[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 다항함수의 미분법

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	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP01] 미분계수의 정의
	[eqn: f`'(a)=lim _{h->0} {f(a+h)-f(a)} over {h}] [eqn: = lim _{x -> a} {} {f(x)-f(a)} over {x-a}]

예제 001	[2014학년도 6월(A형) 6번]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -x]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+3h)-f(1)} over {2h}]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

예제 002	[한성은 VA9944번]

[eqn: f`'(2)=4]인 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: lim _{x -> 2} {} {xf(2)-2f(x)} over {f(x)-f(2)} =4]

일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 003	[2013학년도 6월 16번]

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = 1]에서 미분가능하다.

[eqn: 1]보다 큰 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (1,```f(1))]과 점 [eqn: (a,```f(a))] 사이의 거리가

[eqn: a ^{2} -1]일 때, [eqn: f` prime (1)]의 값은?

⑤

① [eqn: 1``]	② [eqn: root 5 over 2``]	③ [eqn: root 6 over 2``]

④ [eqn: root 2``]	⑤ [eqn: root 3``]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP02] 좌미분계수와 우미분계수
	[eqn: lim _{h -> 0-} {} {f(a+h)-f(a)} over {h}]를 우미분계수, [eqn: lim _{h -> 0+} {} {f(a+h)-f(a)} over {h}]를 좌미분계수라 한다. 교과서에는 없는 용어. 알아는 두자.
※ [eqn: f(x)=|x-2|]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0+} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}], [eqn: lim _{h -> 0-} {} {f(2+h)-f(2)} over {h}]의 값은? ※ [eqn: f(x)= {cases{x ^{2}&```(x le 1)#2-x&```(x>1)}}]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1+} {} {f(x)-f(1)} over {x-1}], [eqn: lim _{x -> 1-} {} {f(x)-f(1)} over {x-1}]의 값은?

예제 004	[2016학년도 9월(A형) 21번]

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x =t]가 두 함수

[eqn: y = x^4 - 4 x^3 +10 x - 30],   [eqn: y = 2x+2]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 할 때,
점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자.

[eqn: lim from { h ->0+ } { f(t+h) - f(t) } over h times lim from { h ->0- } { f(t+h) - f(t) } over h Le0]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은?

④

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP03] 곱의 미분법
	[eqn: left{f(x)g(x)right}'=f`'(x)g(x)+f(x)g'(x)]

예제 005	[2014학년도 6월(A형) 26번]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이다.
[eqn: g(x)=x^3 f(x)]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 28]

예제 006	[2015학년도 수능(A형) 29번]

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)=(x^3 +2) f(x)]

를 만족시킨다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 24]를 가질 때,
[eqn: f(1)-f`'(1)]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP04] 합성함수의 미분법
	[eqn: LEFT { f(g(x)) RIGHT } prime =f` prime (g(x))g'(x)]
※ 미적분 내용. 가끔 튀어 나오니까 해둘 것.

예제 007	[존재해서는 안 되는 문항]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f`'(4)=2]을 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)=f(x ^{2} )]에 대하여

[eqn: g'(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP05] 로피탈의 정리
	도함수가 연속인 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: f(a)=g(a)=0]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x->a} {g(x)} over {f(x)} =lim _{x->a} {g'(x)} over {f`'(x)}]
※ 정상적으로 푸는 것을 추천하지만, 검토용 정도로 알아두자.

예제 008

다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: lim from {x -> 0 } x over { f(x) } = 1],   [eqn: lim from { x-> 1 } {x-1} over { f(x) } = 2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim from { x->1 } { f(f(x)) } over { 2x^2 -x- 1}]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP06] 조각정의된 함수의 미분가능성
	[eqn: f(x)= {cases{g(x)&```(x<a)#h(x)&```(x gea)}}]일 때, 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면, [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하다. [eqn: LRARROW] [eqn: cases{ g(a)=h(a) # g'(a)=h'(a) }]

예제 009	[2018학년도 6월(나형) 16번]

함수

[eqn: f(x) = cases { x^2 +a x + b &``` (x le -2 ) #2x &``` (x> -2)]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a +b]의 값은?
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 010	[2017학년도 6월(나형) 29번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x+1&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#-2x+4&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이고, 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA} LEFT ( -1,```-1 RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( 1,```2 RIGHT )]가 있다. 실수 [eqn: x]에 대하여

점 [eqn: LEFT ( x,```f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에서 점 [eqn: rmA]까지의 거리의 제곱과 점 [eqn: rmB]까지의 거리의 제곱 중

크지 않은 값을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은

모든 [eqn: a]의 값의 합이 [eqn: p]일 때, [eqn: 80p]의 값을 구하여라.

