[ T ]	TooLBOX+ 수능수학 최적화 도구상자 극한

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	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP01] 부정형의 극한
	[eqn: { inf} over { inf }]꼴의 극한 : 분모분자를 최고차항으로 나눈다.

예제 001	[2016학년도 6월(가형) 10번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=2nx] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( n,```2n ^{2} RIGHT )]을 지나고 이 직선과 수직인 직선이

[eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: \Q]라 할 때, 선분 [eqn: rm OQ]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n-> INF } {{l _{n}} over {n ^{3}}}]의 값은?

④

(단, [eqn: \O]는 원점이다.)

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP02] 대충 살기
	대충 풀어도 되는 각이 보이면 해. (책임지지 않음.)

예제 002

자연수 [eqn: n]에 대하여 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A _{it n rm} LEFT ( it n,```0 RIGHT )], [eqn: rm B _{itn} it LEFT ( 0,```itn+1 RIGHT )]이 있다. 삼각형 [eqn: rm OA_{ it n}B _{itn}]에

내접하는 원의 중심을 [eqn: rmC _{itn}]이라 하고, 두 점 [eqn: rmB_{it n}]과 [eqn: rmC _{itn}]을 지나는 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을

[eqn: rm P _{itn}]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } { bar {rm OP_{it n }} over n]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

②

① [eqn: { sqrt2 -1} over { 2}]	② [eqn: sqrt 2 -1]	③ [eqn: 2 - sqrt 2]

④ [eqn: { sqrt 2} over {2 }]	⑤ [eqn: { 2sqrt 2 -2}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP03] 합과 극한
	① [eqn: sum_k=1 ^n k = { n(n+1)} over { 2} sim { n^2} over {2 }] ② [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6} sim {n ^{3}} over {3}] ③ [eqn: sum _{k=1} ^{n} k ^{3} =left{ {n(n+1)} over {2} right} ^{2} sim {n ^{4}} over {4}]

예제 003

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} + CDOTS +(2n-1) ^{2}} over {2 ^{2} +4 ^{2} +6 ^{2} + CDOTS +`(2n) ^{2} + CDOTS +(4n) ^{2}}}]의 값은?

①

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

예제 004

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= {1^{2} +2^{2} +3^{2} + CDOTS +n^{2}} over {3+5+7+ CDOTS +(2n+1)}]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } { f(n)over n }]의 값은?

②

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 5 over 12]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 7 over 12]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP04] 대충 넓이
	각 나오죠.

예제 005

그림은 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= 1 over 4 x^2]과 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rmO(0,```0)],
[eqn: {rmA}(n,```0)], [eqn: {rmB}left(n,```n^2 right)], [eqn: {rmC}left(0,```n^2 right)]인 직사각형 [eqn: rmOABC]를 나타낸 것이다.
자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점 중에서
직사각형 [eqn: rmOABC] 또는 그 내부에 있고 부등식 [eqn: { 1} over {4 }x^2 le y le x ^{2}]을
만족시키는 모든 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: lim_n->inf a_n over n^3]의 값은?

①

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP05] 무한대 빼기 무한대 꼴
	[eqn: inf-inf] 꼴의 부정형 : 대충 유리화 ※ [eqn: sqrt {n ^{2} +2an+b} SIM (n+a)]

예제 006

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {a _{n} +n} - sqrt {n} RIGHT )} =5]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}}]의 값을

구하여라.

[eqn: 10]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 007	[2016학년도 6월(나형) 14번]

함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2}]

이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=n]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]일 때 [eqn: h(n)= LEFT | alpha - beta RIGHT |]라 하자.
[eqn: lim _{n-> INF } {sqrt {n} LEFT { h LEFT ( n+1 RIGHT ) -h LEFT ( n RIGHT ) RIGHT }}]의 값은?

②

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP06] 무한대 빼기 무한대 꼴2
	[eqn: inf-inf] 꼴은 차수, 최고차항의 계수가 맞을 때만 유리화한다.

예제 008	[2016학년도 9월(나형) 28번]

양수 [eqn: a]와 실수 [eqn: b]에 대하여

[eqn: lim from { n -> inf} left( root{ an^2 + 4n } - bn right) = 1 over 5]

일 때, [eqn: a+b `]의 값을 구하여라.

[eqn: 110]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 009

두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]은 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_n->inf {2a_n +3b_n}over{a_n +b_n} = q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: lim_n->inf a_n][eqn: =inf]

(나) [eqn: lim_n->inf left(2a_n -5b_n right)=3]

[eqn: 23]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP07] 수렴성의 연산1
	[eqn: 0]으로 나누는 것만 아니면 수렴할 때는 대충 계산된다.

예제 010

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이

[eqn: lim_n->inf (n+1)a_n =2],   [eqn: lim_n->inf left(n^2 +1 right)b_n =7]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {(10n+1)`b _{n}} over {a _{n}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a_n ne 0])

[eqn: 35]

예제 011

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n-1} +20} over {a _{n+1} -14}=2]

일 때, [eqn: lim _{n -> INF } a _{n}]의 값을 구하여라.

[eqn: 48]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP08] 수렴성의 연산2
	가진 모양과 구하려는 모양을 잘 맞춰본다.

