[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 경우의 수

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	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP01] 케이스 분류의 기준
	알아서 잘.

예제 001

[eqn: △△△]국의 전화번호 중 뒤의 네 자리가

[eqn: △△△-2322], [eqn: △△△- 0010], [eqn: △△△-9090], [eqn: cdots]

등과 같이 두 종류의 숫자로만 된 전화번호는 모두 몇 가지 만들 수 있는가?

④

① [eqn: 600]	② [eqn: 610]	③ [eqn: 620]

④ [eqn: 630]	⑤ [eqn: 640]

예제 002

서로 다른 [eqn: 5]개의 섬을 [eqn: 4]개의 다리를 이용하여 모두 연결되도록 연결하는 경우의 수를

구하여라. (단, 특정한 두 섬을 연결하는 다리는 구별하지 않는다.)

[eqn: 125]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP02] 수형도
	수형도 좋아요.

예제 003

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]를 이용하여 다섯 자리 자연수를 만들 때 [eqn: 7]만 중복하여

사용할 수 있다. [eqn: 7]을 [eqn: 2]개 이상 포함하고, [eqn: 7]끼리는 이웃하지 않는 서로 다른 자연수의

개수를 구하여라.

[eqn: 380]

예제 004

두 집합 [eqn: X =left{1,```2,```3 right}], [eqn: Y= left{1,```2,```3,```4 right}]에 대하여 함수 [eqn: f:X->Y]가

다음 조건을 만족시킨다. 가능한 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

[eqn: 40]

(가) [eqn: f(1)-1 le f(2)]

(나) [eqn: f(2) -1 le f(3)]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP03] 포함배제의 원리
	사건들의 벤다이어그램을 그려라.

예제 005

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right}]에 대하여 일대일 대응 [eqn: f:X->X]가 세 조건

[eqn: f(1)!=1], [eqn: f(2)!=2], [eqn: (f(3)-1)(f(4)-2)=0]

을 만족시킨다. 가능한 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

[eqn: 30]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 006

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5,```6right}]에 대하여 [eqn: X]를 정의역과 공역으로 가지며

다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

[eqn: 176]

(가) [eqn: f]는 일대일 대응이다.

(나) [eqn: f]는 어떤 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n+2)-f(n)=4]를 만족한다.

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP04] 이웃하지 않는
	두 가지 풀이가 가능하니까 둘 다 익혀놓자. ① 나머지들을 배열해 놓고 이웃하면 안 되는 것들을 사이사이에 끼워서 ② 이웃하면 안 되는 것들을 배열해 놓고 나머지를 사이사이에 끼워서

예제 007	[한성은 OG7344번]

[eqn: 9]개의 좌석이 일렬로 배치된 롤러코스터에 [eqn: 3]명의 학생이 탑승한다. 학생이 이웃하며 앉는

경우에는 이웃하는 학생들끼리는 앞쪽에 키가 작은 사람이 오도록 키 순서대로 앉는다.
학생이 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라. (단, [eqn: 3]명의 학생의 키는 모두 다르다.)

[eqn: 343]

예제 008

검은 돌 [eqn: 3]개, 흰 돌 [eqn: 6]개를 일렬로 나열할 때, 흰 돌은 적어도 [eqn: 2]개 이상씩 서로 이웃하게

놓는 경우의 수는? (단, 같은 색의 돌은 서로 구별하지 않는다.)

②

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP05] 순서가 정해진 순열
	같은 것으로 취급해서 배열한다.

예제 009	[2014학년도 6월]

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩

사용하여 일렬로 나열할 때, [eqn: 2]가 적혀 있는 카드는 [eqn: 4]가 적혀 있는 카드보다 왼쪽에 나열하고

홀수가 적혀 있는 카드는 작은 수부터 크기 순서로 왼쪽부터 나열하는 경우의 수는?

②

① [eqn: 56]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 72]

예제 010	[한성은 SP0409번]

크기가 모두 다른 [eqn: 10]개의 귤 중 [eqn: 6]개를 선택하여 대/중/소라 적힌 세 상자에 각각 [eqn: 2]개씩
넣는 경우의 수를 구하여라. (단, ‘대’ 상자에 들어가는 귤들은 ‘중’ 상자에 들어가는
귤들보다 크고, ‘중’ 상자에 들어가는 귤들은 ‘소’ 상자에 들어가는 귤들보다 크다.)

