[평면좌표]

B34 | 두 점 사이의 거리

두 점 [eqn: rm A it (x _{1} ,```y _{1} )]와 [eqn: {rmB}(x _{2} ,```y _{2} )] 사이의 거리는 [eqn: sqrt {(x _{1} -x _{2} ) ^{2} +(y _{1} -y _{2} ) ^{2}}]이다.

개념1

두 점 [eqn: rmA(-1,```2)], [eqn: rmB(4,```5)]에서 같은 거리에 있는

예제1

[eqn: y]축 위의 점 [eqn: {rmP]의 좌표를 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(2,```4)], [eqn: rmB(3,```-3)]에서 같은 거리에 있고,

예제2

직선 [eqn: y=x] 위에 있는 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(5,```2)], [eqn: rmB(1,```6)]에 대하여 [eqn: rm {barPA}^{2} + {barPB}^{2}]의 값이

예제3

최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

세 점 [eqn: rmA(0,```2)], [eqn: rmB(1,```-5)], [eqn: rmC(2,```-2)]를 꼭짓점으로 하는

예제4

[eqn: TRIANGLE rmABC]의 외심 [eqn: rmO]의 좌표를 구하여라.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(-3,```2)], [eqn: rmB(2,```10)]에 대하여 점

예제5

[eqn: rmP]가 [eqn: x]축 위를 움직일 때, [eqn: bar{rm AP it} + bar{rmBP}]의 최솟값을 구하여라.

[eqn: rmtriangleABC]에서 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때,

예제6

[eqn: rm{barAB}^2 +{barAC}^2 =2 ({barAM}^2 +{barBM}^2 )]이 성립함을 증명하여라.

B35 | 내분점과 외분점

수직선 위의 두 점 [eqn: {rmA}(x _{1} )], [eqn: {rmB}(x _{2} )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]으로,

개념1

① 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: {rmP}left( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} right)]이다.

② 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q it LEFT ( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} RIGHT )]이다.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )], [eqn: (x _{2} ,```y _{2} )]를 [eqn: m:n]으로

개념2

① 내분하는 점은 [eqn: left( {mx _{2} +nx _{1}} over {m+n} ,``` {my _{2} +ny _{1}} over {m+n} right)]이다.

② 외분하는 점은 [eqn: LEFT ( {mx _{2} -nx _{1}} over {m-n} ,``` {my _{2} -ny _{1}} over {m-n} RIGHT )]이다.

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM],

예제1

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5:3]으로 외분하는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: rm bar{PM} :barMB]를 구하여라.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1,```-1)], [eqn: rm B(6,```9)]에 대하여 [eqn: RMbar{AB}]를 [eqn: 3:2]로

예제2

내분하는 점 [eqn: RMP], [eqn: RMbar AB]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점 [eqn: rmQ], [eqn: RMbar AB]의 중점 [eqn: RMM]을 각각 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(-5,```2)], [eqn: rmB(1,```-1)]에 대하여 [eqn: bar{rmAB}]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP],

예제3

[eqn: 2:3]으로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리를 구하여라.

두 점 [eqn: rm A it (-4,```a)], [eqn: rm B it (b,```1)]에 대하여 [eqn: bar{rmAB}]는 [eqn: y]축에 의해 [eqn: 2:1]로 내분되고

예제4

[eqn: x]축에 의해 [eqn: 2:1]로 외분된다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

평행사변형 [eqn: RMOABC]의 각 꼭짓점의 좌표가 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: {rmA}(3,```b)],

예제5

[eqn: {rmB}(a,```1)], [eqn: {rmC}(a-b,```2a)]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

B35E1 | 삼각형의 무게중심

세 점 [eqn: {rmA}(x _{1} ,```y _{1} )], [eqn: {rmB}(x _{2} ,```y _{2} )], [eqn: {rmC}(x _{3} ,```y _{3} )]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: rmtriangleABC]의

개념1

무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,``` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} RIGHT )]이다.

세 점 [eqn: (5,```a)], [eqn: (2,```3)], [eqn: (b,```-1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의

예제1

무게중심의 좌표가 [eqn: (3,```-1)]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

세 점 [eqn: rmA(1,```1)], [eqn: rmB(2,```3)], [eqn: rmC(3,```2)]에 대하여 [eqn: rmtriangle ABC]의 세 변

예제2

[eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]를 각각 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 하자.

