[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 수열

CLAVIS EDU

SOOHAN

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP01] 등차수열
	알죵.

예제 001	[2019학년도 9월(나형) 13번]

등차수열 [eqn: \{ it a_n \}]에 대하여

[eqn: a_1 =-15],   [eqn: | ` a_3 `|-a_4 =0]

일 때, [eqn: a_7]의 값은?

①

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP02] 등차중항
	① 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서로 등차수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: 2b=a+c] ② 등차수열을 이루는 세 수 [eqn: RARROW] [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d] ③ 등차수열을 이루는 네 수 [eqn: RARROW] [eqn: a-3d], [eqn: a-d], [eqn: a+d], [eqn: a+3d]

예제 002

서로 다른 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: {a} over {b-a} + {c} over {b-c}]의 값은?

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP03] 등차수열의 합
	[eqn: (평균)times(항의```개수)]

예제 003	[2011학년도 6월(나형) 6번]

[eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든 등차수열

[eqn: 1], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], … , [eqn: a _{n}], [eqn: 2]

의 합이 [eqn: 24]일 때, [eqn: n]의 값은?

④

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

예제 004

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} +2a _{3} +a _{5} =a _{2} +a _{4} +a _{6}]

이고, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =110]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}]의 값을 구하여라.

[eqn: 420]

	TooLBOX+ [수열]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP04] 등차수열의 합-이차식
	상수항이 없는 이차식이다.

예제 005	[2020학년도 수능(나형) 15번]

첫째항이 [eqn: 50]이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때,

[eqn: sum _{k=m}^{m +4} {}S_{k}]의 값이 최대가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

	TooLBOX+ [수열]

예제 006

첫째항이 [eqn: 60]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]을

[eqn: T _{n} = LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} ` RIGHT |]

이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: T _{19} <T _{20} `]

(나) [eqn: T _{20}=T _{21} `]

[eqn: T _{n} >T _{n+1} `]을 만족시키는 [eqn: n`]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하여라.

[eqn: 61]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP05] 등차수열의 합-이차식2
	상수항이 있는 이차식 [eqn: RARROW] 첫째항을 제외하고 등차수열이다.

예제 007

수열 [eqn: left{a_n right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n a_k =(n+1)^2]을 만족시킨다.

[eqn: a_1 +a_3 +a_5]의 값을 구하여라.

[eqn: 22]

	TooLBOX+ [수열]

예제 008	[한성은 WX3093번]

두 등차수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n]이라 하자.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: { S_n} over {T_n } = { n+1} over {n+2 }]

가 성립할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: S_n =n^2 +n]이다.

ㄴ. [eqn: a_n =2n]이면 [eqn: b_n = 2n+1]이다.

ㄷ. [eqn: 9a _{4} =8b _{4}]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP06] 등차수열의 구조1
	등차수열의 항들은 직선 위의 점들이다. [eqn: RARROW] 부호가 바뀌는 지점이 있다면 주목하자. 합의 최대/최소 등.

예제 009	[2017학년도 수능(나형) 15번]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{2}]의 값은?

①

(가) [eqn: a _{6} +a _{8} =0]

(나) [eqn: LEFT | a _{6} RIGHT | = LEFT | a _{7} RIGHT | +3]

① [eqn: -15]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -11]

④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -7]

예제 010

첫째항이 [eqn: 30]이고 공차가 [eqn: -d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 등식

[eqn: a _{m} +a _{m+1} +a _{m+2} + CDOTS +a _{m+k} =0]

을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m], [eqn: k]가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: d]의 개수는?

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP07] 등차수열의 구조2
	등차수열, 그것은 일정한 간격

예제 011

그림과 같이 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=a(x-1)]([eqn: a>1])의 교점에서 오른쪽 방향으로

[eqn: y]축에 평행한 [eqn: 14]개의 선분을 같은 간격으로 그었다.

이들 중 가장 짧은 선분의 길이는 [eqn: 3]이고, 가장 긴 선분의 길이는 [eqn: 42]일 때,

[eqn: 14]개의 선분의 길이의 합을 구하여라. (단, 각 선분의 양 끝점은 두 직선 위에 있다.)

[eqn: 315]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP08] 등비수열
	첫째항이 [eqn: a_1], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 일반항은 [eqn: a_1 r^n-1]이다.