[eqn: 210]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP06] 경로의 수
	숫자 더해서 풀자.

예제 011	[2013학년도 수능]

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여

[eqn: rmC]지점을 지나지 않고, [eqn: rmD]지점도 지나지 않으면서 [eqn: rmB]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?

②

① [eqn: 26]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 18]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 012

그림과 같은 바둑판 모양의 도로망에서 [eqn: rm P]지점을 통과할 때는 진행을 바꾸지 않고 직진으로만

지나갈 수 있다고 할 때, [eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 96]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP07] 경로의 수2
	어디 가서 배워 와라.

예제 013	[한성은 CS5559번]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점으로 이동한다.

지나간 길은 다시 지나지 않으며 왼쪽 방향으로는 이동하지 않는다. 선분 [eqn: rmPQ]와 만나는

경로의 수를 구하여라.

[eqn: 175]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 014	[한성은 XD9589번]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 선분 [eqn: rmPQ]의

일부를 거쳐 [eqn: rmB]지점으로 이동한다. 지나간 길은 다시 지나지 않으며 최단거리로 가는

경우의 수는?

④

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP08] 원순열
	직순열 걸고 같은 배열의 수로 나누거나 하나를 미리 고정시켜놓고 풀 수 있다. 조건이 걸린 경우는 하나를 미리 고정시켜놓고 시작하는 풀이가 유용하다.

예제 015

남자 [eqn: 4]명과 여자 [eqn: 4]명이 다음 조건에 따라 원탁에 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 288]

(가) 여자 [eqn: 4]명은 이웃하여 앉는다.

(나) 특정한 남자 [eqn: 2]명은 이웃하여 앉지 않는다.

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 016

여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 6]명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생

사이에는 [eqn: 1]명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다.

[eqn: 9]명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 [eqn: n times6!]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, 회전하여 일치하는

②

것들은 같은 것으로 본다.)

① [eqn: 10]□	② [eqn: 12]□□	③ [eqn: 14]□□

④ [eqn: 16]□	⑤ [eqn: 18]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP09] 입체도형을 색칠하는 방법의 수
	목걸이 순열이니까 아마 수능에는 나올 수 없을 거야.

예제 017

오른쪽 그림과 같은 정삼각기둥의 다섯 개의 면을 서로 다른

[eqn: 7]가지의 색을 사용하여 칠하는 방법의 수는? (단, 다섯 개의

②

면에는 모두 서로 다른 색을 칠한다.)

① [eqn: 210]	② [eqn: 420]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 620]	⑤ [eqn: 1260]

예제 018

오른쪽과 같이 합동인 정삼각형 [eqn: 3]개와 합동인 등변사다리꼴

[eqn: 3]개, [eqn: 1]개의 정삼각형으로 이루어진 칠면체가 있다. 서로 다른

[eqn: 7]가지 색을 모두 사용하여 색칠하는 방법의 수는?

⑤

① [eqn: 420]	② [eqn: 560]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 1260]	⑤ [eqn: 1680]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP10] 뽑아서 배열하기
	전체 중의 일부분만 뽑아서 줄 세우는 경우의 수를 구할 때는, 줄 세울 것들을 뽑는 과정과 배열하는 과정을 나눠서 생각하자.

예제 019

[eqn: 8]개의 문자, [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: RmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmC] 중 [eqn: 5]개의 문자를 뽑아 나열할 때,

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 적어도 하나씩은 포함되도록 나열하는 방법의 수는?

③

① [eqn: 110]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 150]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP11] 집합과 경우의 수
	벤다이어그램을 미리 그려 놓고 원소들을 채워 넣는 경우의 수를 고민한다.

예제 020

전체집합 [eqn: U it = LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가

[eqn: n(A capB)=2]

를 만족시키는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 270]

예제 021

전체집합 [eqn: U it = LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가

[eqn: A subsetB]

를 만족시키는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 243]

	TooLBOX+ [경우의 수]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP12] 부정방정식과 중복조합1
	수능에 계속 나오고 있으므로 개 중요하다. [같은 공을 다른 상자에 넣는 문제]는 부정방정식으로 돌릴 수 있다.