[eqn: 186]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP07] 인수를 곱해 미분가능 만들기
	함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이면서 미분불가능, [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능, 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면 [eqn: g(a)=0]이다.
※ 함수 [eqn: f(x)= {cases{x&```(x<1)#4-x&```(x GEQ 1)}}]에 대하여 ① [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이고 미분불가능하다. ② [eqn: (x-1) ^{2} f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

예제 011	[2020학년도 수능(나형) 20번]

함수

[eqn: f(x)=cases{ - x &``` (x le 0)# x - 1 & ```(0 < x le 2)# 2x - 3 & ```(x>2)}]

와 상수가 아닌 다항식 [eqn: p(x)]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. 함수 [eqn: p(x)f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이면 [eqn: p(0)=0]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: p(x)f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면

[eqn: p(2)=0]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: p(x) LEFT {f(x) RIGHT }^{2}]이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면

[eqn: p(x)]는 [eqn: x^{2}(x-2)^{2}]으로 나누어떨어진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 012	[2018년 대구11월 29번]

각 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{ {1} over {3} x&```(x<3)#x ^{2} -6x+10&```(x GEQ 3)}}],
[eqn: g(x)=f(x-m)+n]

이다. 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 모든 실수에 대하여 미분가능할 때,

두 상수 [eqn: m], [eqn: n]의 곱 [eqn: mn]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m<0])

[eqn: 30]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP08] 접선의 방정식
	곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a,```f(a))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=f`'(a)(x-a)+f(a)] 이다.

예제 013

곡선 [eqn: y=x ^{3} -x]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 두 직선 사이의 거리는?

④

① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

예제 014

점 [eqn: (1,```3)]에서 곡선 [eqn: y=x^3 -2x]에 그은 접선의 [eqn: y]절편은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 015	[2016학년도 6월(A형) 13번]

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2}]

이다. 함수 [eqn: g(x)]의 도함수가 [eqn: f(x)]이고 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (2,```g(2) )]에서의

접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: -5]일 때, 이 접선의 [eqn: x]절편은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP09] 접선의 인수
	대충 제곱인수로 처리하면 개꿀.
※ ‘두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 서로 접한다.’는 ① [eqn: f(a)=g(a)], [eqn: f`'(a)=g'(a)] ② [eqn: f(x)-g(x)=(x-a)^2 q(x)] (두 식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모두 다항식일 때) 교과서에는 없어용.

예제 016	[한성은 QX9725번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의

점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=x]이다. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서
극댓값을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: 7over3]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 017	[2020학년도 수능(나형) 30번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(0)=0], [eqn: f`prime (1)=1]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

(가) 방정식 [eqn: f(x)- x=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)+x=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: 51]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP10] 직선과의 거리
	평행한 직선이 접할 때

예제 018	[2013학년도 9월(나형) 19번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```2]]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=ax(x-2) ^{2}left(a> { 1} over {2 } right)]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점 중 원점 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmA]라 하자.

점 [eqn: rm P]가 원점으로부터 점 [eqn: rmA]까지 곡선 [eqn: y=f(x)] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rm OAP]의

넓이가 최대가 되는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 5 over4]	② [eqn: {4} over 3]	③ [eqn: 17} over 12]

④ [eqn: {3} over 2]	⑤ [eqn: {19} over 12]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP11] 점과의 거리
	법선이 그 점을 지날 때
※ 수능 범위인지를 잘 모르겠음.

예제 019

곡선 [eqn: y=x^2 -3x+3] 위의 임의의 점과 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 사이의 거리의 최솟값은?

①

① [eqn: root2 -1]	② [eqn: root3 -1]	③ [eqn: root3 -root2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2root2 -1]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP12] 그래프의 해석과 접선
	상황을 읽어보면 접선각. [eqn: RARROW] 접점의 [eqn: x]좌표를 설정하자.

