[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 미분법

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	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP01] 미분계수의 정의
	미분계수의 정의 : [eqn: lim_h->0 { f(x+h)-f(x)} over {h }] [eqn: RARROW] 사실 수능에서는 별로 안 쓰이는데..

예제 001	[2013학년도 6월]

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x = 1]에서 미분가능하다. [eqn: 1]보다 큰 모든
실수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (1,```f(1))]과 점 [eqn: (a,```f(a))] 사이의 거리가 [eqn: a ^{2} -1]일 때, [eqn: f` prime (1)]의 값은?

⑤

① [eqn: 1``]	② [eqn: root 5 over 2``]	③ [eqn: root 6 over 2``]

④ [eqn: root 2``]	⑤ [eqn: root 3``]

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		[TIP02] 우미분계수와 좌미분계수
	우미분계수 : [eqn: lim _{h -> 0+} {} {f(x+h)-f(x)} over {h}], 좌미분계수 : [eqn: lim _{h -> 0-} {} {f(x+h)-f(x)} over {h}]

예제 002	[2016학년도 9월]

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]가 두 함수

[eqn: y=x ^{4} -4x ^{3} +10x-30,`````y=2x+2]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmB] 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 하자.

[eqn: lim _{h -> 0+} {} {f(t+h)-f(t)} over {h} TIMES lim _{h -> 0-} {} {f(t+h)-f(t)} over {h} le 0]

을 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은?

④

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

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		[TIP03] 절댓값과 미분가능성
	경계의 양 옆에서 함수를 식으로 정의하자. [eqn: RARROW] 미분계수의 정의로 풀려다 털릴 가능성.

예제 003	[2015학년도 수능 30번]

함수 [eqn: f(x)=e^x+1 -1]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)=100|f(x)|-sum_k=1 ^n |f(x^k )|]

이라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의

합을 구하여라.

[eqn: 39]

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		[TIP04] 미분가능성과 그래프
	미분이 되려면 예쁘게 이어져야 해.

예제 004	[2010학년도 수능]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: -1 le x <1]일 때, [eqn: g(x) =f(x)]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+2)=g(x)]이다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f(-1)=f(1)]이고 [eqn: f`'(-1)=f`'(1)]이면, [eqn: g(x)]는

실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면,

[eqn: f`'(0) f`'(1) <0]이다.

ㄷ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: f`'(1) > 0]이면,

구간 [eqn: (-inf,```-1)]에 [eqn: f`'(c) =0]인 [eqn: c]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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		[TIP05] 연속함수 만들기
	[eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속이고 [eqn: y=f(x)g(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이면 [eqn: g(a)=0]이다.

예제 005

삼차함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2]과 실수 [eqn: t]에 대하여 함수

[eqn: y=|`f(x)-t`|]

의 미분가능하지 않은 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 이차함수 [eqn: h(x)=x^2 +ax+b]에 대하여
함수 [eqn: y=g(x)h(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

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예제 006	[2017학년도 9월 30번]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 함수

[eqn: g(x)=|2sin(x+2|x|)+1|]

에 대하여 함수 [eqn: h(x)=f(g(x))]는 실수 전체의 집합에서 이계도함수 [eqn: h''(x)]를 갖고 [eqn: h''(x)]는

실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: f`'(3)]의 값을 구하여라.

[eqn: 48]

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		[TIP06] 미분가능함수 만들기
	[eqn: y=f(x)]가 [eqn: lim_x->a+ f(x)]와 [eqn: lim_x->a- f(x)]가 각각 존재하며 서로 다를 때, [eqn: (x-a)^2]을 한 번 곱해보면 미분 가능해질 것 같은 기분이다.

