[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 평면벡터

5A ACADEMY

SOOHAN

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP01] 벡터의 정의와 기본연산
	벡터의 정의, 기본연산 알아서 잘.

예제 001

그림과 같이 [eqn: rm barAB = barAC]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]의 각 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]의 중점을

각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때 다음 중 벡터 [eqn: rm vecCF -vecCB + vec CE]와 같은 벡터는?

⑤

① [eqn: 1over2 rm vecAD]	② [eqn: 1over2 rm vec BE]	③ [eqn: rm vecDE]

④ [eqn: rm vec CF]	⑤ [eqn: rm vec BD]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 002

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =3], [eqn: rmbarAD =2]인 직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmCD] 위를

움직일 때, [eqn: |rm vecAB + vecAP |]의 최댓값과 [eqn: |rm vecCB - vecCP |]의 최솟값의 합은?

③

① [eqn: root10 +1]	② [eqn: 2(root10 -1 )]	③ [eqn: 2(root10 +1 )]

④ [eqn: 3(root10 -1)]	⑤ [eqn: 3 (root10 +1)]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP02] 벡터의 합
	고정된 벡터와 움직이는 벡터를 더할 때는 고정된 벡터의 종점에 움직이는 벡터의 시점을 놓는 것이 읽기 좋다.

예제 003

포물선 [eqn: y^2 =12x]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 그림과 같이 이 포물선 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여

[eqn: | rm vecOP + vecOF |=2root31]

일 때, 선분 [eqn: rm PF]의 길이를 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP03] 내분/외분벡터
	[eqn: { m} over {m+n } veca + { n} over {m+n }vecb] 또는 [eqn: t veca +(1-t) vecb]

예제 004	[한성은 DJ6914번]

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmABCD]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여

[eqn: rmvecAP = { 3} over { 4}vecAB + { 1} over { 4}vecAC],   [eqn: rm {vec{AQ}} = {3} over {4} {vec{AC}} + {1} over {4} {vec{AD}}]

일 때, [eqn: |rm {vec{PQ}} |]의 값은?

③

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt { 10}]

④ [eqn: sqrt {12}]	⑤ [eqn: sqrt {14}]

예제 005	[한성은 ZX4664번]

[eqn: rm {bar{AB}} =3], [eqn: rm {bar{BC}} =6]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 선분 [eqn: rmAD] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다.

[eqn: rm| {vec{PB}} +2 {vec{PC}}|]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: |rm {vec{BQ}}|]의 값은?

③

① [eqn: sqrt {23}]	② [eqn: 2sqrt { 6}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: sqrt {26}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP04] 벡터의 분해
	① 원, 정다각형의 중심을 이용한 분해 ② 삼각형의 무게중심을 이용한 분해 ③ 선분의 중점을 이용한 분해 ④ 수직분해

예제 006	[한성은 ZL7850번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 세 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}], [eqn: C _{3}]가 서로 외접하고 있다.

세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이 각각 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}], [eqn: C _{3}] 위를 움직일 때, [eqn: rm| vec{PQ}+vecPR |]의 최댓값은?

④

① [eqn: 2+2 sqrt {3}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 4+2sqrt { 3 }]	⑤ [eqn: 8]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 007	[한성은 LF3333번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmPQA_1 A_2 A_3 A_4]가 있다.

벡터 [eqn: sum _{i=1} ^{4} LEFT ( vec{rm PA it rm _{i} it} + vec{rm QA it rm _{i} it} ` RIGHT )]의 크기는?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 4sqrt { 3}]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 6 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 12]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP05] 위치 해석
	잘. 시점을 고정하는 것이 유리하다.

예제 008	[2017학년도 9월 16번]

직사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부의 점 [eqn: rm P]가

[eqn: vec{rm PA it} + vec{rm PB it} + vec{rm PC it} + vec{rm PD it} = vec{rm CA it}]

를 만족시킨다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: vec{rmPB}+vec{rmPD}=2vec{rmCP}]

ㄴ. [eqn: vec{rmAP}={3} over{4} vec{rmAC}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmADP]의 넓이가 [eqn: 3]이면 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 009	[한성은 QJ7193번]

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]와 양의 실수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

[eqn: |2rmvecAB +vecPC it|=k]

를 만족시키며 움직인다. [eqn: rm|vecAP |]의 최솟값이 [eqn: 3sqrt { 7} }]일 때, [eqn: |rmvecAP |]의 최댓값은 [eqn: a]이다.