예제 012

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: lim _{n-> INF } {(2n-1)a _{n} =3}],   [eqn: lim _{n -> INF } {(n ^{2} +3n+2)b _{n} =2}]

일 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 24]

예제 013	[한성은 QR0730번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim_n->inf { a_n} over { n^2 +1}=2]일 때 [eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2} a _{2n}} over {(a _{n+1} ) ^{2}}]의 값은?

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP09] 극한과 대소
	모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n <b_n]이면 [eqn: lim_n->inf a_n le lim_n->inf b_n]

예제 014

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식

[eqn: sqrt { 9n^2 +4 }< sqrt { na_n }<3n+2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf { a_n} over { n}]의 값은?

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP10] 등비수열의 수렴
	등비수열 [eqn: LEFT { r ^{n} RIGHT }]은 [eqn: -1<r LEQ 1]이면 수렴한다.

예제 015

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP11] 등비수열을 포함한 부정형
	분모에서 밑이 가장 큰 항으로 분모, 분자를 나눈다.

예제 016	[2019년 3월(나형) 13번]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {m} over {5} RIGHT ) ^{n+1} +2} over {LEFT ( {m} over {5} RIGHT ) ^{n} +1} =2]가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 개수는?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 017	[2017학년도 수능(나형) 28번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=4 ^{n}]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n}]이라 하자.
선분 [eqn: rm P _{it n}][eqn: rm P _{it n+1}]의 길이를 [eqn: L_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( {L _{n+1}} over {L _{n}} RIGHT ) ^{2}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 16]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP12] 등비수열과 함수
	범위 나눈다.

예제 018

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n-> INF } {{x ^{n+2} +ax} over {2x ^{n} +1}}]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

①

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 019

두 함수 [eqn: f(x) = lim _{ n->inf} { } { x^2n -1 } over { (2x)^2n +1}], [eqn: g(x) = x^2 + ax +b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x)]가

실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g(1)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1 over 4`]	③ [eqn: 1 over 2`]

④ [eqn: 3 over 4`]	⑤ [eqn: 1`]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP13] 수열극한의 진위판정
	진위판정은 해줘야 예의.

예제 020

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{a_n b_n right}]이 수렴한다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf a_n =0]이면 수열 [eqn: left{a_n b_n right}]이 수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{a_n b_n right}]이 수렴하면 수열 [eqn: left{ b_n right}]이 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP14] 점화식과 극한
	[eqn: a_n+1 =f(a_n )]일 때, [eqn: y=f(x)]의 그래프와 거미줄 그림.

예제 021	[2014학년도 6월(나형) 14번]

함수
[eqn: f(x)= cases{x+2&```(x le 0)#- 1over 2 x &```(x>0)]
의 그래프가 그림과 같다.

수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 =1]이고, [eqn: a _{n+1} =f(f(a _{n} ))(n GEQ 1)]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf a_n]의 값은?

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP15] 급수의 합
	[eqn: sum_n=1 ^inf a_n = lim_n->inf left{sum_k=1 ^n a_k right} =lim_n->inf S_n] : ① 부분합을 구하고, ② 극한을 취한다.

예제 022

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n sqrt {n+1} +(n+1) sqrt {n}}]의 합은?

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

예제 023

첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf { 1} over { a_n a_n+1} = { 1} over {10 }]이다.
[eqn: d]의 값을 구하여라.

[eqn: 5]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP16] 급수의 수렴과 수열의 수렴성
	① [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} =lim _{n->inf} S _{n} =lim _{n->inf} sum _{k=1} ^{n} a _{k}] ② [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n->inf} a _{n} =0]이다.

예제 024	[2015학년도 수능(나형) 11번]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3], [eqn: a_2 =1]일 때, [eqn: sum_n=1^inf (a_n )^2]의 값은?

①

① [eqn: 81 over8]	② [eqn: 83 over8]	③ [eqn: 85 over8]

④ [eqn: 87 over8]	⑤ [eqn: 89 over8]

예제 025	[2013학년도 수능(나형) 19번]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( n cdot a _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =3]

일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( a _{n} ^{```2} +2a _{n} +2 RIGHT )}]의 값은?

①

① [eqn: {13} over {4}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {11} over {4}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP17] 등비급수의 수렴
	[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{1} r ^{n-1}]([eqn: a _{1} >0])는 [eqn: -1<r<1]일 때 수렴한다.

예제 026	[2019학년도 6월(나형) 11번]

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {x} over {5} RIGHT ) ^{n}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는?

⑤

① [eqn: 1`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 5`]

④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 9`]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP18] 등비급수의 합
	[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{1} r ^{n-1}]([eqn: a _{1} >0])는 [eqn: -1<r<1]일 때, [eqn: { a_1} over {1-r }]로 수렴한다.

예제 027	[2015학년도 9월(나형) 12번]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{n} CDOT `5 ^{n+1}]의 모든 양의 약수의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}}]의 값은?

①

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

예제 028	[2015학년도 수능(나형) 28번]

자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: a_k = lim_n->inf { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n +1 }]
이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 k a_k]의 값을 구하여라.

[eqn: 33]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP19] 급수의 진위판정
	예의라고.

예제 029

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}], [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n +b_n )]이 수렴하면 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]도 수렴한다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf a_n =0]이면 급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]은 수렴한다.