예제 007

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)= cases{ 1-x&(x<0)#x^2 -1&(0 le x<1)#2over3 (x^3 -1)&(x ge 1)}]

일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

ㄴ. [eqn: |f(x)|]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: x^k f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하도록 하는

최소의 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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		[TIP07] 매개변수/음함수의 미분법
	① 음함수 미분법 : [eqn: f(y)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f`'(y)cdot { dy} over { dx}]이다. ② 매개변수 미분법 : [eqn: cases{ x=f(t)# y=g(t) }]일 때, [eqn: {dy} over {dx} = {dy} over {dt} cdot {dt} over {dx}= { g'(t)} over {f`'(t) }]

예제 008	[2019학년도 9월 11번]

곡선 [eqn: e^y ln x = 2 y + 1] 위의 점 [eqn: (e, ``` 0)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y = a x+ b]라 할 때,
[eqn: a b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

① [eqn: -2 e]	② [eqn: - e]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: - 2 over e]	⑤ [eqn: - 1 over e]

예제 009

곡선 [eqn: x= at over1+t^2], [eqn: y= {1-t^2}over{1+t^2}]에 대하여 [eqn: t=2]에 대응하는 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 4over3]일 때,
상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 2]

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		[TIP08] 음함수의 기울기
	그냥 함수 넣고 합성함수 미분법 쳐라.

예제 010	[2020학년도 6월 21번]

함수 [eqn: f(x)= { lnx} over {x }]와 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 기울기가 [eqn: t]인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접할 때

접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라 하자. 원점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 기울기가 [eqn: a]일 때,

미분가능한 함수 [eqn: g(t)]에 대하여 [eqn: a times g'(a)]의 값은?

②

① [eqn: -{ sqrt { e} } over {3 }]	② [eqn: - {sqrt {e}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {e}} over {5}]

④ [eqn: - {sqrt {e}} over {6}]	⑤ [eqn: - {sqrt {e}} over {7}]

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		[TIP09] 로그 미분법
	로그 취해서 미분해야 할 때, ① 밑과 진수에 동시에 변수가 있는 경우 ② 항이 많이 곱해져 있는 경우

예제 011

함수 [eqn: y=x ^{lnx}]에 대하여 [eqn: x=e]에서 접하는 접선의 방정식을 [eqn: y=f(x)]라 하자. [eqn: f(3e)]의 값은?

①

① [eqn: 5e]	② [eqn: 4e]	③ [eqn: 3e]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e]

예제 012

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{3}} over {x ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT )}]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

①

① [eqn: {5} over {36}]	② [eqn: {5} over {9}]	③ [eqn: {11} over {18}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

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		[TIP10] 역함수의 미분법1
	[eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=b]이면 [eqn: g prime (b)= {1} over {f`'(a)}]이다. [eqn: RARROW] 대응관계 [eqn: f(a)=b]를 먼저 관찰해야 한다. [eqn: RARROW] 기하적인 의미도 파악해두자.

예제 013	[한성은 QP2112번]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +9x]와 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(x)get]를 만족시키는
가장 작은 실수 [eqn: x]의 값을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g prime (0)+ lim _{h -> 0+} {} {g(4+h)-4} over {h}]의 값은?

④

① [eqn: { 1} over {18 }]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {18}]

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예제 014	[2016학년도 수능 21번]

[eqn: 0<t<41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 +2x^2 -15x+5]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 세 점 중에서
[eqn: x]좌표가 가장 큰 점의 좌표를□[eqn: (f(t),```t)], [eqn: x]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: (g(t),```t)]라 하자.

[eqn: h(t)=t timesLEFT { f(t)-g(t) RIGHT }]

라 할 때, [eqn: h'(5)]의 값은?