[eqn: rmtriangle PQR]의 무게중심의 좌표를 구하여라.

※ [eqn: rmtriangle PQR]의 무게중심과 [eqn: rmtriangleABC]의 무게중심의 좌표와 같음을 확인하여라.

세 점 [eqn: rmA(3,```4)], [eqn: rmB(-4,```2)], [eqn: rmC(7,```3)]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: rmtriangleABC]에 대하여

예제3

[eqn: rm{bar PA}^2 + {bar PB}^2 + {bar PC}^2]의 값이 최소가 되는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

※ 제곱의 합이 최소가 되는 점은 무게중심이다.

※ [eqn: rm{bar PA} + {bar PB}+ {bar PC}]가 최소가 되는 점은 페르마포인트라고 좀 어려운 문제이다.

[eqn: rmbarAB =18], [eqn: rmbarAD =12]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]에서 두 대각선의 교점은 [eqn: rm M]이다.

예제4

삼각형 [eqn: rmABD]의 무게중심을 [eqn: rm G], 삼각형 [eqn: rm CDM]의 무게중심을 [eqn: rmH]라 할 때,

두 점 [eqn: rm G]와 [eqn: rm H] 사이의 거리를 구하여라.

B35E2 | 각의 이등분선 정리와 파프스의 정리

각의 이등분선 정리

개념1

[eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: rmangleBAC]의 이등분선과 변 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmM]이라 할 때,

[eqn: rmbarAB :barAC =barBM : barCM]이 성립한다.

✔ 꼭짓점 [eqn: rmA]의 외각을 이등분하는 직선과 변 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmM]이라 할 때,

[eqn: rmbarAB :barAC =barBM : barCM]이 성립한다. (외각의 이등분선 정리)

파프스의 정리

개념2

[eqn: rmtriangleABC]에서 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때,

[eqn: rm{barAB}^2 +{barAC}^2 =2 ({barAM}^2 +{barBM}^2 )]이 성립한다.

세 점 [eqn: rm A(2,```5)], [eqn: rm B(-4,```-3)], [eqn: rm C(6,```2)]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: △RMABC]가 있다.

예제1

[eqn: ∠RMA]의 이등분선이 변 [eqn: RMBC]와 만나는 점 [eqn: RMD]의 좌표를 구하여라.

점 [eqn: rm { P }]가 원 [eqn: x^2 + y^2 = 1] 위를 움직일 때, 좌표평면 위의 두 점

예제2

[eqn: rm A(4,```3)], [eqn: rm B(2,```5)]에 대하여 [eqn: rm{ bar{PA}} ^{2} + {bar{PB}} ^{2}]의 최댓값을 구하여라.

양수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: x]축과 [eqn: y=mx]이 이루는 각을 이등분하는 직선 중

예제3

기울기가 양수인 직선의 방정식을 구하여라.

B36 | 자취의 방정식

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]가 어떤 조건을 만족하면서 움직일 때, [eqn: rmP]가 그리는 도형을

개념1

[eqn: rmP]의 자취라 한다. [eqn: {rmP}(x,```y)]의 자취의 방정식은 [eqn: x]와 [eqn: y]의 관계식이다.

※ 점 [eqn: rmP]를 [eqn: {rmP}(x,```y)]라 놓고 주어진 조건을 [eqn: x]와 [eqn: y]의 관계식으로 정리해본다.

※ 상황을 이해, 그리는 도형이 어떻게 되는지 적당히 추적해본다.

다음을 만족하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

예제1

(1) 두 점 [eqn: rmA(2,```4)], [eqn: rmB(4,```1)]로부터 같은 거리에 있다.

(2) 두 점 [eqn: rmA(1,```1)], [eqn: rmB(3,```2)]에 대하여 [eqn: rm {bar PA}^2 -{bar PB}^2 =3]를 만족한다.

(3) 두 점 [eqn: rmA(-1,```0)], [eqn: rmB(4,```0)]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} : bar{BP} =3:2]를 만족한다.

※ 여기서부터는 직선, 원을 모두 공부한 다음에 풀도록 하자.