예제 020	[2018학년도 수능(나형) 29번]

두 실수 [eqn: a]와 [eqn: k]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{0&```LEFT ( x LEQ a RIGHT )# LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+1 RIGHT ) &```LEFT ( x>a RIGHT )}}],   [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{0&```LEFT ( x LEQ k RIGHT )#12 LEFT ( x-k RIGHT ) &```LEFT ( x>k RIGHT )}}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: a+p+q`]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQg LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: 32]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 021	[2019학년도 수능(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인

이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: x >0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

(가) 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: (0,```0)]에서의 접선과 곡선 [eqn: y= g(x)] 위의

점 [eqn: (2,```0)]에서의 접선은 모두 [eqn: x]축이다.

(나) 점 [eqn: (2,```0)]에서 곡선 [eqn: y= f(x)]에 그은 접선의 개수는 [eqn: 2]이다.

(다) 방정식 [eqn: f(x)= g(x)]는 오직 하나의 실근을 가진다.

[eqn: g(x)``le``kx `-2 ``le``f(x)]

를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: alpha - beta = a+b sqrt2]이다. [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

[eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP13] 도함수와 그래프
	알아서.

예제 022	[2016학년도 6월(A형) 27번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -9x+3]이 열린 구간 [eqn: (-a,```a)]에서 감소할 때,

양수 [eqn: a]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 3]

예제 023	[한성은 QO5640번]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가

[eqn: f` prime (x)=(x-1) ^{2} (x-7)+n]

이다. 함수 [eqn: f(x)]가 극댓값을 갖도록 하는 정수 [eqn: n]의 개수를 구하여라.

[eqn: 31]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 024	[2017학년도 6월(나형) 21번]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`prime(x)]의 그래프가 그림과
같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f(0)<0]이면 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | < LEFT | f(2) RIGHT |]이다.

ㄴ. [eqn: f(0)f(2) GEQ 0]이면 함수 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]가 [eqn: x=a]에서

극소인 [eqn: a]의 값의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: f(0)+f(2)=0]이면 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(0)]의

서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP14] 함수의 극대극소
	① [eqn: x=a]에서 [eqn: f`'(x)]의 부호가 음수에서 양수로 바뀌면 [eqn: f(x)]가 극소이다. ② [eqn: x=a]에서 [eqn: f`'(x)]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌면 [eqn: f(x)]가 극대이다.

예제 025	[2020학년도 9월(나형) 17번]

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }- 3ax^{2 }+ 3(a^{2 }- 1)x]의 극댓값이 [eqn: 4]이고
[eqn: f(- 2)>0]일 때, [eqn: f(- 1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

예제 026	[2014학년도 6월(A형) 21번]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&```LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&```LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

의 극댓값이 [eqn: 5]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단 [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP15] 함수의 극대극소2
	미분불가능, 불연속점에서도 극대극소를 정의할 수 있다.
※ 극대의 엄밀한 정의 : [eqn: a]를 포함한 어떤 열린 구간에서 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 최댓값을 가지면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극대이다.

예제 027

실수 전체의 집합에서 연속인 함수

[eqn: f(x)= {cases{x+a&```(x LEQ 2)#x ^{2} -6x+b&```(x>2)}}]

의 극댓값이 [eqn: 4]이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? (단 [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP16] 차함수와 그래프
	두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프를 째려보면 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프를 얻을 수 있다. ※ [eqn: left{f(x)-g(x)right}'=f`'(x)-g'(x)]이다.

예제 028	[2012학년도 6월(나형) 19번]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수의 그래프와 이차함수 [eqn: g(x)]의 도함수의 그래프가 그림과 같다.

함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하자. [eqn: f(0)=g(0)]일 때, 옳은 것만을 보기에서

있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: 0<x<2]에서 [eqn: h(x)]는 감소한다.

ㄴ. [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: h(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 029	[2018학년도 6월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의
계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(beta + 1)-f(beta+1)]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(alpha)=g(alpha)]이고 [eqn: f`'(alpha)=g`'(alpha)=`-16]인 실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

(나) [eqn: f`'(beta)=g`'(beta)=16]인 실수 [eqn: beta]가 존재한다.

[eqn: 243]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP17] 삼차함수의 개형
	삼차함수 [eqn: f(x)]의 개형 세 가지. 알고 있지?

