[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 적분법

CLAVIS EDU

SOOHAN

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP01] 치환적분법1
	[eqn: int _{a} ^{b} f(g(x))g'(x)dx]에서 [eqn: g'(x)]가 똵 보여야 한다.

예제 001	[2009학년도 9월]

함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {} {1} over {1+t ^{6}} dt]에 대하여 상수 [eqn: a]가 [eqn: f(a)= 1over2]을 만족시킬 때, [eqn: int _{0} ^{a} {} {e ^{f(x)}} over {1+x ^{6}} dx]의 값은?

②

① [eqn: {sqrt e -1}over2]	② [eqn: sqrt e -1`]	③ [eqn: 1`]
④ [eqn: {sqrt e +1}over2]	⑤[eqn: sqrt e +1`]

예제 002

미분가능한 함수 [eqn: f(x)= int _{ 1} ^{ x} { e^{sint}}dt]에 대하여 [eqn: f(a) =ln2]일 때, 정적분 [eqn: int _{ 1} ^{ a} { e^{sinx+2f(x)}}dx]의
값은 [eqn: p]이다. [eqn: 60p]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 90]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP02] 치환적분법2
	[eqn: f(x)]에서 [eqn: x]자리에 다른 식으로 들어가 있으면 일단 치환이 좀 당긴다.

예제 003	[2014학년도 6월 27번]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {1+x}]에 대하여

[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} tf(x-t)dt]([eqn: x ge0])

일 때, [eqn: F`'(a)=ln10]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 9]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 004

정적분 [eqn: int_1 ^e left{f( sqrt { x})+ { 2lnx} over { x}f(lnx)right}dx=8]이고, [eqn: F(x)=int_ {sqrt { e}} ^x f(t)dt]일 때, [eqn: int_0 ^{ sqrt { e}}F(x)dx]의

값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP03] 치환적분법3
	① [eqn: int _{} ^{} {} {f` prime (x)} over {f(x)} dx=ln|f(x)|+C] ② [eqn: int _{} ^{} {} f(x)f` prime (x)dx= {1} over {2} LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +C]

예제 005	[2017학년도 수능 21번]

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하는 연속함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int _{0} ^{1} f(x)dx=2], [eqn: int _{0} ^{1} |f(x)|dx=2 sqrt {2}]
를 만족시킨다. 함수 [eqn: F(x)]가
[eqn: F(x)=int _{0} ^{x} |f(t)|dt] [eqn: (0le x le1 )]
일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)F(x)dx]의 값은?

④

① [eqn: 4- sqrt { 2}]	② [eqn: 2+ sqrt { 2}]	③ [eqn: 5- sqrt { 2}]

④ [eqn: 1+ 2sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2+ 2sqrt { 2}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP04] 항등식의 양변 적분
	① [eqn: g(f(x))timesf`'(x)] 등으로 적분가능한 모양을 잡아준다. ② 적분상수 조심하세여.

예제 006	[한성은 CJ5464번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=1]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(x)>0]이다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rm A(it t,```f(t))(t>0)]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을

[eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: {rmbarBC}= {e ^{t} +1} over {e ^{t}}]일 때, [eqn: f(1)]의 값은?

②

① [eqn: {e} over {2}]	② [eqn: { e+1} over { 2}]	③ [eqn: e]

④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: 2e]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP05] 항등식의 양변 적분2
	나오면 안 되는 것 같은데, 계속 나온다.

예제 007	[2020학년도 9월 30번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(x^2 +x+1)=pi f(1) sinpix +f(3) x+5x^2]

을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하여라.

[eqn: 93]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 008	[2020학년도 수능 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값은?

④

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2left{f(x)right}^2 f`'(x)=left{f(2x+1) right}^2 f`'(2x+1)]이다.