두 직선 [eqn: 3x+4y+2 =0], [eqn: 4x-3y+1=0]이 이루는 각의 이등분선의 방정식

예제2

을 모두 구하여라.

두 직선 [eqn: x+2y +2 =0], [eqn: 2x-y -4=0]으로부터 같은 거리에 있는

예제3

점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

두 직선 [eqn: kx+y=k], [eqn: x-ky=2k]의 교점의 자취를 구하여라.

예제3

매개변수를 이용한 자취의 방정식

개념2

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]에서 [eqn: x]와 [eqn: y]를 매개변수를 이용하여 표현한 뒤

매개변수를 소거하여 [eqn: x]와 [eqn: y]의 관계식을 띄워주면 된다.

점 [eqn: rmQ]가 직선 [eqn: x+2y-4 =0] 위를 움직일 때,

예제4

점 [eqn: rmA(2,```-3)]과 점 [eqn: rmQ]를 이은 선분 [eqn: rmAQ]의 중점의 자취의 방정식을 구하여라.

두 정점 [eqn: rmA(1,```6)], [eqn: rmB(8,```0)]과 원 [eqn: x^2 +y^2 =9] 위를 움직이는

예제5

점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmTRIANGLE APB]의 무게중심 [eqn: rmG]의 자취의 방정식을 구하여라.

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmA]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmB]를 이은 선분 [eqn: rmAB]가 있다.

예제6

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축 위에서 [eqn: rmbarAB =8]을 유지하면서 움직인다고 할 때,

선분 [eqn: rmAB]의 중점이 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.

[직선의 방정식]

B37 | 직선의 방정식

좌표평면 위의 점 [eqn: {rmA}(x_1 ,```y_1 )]을 지나고, 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은

개념1

[eqn: y=m(x-x_1 )+y_1]이다.

※ 직선 위의 임의의 두 점에 대하여,

[eqn: {(y의```변화량)} over {(x의```변화량)}]을 그 직선의 기울기라 한다.

※ 직선의 기울기는 [eqn: x]값이 [eqn: 1] 증가할 때, [eqn: y]의 변화량이다.

※ 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각이 [eqn: theta]일 때, 기울기는 [eqn: tantheta]가 된다.

✔ 두 점 [eqn: {rmA}(x_1 ,```y_1 )], [eqn: {rmB}(x_2 ,```y_2 )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y= { y_2 -y_1} over {x_2 -x_1 }(x-x_1 )+y_1]이다.

다음 직선의 방정식을 구하여라.

예제1

(1) 두 점 [eqn: (2,```4)]와 [eqn: (5,```1)]을 지나는 직선

(2) [eqn: x]절편이 [eqn: 2]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: -6]인 직선

(3) 점 [eqn: (2,```4)]를 지나고 기울기가 [eqn: 3]인 직선

(4) 점 [eqn: (1,```2)]를 지나고 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60 DEG]인 직선

세 점 [eqn: {rmA}(a-5,```1)], [eqn: {rmB}(-2,```4)], [eqn: {rmC}(a,```-2)]가 같은 직선 위에 있을 때,

예제2

상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

B38 | 평행과 수직

두 직선 [eqn: y=mx+n], [eqn: y=m'x+n']이

개념1

① 서로 평행하면 [eqn: m=m']

② 서로 수직이면 [eqn: mm'=-1]

직선 [eqn: x+ay+ 2=0]이 직선 [eqn: 2x-by-3 =0]과는 수직이고,

예제1

직선 [eqn: x- (b-3)y+4=0]과는 평행할 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(-1,```2)], [eqn: rmB(4,```5)]을 이은 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하여라.

예제2

세 점 [eqn: rmA(2,```0)], [eqn: rmB(-2,```0)], [eqn: rmC(0,```4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의

예제3

수심(세 꼭짓점에서 각각의 대변에 내린 수선들의 교점)의 좌표를 구하여라.

B39 | 직선이 항상 지나는 점

직선 [eqn: y=m(x-x_1 )+y_1]는 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]을 지난다.

개념1

※ 문제의 상황을 해석하는 중요한 시작점이 되는 경우가 많으므로,

두 직선 [eqn: y=-x+2], [eqn: y=mx+m+1]이 제[eqn: 2]사분면에서 만날 때,

예제1

실수 [eqn: m]값의 범위를 구하여라.