예제 022	[2017학년도 6월]

사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 [eqn: 8]개를 선택하려고 한다.

사과는 [eqn: 1]개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 [eqn: 1]개 이상을 선택하는

경우의 수를 구하여라. (단, 각 종류의 과일은 [eqn: 8]개 이상씩 있다.)

[eqn: 36]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 023	[2020학년도 9월 28번]

연필 [eqn: 7]자루와 볼펜 [eqn: 4]자루를 다음 조건을 만족시키도록 여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 2]명에게

남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하여라. (단, 연필끼리는 서로 구별하지 않고,

[eqn: {49}]

볼펜끼리도 서로 구별하지 않는다.)

(가) 여학생이 각각 받는 연필의 개수는 서로 같고,

남학생이 각각 받는 볼펜의 개수도 서로 같다.

(나) 여학생은 연필을 [eqn: 1]자루 이상 받고,

볼펜을 받지 못하는 여학생이 있을 수 있다.

(다) 남학생은 볼펜을 [eqn: 1]자루 이상 받고,

연필을 받지 못하는 남학생이 있을 수 있다.

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP13] 부정방정식과 중복조합2
	수능에 계속 나오고 있으므로 개 중요하다. 조건이 걸려 있는 경우까지 잘 다룰 수 있도록 연습해놓자.

예제 024	[2017학년도 수능]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의

모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b,```c RIGHT )]의 개수를 구하여라.

[eqn: 32]

(가) [eqn: a+b+c=7]

(나) [eqn: 2 ^{a} TIMES 4 ^{b}]은 [eqn: 8]의 배수이다.

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 025	[2020학년도 수능 16번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의

모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b,```c,```d RIGHT )]의 개수는?

③

(가) [eqn: a+b+c-d=9]

(나) [eqn: d LEQ 4]이고 [eqn: c GEQ d]이다.

① [eqn: 265]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 275]

④ [eqn: 280]	⑤ [eqn: 285]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP14] 함수와 중복조합
	가끔 나온당. ① [eqn: 1 le a le b le c le 10]인 정수 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는 [eqn: `_10 {rmH}_3]이다. ② [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x _{1} ) le f(x _{2} )]를 만족하는 함수의 개수는 [eqn: ` _{n(공역)} rm H it rm _{n(정의역)}]이다.

예제 026	[2016학년도 수능]

세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: 1 le |`a`| le |`b`| le |`c`| le5]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는?

③

① [eqn: 360]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 280]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 200]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 027

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6RIGHT }]에 대하여

함수 [eqn: f :A->B] 중 다음 조건을 만족시키는 것의 개수는?

④

(가) 임의의 [eqn: x_1 ,```x_2 inA]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) gef(x_2 )]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 64]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 128]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP15] 함수와 중복조합2
	조건을 처리해보자.

예제 028	[2020학년도 6월 19번]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: x_3], [eqn: x_4]의

모든 순서쌍 [eqn: (x_1 ,```x_2 ,```x_3 ,```x_4 )]의 개수는?

①

(가) [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때, [eqn: x_n+1 -x_n ge 2]이다.

(나) [eqn: x_4 le 12]

① [eqn: 210]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 230]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 250]

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 029	[한성은 UG8488번]

다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의
모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d,```e)]의 개수를 구하여라.

[eqn: 396]

(가) [eqn: 1 le a le b le c le d le e le 8]

(나) [eqn: a+4 le d]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP16] 분할과 분배
	서로 다른 [eqn: n]개를 [eqn: p]개, [eqn: q]개, [eqn: r]개 ([eqn: p+q+r=n])의 세 묶음으로 나누는 경우의 수 ① [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이 모두 다를 때 : [eqn: `_n{rmC}_p times_n-p {rmC}_q times_n-p-q {rmC}_r] ② [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r] 중 어느 두 개가 같을 때 : [eqn: `_n{rmC}_p times_n-p {rmC}_q times_n-p-q {rmC}_r times 1over2!] ③ [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이 모두 같을 때 : [eqn: ` _{n} rm C it rm _{p} TIMES _{n-p} rm C it rm _{q} TIMES _{n-p-q} rm C it rm _{r} TIMES {1} over {3!}] ※ 분배하는 방법의 수 : [eqn: (분할하는```방법의```수)timesr!] ※ 받는 사람마다 개수가 정해진 분배 : 순서대로 개수만큼 뽑아가면 됨.