[eqn: a^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 175]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP06] 벡터의 합의 해석
	① 정벡터 뒤에 동벡터 ② 크기가 정해진 두 벡터의 합의 크기는 두 벡터의 방향이 같을 때 최대, 방향이 반대일 때 최소이다.

예제 010	[2020학년도 6월 18번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA(3,```0)], [eqn: rmB(0,```3)]과 직선 [eqn: x=1] 위의 점 [eqn: {rmP}(1,```a)]가 있다. 점 [eqn: rmQ]가

중심각의 크기가 [eqn: piover2]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때 [eqn: |rmvecOP +vecOQ |]의 최댓값을

[eqn: f(a)]라 하자. [eqn: f(a)=5]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: -5 sqrt { 3}]	② [eqn: -4 sqrt { 3}]	③ [eqn: -3 sqrt { 3}]

④ [eqn: -2 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: -sqrt { 3}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 011	[2017학년도 6월 28번]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmbarAE =barDB =2]인 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]를

각각 지름으로 하는 두 반원의 호 [eqn: rmAE], [eqn: rmDB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하고, 선분 [eqn: rmAB] 위에

[eqn: rmbar{O_1 A}=bar{O_2 B}=1]인 두 점을 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]라 하자. 호 [eqn: rmAC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmDC] 위를

움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm|vec{O_1 P}+vec{O_2 Q} |]의 최솟값이 [eqn: 1over2]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: q overp]이다.

[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 1 <rmbar{O_1 O_2 }<2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 19]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP07] 벡터의 평행
	실수배.

예제 012

서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rm vecAB =3it veca -4vecb], [eqn: rmvecBC =(it k-3)veca +7vecb]일 때,

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있도록 하는 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 16k^2]의 값을

구하여라. (단, [eqn: veca nevec0], [eqn: vecb ne vec0]이고, [eqn: veca]와 [eqn: vecb]는 평행하지 않다.)

[eqn: 81``]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP08] 가무게중심 정리
	삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: p rm vec{PA} it +q rm vec{PB} it +r rm vec{PC} it = vec0]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 잡을 수 있다.

예제 013	[한성은 ZL7850번]

한 변의 길이가 [eqn: 18]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 내부에 점 [eqn: rmP]가 있다. 세 삼각형

[eqn: rmPAB], [eqn: rmPBC], [eqn: rmPCA]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]라 하면 [eqn: S _{1} :S _{2} :S _{3} =4:2:3]이다.

선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmP]에서

선분 [eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rm bar{PQ} times barPR]의 값은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 6sqrt { 3}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 8sqrt { 3}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP09] 벡터와 점의 자취
	① [eqn: {rmvecOP}={rmvecOA}+t {rmvecOB]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: rmvecOB]와 평행한 직선이다. ② [eqn: {rmvecOP}=t{rmvecOA}+(1-t){rmvecOB]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는 직선 [eqn: rmAB]이다.
※ 대충 [eqn: t=0] 넣고 [eqn: t=1] 넣고 연결하자. eg1) [eqn: rm vec{OP} it = {1} over {2} t `vec{rmOA} it + LEFT ( 1-t RIGHT ) rm vec{rm OB it rm} RIGHT .] eg2) [eqn: vec{rm OP it} =t vec{rm OA it} +s vec{rm OB it}] (단, [eqn: t+2s=2])

예제 014	[한성은 XZ7944번]

그림과 같이 평행사변형 [eqn: rmABCD]와 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rm E], 선분 [eqn: rmCD]의 중점 [eqn: rmF]가 있다. 점 [eqn: rm P]가

[eqn: rm vec{AP} it = {t} over {2} rm vec{AF} it +(2-t) rm vec{AE} it] (단, [eqn: t]는 실수)

를 만족시키고 점 [eqn: rm Q]가 [eqn: {rmvecAQ}={rmvecAD}+{rmvecFP}]를 만족시킨다. 점 [eqn: rm Q]가 나타내는 도형은?

⑤

① 직선 [eqn: rm FC]	② 직선 [eqn: rm FB]	③ 직선 [eqn: rm FE]

④ 직선 [eqn: rm DB]	⑤ 직선 [eqn: rm DE]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 015	[한성은 RU1459번]

[eqn: rm {bar{AB}} =6], [eqn: rm {bar{BC}} =4]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: rmP]는

[eqn: {vec{rmAP it}} = {1} over {2} {vec{rmAB it}} +t {vec{rmAD it}}+t rmvecBD}]

를 만족시킨다. [eqn: |rmvecCP |]의 최솟값은?