세 직선 [eqn: x+y=8], [eqn: x-3y=0], [eqn: y=mx-3m+3]이

예제2

삼각형을 이루지 못하는 [eqn: m]값들을 모두 구하여라.

B40 | 점과 직선 사이의 거리

점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]과 직선 [eqn: ax+by+c=0] 사이의 거리는 [eqn: { |ax_1 +by_1 +c|} over { sqrt { a^2 +b^2} }]이다.

개념1

※ 점과 직선 사이의 거리는 최단거리(수직으로 잰 거리)를 의미한다.

※ 증명은 귀찮은 계산이지만 해보도록 하자.

✔ 원점과 직선 [eqn: ax+by+c=0] 사이의 거리는 [eqn: {|c|} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]이다.

✔ 평행한 두 직선 [eqn: ax+by+c=0]와 [eqn: ax+by+c'=0] 사이의 거리는 [eqn: {|c-c'|} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]이다.

점 [eqn: rmP(1,```1)]에서 직선 [eqn: 5x + 12y -4 = 0]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

예제1

[eqn: bar{rmPH}]의 길이를 구하여라.

두 직선 [eqn: 3x+4y=14], [eqn: 6x+ 8y=3] 사이의 거리를 구하여라.

예제2

원점에서의 거리가 [eqn: 1]이고 점 [eqn: (1,```2)]를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

예제3

점 [eqn: (0,```4)]에서 직선 [eqn: y=2x-2] 사이의 거리를 다음 방법에 따라 구하여라.

예제4

(1) 점 [eqn: (0,```4)]를 지나고 직선 [eqn: y=2x-2]와 수직인 직선을 직접 구해서

(2) 직선 [eqn: y=2x-2] 위의 점 [eqn: (t,```2t-2)]에서 점 [eqn: (0,```4)]까지의 거리를 최소화 시켜서

두 직선 [eqn: 3x+4y+2 =0], [eqn: 4x-3y+1=0]이 이루는 각의 이등분선의 방정식

예제5

을 모두 구하여라.

원점에서 직선 [eqn: x-y-4+k(x+y)=0]까지의 거리를 [eqn: f(k)]라 할 때,

예제6

[eqn: f(k)]의 최댓값을 구하여라.

B41 | 삼각형의 넓이

세 점 [eqn: (a,```b)], [eqn: (c,```d)], [eqn: (e,```f)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는

개념1

[eqn: {1} over {2} LEFT | ` pile{a#b} ``` pile{c#d} ``` pile{e#f} ``` pile{a#b} ` RIGHT | = { 1} over {2 } |ad+cf+eb-cb-ed-af|]이다.

✔ 세 꼭짓점이 [eqn: (0,```0)], [eqn: (a,```b)], [eqn: (c,```d)]이면 [eqn: { 1} over { 2}|ad-bc|]이다.

※ 소위 ‘신발끈’이라 부르는 공식이다. [eqn: { 1} over { 2}|ad-bc|] 정도 증명하고 대충 익혀두자.

세 점 [eqn: {rmA}(1,```a)], [eqn: rmB(4,```1)], [eqn: rmC(-1,```2)]를 꼭짓점으로 하는

예제1

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 7]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmM]에 대하여 [eqn: {rmbarBM}:{rmbarCM}=m:n]이면

개념2

두 삼각형 [eqn: rmABM]과 [eqn: rmACM]의 넓이의 비도 [eqn: m:n]이다.

세 점 [eqn: rmA(2,```-5)], [eqn: rmB(-3,```0)], [eqn: rmC(3,```6)]에 대하여 [eqn: rmTRIANGLE ABP: TRIANGLE ACP=2:1]를

예제2

만족하는 [eqn: rm bar{BC}] 위의 점 [eqn: rmP]를 구하여라.

✔ 직선이 평행사변형의 넓이를 이등분하기 위해서는

평행사변형의 두 대각선의 교점을 지나야 한다.

[eqn: (2,```2)], [eqn: (4,```2)], [eqn: (4,```6)], [eqn: (2,```6)]으로 이루어진 직사각형의 넓이를 이등분하고~

예제3

[원의 방정식]

B42 | 원의 방정식

중심이 [eqn: {rmC}(a,```b)]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 방정식은

개념1

[eqn: (x-a)^2 + ( y-b)^2 = r^2]이다.

