0,```n^2 right)]인 직사각형 [eqn: rmOABC]를 나타낸 것이다. (단, [eqn: n]은 자연수)

[eqn: n=4]일 때, 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2]과 직선 [eqn: rmAB]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

②

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

예제 040	[2013년 10월(나형) 21번]

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A( it 2,```0)], [eqn: rm B( it 0,```3)]을 지나는 직선과

곡선 [eqn: y=ax ^{2}]([eqn: a>0]) 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분 중에서 제[eqn: 1]사분면에 있는

부분의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하자. 또, 직선 [eqn: rmAB]와 곡선 [eqn: y=ax ^{2}] 및 [eqn: x]축으로

둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하자. [eqn: S _{1} :S _{2} =13:3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: {2} over {9} `]	② [eqn: {1} over {3} `]	③ [eqn: {4} over {9} `]

④ [eqn: {5} over {9} `]	⑤ [eqn: {2} over {3} `]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP19] 이차함수와 넓이3
	이차함수를 잘 적분하면 [eqn: 0]이다.

예제 041	[한성은 WG9171번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x(x-3)^2]에 대하여 [eqn: int_0 ^4 |f`'(x)|dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP20] 삼차함수와 넓이1
	삼차함수를 잘 적분하면 [eqn: 0]이다.

예제 042	[한성은 LJ7105번]

곡선 [eqn: y=x(x-6)^2]과 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가

서로 같게 되도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP21] 삼차함수와 넓이2
	준 혓바닥 : [eqn: left|{ k} over {12 }(beta-alpha)^4 right|]

예제 043

[eqn: int_2 ^8 (x-2)(x-8)^2 dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 108]

예제 044

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x+3]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의

접선의 방정식을 [eqn: y=l(x)]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=l(x)]로 둘러싸인

도형의 넓이를 구하여라.

[eqn: 108]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP22] 두 도형의 넓이가 서로 같도록
	적분하면 [eqn: 0] 된다.

예제 045	[2011년 10월 29번]

그림과 같이 삼차함수 [eqn: f(x)=-(x+1) ^{3} +8]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하고,

점 [eqn: rm A]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 또, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y]축 및

직선 [eqn: y=k]([eqn: 0<k<7])로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하고, 곡선 [eqn: y=f(x)]와

직선 [eqn: l] 및 직선 [eqn: y=k]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이때, [eqn: S_1 =S_2]가 되도록

하는 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 4k]의 값을 구하여라.

[eqn: 17]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP23] 함수의 이동과 적분
	알아서 잘.

예제 046	[한성은 NA7296번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=`f(4-x)]를 만족시킨다.
[eqn: int _{0} ^{2} {f(x-2)dx=2}]이고 [eqn: int_2 ^6 f(x)dx=6]일 때, [eqn: int _{0} ^{4} f(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

예제 047	[2019학년도 수능(나형) 17번]

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=6], [eqn: x=9]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= f(x-3) +4]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{6} {f(x)dx}=0]

④

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP24] 대칭/주기성과 적분
	① [eqn: int _{0} ^{a} {} f(x)dx= int _{a} ^{2a} {f(2a-x)dx}] 라든가.. ② 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+p)]이면 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{a+p} f(x)dx]는 일정하다.

예제 048	[한성은 GP8295번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int _{0} ^{2} {left{f(x)+f(4-x)right}dx=6}]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{4} f(x)dx]의 값은?

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 9over2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 15over2]	⑤ [eqn: 9]

예제 049	[한성은 GM4949번]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)+f(6-x)=4]

를 만족시킬 때, [eqn: int _{1} ^{5} f(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP25] 역함수의 넓이1
	일단 [eqn: y=x]하고 만나는지 체크.

예제 050	[한성은 CM1612번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {8} x ^{3} -x ^{2} +3x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: {14} over {3}]	③ [eqn: {16} over {3}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 20over3]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP26] 역함수의 넓이2
	[eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때 [eqn: int _{f(a)} ^{f(b)} {} g(x)dx=bf(b)-af(a)- int _a ^b f(x)dx]
※ [eqn: y=x]에 대칭시켜서 이해해라.

예제 051	[2012년 7월(나형) 21번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +x-1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: int _{1} ^{9}{ g(x) dx}]의 값은?

③

① [eqn: {47} over {4}]	② [eqn: {49} over {4}]	③ [eqn: {51} over {4}]

④ [eqn: {53} over {4}]	⑤ [eqn: {55} over {4}]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP27] 새롭게 정의된 함수의 적분
	알아서 잘.

예제 052	[2010학년도 수능 24번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x-1]이 있다. 실수 [eqn: t(t ge -1)]에 대하여 [eqn: -1 le x le t]에서

[eqn: |f(x)|]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라고 하자. [eqn: int _{ -1} ^{ 1} {g(t) dt } = a over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

[eqn: 17]

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP28] 경곗값을 달리는 함수의 적분
	알아서 잘.

예제 053	[2015학년도 6월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{3} ^{6} f(x)dx=a]라 할 때, [eqn: 6a]의 값을 구하여라.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1le f`'(x) le3]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (4n,```8n)],

점 [eqn: (4n+1,```8n+2)], 점 [eqn: (4n+2,```8n+5)], 점 [eqn: (4n+3,```8n+7)]을

모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [2k,```2k+1]]에서 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: 167]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP29] 속도와 위치
	속도를 (부정) 적분하면 위치다.

예제 054	[2018년 7월(나형) 14번]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t(t GEQ 0)]에서의

속도가 각각 [eqn: 3t ^{2} +6t-6], [eqn: 10t-6]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 출발 후 [eqn: t=a]에서 다시 만날 때,

상수 [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

예제 055	[2013년 10월(나형) 28번]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t]([eqn: 0 LEQ t LEQ 8])에서의

속도가 각각 [eqn: 2t ^{2} -8t], [eqn: t ^{3} -10t ^{2} +24t]이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 64]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP30] 움직인 거리
	속력을 적분하면 움직인 거리다.

예제 056	[2017학년도 수능(나형) 12번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =-2t+4]

이다. [eqn: t=0]부터 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는?

①

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

	TooLBOX+ [다항함수의 적분법]

		[TIP31] 두 점의 이동
	대충.

예제 057	[2012학년도 9월(나형) 21번]

같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체

[eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t(0 le t lec)] 에서 물체 [eqn: rmA]의 속도 [eqn: f(t)]와 물체 [eqn: rmB]의

속도 [eqn: g(t)]를 나타낸 것이다.

[eqn: int from 0 to c f(t)dt = int from 0 to c g(t)dt]이고 [eqn: 0 le t le c]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 [eqn: rmA]는 물체 [eqn: rmB]보다 높은 위치에 있다.

ㄴ. [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]의 높이의 차가 최대이다.

ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]는 같은 높이에 있다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