예제 012	[2020학년도 수능(나형) 23번]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT {a_{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: {a_{16}}over{a_{14}}+{a_{8}}over{a_{7}}=12]

일 때, [eqn: {a_{3}}over{a_{1}}+{a_{6}}over{a_{3}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 36]

예제 013

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

③

(가) [eqn: a _{3} +a _{5} =24]

(나) [eqn: {a _{3}} over {a _{2}} = {1} over {6} a _{4}]

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP09] 등비중항
	세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 이 순서로 등비수열을 이룬다. [eqn: RARROW] [eqn: b^2 =ac]

예제 014

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 수 [eqn: a ^{2}], [eqn: 12], [eqn: b ^{2}]이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,

[eqn: a TIMES b]의 값을 구하여라.

[eqn: 12]

예제 015

공비가 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} >0], [eqn: a _{1} a _{7} =9]일 때, [eqn: a _{4} +a _{2} a _{6}]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP10] 등비수열의 합
	첫 항이 [eqn: a_1], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합은 [eqn: {a_1 ( r^n -1)} over {r-1 }] 이다.

예제 016

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2 ^{n-1}]의 모든 양의 약수의 합을 [eqn: a _{n}]이라 할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}]의 값을 구하여라.

[eqn: 502]

예제 017

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{1} a _{2} =a _{10}],   [eqn: a _{1} +a _{9} =20]

일 때, [eqn: LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} RIGHT ) LEFT ( a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} RIGHT )]의 값은?

②

① [eqn: 494]	② [eqn: 496]	③ [eqn: 498]

④ [eqn: 500]	⑤ [eqn: 502]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP11] 묶어서 더하기
	적당히 묶어서 보자.

예제 018	[2019학년도 6월(나형) 15번]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{3} =4 LEFT ( a _{2} -a _{1} RIGHT )],   [eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =15]

일 때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} `]의 값은?

③

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 7`]

예제 019

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]을

[eqn: S _{n} = a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}]

이라 하자. [eqn: S_6 =6], [eqn: S_18 =42]일 때, [eqn: S_24]의 값을 구하여라.

[eqn: 90]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP12] 등비수열이 낳은 등비수열
	[eqn: left{a_2n right}]라든가 [eqn: left{(a_n )^2 right}]라든가 [eqn: left{ { 1} over { a_n }right]라든가.

예제 020

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]은 첫째항이 양수이고 공비가 [eqn: 1]보다 큰 등비수열이다. [eqn: a _{3} a _{5} =a _{1}]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k}} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

[eqn: 13]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP13] 등비수열의 구조
	① [eqn: r>0]일 때, 지수함수 위의 점들 ② [eqn: r<0]일 때, 쁠마쁠마 반복.

예제 021

첫째항이 양수이고 공비가 [eqn: -2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{9} "("`|`a _{k} `|+a _{k} )=66]

일 때, [eqn: a _{1}]의 값은?

①

① [eqn: 3 over 31]	② [eqn: 5over 31]	③ [eqn: 7 over 31]

④ [eqn: 9 over 31]	⑤ [eqn: 11 over 31]

예제 022	[2020학년도 6월(나형) 28번]

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 정수인 등비수열 [eqn: left {a_{n} right }]과 자연수 [eqn: m]이 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: a_{m }]의 값을 구하여라.

[eqn: 162]

(가) [eqn: 4 < a_{2 }+ a_{3 }≤ 12]

(나) [eqn: sum _{k = 1}^{m}a_{k }= 122]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP14] 수열의 변형
	[eqn: left{a_2n right}] 같은 것들.

예제 023	[한성은 SR7529번]

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 수열 [eqn: left{a_2n right}]은 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열이다.

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n +a_n+1 right}]은 공차가 [eqn: 2d]인 등차수열이다.

ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT { (a _{k} +a _{k+1} )-a _{2k} RIGHT } =n timesa _{1}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP15] 합과 일반항
	[eqn: a _{n} = {cases{S _{n} -S _{n-1}&```(n ge2)#S_1&```(n=1)}}]

예제 024

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =2n ^{2} +n]일 때, [eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5}]의 값은?

④

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

예제 025

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k-1 RIGHT ) a _{k} = n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 4n-1 RIGHT )]

일 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하여라.

[eqn: 120]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP16] 시그마의 뜻과 성질
	[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =a _{1} +a _{2} +cdots+a _{n}]이다. 뇌장착.

예제 026

등식 [eqn: sum _{k=1} ^{5} {1} over {k} =a+ sum _{k=1} ^{5} {1} over {k+1}]을 만족시키는 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

예제 027	[2018학년도 수능(나형) 27번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{10} ` LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) ^{2} =28], [eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{k} ` LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) =16]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} ` LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하여라.