(나) [eqn: f left(- { 1} over { 8} right)=1], [eqn: f(6)=2]

① [eqn: {root {3} of {3}} over {6}]	② [eqn: {root {3} of {3}} over {3}]	③[eqn: {root {3} of {3}} over {2}]

④ [eqn: {2 root {3} of {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {5 root {3} of {3}} over {6}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP06] 제2치환적분
	[eqn: f(t)]가 일대일 함수일 때, [eqn: x=f(t)]로 치환하면 [eqn: dx=f`'(t)dt] ※ 삼각치환이나 이 놈이나 수능 범위인지 아닌지가 좀 애매한데 그냥 해두자.

예제 009

함수 [eqn: y=x^3 +3x]의 역함수를 [eqn: f(x)]라 할 때, 함수

[eqn: g(x)= int _{ 0} ^{x } { { f(t)} over {left{f(t)right}^2 +1 } dt}]

에 대하여 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (4,```g(4))]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

⑤

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 010	[한성은 KY4180번]

실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자.

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} dx]의 값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: f(0)=0], [eqn: f` prime (1)=2f(1)=4]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {} x ^{3} f` '' (x)dx= {6} over {5}]

[eqn: 29]

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} dx]에서 [eqn: g(x)=t]로 치환하자. [eqn: int _{0} ^{1} t ^{2} f`'(t)dt]가 된다. 부분적분각 보이네.

[eqn: left[ {1} over {3} t ^{3} f`'(t)right] _{0} ^{1} - {1} over {3} int _{0} ^{1} t ^{3} f`''(t)dt]이므로 [eqn: {14} over {15}]이다.

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP07] 부분적분법1
	[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)- int _{} ^{} {} f`'(x)G(x)dx]

예제 011	[한성은 WL8836번]

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)=cos^2 x]이고

[eqn: int_0 ^{piover2} f(x)cosxdx= { 1} over {2 }]

일 때, [eqn: f left( { pi} over {2 }right)]의 값은?

⑤

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 012

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: int_0 ^ pi f(x)g(x)dx]의 값은?

③

(가) [eqn: f(x)=sinx+x cosx]

(나) [eqn: g'(x)=- { 4x^2} over {sinx }]

① [eqn: pi^3]	② [eqn: 2pi^3]	③ [eqn: pi^4]

④ [eqn: 2pi^4]	⑤ [eqn: 3pi^4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP08] 부분적분법2
	두 함수의 곱을 적분해야 할 때, 하나는 미분 하나는 적분하고 싶다면 부분적분각이다.

예제 013	[2020학년도 9월 17번]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -1]이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} g prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =120]

②

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 014	[2011학년도 수능 28번]

실수 전제의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(2x)=2f(x)f` prime (x)]이고, [eqn: f(a)=0], [eqn: int _{2a} ^{4a} {{f(x)} over {x}} dx=k(a>0,```0<k<1)]일 때,
[eqn: int _{ a} ^{2a } {{left{f(x) right}^2 }over x^2 }dx]의 값을 [eqn: k]로 나타낸 것은?

④

① [eqn: k^2 over4]	② [eqn: k^2 over2]	③ [eqn: k^2]

④ [eqn: k]	⑤ [eqn: 2k]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP09] 부분적분법3
	부분적분을 치면 하나는 미분 하나는 적분한 함수를 적분해야 한다. 살짝 조작을 가해서 그런 꼴을 만들어보자.

예제 015	[2014학년도 수능 21번]

연속함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)= pi over2 int _{ 1} ^{x+1 } {f(t) dt}]

이다. [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: pi^2 int _{ 0} ^{ 1} { x f(x+1) dx}]의 값은?

①

① [eqn: 2 (pi -2)]	② [eqn: 2pi-3]	③ [eqn: 2 (pi -1)]

④ [eqn: 2pi -1]	⑤ [eqn: 2pi]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 016	[2017학년도 9월 21번]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: LEFT ( {f(x)} over {x} RIGHT ) ' =x ^{2} e ^{-x ^{2}}]

(나) [eqn: g(x) = 4 over e^4 int_1 ^x e^t^2 f(t) dt `]

[eqn: f(1) = 1 overe]일 때, [eqn: f(2) - g(2)]의 값은?