ㄷ. 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP20] 등비급수와 도형
	① 첫 항을 잘 찾는다. ② 닮음비를 이용하여 공비를 찾는다.

예제 030	[2019학년도 수능(나형) 16번]

그림과 같이 [eqn: rm bar OA_1 =4], [eqn: rm bar OB_1 =4sqrt3]인 직각삼각형 [eqn: rmOA_1 B_1]이 있다. 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{OA _{1}}}]인 원이 선분 [eqn: rm OB _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rm B _{2}]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOA_1 B_1]의 내부와 부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{2}]의 내부에서 공통된 부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 점 [eqn: rmB_2]를 지나고 선분 [eqn: rmA_1 B_1]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmOA_1]과 만나는 점을 [eqn: rmA_2],
중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar OA_2]인 원이 선분 [eqn: rmOB_2]와 만나는 점을 [eqn: rmB_3]이라 하자. 삼각형
[eqn: rmOA_2 B_2]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmOA_2 B_3]의 내부에서 공통된 부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라
할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}]의 값은?

④

① [eqn: { 3} over { 2} `pi`]	② [eqn: { 5} over { 3}pi]	③ [eqn: { 11} over { 6} pi]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: { 13} over { 6}`pi]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP21] 등비급수와 도형-부채꼴
	중심과 연결한다.

예제 031	[2018학년도 9월(나형) 19번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 } = 3], [eqn: rm bar { B_1 C_1 } = 1]인 직사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1]이 있다. 중심이 [eqn: rm C_1]이고 반지름의
길이가 [eqn: rm bar { B_1 C_1 }]인 원과 선분 [eqn: rm OC_1]의 교점을 [eqn: rmD_1], 중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar { OD_1 }]인 원과
선분 [eqn: rm A_1 B_1]의 교점을 [eqn: rm E_1]이라 하자. 직사각형 [eqn: rm OA_1 B_1 C_1]에 호 [eqn: rm B_1 D_1], 호 [eqn: rm D_1 E_1], 선분 [eqn: rm B_1 E_1]로
둘러싸인  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에 선분
[eqn: rm OA_1] 위의 점 [eqn: rm A_2]와 호 [eqn: rm D_1 E_1] 위의 점 [eqn: rmB_2], 선분 [eqn: rm OD_1] 위의 점 [eqn: rm C_2]와 점 [eqn: rm O]를 꼭짓점으로 하고
[eqn: rm bar { A_2 B_2 } : bar { B_2 C_2 } = 3 : 1]인 직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]를 그리고, 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로
직사각형 [eqn: rm O A_2 B_2 C_ 2]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은
과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때,
[eqn: lim_n->inf S_n ``]의 값은?

②

① [eqn: 4 - { 2 root 3 } over 3 - 7 over 9 pi]	② [eqn: 5 - { 5 root 3 } over 6 - 35over 36 pi]	③ [eqn: 6 - root 3 - 7 over 6 pi]

④ [eqn: 7 - { 7 root 3 } over 6 - 49 over 36 pi]	⑤ [eqn: 8 - { 4 root 3 } over 3 - 14 over 9 pi]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 032	[한성은 JP7108번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =1]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 중심이 [eqn: rm A]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{AB}]인

부채꼴 [eqn: rm ABD]와 선분 [eqn: rmAC]를 그리고 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: { R _{1} }]에서 선분 [eqn: rmAB] 위의 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF], 호 [eqn: rmBD] 위의 점 [eqn: rmG], 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmH]를

꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmEFGH]를 그리고, 그림 [eqn: { R _{1} }]을 얻는 것과 같은 방법으로
정사각형 [eqn: rmEFGH]의 내부에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: { R _{2} }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: { n]번째 얻은 그림 [eqn: { R _{n} }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를

[eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n}}]의 값은?

③

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {9} over {16}]	③ [eqn: 5over8]

④ [eqn: {11} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP22] 등비급수와 도형-닮음
	야, 그냥 좌표에 올려.

예제 033	[2017학년도 6월(나형) 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]에서 선분 [eqn: rm A_1 B_1]과 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의
중점을 각각 [eqn: rm E_1], [eqn: rm F_1]이라 하자. 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부와 삼각형 [eqn: rm E_1 F_1 D_1]의 외부의
공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.

그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm D_1 E_1] 위의 점 [eqn: rm A_2], 선분 [eqn: rm D_1 F_1] 위의 점 [eqn: rm D_2]와 선분 [eqn: rm E_1 F_1]위의 두 점 [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2]를
꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]를 그리고, 정각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]에 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과
같은 방법으로 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]를 그리고 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부와 삼각형 [eqn: rm E_2 F_2 D_2]의
외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라
할 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { S_n}]의 값은?

⑤

① [eqn: 125 over 37]	② [eqn: 125 over 38]	③ [eqn: 125 over 39]

④ [eqn: 25 over 8]	⑤ [eqn: 125 over 41]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 034	[한성은 GM5125번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =4]인 정사각형 [eqn: rm ABOD]가 있다. 선분 [eqn: rm OD]의 중점을 [eqn: rmC],

선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmE], 선분 [eqn: rmCD]의 중점을 [eqn: rmF]라 하고 삼각형 [eqn: rmCEF]에 색칠하여

얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm G], 선분 [eqn: rmEF] 위의 점 [eqn: rm H], 선분 [eqn: rmDA] 위의 점 [eqn: rm I]를 꼭짓점으로 하고

사각형 [eqn: rmABCD]와 닮음인 사각형 [eqn: rmAGHI]를 그리고 사각형 [eqn: rm ABCD]에 그림 [eqn: R_{1 }]을 얻는 것과
같은 방법으로 삼각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를

[eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}]의 값은?