방정식 [eqn: x^2 +y^2 -4x+2y+1=0]이 나타내는 도형의 넓이는?

예제1

중심이 [eqn: (4,```-2)]이고 [eqn: y]축에 접하는 원의 방정식을 구하여라.

예제2

중심이 [eqn: y]축 위에 있고, 두 점 [eqn: rm A(-1,```2)], [eqn: rmB(3,```4)]를 지나는

예제3

원의 방정식을 구하여라.

방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x+y+k=0]가 나타내는 도형이

예제4

원이 되도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

✔ 방정식 [eqn: x^2 + y^2 + Ax + By + C=0]가 나타내는 도형은

[eqn: A^2 + B^2 - 4C >0]일 때 원이다.

※ [eqn: A ^{2} +B ^{2} -4C=0]이면 점, [eqn: A ^{2} +B ^{2} -4C<0]이면 공집합.

B42E1 | 아폴로니우스의 원

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 거리의 비가 [eqn: a:b]([eqn: a!=b])인 점들의 모임은 원이 된다.

개념1

이를 아폴로니우스의 원이라 한다.

[eqn: RARROW] [eqn: rmbarAB]의 [eqn: a:b] 내분점, 외분점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 구하면 된다.

두 점 [eqn: rmA(-1,```0)], [eqn: rmB(4,```0)]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} : bar{BP} =3:2]를 만족하는

예제1

점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

두 점 [eqn: rm A(-2,```0)], [eqn: rm B(2,```8)]에 대하여 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rm bar{AP} : bar{BP} =3:1]을

예제2

만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이의 최댓값을 구하여라.

B43 | 두 원의 위치관계

두 원의 반지름을 [eqn: R], [eqn: r][eqn: (R>r)]이라 하고 두 원의 중심 사이의 거리를

개념1

[eqn: d]라 하면, 두 원의 위치관계는 다음과 같다.

① [eqn: d>R+r]이면 서로 만나지 않는다.

② [eqn: d=R{+r]이면 서로 외접한다.

③ [eqn: R-r<d<R+r]이면 서로 두 점에서 만난다.

④ [eqn: d=R-r]이면 서로 내접한다.

⑤ [eqn: d<R-r]이면 서로 만나지 않는다.

두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x+15=0], [eqn: (x-1) ^{2} +(y-4) ^{2} =r ^{2}]이

예제1

서로 외접할 때, 양수 [eqn: r]의 값을 구하여라.

두 집합 [eqn: A= left{ ( x, ```y) `|`x^2 + (y-1)^2 = 4 right}], [eqn: B= left{ (x, ```y) `|` (x-a) ^2 + y^2 = 1 right}]에

예제2

대하여 [eqn: A cap B = EMPTYSET]이 성립할 때, 양수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

두 원의 위치관계에 따라 공통접선의 개수가 변한다.

개념2

두 원 [eqn: (x-1)^2 + (y+3)^2 =9], [eqn: (x+7)^2 +(y-3)^2 = r^2]의 공통접선이 [eqn: 4]개일 때,

예제3

자연수 [eqn: r]의 최댓값을 구하여라.

B44 | 원과 직선과의 관계

원의 중심과 직선 사이의 거리를 [eqn: d]라 할 때, 반지름 [eqn: r]과 비교하여

개념1

① [eqn: d>r]이면 서로 만나지 않는다.

② [eqn: d=r]이면 서로 한 점에서 만난다. (접한다.)

③ [eqn: d<r]이면 서로 두 점에서 만난다.

원 [eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} =9]와 직선 [eqn: y=x+k]가 접하게 되는 [eqn: k]값을 구하여라.

예제1

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]와 직선 [eqn: y=-2x+k]가 두 점에서 만나게 되는

예제2

[eqn: k]값의 범위를 구하여라.