③

① [eqn: 16 over 3e^4]	② [eqn: 6 over e^4]	③ [eqn: 20 over 3e^4]

④ [eqn: 22 over 3e^4]	⑤ [eqn: 8 over e^4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP10] 도표적분법
	[eqn: int _{} ^{} {} f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-f` prime (x) LEFT ( int _{} ^{} {} G(x)dx RIGHT ) +f` '' (x) LEFT ( dint _{} ^{} {} G(x)dxdx RIGHT ) - CDOTS] [eqn: RARROW] 사실 쓸모는 별로 없당. (다항함수가 없으면 더 불편해서)

예제 017

이계도함수 [eqn: f`''(x)]가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-2} over {x-1}} =3]

(나) [eqn: lim _{x->2} {f(x)-3} over {x-2} =4]

이 때, [eqn: int _{1} ^{2} xf`''(x)dx]의 값을 구하여라.

[eqn: 4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP11] 조각정의된 함수의 정적분
	영역 안에서 정의된 함수는 영역 안에서만 사용 가능

예제 018	[2014학년도 9월 30번]

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[eqn: g left(e^x right) = cases{f(x)&(0 le x<1) # g`left(e^x-1 right)+5 &(1 le x le 2)]

를 만족시키고, [eqn: int_1 ^e^2 g(x)dx=6e^2 +4]이다. [eqn: int _{1} ^{e} {f(lnx)}dx =ae+b]일 때,

[eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이다.)

[eqn: 17]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP12] 조각정의된 함수의 정적분2
	함수 [eqn: f(g(x))]에서 [eqn: x]의 값에 대한 [eqn: g(x)]의 변역에 주목해보자.

예제 019	[2019학년도 수능 16번]

[eqn: x>0]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 2f(x)+ { 1} over { x^2} f left( { 1} over {x } right)= { 1} over {x }+ { 1} over {x^2 }]

을 만족시킬 때, [eqn: int_ {{ 1} over {2 }}^2 f(x)dx]의 값은?

②

① [eqn: { ln2} over {3 }+ { 1} over {2 }]	② [eqn: {2ln2} over {3} + {1} over {2}]	③ [eqn: {ln2} over {3} +1]

④ [eqn: {2ln2} over {3} +1]	⑤ [eqn: {2ln2} over {3} + {3} over {2}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 020	[한성은 LP4745번]

연속 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_-pi ^0 f(x) dx]의 값은?

(가) [eqn: int_-pi ^pi f(x) dx =6]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+pi ) =f(x) + sinx]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP13] 정적분으로 정의된 함수
	[eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)]이다. 즉, [eqn: {d} over {dx} int _{a} ^{x} {} f(t)dt=f(x)] [eqn: RARROW] [eqn: g(x)= int _{a} ^{x} {} f(t)dt]가 보이면 ① [eqn: g(a)=0], ② [eqn: g'(x)=f(x)]

예제 021

함수 [eqn: f(x)=int _{a} ^{x} left{log _{2} (t ^{4} +4t+5)-2right}dt]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과

두 점에서 만나도록 하는 서로 다른 실수 [eqn: a]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 022	[2016학년도 9월 21번]

함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= cases{ |sinx|-sinx&`````left(- { 7} over { 2} pi le x<0 right)# sinx-|sinx|& `````left(0 le x le { 7} over {2 }pi right) }]

라 하자. 닫힌 구간 [eqn: left[- { 7} over {2 }pi,``` { 7} over {2 }piright]]에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_a ^x f(t)dt ge0]이 되도록

하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: alpha], 최댓값을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: beta-alpha]의 값은? (단, [eqn: - {7} over {2} pi le a le {7} over {2} pi])

①

① [eqn: piover2]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: {9} over {2} pi]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP14] 정적분으로 정의된 함수2
	[eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt =F(x)-F(a)]로 보면 [eqn: lim _{x->a} {1} over {x-a} int _{a} ^{x} f(t)dt=f(a)]

예제 023

[eqn: lim _{x -> 1} {{1} over {x-1} int _{ 1} ^{ x^2} {(e^2t -cos pit)dt } }]의 값은?