예제 030	[2012학년도 9월(나형) 18번]

함수 [eqn: f(x)= 1 over 3 x^3 -ax^2 +3ax]의 역함수가 존재하도록 하는 상수 [eqn: a]의 최댓값은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

예제 031	[2012학년도 6월(나형) 15번]

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +2ax]가 구간 [eqn: left(-inf ,```inf)]에서 증가하도록 하는

실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M]이라 하고, 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP18] 삼차함수의 변곡점
	[eqn: f`''(a)=0]일 때, 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 점 [eqn: (a,```f(a))]에 대하여 대칭이다.

예제 032	[2017학년도 9월(나형) 20번]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: x= it -2]에서 극댓값을 갖는다.

(나) [eqn: f`' LEFT ( -3 RIGHT ) =f`' LEFT ( 3 RIGHT )]

⑤

ㄱ. 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 최솟값을 갖는다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=f(2)]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( -1,```f(-1) RIGHT )]에서의 접선은

점 [eqn: LEFT ( 2,```f(2) RIGHT )]를 지난다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP19] 삼차함수의 비율1
	[eqn: 2:1]은 잘 쓰인다.

예제 033	[2013학년도 6월(나형) 17번]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -5x] 위의 점 [eqn: rmA(1,```-4)]에서의 접선이 점 [eqn: rmA]가 아닌 점 [eqn: rmB]에서

곡선과 만난다. 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

④

① [eqn: root30]	② [eqn: root35]	③ [eqn: 2 root10]

④ [eqn: 3 root5]	⑤ [eqn: 5 root2]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP20] 삼차함수의 비율2
	[eqn: 1: sqrt { 3}]은 가끔 쓰인다.

예제 034	[2012학년도 수능(나형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를

만족시킨다. 방정식 [eqn: |`f(x)`|=2]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

④

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP21] 극댓값과 극솟값의 차이
	최고차항의 계수가 [eqn: k]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(alpha)=0], [eqn: f`'(beta)=0]일 때, [eqn: |f( alpha )-f( beta )|= LEFT | {k} over {2} ( beta - alpha ) ^{3} right|]

예제 035	[2020학년도 6월(나형) 18번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: g(x)= {cases{{1} over {2}&```(x<0)#f(x)&```(x ge0)}}]

이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {1}over{2}]보다 작을 때,

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: g(0) + g '(0) = {1}over{2}]

ㄴ. [eqn: g(1) < {3}over{2}]

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: g(2) = {5}over{2}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 036	[2019학년도 6월(나형) 20번]

함수

[eqn: f(x) = {{1} over{3}}x^{3}-kx^{2}+1 ```left(k>0 인 ```상수 right)]

의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서의 접선 [eqn: l], [eqn: m]의 기울기가 모두 [eqn: 3k^{2}]이다.

곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하고 [eqn: x]축에 평행한 두 직선과 접선 [eqn: l], [eqn: m]으로 둘러싸인 도형의 넓이가

[eqn: 24]일 때, [eqn: k]의 값은?

③

① [eqn: {1}over{2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3}over{2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5}over{2}]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP22] 사차함수의 개형
	① 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f(x)]가 극댓값을 가지려면 [eqn: f`'(x)=0]이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다. ② 맨날 나오는 모양 : 그 대칭인 것하고 삼중근 갖는 것.

예제 037	[한성은 QR4956번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -2 LEFT ( a+1 RIGHT ) x ^{2} +4ax]가 극댓값을 갖도록 하는

[eqn: 10] 이하의 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

[eqn: 9]

예제 038	[2011학년도 수능 24번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=3], [eqn: f` prime (3)<0]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 있다.

실수 [eqn: `t]에 대하여 집합 [eqn: S]를

[eqn: S= left{ `a `| `함수```|f(x)-t|가```x=a에서```미분가능하지```않다.right]

라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만

불연속일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하여라.

[eqn: 147]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP23] 사차함수의 비율관계
	① 삼중근 갖는 모양일 때 [eqn: 3:1]은 가끔 쓴다. ② 선대칭일 때 [eqn: 1: sqrt { 2}]는 거의 안 쓴다.

예제 039	[2010학년도 6월 24번]

사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: {f` prime (5)} over {f` prime (3)}]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: |f(x)-f(1)|]은 오직 [eqn: x=a(a>2)]에서만 미분가능하지 않다.

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP24] 다항식의 구성
	알아서 잘.