④

① [eqn: {21} over {5}]	② [eqn: {22} over {5}]	③ [eqn: {23} over {5}]

④ [eqn: 24over5]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP10] 자취의 영역
	부등식의 영역이라 나오면 안 되는 것 같지만.

예제 016	[2019학년도 수능 29번]

좌표평면에서 넓이가 [eqn: 9]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA] 위를 움직이는 점을

각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때,

[eqn: rmvecAX = { 1} over {4 }( vecAP +vecAR )+ { 1} over {2 } vecAQ]

를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

[eqn: 53]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 017	[2020학년도 9월 19번]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(1,```0)], [eqn: rmB(0,```1)]이 있다. 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의

호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rm X]와 함수 [eqn: y=(x-2) ^{2} +1```(2 LEQ x LEQ 3)]의 그래프 위를 움직이는
점 [eqn: rmY]에 대하여

[eqn: {vec{rmOP}} = {vec{rmOY}} - {vec{rmOX}}]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 영역을 [eqn: R`]라 하자. 점 [eqn: rmO]로부터 영역 [eqn: R`]에 있는

점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M ^{`2} +m ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

①

① [eqn: 16-2 sqrt {5}]	② [eqn: 16- sqrt {5}]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 16+ sqrt {5}]	⑤ [eqn: 16+2 sqrt {5}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP11] 벡터의 내적
	잘.

예제 018

예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm barAB =barAC =2]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 1over2]일 때,

[eqn: rm vecAB cdot vecAC]의 값은?

⑤

① [eqn: root11]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: root13]

④ [eqn: root14]	⑤ [eqn: root15]

예제 019

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]가 있다.

[eqn: rm vecBE cdot vecFC]의 값은?

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP12] 벡터의 성분
	적당히.

예제 020	[2016학년도 9월 6번]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(4,```2)], [eqn: rmB(0,```2)], [eqn: rmC(2,```0)]에 대하여 [eqn: rmvecOA cdot vecBC]의 값은?

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

예제 021	[2017학년도 6월 23번]

두 벡터 [eqn: veca =(4,```1)], [eqn: vecb =(-2,```k)]에 대하여 [eqn: veca cdot vecb =0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP13] 내적과 각
	두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |veca |], [eqn: |vecb |], [eqn: vec{a} cdot vecb]를 알면 두 벡터가 이루는 각을 알 수 있다.

예제 022	[2012학년도 9월 2번]

두 벡터 [eqn: vec{a} = LEFT ( x+1,```2 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 1,```-x RIGHT )]가 서로 수직일 때, [eqn: x]의 값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP14] 벡터의 평행과 수직
	① 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하다. [eqn: LRARROW] [eqn: veca = k vecb] ② 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 수직이다. [eqn: LRARROW] [eqn: veca cdot vecb =0]

예제 023	[2018학년도 6월 11번]

두 벡터 [eqn: vec{a} =(3,```1)], [eqn: vec{b} =(4,```-2)]가 있다. 벡터 [eqn: vec v]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec a]와 [eqn: vec v + vec b]가

서로 평행할 때, [eqn: LEFT | vec v RIGHT | sup 2]의 최솟값은?

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

예제 024	[2015학년도 9월 5번]

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |veca |=2]이고 [eqn: veca cdot vecb =2]일 때,

두 벡터 [eqn: veca]와 [eqn: veca -t vecb]가 서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP15] 내적의 연산과 일차결합
	두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |veca |], [eqn: |vecb |], [eqn: vec{a} cdot vecb]를 알면 두 벡터가 이루는 각을 알 수 있다. [eqn: RARROW] 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내자.

예제 025	[2017학년도 9월 8번]

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |`veca `|=1], [eqn: |`vecb`|=3]이고, 두 벡터 [eqn: 6 vec a + vec b]와 [eqn: vec a - vec b]가 서로 수직일 때,

[eqn: vec a cdot vec b]의 값은?

②

① [eqn: - 3 over 10]	② [eqn: - 3 over 5]	③ [eqn: - 9 over 10]

④ [eqn: - 6 over 5]	⑤ [eqn: - 3 over 2]

예제 026	[2005학년도 9월 3번]

크기가 [eqn: 1]인 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 [eqn: | vec{a} - vec{b} |=1]을 만족할 때, [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]가 이루는 각 [eqn: theta]의 크기는?