③

[eqn: R_1]

[eqn: R_2]

① [eqn: {32} over {11}]	② [eqn: {34} over {11}]	③ [eqn: {36} over {11}]

④ [eqn: {38} over {11}]	⑤ [eqn: {40} over {11}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP23] 등비급수와 도형-분화
	공비에 개수비 곱해줘.

예제 035	[2020학년도 9월(나형) 18번]

그림과 같이 중심이 [eqn: {rmO}], 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmOAB}]가 있다.
선분 [eqn: {rmOA}]의 중점을 [eqn: {rmC },```]선분 [eqn: {rmOB}]의 중점을 [eqn: {rmD}]라 하자. 점 [eqn: {rmC }]를 지나고 선분 [eqn: {rmOB}]와 평행한
직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는 점을 [eqn: {rmE}], 점 [eqn: {rmD}]를 지나고 선분 [eqn: {rmOA}]와 평행한 직선이 호 [eqn: {rmAB}]와 만나는
점을 [eqn: {rmF }]라 하자.
선분 [eqn: {rmCE}]와 선분 [eqn: {rmDF}]가 만나는 점을 [eqn: {rmG}], 선분 [eqn: {rmOE}]와 선분 [eqn: {rmDG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmH}], 선분 [eqn: {rmOF}]와
선분 [eqn: {rmCG}]가 만나는 점을 [eqn: {rmI }]라 하자. 사각형 [eqn: {rmOIGH}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1 }]이라 하자.
그림 [eqn: R_{1 }]에 중심이 [eqn: {rmC }], 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rmCI}}], 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmCJI}]와 중심이
[eqn: {rmD}], 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rmDH}}], 중심각의 크기가 [eqn: 90DEG]인 부채꼴 [eqn: {rmDHK}]를 그린다. 두 부채꼴 [eqn: {rmCJI}],
[eqn: {rmDHK}]에 그림 [eqn: R_{1 }]을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을
[eqn: R_{2 }]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n }]이라
할 때, [eqn: lim _{n `->` INF }`S _{n }]의 값은?

①

① [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{5}]	② [eqn: {7(3 - sqrt 3 )}over{15}]	③ [eqn: {8(3 - sqrt 3 )}over{15}]

④ [eqn: {3(3 - sqrt 3 )}over{5}]	⑤ [eqn: {2(3 - sqrt 3 )}over{3}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP24] 등비급수와 도형-대충
	야매1) 전체 중에서 차지하는 비율을 고려해서 찍는다. 야매2) 첫 번째 도형을 제거하고 프렉탈의 성질로 찍는다.

예제 036	[2016학년도 수능(나형) 15번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 대각선 [eqn: rm BD]의 [eqn: 5]등분점을 점 [eqn: rm B]에서
가까운 순서대로 각각 [eqn: rmP_1], [eqn: rm P_2], [eqn: rm P_3], [eqn: rm P_4]라 하고, 선분 [eqn: rm BP_1], [eqn: rm P_2 P_3], [eqn: rm P_4 D]를 각각 대각선으로 하는
정사각형과 선분 [eqn: rm P_1 P_2], [eqn: rm P_2 P_3]를 각각 지름으로 하는 원을 그린 후,  모양의 도형에 색칠하여
얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.

그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rm P_2 P_3]을 대각선으로 하는 정사각형의 꼭짓점 중 점 [eqn: rm A]와 가장 가까운 점을
[eqn: rm Q_1], 점 [eqn: rm C]와 가장 가까운 점을 [eqn: rm Q_2]라 하자. 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는 정사각형과 선분
[eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는 정사각형을 그리고, 새로 그려진 [eqn: 2]개의 정사각형 안에 그림 [eqn: R_1]을
얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

그림 [eqn: R_2]에서 선분 [eqn: rm AQ_1]을 대각선으로 하는 정사각형과 선분 [eqn: rm CQ_2]를 대각선으로 하는
정사각형에 그림 [eqn: R_1]에서 그림 [eqn: R_2]를 얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 각각 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라
할 때, [eqn: lim_n->inf {S_n}]의 값은?

②

① [eqn: 24over17 (pi +3)]	② [eqn: 25 over17 (pi +3)]	③ [eqn: 26 over17 (pi+3)]

④ [eqn: 24over17 (2pi+1)]	⑤ [eqn: 27over17 (2pi +1)]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP25] 삼각함수의 덧셈정리
	예의상 ① [eqn: sin( alpha + beta )=sin alpha cos beta +cos alpha sin beta] ② [eqn: sin( alpha - beta )=sin alpha cos beta -cos alpha sin beta] ③ [eqn: cos( alpha + beta )=cos alpha cos beta -sin alpha sin beta] ④ [eqn: cos( alpha - beta )=cos alpha cos beta +sin alpha sin beta]

예제 037

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원과 점 [eqn: rmB]에서 원에 접하는

직선 위에 [eqn: rm bar{BC} =4], [eqn: rmbarBD =3]인 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 있다. 원과 두 직선 [eqn: rmAC], [eqn: rmAD]가 만나는 점을

각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAEF]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmB]는 선분 [eqn: rmCD]를 내분한다.)