[eqn: 14]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP17] 시그마의 풀이-다항식
	① [eqn: sum _{k=1} ^{n} c=cn] ② [eqn: sum _{k=1} ^{n} k= {n(n+1)} over {2}], ③ [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}] ④ [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =left{ {n(n+1)} over {2} right} ^{2}]

예제 028	[2020학년도 수능(나형) 25번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: 2x ^{2} -3x+1]을 [eqn: x-n]으로 나누었을 때의 나머지를

[eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{7} (a _{n} -n ^{2} +n)]의 값을 구하여라.

[eqn: 91]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP18] 시그마의 풀이-망원화
	[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} )=a _{n+1} -a _{1}] ※ 부분분수 : [eqn: {1} over {AB} = {1} over {B-A} left( {1} over {A} - {1} over {B} right)]

예제 029	[2020학년도 9월(나형) 26번]

[eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x^{2 }- (2n- 1)x + n(n- 1) = 0]

의 두 근을 [eqn: alpha_{n }], [eqn: beta_{n }]이라 하자. [eqn: sum _{n = 1}^{81} {1}over{ sqrt alpha_{n }+ sqrt beta_{n }}]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

예제 030

첫째항이 [eqn: 1]이고 모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: sum _{k=1} ^{20} {1} over {a _{k} `a _{k+1}} =5]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{11}]의 값은?

①

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: {17} over {6}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {19} over {6}]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP19] 시그마의 풀이-망원화2
	여러 종류가 있다. 수능에는 거의 안 나오지만.

예제 031	[2013학년도 6월 11번]

첫째항이 [eqn: 2]이고, 각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: sum from k=1 to 10 {a_k+1} over {S_k S_k+1} = 1 over 3]일 때, [eqn: S_11]의 값은?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP20] 시그마의 풀이-등비계열
	등비수열의 합을 구할 수 있다. ※ 멱급수도 알아두자.

예제 032

모든 항이 양의 실수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

[eqn: S _{3} =7a _{3}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{8} {S _{n}} over {a _{n}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 502]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP21] 점화식(등차/등비)
	눈치 못 채면 개털릴 수 있다.

예제 033

[eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{5} =16]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 2a _{n+1} =a _{n} +a _{n+2}]

을 만족시킬 때 [eqn: a _{9}]의 값을 구하여라.

[eqn: 28]

예제 034

첫째항이 [eqn: 2]이고 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. [eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: a _{n} x ^{2} -a _{n+1} x+a _{n} =0]

이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 중근을 가질 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} `a _{k} `]의 값을 구하여라.

[eqn: 510]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP22] 점화식1
	열심히 넣어봐. 금방 끝날 수도 있으니까.

예제 035

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =15]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n}} over {n} &```(n이```홀수인```경우)#na _{n}&```(n이```짝수인```경우)}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{5} +a _{6} `]의 값은?

⑤

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP23] 점화식2
	열심히 넣어봐. 빙빙 돌 수도 있으니까.

예제 036	[2018학년도 9월(나형) 19번]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right]은 [eqn: a_{1}=a_{2}=1], [eqn: b_{1}=k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+2}=left(a_{n+1}right)^{2}-left(a_{n}right)^{2}],   [eqn: b_{n+1}=a_{n}-b_{n}+n]

을 만족시킨다. [eqn: b_{20}=14]일 때, [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP24] 점화식(적용)
	사실 점화식 문제가 아니라든가.

예제 037

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n} +a _{n+1} =n]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{n=1} ^{41} a _{n}]의 값은?

①

① [eqn: 421]	② [eqn: 423]	③ [eqn: 425]

④ [eqn: 427]	⑤ [eqn: 429]

	TooLBOX+ [수열]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP25] 점화식(거꾸로)
	좀 빡치더라구.

예제 038

첫째항이 [eqn: 6]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{2-a _{n } &```LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT ) #a _{n} +p&```LEFT( a _{n} <0 RIGHT ) }}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{4} =0]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p]의 값의 합을 구하여라.

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [수열]

예제 039

첫째항이 짝수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{a _{n} +3 ~ &```LEFT ( a _{n} 이```홀수인```경우 RIGHT ) #{ a _{n} over {2} &```LEFT ( a _{n} 이```짝수인```경우 RIGHT )}} `]

를 만족시킨다. [eqn: a_5 =5]일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하여라.

[eqn: 142]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP26] 점화식의 풀이1
	두 종류는 해 두자. 제발. ① [eqn: a_n+1 =a_n +f(n)] [eqn: RARROW] [eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} f(k)] ② [eqn: a _{n+1} =f(n)timesa _{n}] [eqn: RARROW] [eqn: a _{n} =a _{1} + prod _{k=1} ^{n-1} f(k)]

예제 040	[2016학년도 9월 16번]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a _{1} =10]이고

[eqn: LEFT ( a _{n+1} RIGHT ) ^{n+1} = {a _{1} + LEFT ( a _{2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{3} + CDOTS + LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{n}} over {n}] ([eqn: n Ge 1])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정의 일부이다.