예제 030

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]를 포함한 [eqn: 9]명을 [eqn: 3]명씩 세 개의 조로 나눌 때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 같은 조가 되는

경우의 수 [eqn: a]와 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 서로 다른 조가 되는 경우의 수 [eqn: b]에 대하여 [eqn: b-a]의

값을 구하여라.

[eqn: 140]

예제 031	[한성은 OR4468번]

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE] 다섯 사람을 세 교실 [eqn: 101]호, [eqn: 102]호, [eqn: 103]호에 넣으려고 할 때,

[eqn: 101]호와 [eqn: 102]호에는 각각 적어도 한 명이 들어가도록 하는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 180]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP17] 나눠 넣기1
	① 넣는 공이 서로 같은 것인지, 다른 것인지 ② 넣어야 하는 상자가 서로 같은 것인지 다른 것인지 ③ 빈 상자가 있어도 되는지, 안 되는지 의 여부와 문제들마다의 조건에 따라서 다 다른 문제가 되므로 개빡친다.

예제 032	[2017학년도 9월]

서로 다른 과일 [eqn: 5]개를 [eqn: 3]그릇 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 남김없이 담으려고 할 때, 그릇 [eqn: rmA]에는 과일

[eqn: 2]개만 담는 경우의 수는? (단, 과일을 하나도 담지 않은 그릇이 있을 수 있다.)

⑤

① [eqn: 60`]	② [eqn: 65`]	③ [eqn: 70`]

④ [eqn: 75`]	⑤ [eqn: 80`]

예제 033

서로 모양과 크기가 같은 초콜릿 [eqn: 10]개를 서로 다른 세 개의 접시 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 나누어 담으려

한다. 이때, 각 접시에는 초콜릿을 적어도 하나씩 담도록 하는 방법의 수를 구하여라.

[eqn: 36]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP18] 나눠 넣기2
	빡친다고.

예제 034	[한성은 CR0924번]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]를 포함한 [eqn: 6]명의 학생을 서로 다른 세 개의 상자에 넣으려 한다.
다음 조건을 만족하는 경우의 수를 구하여라.

[eqn: 150]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 같은 상자에 넣는다.

(나) 빈 상자가 없도록 넣는다.

예제 035	[2019학년도 9월(나형)]

서로 다른 종류의 사탕 [eqn: 3]개와 같은 종류의 구슬 [eqn: 7]개를 같은 종류의 주머니 [eqn: 3]개에

남김없이 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니에 사탕과 구슬이 각각 [eqn: 1]개 이상씩 들어가도록

나누어 넣는 경우의 수는?

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP19] 치역과 공역이 같은 함수의 개수
	자주 보게 되니까 따로 한 번 정리해두자. ① 정의역을 분할해서 분배 ② 전체에서 여사건을 빼서 ③ ‘치역에 하나가 없는 함수’들의 포함배제를 통해 ※ 어느 풀이든 공역이 [eqn: 4]개 이상이 되면 돌아버린다.

예제 036

정의역이 [eqn: left{1,```2,```3,```4,```5right]이고 공역이 [eqn: left{1,```2,```3right]인 함수 중 치역과 공역이 같은

함수의 개수를 구하여라.

[eqn: 150]

예제 037

승객 [eqn: 6]명이 타고 있는 버스가 세 정류장 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 정차한다. [eqn: 3]개의 정류장 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중에서

[eqn: 2]개의 정류장에 모든 승객이 내리는 방법의 수를 구하여라. (단, 새로 타는 승객은 없다.)

[eqn: 186]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP20] 이항정리
	[eqn: (a+b)^n]의 전개식에서 [eqn: a^k b^n-k]의 계수는 [eqn: `_n {rmC}_k]이다.