④

① [eqn: {78} over {25}]	② [eqn: {96} over {25}]	③ [eqn: {104} over {25}]

④ [eqn: { 112} over {25 }]	⑤ [eqn: {24} over {5}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP26] 탄젠트의 덧셈정리
	① [eqn: tan( alpha + beta )= { tanalpha+tanbeta} over {1-tanalpha tanbeta }] ② [eqn: tan( alpha - beta )= {tan alpha -tan beta } over {1+tan alpha tan beta }] ※ 직각 보이면 탄젠트로 식 써봐라.

예제 038

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rm A(20,```0)], [eqn: rm B(80,```0)]와 양의 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm P(0, ```it y)]에 대하여
[eqn: rm ANGLE APB = theta]라고 할 때, [eqn: tan theta]의 값이 최대가 되는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: y]좌표를 구하여라.

[eqn: 40``]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP27] 탄젠트와 기울기
	기울기 [eqn: m]인 직선 [eqn: l]에 대하여 [eqn: x]축의 양의 방향에서부터 반시계방향으로 [eqn: l]까지 잰 각을 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: tanalpha=m]이다. [eqn: RARROW] 각을 잴 때는 항상 [eqn: x]축의 양의 방향에서부터 반시계방향으로 잰다.

예제 039

두 직선 [eqn: y=x+a], [eqn: y= {1} over {3} x+b]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r^2 `]에 접하는 점을 각각 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmP _{2}]라 하고
[eqn: rm ANGLE P _{1} OP _{2} = alpha]일 때, [eqn: tan alpha]의 값은? (단, [eqn: a<0], [eqn: b<0])

②

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP28] 배각공식과 반각공식
	[eqn: 2]배각공식 ① [eqn: sin2theta=2sintheta costheta] ② [eqn: cos2theta=cos^2 theta-sin^2 theta= 2cos^2 theta-1=1-2sin^2 theta] 반각공식 ③ [eqn: sin^2 { theta} over { 2}= { 1-costheta} over {2 }] ④ [eqn: cos ^{2} {theta } over {2} = {1+cos theta } over {2}] ※ 자주 쓰인다. 반드시 정리해두자.

예제 040	[2013학년도 9월]

그림과 같이 좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]인 세 반원을 각각
[eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]이라 하자. 세 점 [eqn: rmP _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}]은 선분 [eqn: \OB] 위에서 동시에 출발하여 각각 세 반원
[eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}] 위를 같은 속력으로 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. [eqn: ANGLE rm BOP _{ 3} = theta]라 하고
삼각형 [eqn: rm ABP _{ 1}]의 넓이를 [eqn: S_{ 1}], 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 2}]의 넓이를 [eqn: S_{ 2}], 삼각형 [eqn: rm ABP _{ 3}]의 넓이를 [eqn: S_{ 3}]이라 하자.
[eqn: 3S_{ 3} = 2( S _{ 1} + S _{ 2} )]일 때, [eqn: cos ^{3} theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < { pi} over { 4}])

③

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP29] 삼각함수의 합성
	[eqn: a sinx+b cosx= sqrt { a^2 +b^2 } `sin(x+alpha)] (단, [eqn: cos alpha= { a} over { sqrt { a^2 +b^2} }], [eqn: sin alpha = {b} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]) ※ 약간 애매하지만 그냥 해두자.

예제 041

삼각방정식 [eqn: sqrt {6}` sinx- sqrt { 2}`cosx-2=0]의 모든 실근의 합을 [eqn: { q} over { p}pi]라 할 때,
[eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0le x le 2pi]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 7]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP30] 삼각함수의 치환
	[eqn: sinx]든 [eqn: cosx]든 하나만 남길 수 있을 것 같으면 해본다. ※ 특히 [eqn: cos2x]는 [eqn: 1-2sin^2 x]도 되고 [eqn: 2cos^2 x-1]도 되므로 꿀맛이다.

예제 042

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]일 때, 삼각방정식 [eqn: sin2x=cosx]의 모든 해의 합은?

④

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP31] 오일러 수
	[eqn: lim _{x -> 0} { LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{{1} over {x}}} =e], [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x}} =e] [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a (1+f(x))^ {{ 1} over { f(x)}]꼴을 찾아준다.

예제 043

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{x} =e ^{50}}]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 25]

예제 044

함수 [eqn: f(x) = left( x over x-1 right )^x (x>1)]에 대하여 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: lim from x->inf f(x) =e]

ㄴ. [eqn: lim from x->inf f(x) f(x+1) = e^2]

ㄷ. [eqn: k ge2]일 때, [eqn: lim from x->inf f(kx) = e^k]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP32] 지수/로그함수와 부정형
	① [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{x} -1} over {x} =1}] ② [eqn: lim _{x -> 0} {{a ^{x} -1} over {x} =lna}] ③ [eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+x)} over {x} =1}] ④ [eqn: lim _{x -> 0} {{log _{a} (1+x)} over {x}= {1} over {lna}}] [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim_x->a {e^f(x) -1} over { f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {ln(1+f(x))} over {f(x)}]꼴을 찾아준다. [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: x->a]이면 [eqn: {e ^{f(x)} -1}], [eqn: ln(1+f(x))]는 대충 [eqn: f(x)]이다.