①

① [eqn: 2(e^2 +1)]	② [eqn: 2(e^2 -1)]	③ [eqn: e^2 -1]

④ [eqn: -2(e^2 -1)]	⑤ [eqn: -2(e^2 +1)]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP15] 정적분으로 정의된 함수3
	도함수의 넓이가 원함수의 높이 차이이다.

예제 024	[2013학년도 수능 19번]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0)>0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=left|int_0 ^x f(t)dt right|]

라 할 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: f`'(0)<0]

ㄷ. [eqn: int_m ^m+2 f(x)dx>0]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP16] 정적분과 항등식1
	항등식에 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt]가 있으면 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt=k]라 놓고 “이 식을 푼다.”

예제 025	[한성은 ZH2580번]

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=(lnx) ^{2} +int _{1} ^{e ^{2}} {f(t)} over {t} dt]

를 만족시킬 때, [eqn: f(e ^{2} )]의 값은?

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP17] 정적분과 항등식2
	항등식에 [eqn: int _{a} ^{x} f(t)dt]가 있으면 ① [eqn: x=a]를 대입한다. ② 양변을 미분한다. ※ 상식 : [eqn: {d} over {dx} int _{a} ^{x} {} (x-t)f(t)dt=int _{a} ^{x} f(t)dt]

예제 026	[한성은 XP7109번]

도함수가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{2} ^{x} {} (x-t)f` prime (t)dt=x lnx+ax+b]

를 만족시킨다. [eqn: f(b)=2ln2]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

① [eqn: ln2]	② [eqn: 2ln2]	③ [eqn: 3ln2]

④ [eqn: 4ln2]	⑤ [eqn: 5ln2]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 027

구간 [eqn: [0,```2]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: e ^{x} int _{0} ^{x} f(t)dt=e ^{2-x} int _{x} ^{2} f(t)dt+x-1]

을 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

①

① [eqn: {1} over {2e} - {1} over {2e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {2e} - {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {1} over {e} - {1} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {1} over {2e}]	⑤ [eqn: {1} over {2e ^{2}}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP18] 정적분과 무한급수
	[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} f` LEFT ( a+ {b-a} over {n} k` RIGHT ) {b-a} over {n} = int _{a} ^{b} {} f(x)dx] [eqn: RARROW] [eqn: {1} over {n}] 하나와 [eqn: f left({k} over {n}right)]를 잘 찾는다. [eqn: RARROW] 구간 [eqn: [a,```b]]를 [eqn: n]등분하면 [eqn: k]번째 [eqn: x]좌표는 [eqn: a+ {b-a} over {n} k]로 나타낼 수 있다.

예제 028	[2014학년도 6월 18번]

함수 [eqn: f(x)=e^x]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [1,```2]]를 [eqn: n]등분한
각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로

[eqn: 1=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =2]

라 하자. 세 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (x_k ,``0)], [eqn: (x_k ,``f(x_k ))]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를
[eqn: A_k]([eqn: k=1,``2,``cdots,``n])이라 할 때, [eqn: lim_n->inf { 1} over {n }sum_k=1 ^n A_k]의 값은?

③

① [eqn: { 1} over {2 }e^2 -e]	② [eqn: { 1} over {2 }(e^2 -e)]	③ [eqn: { 1} over {2 }e^2]

④ [eqn: e ^{2} -e]	⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {2} e]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP19] 정적분과 넓이
	그래프를 일단 그리고 시작하자.

예제 029	[2014학년도 9월 14번]

좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: \O (0,```0)], [eqn: \A left( it 2^n ,```0 right)], [eqn: {\B} left(2^n ,```2^n right)], [eqn: {\C} left(0, ```2^n right)]인 정사각형 [eqn: \OABC]와

두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 x]에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

②

정사각형 [eqn: \OABC]와 그 내부는 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 x]에 의하여 세 부분으로 나뉜다.

[eqn: n=3]일 때 이 세 부분 중 색칠된 부분의 넓이는?