③

(단, [eqn: 0 le theta le pi])

① [eqn: {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {pi} over {2}]	⑤ [eqn: pi]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP16] 일차결합
	두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: |veca |], [eqn: |vecb |], [eqn: vec{a} cdot vecb]를 알면 두 벡터가 이루는 각을 알 수 있다. [eqn: RARROW] 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내자.

예제 027	[2014학년도 9월 11번]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정삼각형 [eqn: \ABC]에서 변 [eqn: \AB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: \D]라 하고,

변 [eqn: \AC]를 [eqn: 3:1]과 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm {left|vec{BF}+vec{DE}right|}^2]의 값은?

③

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP17] 내적의 기하적 의미
	[eqn: {rm vecOP cdot vecAB }=k]일 때 점 [eqn: rmP]의 자취는 직선 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이다.

예제 028	[2013학년도 수능 26번]

한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을

[eqn: rmH]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAH] 위를 움직일 때, [eqn: rm|vecPA cdot vecPB |]의 최댓값은 [eqn: { q} over { p}]이다.

[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 7]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 029	[2018학년도 9월 19번]

좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]가 중심이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3]에 대하여

[eqn: | rmvecOX | le 1] 이고 [eqn: {rmvecOX} cdot vec{{rmOA}_k} ge0] ([eqn: k=1,```2,```3])

을 만족시키는 모든 점 [eqn: rmX]의 집합이 나타내는 도형을 [eqn: D]라 하자. 보기에서 옳은 것만을

있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: rmvecOA_1 = vecOA_2 = vecOA_3]이면 [eqn: D]의 넓이는 [eqn: piover2]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecOA_2 =-vecOA_1]이고 [eqn: rmvecOA_3 =vecOA_1]이면 [eqn: D]는 길이가 [eqn: 2]인 선분이다.

ㄷ. [eqn: rmvecOA_1 cdot vecOA_2 =0]인 경우에, [eqn: D]의 넓이가 [eqn: piover4]이면 점 [eqn: rmA_3]은

[eqn: D]에 포함되어 있다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP18] 벡터의 내적과 분해
	① 선분의 중점을 이용한 분해 : [eqn: {rmvecPA cdot vecPA =|vecPM |^2 -|vecAM |^2] 개중요. ② 수직을 이용한 분해 : [eqn: {rm vecOP cdot vecAB }=k]의 자취 개중요.

예제 030

곡선 [eqn: xy=1] 위의 점 [eqn: rm P]와 두 점 [eqn: rm A(2,```0)], [eqn: rm B(0,```2)]가 있다. [eqn: rm {vec{PA}} it cdot rm {vec{PB}} it]의 최솟값은?

①

(단, 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 3]사분면 위의 점이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 031

그림과 같이 좌표평면에 점 [eqn: RMP(0,```4)]와 [eqn: 10]개의 점 [eqn: {rm A} it _i (i,```0)(i=1,```2,```3,``` CDOTS ,```10)}]이 있다.

원점 [eqn: rm O]와 [eqn: 10]개의 점 [eqn: {rm A} it _i]에 대하여 [eqn: vec {rm PO} it cdot vec{{rm PA}_i } = l_i]라 할 때, [eqn: sum _{ i=1} ^{10 }l_i]의 값은?

④

① [eqn: 10]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 160]	⑤ [eqn: 320]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP19] 내적값의 해석
	알아서 잘.

예제 032	[2020학년도 수능 19번]

한 원 위에 있는 서로 다른 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: left|rm vec AD right|^2]의 값은?

⑤

(가) [eqn: rm LEFT | vec{AB} RIGHT | =8], [eqn: rm vec AC cdot vec BC = 0]

(나) [eqn: rm vec AD = 1 over 2 vec AB - 2 vecBC]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 033	[한성은 AU2065번]

좌표평면 위의 [eqn: rmbarAB =12]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC]는 다음을 만족시킨다.

[eqn: rm vec{CA} cdot vecCB]의 값은?

(가) [eqn: rm 2 vec{AB} CDOT vec{AC} = vec{AB} CDOT vec{CB}]

(나) [eqn: cos(anglermCAB)= {4} over {5}]

③

① [eqn: -19]	② [eqn: -21]	③ [eqn: -23]

④ [eqn: -25]	⑤ [eqn: -27]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP20] 좌표화
	안보이면 순순히 좌표 잡아라.