예제 045

[eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+cx)} over {e ^{ax+b} -1} =5]를 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: {b+c} over {a}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a ne0])

[eqn: 5`]

예제 046	[2010학년도 6월]

[eqn: lim_x->0 { e^{1-sinx}-e^{1-tanx}} over {tanx-sinx }]의 값은?

④

① [eqn: 1overe]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP33] 삼각함수와 부정형
	① [eqn: lim _{x -> 0} {{sinx} over {x} =1}] ② [eqn: lim _{x -> 0} {{tanx} over {x} =1}] ③ [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cosx} over {x ^{2}} = {1} over {2}}] [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때 [eqn: lim _{x -> a} {} {sinf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {tanf(x)} over {f(x)}], [eqn: lim _{x -> a} {} {1-cosf(x)} over {left{f(x)right} ^{2}}]꼴로. [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: sinf(x)], [eqn: tanf(x)]는 대충 [eqn: f(x)]이다. [eqn: RARROW] [eqn: lim_x->a f(x)=0]일 때, [eqn: x->a]이면 [eqn: 1-cosf(x)]는 대충 [eqn: { 1} over { 2}left{f(x)right}^2]이다.

예제 047

[eqn: lim _{x -> 0} {` {bx LEFT ( 3 ^{x} -1 RIGHT )} over {2-a`cosx} =-ln3}]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

예제 048	[2009학년도 6월]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim from {x->0} {f`(x)} over {1-cos(x^2 )} = 2]를 만족시킬 때, [eqn: lim from {x->0} {f`(x)} over x^p = q]이다. [eqn: p+q]의 값은?
(단, [eqn: p>0], [eqn: q>0]이다.)

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP34] 삼각함수의 근사식
	[eqn: theta `` -> ``0]이면, [eqn: sin theta =tan theta =theta], [eqn: 1-{costheta}={ 1} over {2 }theta^2]이다. ※ 선형근사 참고. 삼각함수의 극한과 도형 문항들에서 자주 쓰게 된다.

예제 049	[2017학년도 수능]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2 }]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의
점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 선분 [eqn: rmPH]와 선분 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmanglePOH=theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmAQH]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim_theta->0+ { S(theta)} over {theta^4 }]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< { pi} over {2 }])

①

① [eqn: 1over8]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP35] 직각삼각형 찾기
	직각삼각형을 찾아서 길이를 옮겨라.

예제 050	[2018학년도 수능 17번]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 마름모 [eqn: rmABCD]가 있다. 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 연장선에

내린 수선의 발을 [eqn: rmE], 점 [eqn: rmE]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF], 선분 [eqn: rmEF]와 선분 [eqn: rmBC]의

교점을 [eqn: rmG]라 하자. [eqn: rm ANGLE DAB= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmCFG]의 넓이를 [eqn: S`` LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} { {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{5}}}]의

값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

③

① [eqn: {1} over {24}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {16}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 051	[2019학년도 6월 16번]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다.

호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 호 [eqn: rm BP] 위에 점 [eqn: rmQ]를

[eqn: rmanglePOH=anglePHQ]가 되도록 잡는다. [eqn: rmanglePOH=theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOHQ]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자.
[eqn: lim_theta->0+ { S(theta)} over {theta }]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< { pi} over {6 }])

①

① [eqn: { 1+ sqrt { 2} } over {2 }]	② [eqn: {2+ sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {3+ sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {4+ sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {5+ sqrt {2}} over {2}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP36] 이등변삼각형의 수선
	삼각형을 반으로 가르는 수선 내려라.

예제 052

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: theta]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다.

부채꼴의 호 [eqn: rm AB]의 길이를 [eqn: l_1], 삼각형 [eqn: rm OAB]에 내접하는 원의 둘레의 길이를

[eqn: l_2]라 할 때, [eqn: lim from {theta->0} {l_2} over {l_1}]의 값은?

③

① [eqn: {pi} over {4}]	② [eqn: {pi} over {2}]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {3} over {2} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 053	[2014학년도 수능]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 한 변으로 하고, [eqn: rmbarAC =barBC], [eqn: rm ANGLE ACB= theta]인

이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 [eqn: rmbarAC =barAD]인 점 [eqn: rmD]를 잡고,

[eqn: rmbarAC =barAP]이고 [eqn: rmanglePAB=2theta]인 점 [eqn: rmP]를 잡는다. 삼각형 [eqn: rmBDP]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,
[eqn: lim_theta->0+ (theta timesS(theta))]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0< theta< { pi} over {6 }])

[eqn: 16]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP37] 원과 부채꼴
	중심에서 이어라.

예제 054	[2017학년도 6월]

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1]이고 중심이 각각 [eqn: rmO], [eqn: rmO']인 두 원 [eqn: O], [eqn: O`']이
외접하고 있다. 원 [eqn: O] 위의 점 [eqn: rmA]에서 원 [eqn: O`']에 그은 두 접선의 접점을 각각
[eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm ANGLE AOO prime =theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta->0+} {bar{rmPQ}} over {theta}]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

③

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 6}]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: sqrt { 10}]	⑤ [eqn: 2sqrt { 3}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP38] 정다각형
	중심과 꼭짓점들끼리 이어서 [eqn: n]개의 이등변삼각형을 만들자.