B44E1 | 원의 접선의 방정식

원의 접선 구하는 순서

개념1

① 주어진 조건에 따라서 ‘미지수를 포함한’ 직선의 방정식을 잡는다.

eg1) 기울기가 [eqn: -2]인 직선 : [eqn: y=-2x+b]

eg2) [eqn: (2,```1)]을 지나는 직선 : [eqn: y=m(x-2)+1]

② 이 직선이 원과 접하려면, 중심에서의 거리가 반지름과 같아야 하므로,

“[eqn: (직선에서```원의```중심까지의```거리)=(반지름)]”을 풀어 미지수를 구한다.

다음의 방정식을 구하여라.

예제1

(1) 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =5]에 접하는 기울기가 [eqn: 2]인 직선

(2) 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 접하고 [eqn: y]절편이 [eqn: 3]인 직선

(3) 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 접하며 점 [eqn: (2,```1)]을 지나는 직선

원 [eqn: x^2 +y^2 =r^2] 위의 점 [eqn: (x_1 ,```y_1 )]에서 원에 접하는 접선의 방정식은

개념2

[eqn: x_1 x+y_1 y=r^2]이다.

원 [eqn: x^2 +y^2 =4]와 제[eqn: 1]사분면에서 접하는 직선의 [eqn: x]절편을 [eqn: rmA],

예제2

[eqn: y]절편을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmtriangleOAB]의 넓이의 최솟값을 구하여라.

B45 | 원의 성질과 길이

대상에서부터 원의 중심까지의 거리를 먼저 구해본다.

개념1

※ 원이 나오는 문제는 일단 모든 것들을 중심에서부터 연결한다.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 [eqn: rmA(3,```0)]에서 그은 접선의 접점을 [eqn: rmP]라 할 때,

예제1

[eqn: rmAP]의 길이를 구하여라.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]와 직선 [eqn: x+y=2]의 두 교점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때,

예제2

[eqn: rmbarAB]의 길이를 구하여라.

원 [eqn: x^2 +y^2 -4x+6y-3=0] 위의 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: x-y+3=0] 위의

예제3

점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rmbarPQ]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

원 [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 = r^2] 밖의 점 [eqn: rmA(5,```4)]에서 원에 그은 두 접선이

예제4

서로 수직일 때, 양수 [eqn: r]의 값을 구하여라.

중심 사이의 거리가 [eqn: d]인 두 원의 반지름을 [eqn: R]과 [eqn: r]이라 할 때,

개념2

① 두 원의 공통외접선의 길이는 [eqn: sqrt {(R-r)^2 + d^2}]이다.

② 두 원의 공통내접선의 길이는 [eqn: sqrt {(R+r) ^{2} +d ^{2}}]이다.

두 원 [eqn: (x-4) ^{2} +(y-3) ^{2} =9], [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]의 공통내접선과

예제5

공통외접선의 길이를 각각 구하여라.

B46 | 두 원의 교점을 지나는 도형

두 원의 방정식 [eqn: x^2 +y^2 +ax+by+c=0], [eqn: x^2 +y^2 +a'x+b'y+c'=0]에

개념1

대하여 [eqn: (a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0]은 공통현의 방정식이다.

두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4], [eqn: x ^{2} +2x+y ^{2} -4y=0]의 두 교점을 지나는 직선이

예제1

[eqn: (4,```a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x=0], [eqn: x^2 + y^2 -4x+ky +1=0]의 교점을 지나는

예제2

직선과 직선 [eqn: 3x-y+1=0]이 평행할 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

두 원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y+1=0], [eqn: x^2 + y^2 -6x+5=0]의 공통현의

예제3

길이를 구하여라.

두 원의 방정식 [eqn: x^2 +y^2 +ax+by+c=0], [eqn: x^2 +y^2 +a'x+b'y+c'=0]에

개념2

대하여 [eqn: (x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c)+k(x ^{2} +y ^{2} +a'x+b'y+c)=0]은

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식이다. (단, [eqn: k!=-1])

두 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-6y+6=0], [eqn: x ^{2} +y ^{2} -8x-2y+8=0]의 두 교점과

예제4

점 [eqn: (0,```0)]을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

[도형의 이동]

B47 | 평행이동

점 [eqn: {rmP}(x,```y)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한

개념1

점 [eqn: rmP']은 [eqn: {rmP'}(x+a,```y+b)]이다.

방정식 [eqn: f(x,```y)=0]이 나타내는 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼,

개념2

[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(x-a,```y-b)=0]이다.