예제 038	[2019학년도 9월 8번]

다항식 [eqn: (x+2) ^{19}]의 전개식에서 [eqn: x^k]의 계수가 [eqn: x^k+1]의 계수보다 크게 되는

자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

예제 039	[2019학년도 6월(나형) 14번]

[eqn: left (x^{2 }-{1 }over{x}right )left(x +{a}over{x^{2}}right )^{4}]의 전개식에서 [eqn: x^{3 }]의 계수가 [eqn: 7]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP21] 이항계수의 성질
	예의상. 중요한 것만. ① [eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{2} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{n} =2 ^{n}] ② [eqn: {} _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} + CDOTS = _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} + _{n} rm C it rm _{6} + CDOTS =2 ^{n-1}] ③ [eqn: {} _{k} rm C it rm _{k} + _{k+1} rm C it rm _{k} + _{k+2} rm C it rm _{k} + CDOTS + _{n} rm C it rm _{k} = _{n+1} rm C it rm _{k+1}]

예제 040

[eqn: rm ` _{10} C _{`0} + _{10} C _{`2} + _{10} C _{`4} + _{10} C _{`6} + _{10} C _{`8} + _{10} C _{`10}]의 값은?

④

① [eqn: 64]	② [eqn: 128]	③ [eqn: 256]

④ [eqn: 512]	⑤ [eqn: 1024]

예제 041

[eqn: (1+x)+{(1+x)^2}+cdots+{(1+x)^10}]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

⑤

① [eqn: 85]	② [eqn: 105]	③ [eqn: 125]

④ [eqn: 145]	⑤ [eqn: 165]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP22] 이항정리와 빈 칸
	사실 나올 것 같지는 않아.

예제 042	[2017학년도 9월]

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: (x+a^2 )^n]과 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의 전개식에서

[eqn: x^n-1]의 계수가 같게 되는 두 자연수 [eqn: a]와 [eqn: n(n ge4)]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고,

[eqn: (x+a^2 )^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: a^2 n]이다.

[eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n =x^2 (x+a)^n -2a(x+a)^n]에서

[eqn: x^2 (x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3]이고,

[eqn: 2a(x+a)^n]을 전개하면 [eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: 2a^2 n]이다.

따라서 [eqn: (x^2 -2a)(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는
[eqn: box{`````(가)`````}`timesa^3 -2a^2 n]

이다. 그러므로

[eqn: a^2 n={box{`````(가)`````}`a^3 -2a^2 n]

이고, 이 식을 정리하여 [eqn: a]를 [eqn: n]에 관한 식으로 나타내면

[eqn: a= { 18} over {box{`````(나)`````} }]

이다. 여기서 [eqn: a]는 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4] 이상의 자연수이므로

[eqn: n=`box{`````(다)`````]

이다.

(다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f(k)+g(k)]의 값은?

①

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

	TooLBOX+ [경우의 수]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP23] 이항계수의 성질과 빈 칸
	성질 정리 좀 해둬.

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 043	[2017학년도 9월]

[eqn: 1]부터 [eqn: n]([eqn: n ge 4])까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]장의 카드가 있다. 이 카드 중에서

임의로 서로 다른 [eqn: 4]장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 [eqn: 4]장에 적힌 수 중 가장 큰 수를

확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음은 [eqn: {rmE}(X)]를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식를 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때,
[eqn: a timesf(6)timesg(5)]의 값은?

자연수 [eqn: k(4 le k le n)]에 대하여 확률변수 [eqn: X]의 값이 [eqn: k]일 확률은

[eqn: 1]부터 [eqn: k-1]까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른

[eqn: 3]장의 카드와 [eqn: k]가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를

전체 경우의 수로 나누는 것이므로
[eqn: {rmP}(X=k)= { box{`````(가)`````} over {`_n {rmC}_4 }]
이다. 자연수 [eqn: r(1 le r le k)]에 대하여
[eqn: `_k {rmC}_r = { k} over { r}times_k-1 {rmC}_r-1]
이므로
[eqn: k TIMES BOX{`````(가)`````} `=4 TIMES BOX{`````(나)`````}]

이다. 그러므로
[eqn: rm E it (X)= sum _{k=4} ^{n} LEFT { k TIMES rm P it (X=k) RIGHT }# `````````````````````= {1} over {` _{n} rm C it rm _{4} it} sum _{k=4} ^{n} LEFT ( k times box{`````(가)`````}`RIGHT )# `````````````````````= { 4} over { `_n {rmC}_4}sum_k=4 ^n box{`````(나)`````]

이다.