예제 040	[한성은 XC0479번]

사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: |f(x)-3|]가 한 점에서만 미분가능하지 않을 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하여라.

(가) 점 [eqn: (1,```f(1))]에서 직선 [eqn: y=3]에 접한다.

(나) 점 [eqn: (4,```f(4))]에서 [eqn: x]축에 접한다.

[eqn: 24]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 041	[2019년 9월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 네 개의 수 [eqn: f(- 1)], [eqn: f(0)], [eqn: f(1)], [eqn: f(2)]가

이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (- 1,``` f(- 1))]에서의 접선과

점 [eqn: (2,``` f(2))]에서의 접선이 점 [eqn: (k,``` 0)]에서 만난다. [eqn: f(2k)= 20]일 때, [eqn: f(4k)]의 값을

구하여라. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: 42]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP25] 다항함수의 인수와 그래프
	알아서 잘.

예제 042	[2011학년도 6월 12번]

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 사차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 근일 때,

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이면 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x- alpha RIGHT ) ^{2}]으로 나누어 떨어진다.

ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) f` prime LEFT ( beta RIGHT ) =0]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 허근을 갖지 않는다.

ㄷ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) f` prime LEFT ( beta RIGHT ) >0]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 네 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 043

두 삼차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)g(x)=(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x-3) ^{2}]

을 만족시킨다. [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, [eqn: g(x)]가
[eqn: x=2]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f`'(0)= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을
구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 10]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP26] 제곱인수
	알아서 잘.

예제 044	[2016학년도 6월(A형) 21번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는

삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

(가) [eqn: f(n)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) GEQ 0]이다.

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 045	[2014학년도 9월(A형) 21번]

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]가

[eqn: f`'(x)=(x+1)left(x^2 +ax+b right)]

이다. 함수 [eqn: y=f(x)]가 구간 [eqn: left(-inf,```0 right)]에서 감소하고 구간 [eqn: left(2,```inf right)]에서 증가하도록

하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]에 대하여, [eqn: a^2 +b^2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라
하자. [eqn: M+m]의 값은?

③

① [eqn: 21 over 4]	② [eqn: 43 over 8]	③ [eqn: 11 over 2]

④ [eqn: 45 over 8]	⑤ [eqn: 23 over 4]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP27] 그래프의 이동
	[2021학년도 9월 30번]보고 놀란 점 : [eqn: f(2a-x)]를 내네.

예제 046	[2021학년도 9월 30번]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{x`|`x ge1이고```f`'(x)=0 right}]의 원소의 개수는 [eqn: 1]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=|f(x)f(a-x)|]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때,

[eqn: { g(4a)} over {f(0)timesf(4a) }]의 값을 구하여라.

[eqn: 105]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 047	[한성은 HK7511번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[eqn: g(x)= int _{2} ^{x} {} f(t)dt]

와 실수 [eqn: a]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: |f(a)|]의 값을 구하여라.

(가) 함수 [eqn: |g(x+a)|]는 오직 [eqn: x=4]에서만 미분가능하지 않다.

(나) 함수 [eqn: |g(x)g(2a-x)|]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: 32]

(가)에서 함수 [eqn: g(a+4)=0]이고 [eqn: g prime (a+4) != 0]이다.

[eqn: g(2)=0], [eqn: g'(2)=0]이므로 [eqn: g(x)= {1} over {4} (x-2) ^{3} (x-a-4)]가 되겠군.

곡선 [eqn: y=g(2a-x)]는 곡선 [eqn: y=g(x)]를 직선 [eqn: x=a]에 대하여 대칭이동 시킨 것이다.

[eqn: |g(x)g(2a-x)|]가 미분가능하려면 [eqn: a]가 [eqn: 2]와 [eqn: a+4]의 가운데 놓여야겠다. [eqn: 2a=2+(a+4)]에서 [eqn: a=6]이다.

[eqn: g(x)= {1} over {4} (x-2) ^{3} (x-10)]이고 [eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (x-8)]이다.

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP28] 절댓값과 그래프
	[eqn: y=|f(x)|]야 워낙 많이 보이고, [eqn: y=f(|x|)] 정도도 알고 있겠지.

예제 048	[2015년 7월(나형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]가

다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하고 [eqn: g(1)=g prime (1)]이다.

(나) [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=0], [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g(2)`]의 값은?