① [eqn: 14 + 12 over {ln2}]	② [eqn: 16+ 14 over {ln2}]	③ [eqn: 18+ 16 over {ln2}]

④ [eqn: 20+ 18 over {ln2}]	⑤ [eqn: 22+ 20 over {ln2}]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP20] 값을 관계식으로만 아는 경우
	딱 값으로 꼭 구해야 하는 것은 아니야. [eqn: RARROW] 그냥 이런 문제가 있었다고.. [2020학년도 수능 30번]도 관련.

예제 030

곡선 [eqn: y=sin2x LEFT ( 0 le x le { pi} over {2 } RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 [eqn: y=k cosx]가

이등분하도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}`]	② [eqn: sqrt { 2}-1`]	③ [eqn: 2sqrt { 2}-2`]

④ [eqn: 2- sqrt { 2}`]	⑤ [eqn: 3-2 sqrt {2 }`]

예제 031	[2015학년도 수능 28번]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=int_0 ^x (a-t)e^t dt]의 최댓값이 [eqn: 32]이다. 곡선 [eqn: y=3e^x]과
두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

[eqn: 96]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP21] 다항함수와 넓이
	알아두면 한 번씩 쓰겠지. ① [eqn: int _{0} ^{t} ax ^{2} dx= {1} over {3} at ^{3}] [eqn: RARROW] 이차함수의 꼭짓점에서 직사각형 그리면 [eqn: 1:2] ② [eqn: LEFT | int _{alpha } ^{beta } {} a(x- alpha )(x- beta )dx RIGHT | = LEFT | {a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |] ③ [eqn: left|int_alpha ^beta a(x-alpha)^2 (x-beta)dx right|= left|{ a} over {12 }(beta-alpha)^4 right|]

예제 032

그림과 같이 곡선 [eqn: y=k rootx]([eqn: k>0])는 곡선 [eqn: y=-x^2 +4]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을

두 부분으로 나눈다. 이때 두 도형의 넓이를 [eqn: A], [eqn: B]([eqn: A>B])라 하면 [eqn: A :B=3:1]이다.

두 곡선 [eqn: y=k rootx], [eqn: y=-x^2 +4]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: alpha^3 +4alpha]의 값을 구하여라.

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP22] 역함수와 넓이
	[eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)dx+ int _{f(a)} ^{f(b)} {} f ^{-1} (x)dx=bf(b)-af(a)]

예제 033

[eqn: x GEQ 1]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x(lnx) ^{2}]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]는 아래 그림과 같다.
함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=e]로
둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: ae^2 +b]이다. 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP23] 정적분과 부등식
	두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: a<b]를 만족할 때, ① 구간 [eqn: [a,```b]]에서 [eqn: f(x)ge0]이면 [eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)dx ge0]이다. ② 구간 [eqn: [a,```b]]에서 [eqn: f(x)geg(x)]이면 [eqn: int _{a} ^{b} {} f(x)dx GEQ int _{a} ^{b} {} g(x)dx]이다.

예제 034	[2020학년도 6월 20번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을

만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)>0]

(나) [eqn: lnf(x)+2int_0 ^x (x-t)f(t)dt=0]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소한다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: F(x)]를 [eqn: F(x)=int_0 ^x f(t)dt]라 할 때, [eqn: f(1)+left{F(1) right}^2 =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP24] 부피
	① 일단 축을 잘 잡는 것 중요해. ② 축에 수직인 평면으로 잘랐을 때의 넓이를

예제 035

반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 한 지름 [eqn: rm bar{AB}]에 수직인 현을 한 변으로 하는 정삼각형이

[eqn: rm bar{AB}]와 수직인 상태로 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]까지 움직일 때 생기는 입체의 부피를 구하여라.

③

① [eqn: 12 sqrt { 3}]	② [eqn: 24 sqrt { 3}]	③ [eqn: 36 sqrt {3}]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 36]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 036	[2017학년도 수능 11번]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt { x} +1]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는

입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때,

이 입체도형의 부피는?

