			원포인트 개념주입 C 방정식과 부등식

원포인트개념주입

개념1	✏ 허수계수를 가진 이차방정식이 실근을 가지면 [eqn: RARROW] 복소수의 상등으로 푼다. ✏ 허수계수를 가진 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 할 때, ① [eqn: D]의 부호를 통해 실근인지 허근인지의 여부를 알 수 없다. ② [eqn: D=0]이면 중근을 가진다.

방정식과 부등식

001. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ix+1=0]의 근을 구하여라. [eqn: i+- sqrt { 2}i]

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002. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (i-1)x^2 - 2 (k+i ) x+ i-5=0] 이 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: -][eqn: 3]
003. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(a+i)x+b+2i=0]의 해가 하나뿐일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}]) ④ ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2]

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개념2	✔ 순환할 것만 같은 함수 : 넉넉하게 대입해보자.

004. 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f _{k} (x)= LEFT ( {1+x} over {1-x} RIGHT ) ^{k}]일 때, [eqn: f_1` LEFT ( 1+i over1-i RIGHT )`+`f_2` LEFT ( 1+i over1-i RIGHT )^`+`cdots`+f_2010` LEFT ( 1+i over1-i RIGHT )``] 의 값은? ① ① [eqn: i-1``] ② [eqn: i+1``] ③ [eqn: -i``] ④ [eqn: -1``] ⑤ [eqn: 1``]

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005. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A LEFT ( n RIGHT ) ,```f LEFT ( n RIGHT )]을 다음과 같이 정의한다. 복소수 [eqn: z=f LEFT ( 10 RIGHT ) +f LEFT ( 11 RIGHT )]에 대하여 [eqn: z]의 켤레복소수 [eqn: bar{z}]라고 할 때, [eqn: z+ bar{z}]의 값을 구하여라. (가) [eqn: A LEFT ( n RIGHT ) =i ^{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} n] (나) [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =A LEFT ( 1 RIGHT ) +A LEFT ( 2 RIGHT ) + CDOTS +A LEFT ( n RIGHT )] [eqn: -6]
006. 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(n)]을 [eqn: f(n)=(1+i) ^{2n} +(1-i) ^{2n}] 이라고 정의할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) ④ ㄱ. [eqn: f(4)=32] ㄴ. [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: f(n)=0]이다. ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) GEQ 0]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄴ, ㄷ

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개념3	✔ 복소수 : [eqn: z=a+bi]라 놓고 대입 ※ 복소평면도 살짝 개념 잡아두면 좋겠다.

007. [eqn: z bar{z} =1]을 만족하는 복소수 [eqn: z]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ④ ㄱ. 복소수 [eqn: z]는 무수히 많다. ㄴ. [eqn: z ^{2} =1] ㄷ. [eqn: LEFT ( z- {1} over {z} RIGHT ) ^{2}]은 항상 실수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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008. [eqn: bar{z} =-z ^{2}]을 만족하는 복소수 [eqn: z]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [eqn: 4]
009. 세 복소수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: z]에 대하여 항상 실수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: baralpha], [eqn: barbeta], [eqn: barz]는 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ⑤ ㄱ. [eqn: alpha bar{beta } `+` bar{alpha } beta] ㄴ. [eqn: {bar{z} i} over {1+z} + {bar{z} i} over {1+ bar{z}}] ㄷ. [eqn: LEFT ( bar{z} +1 RIGHT ) LEFT ( bar{z} ` ^{2} - bar{z} +1 RIGHT ) + LEFT ( z+1 RIGHT ) LEFT ( z ^{2} -z+1 RIGHT )] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄴ ⑤ ㄱ, ㄷ

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개념4	✔ 근의 분리 : 그래프가 가질 수 있는 가능성을 면밀하게 조사한다.

010. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(a-2)x-2a+4=0]이 [eqn: -2<x<1]에서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는? ③ ① [eqn: a< -6] ② [eqn: -6<a<2] ③ [eqn: 2<a<3] ④ [eqn: 3<a<4] ⑤ [eqn: a>4]

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011. 이차방정식 [eqn: x^2 -4x +2a =0]의 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 [eqn: 1over2 le {beta }over{alpha } le 2]를 만족할 때, 실수 [eqn: a]의 범위를 구하여라. [eqn: 16 over 9 le ` a `le` 2]
012. 두 방정식 [eqn: x^2 +2mx+1=0] [eqn: cdots] ㉠, [eqn: x^2 +2x+m=0] [eqn: cdots]㉡ 은 각각 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㉠의 두 근이 ㉡의 두 근보다 항상 크기 위한 실수 [eqn: m`]의 값의 범위가 [eqn: a<m<b`]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하여라. [eqn: - 9over4]

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개념5	✔ 방정식과 정수조건 : 대충 잘 ㅜㅜ

013. 이차방정식 [eqn: x`^2 - left(`m+5 right)`x -m-1=0`]의 두 근이 정수가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: m`]의 값의 곱을 구하여라. [eqn: 13]