예제 055

그림과 같이 중심이 [eqn: rmC]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 외접하는 정[eqn: n]각형 [eqn: T]와

내접하는 정[eqn: n]각형 [eqn: S]가 있다. 도형 [eqn: T]와 [eqn: S]의 둘레의 길이를 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때,

[eqn: lim_n->inf n^2 left{f(n)-g(n) right}]의 값은? (단, 그림은 [eqn: n=8]인 경우이다.)

②

① [eqn: {1} over {2} pi ^{3}]	② [eqn: pi^3]	③ [eqn: 2pi ^{3}]

④ [eqn: pi^2]	⑤ [eqn: 2pi^2]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP39] 이등분선과 중선
	문제 풀다보면 한 번씩 언급하게 되니 정리해두자. ① [eqn: rm triangleABC]에서 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면, [eqn: {rmbarAB}^2 +{rmbarAC}^2 =2({rmbarAM}^2 +{rmbarMB}^2 )]이 성립한다. ② [eqn: rm triangleABC]에서 각 [eqn: rmA]의 이등분선과 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmP]라 하면, [eqn: rm bar{AB} : bar{AC} = bar{BP} : bar{CP}]이다.

예제 056	[한성은 PN9344번]

[eqn: rmbarAB =1], [eqn: rmangleCAB= theta], [eqn: rmangleCBA=2theta]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmC]와

삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원의 중심을 지나는 직선이 직선 [eqn: rmAB]와

만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: {rmbarCD} =f(theta)]라 할 때, [eqn: lim_theta->0+ { f(theta)} over { theta}]의 값은?

⑤

① [eqn: { 2} over {9 }]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP40] 코사인 법칙
	[eqn: rmtriangleABC]에서 ① [eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cos{A}] (두 변과 끼인각을 알 때, 나머지 한 변을 알려주는 식) ② [eqn: cos{A}= { b^2 +c^2 -a^2} over {2bc }] (세 변을 알 때, 어떤 각의 코사인값을 알려주는 식)

예제 057	[2013학년도 9월]

그림과 같이 점 [eqn: rmA(-2,``0)]과 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmAP]가
원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = 1]과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: rmP]에 가까운 점을
[eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmANGLE OAP= theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {rm {bar{PQ}} over {theta ^{2}}} it]의 값은?

④

① [eqn: { 5} over { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over { 2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP41] 사인 법칙
	[eqn: rmtriangleABC]의 외접원의 반지름이 [eqn: R]일 때, [eqn: {a} over {sin A } = {b} over {sin B } = {c} over {sin C } =2 R]

예제 058	[2015학년도 수능]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 외접하고 [eqn: rmangleCAB =angleBCA =theta]인 이등변삼각형
[eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 연장선 위에 점 [eqn: rmA]가 아닌 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rmangleDCB=theta]가 되도록 잡는다.
삼각형 [eqn: rmBDC]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim_theta->0+ left{theta timesS(theta)right}]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< { pi} over { 4}])

④

① [eqn: 2over3]	② [eqn: 8over9]	③ [eqn: 10over9]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 14over9]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP42] 삼각형의 넓이
	① 밑변이 [eqn: a]이고 높이가 [eqn: h]인 삼각형 : [eqn: S= {1} over {2} ah] ② 두 변이 [eqn: a], [eqn: b]이고 끼인각이 [eqn: theta]인 삼각형 : [eqn: S= { 1} over { 2}ab sintheta] ③ 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]이고 내접원의 반지름이 [eqn: r]인 삼각형 : [eqn: S= { 1} over { 2}r(a+b+c)] ④ [eqn: (a,```b)], [eqn: (c,```d)], [eqn: (e,```f)]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 :[eqn: S= {1} over {2} LEFT | {matrix{`a`&`c`&`e`&`a`#`b`&`d`&`f`&`b`}} RIGHT |] ⑤ 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 삼각형 : [eqn: S`=` sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}] [eqn: LEFT ( s= {a+b+c} over {2} RIGHT )] ⑥ 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]이고 외접원의 반지름이 [eqn: R]인 삼각형 : [eqn: S= {abc} over {4R}]

예제 059	[한성은 UY6068번]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} =1], [eqn: rm ANGLE ABC= {pi} over {2}]인 삼각형 [eqn: rmABC]와 중심이 [eqn: rmB]이고 점 [eqn: rmC]를 지나는

원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]와 두 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmAB]의 교점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rm CDE]의

넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S(theta)} over {theta ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}])

④

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5over4]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP43] 내접원의 반지름
	내접원의 반지름을 구할 때, ① 중심과 꼭짓점을 연결 [eqn: RARROW] 각의 이등분 등등 이용 ② [eqn: S= { 1} over { 2}r(a+b+c)]를 이용해서 [eqn: RARROW] 복잡하지만 확실하게 풀리는 풀이

예제 060

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O] 위에 점 [eqn: \A]가 있다. 그림과 같이
양수 [eqn: theta]에 대하여 원 [eqn: O] 위의 두 점 [eqn: \B], [eqn: \C]를 [eqn: ∠ \BAC=theta]이고
[eqn: rm barAB =barAC]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: \ABC]의 내접원의
반지름의 길이를 [eqn: r(theta)]라 할 때,[eqn: lim _{theta -> pi -} {} {r( theta )} over {( pi - theta ) ^{2}} = {q} over {p}]이다.
[eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하여라.