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 049	[2010학년도 6월 14번]

[eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는 모든 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 옳은 것만을

보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 함수 [eqn: |f(x)|]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(|x|)]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)-x^2 |x|]은 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP29] 미분가능성과 그래프
	알아서 잘.

예제 050	[2018년 경남 10월(나형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)= LEFT | f(x)+2x+k RIGHT |]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xf(x) LEQ f(x)`]이다.

[eqn: g`'(1)=3`]일 때, 실수 [eqn: k`]의 값은?

③

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 051	[2016학년도 수능(A형) 21번]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {f`prime(0) }over f(0)]의

최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: Mm]의 값은?

⑤

(가) 함수 [eqn: |f(x) |]는 [eqn: x=-1]에서만

미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 닫힌구간 [eqn: [3,```5]]에서

적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: 1over15]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 2over15]
④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP30] 경곗값
	알아서 잘.

예제 052

[eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고 [eqn: 2x le f(x) le3x]이다.

[eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)=6]일 때, [eqn: f`'(1)+f`'(2)]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 053	[2015학년도 9월(A형) 21번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

①

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3]

(나) 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: 6x-6 LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x ^{3} -2]

이다.

① [eqn: 36`]	② [eqn: 38``]	③ [eqn: 40``]

④ [eqn: 42``]	⑤ [eqn: 44``]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP31] 방정식과 그래프
	방정식 [eqn: f(x)=0]의 근을 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 [eqn: x]절편으로 찾는다.

예제 054	[2019학년도 9월(나형) 15번]

방정식 [eqn: x^3 - 3 x^2 - 9 x - k = 0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는

정수 [eqn: k]의 최댓값은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

예제 055	[2016학년도 6월(A형) 17번]

두 함수

[eqn: f(x)=3x ^{3} -x ^{2} -3x],   [eqn: g(x)=x ^{3} -4x ^{2} +9x+a]

에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 서로 다른 두 개의 양의 실근과

한 개의 음의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP32] 방정식과 접선
	방정식의 항을 적당히 넘겨서 [eqn: f(x)=ax+b]를 만들면 접선 문제가 된다. 이 문항은 [eqn: f(x)-ax=b]에서 함수 [eqn: g(x)=f(x)-ax]의 그래프를 그리면 충분하지만 왠지 [eqn: f(x)=ax+b]가 땅길 때가 있다.

예제 056	[2015학년도 수능(A형) 14번]

함수 [eqn: {f(x)=x(x+1)(x-4)}]에 대하여 직선 [eqn: y=5x+k]와 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 13 over2]	⑤ [eqn: 7]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP33] 부등식의 증명
	그래프 그리면 풀려.

예제 057	[2020학년도 6월(나형) 27번]

두 함수

[eqn: f(x)=x ^{3} +3x ^{2} -k],   [eqn: g(x)=2x ^{2} +3x-10]

에 대하여 부등식

[eqn: f(x) ge 3g(x)]

가 닫힌 구간 [eqn: [- 1 ,```4]]에서 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: 3]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP34] 함수의 최대최소
	그래프 그리면 풀려.

예제 058	[2017학년도 6월(나형) 28번]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -a ^{2} x+2]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -a,```a RIGHT ]]에서

최댓값 [eqn: M], 최솟값 [eqn: {14} over {27}]를 갖는다. [eqn: a+M]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP35] 방정식 f(f(x))=f(x)
	[eqn: f(x)=x]의 근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: cdots]를 찾고 [eqn: f(x)=alpha], [eqn: f(x)=beta], [eqn: f(x)=gamma], [eqn: cdots]를 푼다.

예제 059	[2018학년도 수능(나형) 21번]

그림과 같이 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,```4 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는

점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,```4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,```3 RIGHT )]을 이 순서대로 선분으로 연결한 것과 같다.

다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: X= LEFT { a,```b RIGHT }]의 개수는? (단, [eqn: 0LEQ a<b LEQ 4])

②

[eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]가 존재하고
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( a RIGHT )], [eqn: g LEFT ( b RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT )]를 만족시킨다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP36] 역함수와의 교점1
	증가하는 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 직선 [eqn: y=x] 위에서만 만난다.