④

① [eqn: 7over3]	② [eqn: 5over2]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 17over6]	⑤ [eqn: 3]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP25] 속도와 가속도
	① 위치를 미분하면 속도 ② 속도를 미분하면 가속도

예제 037

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가

[eqn: x(t)=t+{20}over{pi^2}`cos LEFT ( 2pi t RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t= {1 } over { 3}]에서의 가속도의 크기를 구하여라.

[eqn: 40]

예제 038

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의

위치 [eqn: x_{\P}], [eqn: x_{\Q}]는 다음과 같다.

[eqn: x_{\P}=t^2 -at], [eqn: x_{\Q} =ln(t^2 -t +1)]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t]의 범위가 [eqn: 1over2 <t< 2]일 때,

실수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP26] 속력과 이동거리
	① 속력은 속도의 절댓값 ② 속력을 적분하면 이동거리 ※ [eqn: (시간)-(속도)]의 그래프에서 해석하자.

예제 039	[한성은 LC5868번]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t GEQ 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]는

다음을 만족시킨다.

점 [eqn: rmP]가 출발한 후 시각 [eqn: t]까지 움직인 거리를 [eqn: f(t)], 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치를

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: v(t)=2 ^{n-3} `sint] [eqn: ((n-1) pi le t le n pi )]

이다.

[eqn: g(t)]라 할 때 [eqn: f(t)-g(t)=42]를 만족시키는 [eqn: t]는 [eqn: a piLEQ t LEQ b pi]이다. [eqn: a b]의 값을 구하여라.

[eqn: 42]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP27] 속도/속력/가속도(평면운동)
	점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: (f`(t),```g(t))]일 때, ① 속도 : [eqn: left( f`'(t),```g'(t))] ② 속력 : [eqn: sqrt { left{f`'(t)right}^2 +left{g'(t)right}^2}] ③ 가속도 : [eqn: left( f`''(t),```g''(t))]

예제 040	[2019학년도 9월 10번]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시간 [eqn: t ( t ge 0 )]에서의 위치 [eqn: ( x,``` y )]가

[eqn: x = 3 t - sin t], [eqn: y= 4 - cos t]

이다. 점 [eqn: rm P]의 속력의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 041	[2018학년도 6월 18번]

좌표평면에서 점 [eqn: rmP]는 시각 [eqn: t=0]일 때 [eqn: (0,```-1)]에서 출발하여 시각 [eqn: t]에서의 속도가

[eqn: (2t,```2pi sin2pit)]

이고, 점 [eqn: rmQ]는 시각 [eqn: t=0]일 때 출발하여 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: {rmQ}(4sin2pit,```|cos2pit|)]

이다. 출발한 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만나는 횟수는?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

		[TIP27] 곡선의 길이
	① 점 [eqn: (f(t),```g(t))]가 움직인 거리 : [eqn: int _{a} ^{b} sqrt {left{f`'(t)right} ^{2} +left{g'(t)right} ^{2}} dt] ② 곡선 [eqn: y=f(x)( a le x leb)]의 길이 : [eqn: int_a ^b sqrt { 1+left{f`'(x)right}^2} dx]

예제 042	[2019학년도 6월 12번]

[eqn: x=0]에서 [eqn: x=ln2]까지의 곡선 [eqn: y = 1 over 8 e^2x + 1 over 2 e^-2x]의 길이는?

⑤

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 9 over 16]	③ [eqn: 5 over 8]

④ [eqn: 11 over 16]	⑤ [eqn: 3 over 4]

	TooLBOX+ [미적분 적분법]

예제 043	[2017학년도 6월 29번]

양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(t)]에 대하여 좌표평면 위를 움직이는
점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t ge 1)]에서의 위치 [eqn: (x,```y)]가

[eqn: cases{ x=2lnt # y=f(t) }]

이다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: (0,```f(1))]로부터 움직인 거리가 [eqn: s]가 될 때 시각 [eqn: t]는 [eqn: t= { s+ sqrt { s^2 +4} } over 2{ }]이고,
[eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: left(1,``` { 3} over { 4}right)]이다. 시각 [eqn: t=2]일 때 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: left(- { 1} over {2 },```a right)]라 할 때,
[eqn: 60a]의 값을 구하여라.

[eqn: 15]