[eqn: b_n = left( a_n right)^n]이라 하면 [eqn: b_1 =10]이고 주어진 식으로부터

[eqn: b_n+1 = { b_1 + b_2 +` cdots + b_n } over n] ([eqn: n Ge 1])

이다. [eqn: S_n = Sum from {k=1} to n b_k]라 하면

[eqn: S_n+1 = box {````` (가)`````} `times S_n]

이다.

[eqn: S_1 =10],   [eqn: S_n = S_1 times S_2 over S_1 times S_3 over S_2 times cdots times S_n over S_n-1] ([eqn: n Ge 2])

를 이용하여 [eqn: S_n]을 구하면

[eqn: S_n = box{ ````` (나)````` }] ([eqn: n Ge 1])

이다.

[eqn: vdots]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(5) TIMES g(6)]의 값은?

①

① [eqn: 72]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 88]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP27] 점화식의 풀이2
	야, 얘까지만. 시발 부탁임. ③ [eqn: a _{n+1} =pa _{n} +q] [eqn: RARROW] [eqn: left{a _{n} -alpharight}]는 등비수열.

예제 041

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a _{1} = {1} over {4}]이고

[eqn: left(n+1right)a _{n} `=a _{n+1} left(3n-2a _{n} right)] [eqn: (n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

주어진 식의 양변을 [eqn: a_{n}a_{n+1}]로 나누면

[eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}]

이다. [eqn: b_{n}= { n} over{ a_{n}}]이라 하면

[eqn: b_{n+1}=3b_{n}+box{`````(가)`````}]

이고, [eqn: b _{n+1} -1=3left(b _{n} -1 right)]이다.

[eqn: b_1 = 4]이므로 [eqn: b _{n} -1=box{`````(나)`````}]

[eqn: b_{n}=box{`````(나)`````}+1]

이다. 그러므로

[eqn: a_n = { n} over {box{`````(나)`````}+1}] ([eqn: n GEQ 1])

이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: p+ f(3)]의 값은?

②

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP28] 홀수항과 짝수항
	그럴 때 있잖아.

예제 042	[한성은 EN8039번]

수열 [eqn: LEFT { a_n right}]이 [eqn: a _{1} =2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_n a_n+1 =2^n]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{n=1} ^{20} a _{n} =r times sum _{n=1} ^{5} a _{2n}]일 때, [eqn: r]값을 구하여라.

[eqn: 99]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP29] 주기를 가지는 수열
	가질 수도 있지.

예제 043	[2014학년도 6월(나형) 28번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a_1 =7]이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_n+2 =a_n -4] ([eqn: a=1,```2,```3,```4])

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+6 =a_n]이다.

[eqn: sum_k=1^50 a_k =258]일 때, [eqn: a_2]의 값을 구하여라.

[eqn: 11]

	TooLBOX+ [수열]

		[TIP30] 수학적 귀납법
	앞뒤를 잘 봐라..?

예제 044

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} k ^{2} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} CDOT {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}] [eqn: cdots] (*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: (좌변)= LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES 1 ^{2} =1]

[eqn: (우변)=LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} TIMES {1 TIMES 2} over {2} =1]

따라서 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} k ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} k ^{2} + {BOX{`````(가)`````}}]

[eqn: = {BOX{`````(나)`````}}` + {BOX{`````(가)`````}}]

[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{m+2} CDOT { LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {2}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: {f(5)} over {g(2)}]의 값은?

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

	TooLBOX+ [수열]

예제 045	[2014학년도 9월(나형) 12번]

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =3]이고

[eqn: na_n+1 -2n a_n + n+2 over n+1 =0```(n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]이

[eqn: a_n =2^n + 1 over n] [eqn: cdots] (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)``]이라 할 때, [eqn: f(3) times g(4)``]의 값은?

ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: (좌변)=a_1 =3],
[eqn: (우변) =2^1 + 1 over 1 =3]

이므로 (*)이 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 [eqn: a_k = 2^k + 1 over k]이므로
[eqn: ka_k+1 =2ka_k - k+2 over k+1]

[eqn: =box{`````(가)`````}`- k+2 over k+1]

[eqn: = k cdot2^k+1 +box{`````(나)`````}]
이다. 따라서 [eqn: a_k+1 = 2^k+1 + 1 over k+1]이므로

[eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n = 2^n + 1 over n]이다.

⑤

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]