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014. 삼차방정식 [eqn: x^3`+`x^2`+kx`+`3`=`0`]의 세 근이 모두 정수일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하여라. [eqn: -5]
015. 삼차방정식 [eqn: x^3 - 3x^2 -(m-1) x + m+7 =0]의 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 모두 정수일 때, [eqn: m`]의 값을 구하여라. [eqn: 5]

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개념6	✔ [eqn: x ^{3} =1] 관련 문항들

016. [eqn: 0]이 아닌 세 복소수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: alpha + beta + gamma =0] (나) [eqn: {1}over{alpha} +{1}over{beta} + {1}over{gamma} = 0] 이때, [eqn: {gamma}over{alpha} + bar{left(alpha over beta right)}]의 값은? (단, [eqn: bar{left(alpha over beta right)}]는 [eqn: alpha over beta]의 켤레복소수이다.) ② ① [eqn: -i] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: i] ⑤ [eqn: 1]

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017. 방정식 [eqn: x ^{3} +1=0]의 한 근을 [eqn: omega]라 할 때, 다음 식의 값을 구하여라. [eqn: 36``] [eqn: LEFT ( omega + {1} over {omega } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( omega ^{2} + {1} over {omega ^{2}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( omega ^{3} + {1} over {omega ^{3}} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + LEFT ( omega ^{18} + {1} over {omega ^{18}} RIGHT ) ^{2}]
018. [eqn: x+ {1} over {x} =-1]일 때, 양의 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: P(n)]을 [eqn: P(n)=(x ^{2} +x) ^{n} +(x ^{2} +1) ^{n} +(x+1) ^{n}] 이라 하자. [eqn: P(1)+P(2)+P(3)+ CDOTS +P(999)]의 값을 구하여라. [eqn: -3]

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개념7	✏ [eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: cdots]이면 [eqn: f(g(x))=0]의 근은 [eqn: g(x)]가 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: cdots]가 되는 [eqn: x]값들이다. (즉, [eqn: g^-1 (alpha)], [eqn: g^-1 (beta)], [eqn: cdots]들이다.)

019. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x) =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라고 할 때, [eqn: alpha + beta = 6]이 성립한다. 이 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f(2x-1) =0]의 두 근의 합은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

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020. 이차부등식 [eqn: f(x)>0]의 해가 [eqn: -2<x<5]일 때, 부등식 [eqn: f(2x-1)ge 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는? ⑤ ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]
021. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하자. [eqn: {1} over {alphabeta}], [eqn: {1} over {betagamma}], [eqn: {1} over {gammaalpha}]를 세 근으로 하는 삼차방정식을 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +3x-1=0]이라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은? ① ① [eqn: 14] ② [eqn: 15] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 17] ⑤ [eqn: 18]

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개념8	✏ 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]인 삼차방정식은 [eqn: a(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)=0]이라 쓸 수 있다.

022. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 사차다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=0,```f(1)=1,```f(2)=2,```f(3)=3] 이 성립할 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -3x -4]로 나눈 나머지를 구하여라. [eqn: x+24]

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023. 삼차다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)= {3} over {2}], [eqn: f(2)= {4} over {3}], [eqn: f(3)= {5} over {4}], [eqn: f(4)= {6} over {5}] 을 만족할 때, [eqn: f(5)]의 값은? ④ ① [eqn: {14} over {13}] ② [eqn: {15} over {13}] ③ [eqn: {16} over {15}] ④ [eqn: {17} over {15}] ⑤ [eqn: {7} over {6}]
024. 이차방정식 [eqn: x^2 - x + 2 =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라고 할 때, [eqn: f( alpha )= 2- beta], [eqn: f( beta) = 2 - alpha] 를 만족하는 이차방정식 [eqn: f(x) =0]의 두 근의 합은? (단, [eqn: f(x)]의 [eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 1]이다.) ① ① [eqn: 0] ② [eqn: 1] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: 4]

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개념9	✔ 항상 성립하는 부등식 ① 일단은 그래프가 어떻게 생기는지 고민. ② 잘 안 되면 판별식 조사해본다.

025. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: -5 le (a-3) x + b le x^2 -x]가 성립할 때, 점 [eqn: (a,```b)]가 나타내는 선분의 길이는 [eqn: p over q]이다. 서로소인 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은? ② ① [eqn: 15] ② [eqn: 23] ③ [eqn: 45] ④ [eqn: 75] ⑤ [eqn: 95]

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026. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: -x^2 + 2(a-1) x +2a-1 < y < x^2 - 2 (a-3) x + 9]를 만족시키는 [eqn: y]가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위가 [eqn: m < a< n]일 때, [eqn: n -m]의 값을 구하면? ② ① [eqn: root11] ② [eqn: root13] ③ [eqn: root15] ④ [eqn: root17] ⑤ [eqn: root19]
027. 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -xy+ay+3>0] 이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는? ③ ① [eqn: -5 <a< -4] ② [eqn: -4 <a < -3] ③ [eqn: -3 <a<3] ④ [eqn: 3<a<5] ⑤ [eqn: 5<a<6]