[eqn: sum_k=4 ^n `box{`````(나)`````}=_n+1 {rmC}_5]

이므로

[eqn: {rmE}(X)=(n+1) times`box{`````(다)`````}]

이다.

①

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP24] 문제풀이와 빈 칸
	주로 확률로 나오지만.

	TooLBOX+ [경우의 수]

예제 044	[2018학년도 9월]

다음은 [eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중 [eqn: 2]개의 상자를 선택하여 각 상자에

공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를

구하는 과정이다. (단, [eqn: n]은 [eqn: 6]의 배수인 자연수이고 공은 구별하지 않는다.)

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)], [eqn: h(n)]이라 할 때,

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(ⅰ) 세 상자에

공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ⅱ) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이

들어가는 경우’와 ‘(ⅲ) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이

들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

[eqn: n]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는

경우의 수는 [eqn: n]명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를

선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여

[eqn: n]개의 상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: box{`````(가)`````}]이다.

(ⅱ)의 경우 :

각 상자에 [eqn: 2n over3]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는

[eqn: 1]이다.

(ⅲ)의 경우 :

두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 [eqn: rmC]에는 최대

[eqn: n]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 각각 [eqn: n over2]개 보다

작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에

같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: box{`````(나)`````}]이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는

경우의 수는 [eqn: `_3 {rmC}_2 times(`box{`````(나)`````}`-1)]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는

[eqn: box{`````(다)`````}]이다.

[eqn: { f(30)} over {g(30) } +h(30)]의 값은?

①

① [eqn: 481]	② [eqn: 491]	③ [eqn: 501]

④ [eqn: 511]	⑤ [eqn: 521]

	TooLBOX+ [경우의 수]

		[TIP25] 함수의 개수와 빈 칸
	거지같은 문제.

예제 045	[2019학년도 수능 17번]

다음은 집합 [eqn: X= LEFT { 1 ,``` 2 ,```3 ,``` 4 ,```5 ,```6 RIGHT }]과 함수 [eqn: f : X -> X]에 대하여

합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역의 원소의 개수가 [eqn: 5]인 함수 [eqn: f]의 개수를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

함수 [eqn: f]와 함수 [eqn: f CIRC f]의 치역을 각각 [eqn: A]와 [eqn: B]라 하자. [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =6]이면

함수 [eqn: f]는 일대일 대응이고, 함수 [eqn: f circf]도 일대일 대응이므로

[eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =6]이다. 또한 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) leq 4]이면 [eqn: B subset A]이므로 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) leq 4]이다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5], 즉 [eqn: B=A]인 경우만 생각하면 된다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 [eqn: X]의 부분집합 [eqn: A]를 선택하는 경우의 수는

[eqn: BOX{````` (가) ````` }]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 선택한 집합 [eqn: A]에 대하여, [eqn: X]의 원소 중 [eqn: A]에 속하지

않는 원소를 [eqn: k]라 하자. [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]이므로 집합 [eqn: A]에서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]를

선택하는 경우의 수는 [eqn: BOX{````` (나) `````}]이다.

(ⅲ) (ⅰ)에서 선택한 [eqn: A= LEFT { a _{1} ,``` a _{2} ,``` a _{3} ,```a _{4} ,```a _{5} RIGHT }]와 (ⅱ)에서 선택한

[eqn: f LEFT ( k RIGHT )]에 대하여, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) IN A]이며 [eqn: A=B]이므로
[eqn: A= LEFT { f LEFT ( a _{1} RIGHT ) ,``` f LEFT ( a _{2} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{3} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{4} RIGHT ) ,```f LEFT ( a _{5} RIGHT ) RIGHT }] [eqn: cdots] [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]

이다. [eqn: LEFT ( AST RIGHT )]을 만족시키는 경우의 수는 집합 [eqn: A]에서 집합 [eqn: A]로의

일대일 대응의 개수와 같으므로 [eqn: BOX{````` (다) `````}]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: BOX{````` (가) `````} `TIMES ` BOX{````` (나) `````} ` TIMES` BOX{````` (다) `````}]이다.

①

① [eqn: 131]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 141]

④ [eqn: 146]	⑤ [eqn: 151]

	TooLBOX+ [경우의 수]