④

① [eqn: { 79} over { 12}]	② [eqn: {85} over {12}]	③ [eqn: {91} over {12}]

④ [eqn: {97} over {12}]	⑤ [eqn: {103} over {12}]

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		[TIP11] 역함수의 미분법2
	역함수의 도함수를 [eqn: f(g(x))=x]를 미분함으로써 얻을 수 있다. : [eqn: f`'(g(x))g'(x)=1] [eqn: RARROW] [eqn: g'(x)= {1} over {f`'(g(x))}]

예제 015	[한성은 GP2145번]

[eqn: 0<a< {pi} over {2}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0<x< {pi } over {2a}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=tanax]와

[eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]가 있다. 두 곡선 [eqn: y=g(x)], [eqn: y= { 1} over { f(x)}]가 점 [eqn: rmP]에서 만나고,

점 [eqn: rmP]에서 두 곡선에 접하는 두 직선이 서로 수직일 때, [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: {pi} over {12}]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {5pi } over {12}]

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		[TIP12] 합성/역함수의 미분법
	① 합성함수 미분법 : 곱셈으로 ② 역함수 미분법 : 역수로

예제 016	[2013학년도 6월]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의
점 [eqn: (2,```1)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1]이다. 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (1,```a)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b]이다. [eqn: 10(a+b)]의 값을 구하여라.

[eqn: 15``]

예제 017

역함수가 존재하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)= {3} over {2}], [eqn: f`'(1)=2]를 만족시킨다.
함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하고 함수 [eqn: g(e ^{x} )]의 역함수를 [eqn: h(x)`]라 할 때, [eqn: h'(1)]의 값은?

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

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		[TIP13] 함수와 역함수의 교점
	원 함수와 역함수는 서로 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. [eqn: RARROW] [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=x]의 교점은 [eqn: y=g(x)]도 지난다. [eqn: RARROW] 증가함수와 그의 역함수가 만나면 [eqn: y=x] 위에서 만난다.

예제 018	[2012학년도 6월]

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

[eqn: f(x)={1}over27 (x^4 -6x^3 +12x^2 +19x)]

에 대하여 [eqn: f`(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. 점 [eqn: (2,```2)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근 중 양수인 것은 [eqn: x=2] 하나뿐이다.

ㄷ. 함수 [eqn: |f(x)-g(x)|]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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		[TIP14] 새롭게 정의된 함수
	잘 생각해본당.

예제 019	[2011년 9월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x le t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

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예제 020	[2013학년도 수능 21번]

함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} `e ^{-x} ```(k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서
[eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가
한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

⑤

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

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		[TIP15] 접선은 접점 설정
	두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=a]에서 접한다. [eqn: RARROW] [eqn: f(a)=g(a)], [eqn: f`'(a)=g'(a)] ※ ‘접한다.’는 말이 보이면 일단 접점부터 설정하자.

예제 021	[2010학년도 수능]

곡선 [eqn: y = e^x] 위의 점 [eqn: (1,```e)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y = 2 rootx-k]에 접할 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

②

① [eqn: 1 over e]	② [eqn: 1 over e^2]	③ [eqn: 1 over e^4]
④ [eqn: 1 over 1+e]	⑤ [eqn: 1 over{1+e^2]

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		[TIP16] 법선의 방정식
	접점을 지나며 접선과 수직인 선을 법선이라 한다. : [eqn: y=- {1} over {f`'(a)} (x-a)+f(a)] [eqn: RARROW] 점에서 최단거리 구할 때 쓰인당.

예제 022	[2014학년도 6월 30번]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: s], [eqn: t] ([eqn: 0<s<t])라 하자.
양수 [eqn: k]에 대하여 두 직선 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]와 곡선 [eqn: y=x ^{2} +x]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: k]가 되도록
하는 점 [eqn: (s,```t)]가 나타내는 곡선을 [eqn: C]라 하자. 곡선 [eqn: C] 위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)]과의 거리가
최소인 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {2} over {3}]일 때, [eqn: k= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점이고,
[eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 109]

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		[TIP17] 기울기의 강제
	대충 보면.