평행이동 [eqn: f:(x,```y) -> (x+a,```y-1)]에 의하여 점 [eqn: (3,```b)]가 점 [eqn: (-1,```-2)]로

예제1

옮겨진다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

직선 [eqn: y =ax+b]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동

예제2

하였더니 직선 [eqn: y =2x+3]과 [eqn: y]축 위의 점에서 수직으로 만나게 되었다.

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

평행이동 [eqn: f:(x,```y) -> (x+2,```y-3)]에 의하여 원 [eqn: x^2 +( y-1 ) ^2 = 9]를

예제3

평행이동하면 직선 [eqn: 3x-4y+k=0]와 접한다고 한다. [eqn: k]의 값을 구하여라.

B48 | 대칭이동

방정식 [eqn: f(x,```y)=0]이 나타내는 도형을

개념1

① [eqn: x]축에 대한 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(x,```-y)=0]이다.

② [eqn: y]축에 대한 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(-x,```y)=0]이다.

③ 원점에 대한 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(-x,```-y)=0]이다.

④ 직선 [eqn: y=x]에 대한 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(y,```x)=0]이다.

⑤ 직선 [eqn: y=-x]에 대한 대칭이동한 도형의 방정식은 [eqn: f(-y,```-x)=0]이다.

직선 [eqn: 2x+y+1=0]을 원점에 대하여 대칭이동한 후,

예제1

다시 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

직선 [eqn: x-y+2=0]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 도형은

예제2

원 [eqn: (x+1) ^{2} +(y-k) ^{2} =10]의 넓이를 이등분한다. 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

방정식 [eqn: f(x,```y)=0]이 나타내는 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼

예제3

평행이동한 후 직선 [eqn: y=x]에 대칭이동한 후 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한

도형의 방정식을 구하여라.

B48E1 | 점, 직선에 대한 대칭이동

좌표평면 위의 점 [eqn: (a,```b)]에 대하여

개념1

① 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]을 대칭이동 시키면 [eqn: (2a-x _{1} ,```2b-y _{1} )]이다.

② 도형 [eqn: f(x,```y)=0]을 대칭이동 시키면 [eqn: f(2a-x,```2b-y)=0]이다.

직선 [eqn: 2x+y=0]을 점 [eqn: (1,```2)]에 대하여 대칭이동한

예제1

도형의 방정식을 구하여라.

원 [eqn: (x-2)^2 +(y-1)^2 = 1]을 점 [eqn: (-1,``` -1)]에 대하여 대칭이동한

예제2

도형의 방정식을 구하여라.

점 [eqn: rmP]를 직선 [eqn: l]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP']은 다음을 이용하여 구한다.

개념2

① [eqn: bar{rm{PP']은 [eqn: l]과 수직이다.

② [eqn: rmP]와 [eqn: rmP']의 중점이 [eqn: l] 위에 있다.

[eqn: RARROW] ‘거리가 같다.’ 쓰면 복잡해지니까 그만두는 것이 좋다.

두 점 [eqn: rmA(6,```0)], [eqn: rmB(-2,```4)]이 직선 [eqn: y =ax+b]에 대하여 대칭일 때,

예제3

[eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

원 [eqn: x^2 +y^2 -4x-4y+7=0]을 직선 [eqn: y =ax+b]에 대하여 대칭이동한

예제4

도형의 방정식이 [eqn: x^2 +y^2 =c]라 한다. [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하여라.

B48E2 | 최단거리

대충 대칭시켜서 구한다.

개념1

두 점 [eqn: rmA(3,```3)], [eqn: rmB(7,```1)]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{BP}]의

예제1

최솟값을 구하여라.

두 점 [eqn: rmA(1,```2)], [eqn: rmB(2,```1)]과 [eqn: x]축 위의 임의의 점 [eqn: rmP], [eqn: y]축 위의

예제2

임의의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{AQ} + bar{QP} + bar{PB}]의 최솟값을 구하여라.

점 [eqn: rmA(5,```4)]와 직선 [eqn: y=x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP], [eqn: x]축 위를 움직이는

예제3

점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: rm bar{AP} + bar{PQ} + bar{QA}]의 최솟값을 구하여라.