예제 034	[2011학년도 9월 14번]

평면에서 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =1]이고 [eqn: rmbarBC =sqrt3]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 정삼각형 [eqn: rmEAD]가 있다.

점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAE] 위를 움직일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: rmLEFT | vecCB`-vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

ㄴ. [eqn: rmvecCA cdot vecCP]의 값은 일정하다.

ㄷ. [eqn: rmLEFT | vecDA`+vecCP RIGHT |]의 최솟값은 [eqn: {7} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 035	[한성은 QE2352번]

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]와 선분 [eqn: rmBC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다.

점 [eqn: rmQ]가 [eqn: rm2vecAP =vecAQ]를 만족시킬 때, [eqn: |rmvecBQ |]의 최댓값과 최솟값의 곱은?

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

예제 036

그림과 같이 변 [eqn: RM AB]의 길이가 [eqn: 2]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 [eqn: rm {vec{BA}} it cdot rm {vec{BC}} it =8]이다. 점 [eqn: RM A]에서

변 [eqn: RM BC]에 내린 수선의 발 [eqn: RM D]가 선분 [eqn: RM BC]를 [eqn: 2:7]로 내분할 때, 선분 [eqn: RM AC]의 길이는?

①

① [eqn: 2sqrt { 6}]	② [eqn: 2 sqrt {7}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 2sqrt { 10}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP21] 자취와 최대최소
	앞에서 했던 것들.

예제 037	[2019학년도 9월 16번]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(6,```0)], [eqn: rmB(8,```6)]에 대하여 점 [eqn: rmP]가

[eqn: rm | vec{PA} +vec PB |= sqrt { 10}]

을 만족시킨다. [eqn: rmvecOB cdot vecOP]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 하고,

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, [eqn: rmvecOA cdot vecMQ]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

① [eqn: {6 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {9 sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: {12 sqrt {10}} over {5}]

④ [eqn: 3sqrt { 10}]	⑤ [eqn: {18 sqrt {10}} over {5}]

	TooLBOX+ [평면벡터]

예제 038	[2019학년도 6월 29번]

좌표평면 위에 [eqn: rmbarAB =5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인

두 원을 각각 [eqn: O_1], [eqn: O_2]라 하자. 원 [eqn: O_1] 위의 점 [eqn: rmC]와 원 [eqn: O_2] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을
만족시킨다.

선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최댓값이 [eqn: a+b sqrt { 74}]이다.

(가) [eqn: cos(rmangleCAB)= { 3} over {5 }]

(나) [eqn: rmvecAB cdot vecCD =30]이고 [eqn: rm| vecCD |<9]이다.

[eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 유리수이다.)

[eqn: 31]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP22] 벡터의 분해와 최대최소
	앞에서 했던 것들.

예제 039	[2018학년도 6월 29번]

좌표평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 한 점을 [eqn: rmA], 중심이 [eqn: rmO]이고

반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원 위의 한 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: rmvecPA cdot vecPB]의 최솟값은 [eqn: m]이고 이때 [eqn: |{rmvecOP}|=k]이다. [eqn: m+k^2]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: rmvecOB cdot vecOP =3 vecOA cdot vecOP]

(나) [eqn: rm|vecPA |^2 + |vecPB |^2 =20]

[eqn: 7]

	TooLBOX+ [평면벡터]

		[TIP23] 직선의 방정식
	① [eqn: { x-x_1} over { a}= { y-y_1} over {b }] 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]을 지나고 벡터 [eqn: (a,```b)]와 평행한 직선 ② [eqn: a(x-x_1 )+b(y-y_1 )=0] : 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]을 지나고 벡터 [eqn: (a,```b)]와 수직인 직선

예제 040	[2018학년도 6월 25번]

좌표평면 위의 점 [eqn: (6,```3)]을 지나고 벡터 [eqn: vec{u} =(2,```3)]에 평행한 직선이 [eqn: x]축과

만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 할 때, [eqn: {bar { rm AB } } sup 2]의 값을 구하여라.

[eqn: 52]

예제 041	[2017학년도 6월 12번]

좌표평면에서 두 직선

[eqn: { x+1} over {4 }= { y-1} over { 3}],   [eqn: { x+2} over {-1 } = { y+1} over { 3}]

이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: costheta]의 값은?

⑤

① [eqn: { sqrt { 6} } over { 10}]	② [eqn: {sqrt {7}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {5}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt {10}} over {10}]