예제 023	[2016학년도 6월]

닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {2} {rmsin} {pi } over {4} x]의 그래프가 그림과 같고,

직선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: rm A(1,```2)]를 지난다. 일차함수 [eqn: g(x)]가

닫힌 구간 [eqn: [0,```4]]에서 [eqn: f(x) le g(x)]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은?

③

① [eqn: pi]	② [eqn: pi+1]	③ [eqn: pi+2]

④ [eqn: pi +3]	⑤ [eqn: pi +4]

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예제 024	[2015학년도 6월]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1 le f`'(x) le3]이다.

(나) 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는
점 [eqn: (4n,```8n)], 점 [eqn: (4n+1,```8n+2)], 점 [eqn: (4n+2,```8n+5)],
점 [eqn: (4n+3,```8n+7)]을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [2k,```2k+1]]에서 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

[eqn: int _{3} ^{6} f(x)dx=a]라 할 때, [eqn: 6a]의 값을 구하여라.

[eqn: 167]

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		[TIP18] 함수의 그래프
	그래프 그릴 때 기본적인 고려사항 ① 정의역 ② 정의역의 경계에서 함숫값 또는 수렴값 ③ 함수의 극값과 증감 (by 도함수) 기타 아래 사항을 생각해볼 수 있다. ④ 절편 ⑤ 변곡점과 볼록성 (by 이계도함수) ⑥ 점근선 ⑦ 대칭성

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예제 025

자주 목격되는 그래프는 한 번씩 그려보자.

(잘 생김)

(1) [eqn: y= { 1} over {x^2 +1 }]	(2) [eqn: y= { x} over {x^2 +1}]

(3) [eqn: y=xe^x]	(4) [eqn: y=x ^{2} e ^{-x}]

(5) [eqn: y=x lnx]	(6) [eqn: y= { lnx} over { x}]

(7) [eqn: y=x+ {1} over {x}]	(8) [eqn: y= sqrt { x}+ sqrt {10-x}]

(9) [eqn: y=x+sinx]	(10) [eqn: y=sinx+cosx]

(11) [eqn: y= {e ^{x} +e ^{-x}} over {2}]	(12) [eqn: y=e^-x^2]

(13) [eqn: y=ln(x^2 +1)]	(14) [eqn: y= { 1} over {x(x-2) }]

(15) [eqn: y= {1} over {sinx}]	(16) [eqn: y= sinx cdot cosx]

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		[TIP19] 연산된 함수의 그래프
	두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로부터 [eqn: f(x)+-g(x)]나 [eqn: f(x)g(x)] 등의 그래프를 그릴 수 있다. ① 특히, [eqn: f(x)+-g(x)]의 도함수는 [eqn: f`'(x)+-g`'(x)]이다. ② [eqn: f(x)g(x)]의 그래프를 그릴 때는, [eqn: 0] 이나 [eqn: 1]이 되는 점에 주목해 본다.

예제 026

함수 [eqn: f(x)=x+ sqrt {1-x ^{2}}]([eqn: -1<x<1])에 대하여 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- {sqrt {2}} over {2}]에서 극값을 가진다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 변곡점을 가진다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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		[TIP20] 다항함수와 지수함수의 곱
	많이 나오니까 그래프 개형 잡는 방법을 알아두자.

예제 027

아래 그래프를 미분 없이 그려보자.

(잘 생김)

(1) [eqn: y=xe^x]	(2) [eqn: y=x ^{2} e ^{x}]

(3) [eqn: y=x(x-2)(x-4)e ^{x}]	(4) [eqn: y=xe ^{-x}]

(5) [eqn: y=x(x-2)e ^{-x}]	(6) [eqn: y=x ^{3} e ^{-x}]

(7) [eqn: y=(x ^{2} +2x+2)e ^{-x}]

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		[TIP21] 합성된 함수의 그래프
	일반적으로 쉽지 않지만, 증감정도는 따져볼 수 있다.

예제 028

그림은 함수 [eqn: f(x)=x^2 e^-x+2]의 그래프이다.