B49 | 절댓값과 그래프

절댓값이 포함된 방정식의 그래프를 그릴 때는 구간을 나눠서 그려본다.

개념1

방정식 [eqn: y=f(x)]이 나타내는 그래프에 대하여

개념2

① [eqn: y=|f(x)|]의 그래프 : [eqn: x]축 아래쪽을 접어 올린다.

② [eqn: y=f(|x|)]의 그래프 : [eqn: y]축 왼쪽을 지우고 오른쪽을 대칭시켜 그린다.

③ [eqn: |y|=f(x)]의 그래프 : [eqn: x]축 아래쪽을 지우고 위쪽을 대칭시켜 그린다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y= {cases{x&(x ge 0)#-x&(x<0)}}]	(2) [eqn: y= {cases{x-1&(x ge 0)#x+1&(x<0)}}]

(3) [eqn: y=|x|]	(4) [eqn: y=|x-2|]

(5) [eqn: y=|x|-2]	(6) [eqn: y=x+|x|]

(7) [eqn: y=x+|2x|]	(8) [eqn: y= {cases{|x|&(|x|<1)#1&(|x|ge1)}}]

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제2

(1) [eqn: y= |x-2|+|x+1|]	(2) [eqn: y=|x-1|+|x-2|+ CDOTS +|x-6|]

(3) [eqn: y=|x|+|2x-4|]	(4) [eqn: y =| x+1| -|x-2|]

다음 방정식의 그래프를 그려라.

예제3

(1) [eqn: |x|+|y|=5]	(2) [eqn: |x|+2|y|=6]

함수 [eqn: y= |`|`x+1`| -1`|]의 그래프를 그려라.

예제4

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제5

(1) [eqn: y=|x^2 -2x|]	(2) [eqn: y=x ^{2} -2|x|]

(3) [eqn: y=|x ^{2} -4x-3|]	(4) [eqn: y=x ^{2} -4|x|-3]

B49E1 | 가우스함수와 그래프

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에 대하여

개념1

① [eqn: y=[f(x)]]의 그래프 : 정수부분을 그린다.

② [eqn: y=f(x)-[f(x)]]의 그래프 : 소수부분을 그린다.

③ [eqn: y=f([x])]의 그래프 : [eqn: x]가 정수일 때만 찍고 오른쪽으로 [eqn: 1]만큼 복사한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=[x]]	(2) [eqn: y=x-[x]]

(3) [eqn: y=[x ^{2} ]]	(4) [eqn: y=x ^{2} -[x ^{2} ]]

(5) [eqn: y=[x] ^{2}]

B50 | 식의 최대최소

식의 기하적 의미를 따져서 가질 수 있는 범위를 살펴본다.

개념1

※ ‘부등식의 영역’ 단원이 삭제되면서 같이 날아간 내용인데

나중에도 계속 필요한 내용이니까 살짝 해두도록 하자.

✔ 점 [eqn: {rmP}(a,```b)]에 대하여 다음 식의 의미를 말하여라.

(1) [eqn: { b} over {a }]	(2) [eqn: { b-3} over {a-2 }]	(3) [eqn: { a} over {b-1 }]	(4) [eqn: sqrt { a^2 +b^2}]

(5) [eqn: a^2 +b^2]	(6) [eqn: ab]	(7) [eqn: a+b]	(8) [eqn: 3a+b]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

예제1

(1) [eqn: x+y=4]를 만족할 때, 식 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최솟값을 구하여라.

(2) [eqn: x+y=4]를 만족할 때, 식 [eqn: x^2 +(y+1)^2]의 최솟값을 구하여라.

(3) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =5]를 만족할 때, 식 [eqn: y-2 over x+3]가 가지는 값의 범위를 구하여라.

(4) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]를 만족할 때, 식 [eqn: y-x]가 가지는 값의 범위를 구하여라.

(5) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]를 만족할 때, 식 [eqn: 2x+y]가 가지는 값의 범위를 구하여라.

(6) [eqn: (x-4)^2 +y^2 =4]를 만족할 때, 식 [eqn: x^2 +y^2]가 가지는 값의 범위를 구하여라.

(7) [eqn: (x-4)^2 +y^2 =4]를 만족할 때, 식 [eqn: { y} over {x }]가 가지는 값의 범위를 구하여라.