예제 060

양의 실수 전체의 집합을 정의역과 공역으로 하는 함수

[eqn: f(x)=x ^{4} -ax ^{3} +3x ^{2}] ([eqn: x>0])

에 대하여 [eqn: f`(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 실근 중 양수인 것의

개수는 [eqn: 1]이고 함수 [eqn: |f(x)-x|]가 양의 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP37] 역함수와의 교점2
	함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)]의 근은 다음의 두 종류이다. ① [eqn: f(a)=g(a)=a]일 때 ② [eqn: f(a)=b], [eqn: f(b)=a]일 때 (단, [eqn: a!=b]) ②의 경우는 [eqn: f(x)]가 증가할 때는 발생하지 않는다.

예제 061	[2019학년도 6월(나형) 29번]

함수

[eqn: f(x) = cases{ ax+b &```(x<1)#cx^2 + 5 over 2 x &``` (x ge 1 )}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프와

역함수 [eqn: y=f ^-1 (x)]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 3]이고, 그 교점의 [eqn: x]좌표가

각각 [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: 2]일 때, [eqn: 2 a + 4b - 10c]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 20]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 062	[2019학년도 9월(나형) 30번]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 방정식

[eqn: ( f circ f) (x) = x]

의 모든 실근이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: a], [eqn: 2], [eqn: b]이다.

[eqn: f`'(1)<0], [eqn: f`'(2) <0], [eqn: f`'(0)-f`'(1)=6]

일 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 1< a< 2< b])

[eqn: 40]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP38] 새롭게 정의된 함수
	알아서 잘.

예제 063	[2011학년도 9월 16번]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여,

[eqn: x le t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의

집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

예제 064	[한성은 IS7868번]

함수 [eqn: f(x)=x(x-6)^2]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t le x le t+1]에서

[eqn: f(x)]의 최댓값이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 닫힌 구간 [eqn: [1,```2]]에 속하는 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g'(x)=0]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않을 때,

[eqn: f(a)=f(a+1)]이다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)-g(x)} over {x ^{2}} =-3]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP39] 구간별로 선택
	알아서 잘.

예제 065	[2020학년도 9월 20번]

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)geg(x)]

(나) [eqn: f(x)+g(x)=x^2 +3x]

(다) [eqn: f(x)g(x)=(x^2 +1)(3x-1)]

[eqn: int_0 ^2 f(x)dx]의 값은?

③

① [eqn: 23over6]	② [eqn: 13over3]	③ [eqn: 29over6]

④ [eqn: 16over3]	⑤ [eqn: 35over6]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP40] 평균값의 정리
	넣을 데가 없네.

예제 066	[2020학년도 9월(나형) 21번]

함수 [eqn: f(x) = x^{3 }+ x^{2 }+ ax + b]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x) = f(x) + (x - 1)f`prime (x)]

라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: h(x) = (x - 1)f(x)]이면 [eqn: h prime (x) = g(x)]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = it - 1]에서 극값 [eqn: 0]을 가지면 [eqn: int _{0}^{1} g(x) dx = it - 1]이다.

ㄷ. [eqn: f(0) = 0]이면 방정식 [eqn: g(x) = 0]은 열린구간 [eqn: (0,``` 1)]에서

적어도 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP41] 위치와 속도
	시각 [eqn: t]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: x(t)]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: x'(t)], 속력은 [eqn: |x'(t)|]이다.

예제 067	[2019학년도 9월(나형) 14번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t(t ge 0 )]에서의 위치 [eqn: x]가

[eqn: x= t^3 - 5t^2 + a t + 5]

이다. 점 [eqn: \P]가 움직이는 방향이 바뀌지 않도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은?

①

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

예제 068	[2020학년도 수능(나형) 27번]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 시각 [eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의 위치 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]가

[eqn: x_{1}=t^{3}- 2 t^{2}+3 t],   [eqn: x _{2} =t ^{2} +12t]

이다. 두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}] 사이의 거리를 구하여라.

[eqn: 27]

	TooLBOX+ [다항함수의 미분법]

		[TIP42] 가속도
	시각 [eqn: t]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: x(t)]일 때, 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: x''(t)]이다.

예제 069	[2019학년도 수능(나형) 27번]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의 위치 [eqn: x]가

[eqn: x =- { 1} over { 3} t^3 + 3t^2 + k]([eqn: k]는 상수)

이다. 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 0]일 때, 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 40]이다. [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 22]