함수 [eqn: y=(f circf)(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= { 15} over {e^2 }]의 교점의 개수는? (단, [eqn: lim_x->inf f(x)=0])

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP22] 차함수와 극값
	미분가능한 함수가 경계가 아닌 곳에서 극대/극소이면.

예제 029	[2018학년도 9월 30번]

함수 [eqn: f(x)=ln(e^x +1)+2 e^x]에 대하여 이차함수 [eqn: g(x)]와 실수 [eqn: k]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g' left(k- { 1} over {2 }right)]의 값을 구하여라. (단, [eqn: { 5} over {2 }<e<3]이다.)

함수 [eqn: h(x)=|g(x)-f(x-k)|]는 [eqn: x=k]에서 최솟값 [eqn: g(k)]를 갖고,
닫힌 구간 [eqn: [k-1,```k+1]]에서 최댓값 [eqn: 2e+ ln left( { 1+e} over { sqrt { 2} }right)]를 갖는다.

[eqn: 6]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP23] 기울기가 가지는 값의 범위
	도함수 [eqn: f`'(x)]를 [eqn: g(x)]라 놓고 그래프를 그리자.

예제 030	[2016학년도 6월 21번]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=e^x+1 left{x^2 +(n-2)x-n+3 right}+ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: 1 le g(n) le8]을 만족시키는
모든 [eqn: n]의 값의 합은?

④

① [eqn: 43]	② [eqn: 46] □□	③ [eqn: 49] □□

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]□□

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

예제 031	[2016학년도 9월 30번]

양수 [eqn: a]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수

[eqn: f(x)=(ax^2 +bx+c)e^x]

은 다음 조건을 만족시킨다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 최댓값을 [eqn: { k} over {e^3 }]라 할 때, [eqn: 60k]의 값을 구하여라.

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=- sqrt { 3}]과 [eqn: x= sqrt { 3}]에서 극값을 갖는다.

(나) [eqn: 0 le x_1 <x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: f(x_2 )-f(x_1 )+x_2 -x_1 ge0]이다.

[eqn: 15]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP24] 삼차함수의 성질
	삼차함수에 대하여 다음 사실을 기억해두자. ① 변곡점에 대한 대칭성 ② 원점에 변곡점 걸었을 때 극점의 [eqn: x]값과 [eqn: x]절편값의 비 [eqn: RARROW] [eqn: 1: sqrt {3}] ③ 직선에 접할 때의 길이 비 [eqn: RARROW] [eqn: 1:1:1:1] ④ 극댓값과 극솟값의 차이 : [eqn: {|a|} over {2} (beta-alpha) ^{3}]

예제 032

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: (a,```0)]에서 곡선 [eqn: y=3x^3]에 그은 접선과
[eqn: (0,```a)]에서 그은 접선이 서로 평행할 때, [eqn: 90a]의 값을 구하여라.

[eqn: 20]

예제 033

최고차항의 계수가 [eqn: 1over4]이고 극솟값이 [eqn: -2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,```f(0))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=6]일 때,

[eqn: f(8)]의 값을 구하여라.

[eqn: 38]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

예제 034

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족할 때,

[eqn: f(4)]의 값을 구하여라.

[eqn: 62]

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta]에서 극값을 갖는다.

(나) 두 점 [eqn: {rmA}(alpha,```f(alpha))], [eqn: rm B it (beta,```f(beta))]의 중점은 [eqn: (0,```1)]이다.

(다) 극댓값과 극솟값의 차는 [eqn: {1} over {2}]이다.

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP25] 변곡점
	[eqn: f`''(x)]가 존재할 때, [eqn: f`''(x)]가 부호를 바꿔야 변곡점이다.