[eqn: 17]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 061	[2016학년도 6월]

그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원 위에 점 [eqn: rmC]를 잡고

[eqn: anglermBAC=theta]라 하자. 호 [eqn: rmBC]와 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]에 동시에 접하는 원의 반지름의
길이를 [eqn: f(theta)]라 할 때,

[eqn: lim_{theta->0+} {tan thetaover2 -f(theta)}over{theta^2} =alpha]

이다. [eqn: 100 alpha]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< pi over4])

[eqn: 25]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP44] 0의 위치와 크기
	① [eqn: 0over0] 꼴의 부정형의 극한값을 구할 때는 [eqn: 0]을 가지고 있는 인수를 파악한다. [eqn: RARROW] 로피탈 때릴 때 유용하다. [eqn: 0] 아닌 것을 극한 밖으로 빼서 생각한다든가. ② [eqn: 0](무한소)이라고 다 같은 [eqn: 0]이 아니고 크기(차수)를 살펴보아야 한다. ※ [eqn: x->0]일 때, 다항함수라면 최저차항의 차수와 관련한다.

예제 062

함수 [eqn: f(x) = x^2 - x-1]에 대하여 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: lim _{ x-> alpha} { { f(x)f(-x)} over x-alpha} + lim _{ x-> beta } { f(x)f(-x) over x-beta }]

의 값은?

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

예제 063

함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)} =0],   [eqn: lim_ x->0 { {2x+3x^2 -f(x) } over {x+ 2x^2 + f(x) } } = 5``]

가 성립할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{5x+3x ^{2} -f(x)} over {x+2x ^{2} +f(x)}}]의 값을 구하여라.

[eqn: 11]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 064	[2009학년도 수능]

다항함수 [eqn: f(x)]와 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: lim _{x-> INF } {{f(x)} over {x ^{m}}} =1],   [eqn: lim _{ x->inf} { {f'(x)} over {x^{m-1} } =a],

[eqn: lim _{ x->0} {{f (x)} over x^n } = b],   [eqn: lim _{ x->0} {{f'(x)} over {x^{n-1}} } =9]

를 모두 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

⑤

ㄱ. [eqn: m ge n]

ㄴ. [eqn: ab ge 9]

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면 [eqn: am=bn]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP45] 선형근사
	[eqn: x->0]일 때의 극한은 아래와 비슷하게 처리하면 된다. ① [eqn: sinx=x] ② [eqn: tanx=x] ③ [eqn: 1-cosx= {1} over {2} x ^{2}] ④ [eqn: e ^{x} -1=x] ⑤ [eqn: ln(1+x)=x] ※ [eqn: x->0]일 때, (다항함수라 쳤을 때) 최저차항의 차수와 관련한다. 대충 살자.

예제 065	[2011학년도 6월]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: lim _{x-> INF } {`x ^{a} `ln LEFT ( b+ {c} over {x ^{2}} RIGHT )} =2]
일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

예제 066

[eqn: lim _{x-> 0} {{cosax-cos(a+2)x} over {x sinx} =4}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

[eqn: 1]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP46] 선형근사 심화
	근사식들의 최저차항이 상쇄되는 경우에는 선형근사를 이용할 수 없다. ※ 원칙적으로 출제 범위는 아닌 것 같지만 풀다보면 보인다. 정리해두자. ※ 최저차항 위의 고차항들을 뽑아내려면 테일러 전개를 배워야 한다. [eqn: RARROW] 깊게 들어가지 말고, “쓰다 털리겠구나”라는 감각을 가지면 충분하다.

예제 067

보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {} {ln(1+x)+ln(1-x)} over {x ^{2}}=0]

ㄴ. [eqn: lim_x->0 { sinx -tanx} over {x^3 }=0]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{x} +e ^{-x} -2} over {x ^{2}}=1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

	TooLBOX+ [미적분 극한]

		[TIP47] 로피탈의 정리
	두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 도함수가 연속이고 [eqn: f(a)=g(a)=0]이면, [eqn: lim_x->a { g(x)} over {f(x) }= lim_x->a{ g'(x)} over {f`'(x) }] 이다.

예제 068	[2014학년도 6월]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_x->0 x over {f(x)} =1], [eqn: lim_x->1 {x-1} over {f(x)}=2]를 만족시킬 때, [eqn: lim_x->1 {f(f(x))} over {2x^2 -x-1}]의 값은?

①

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 6]

	TooLBOX+ [미적분 극한]

예제 069

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{ex} -1 LEFT ( 0＜x＜ {pi } over {2} RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 평행한 직선이 [eqn: x]축과

곡선 [eqn: y=- sinx]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]에 한없이 가까워질 때,
[eqn: rm barPQ over barQR]는 어떤 값에 가까워지는가? (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.)

④

① [eqn: e ln2- 2]	② [eqn: e ln2- 1`]	③ [eqn: e ln2`]

④ [eqn: e ln2+ 1`]	⑤ [eqn: e ln2+ 2`]