예제 035

곡선 [eqn: f(x)=x ^{2} +k`sin {x} over {2}]가 변곡점을 갖지 않도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.
(단, [eqn: 0<x< 2pi])

[eqn: 8]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

예제 036	[2015학년도 9월]

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x}]

일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f left( {n} over {2} right)=f`'left( {n} over {2} right)]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,```0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP26] 변곡접선
	일단 그을 수 있는 접선의 개수를 결정한다.

예제 037	[2014학년도 수능 30번]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)e ^{-x}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: LEFT ( 1,```g(1) RIGHT )]과 점 [eqn: LEFT ( 4,```g(4) RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=g(x)]의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: (0,```k)]에서 곡선 [eqn: y=g(x)]에 그은 접선의 개수가 [eqn: 3]인

[eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0]이다.

[eqn: g(-2) TIMES g(4)]의 값을 구하여라.

[eqn: 72]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP27] 그래프의 추정
	함수가 만족하는 조건들을 잘 살펴서 만족하는 함수를 찾아보자.

예제 038	[2016학년도 수능 30번]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int_0 ^6 f(x)dx= { q} over { p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: x leb]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c]이다.  (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} { sqrt { 4-2f(t)} dt}]이다.

[eqn: 35]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP28] 그래프의 추정-합답형
	연결고리.

예제 039	[2017학년도 6월 21번]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)!=1]

(나) [eqn: f(x)+f(-x)=0]

(다) [eqn: f`'(x)=left{1+f(x)right}left{1+f(-x)right}]

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)!=-1]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP29] 기울기와 합답형
	선지에 숨겨놓은 힌트.

예제 040	[2019학년도 9월 20번]

열린 구간 [eqn: (0,```2pi)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=cosx+2x sinx]가 [eqn: x=alpha]와 [eqn: x=beta]에서

극값을 가진다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha<beta)]

③

ㄱ. [eqn: tan(alpha+pi)=-2alpha]

ㄴ. [eqn: g(x)=tanx]라 할 때, [eqn: g'(alpha+pi)<g'(beta)]이다.

ㄷ. [eqn: { 2(beta-alpha)} over {alpha+pi-beta } <sec^2 alpha]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP30] 조건을 만족하는 그래프
	이상한 기출이 몇 개 있었다.

예제 041	[2014학년도 6월 30번]

정의역이 [eqn: LEFT { x`|`0 le x le 8RIGHT }]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int_0 ^8 f(x)dx]의 최댓값은 [eqn: p+ { q} over { ln2}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 자연수이고,

[eqn: 128]

[eqn: ln2]는 무리수이다.)

(가) [eqn: f(0)=1]이고 [eqn: f(8)le 100]이다.

(나) [eqn: 0 le k le 7]인 각각의 정수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: f(k+t)=f(k)`````(0<t le 1)]
또는

[eqn: f(k+t)=2^t timesf(k)`````(0 <t le1)]

이다.

(다) 열린 구간 [eqn: (0,```8)]에서 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하지

않은 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP31] 방정식/부등식의 풀이
	어디까지 넘겨서 풀지 고민하자. ① 함수의 최소/최대를 이용해서 푸는 경우 ② ‘접할 때’를 이용해서 푸는 경우

예제 042

[eqn: x ge 0]에서 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: sqrt { 1+x^2} = a (x+1)]이 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 최솟값은?

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: { sqrt { 2} over2 }]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

	TooLBOX+ [미적분 미분법]

		[TIP32] 사잇값 정리와 평균값 정리
	일단 그래프의 개형을 그리자..

예제 043	[2017학년도 수능 20번]

함수 [eqn: f(x)=e^-x int_0 ^x sin(t^2 )dt]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f( sqrt { pi})>0]

ㄴ. [eqn: f`'(a)>0]을 만족시키는 [eqn: a]가 열린 구간 [eqn: (0,``` sqrt { pi })]에

적어도 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: f`'(b)=0]을 만족시키는 [eqn: b]가 열린 구간 [eqn: (0,``` sqrt { pi })]에

적어도 하나 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 미분법]