[복소수와 이차방정식]

B14 | 허수의 정의

제곱하여 [eqn: -1]이 되는 실수가 아닌 수를 허수단위라 하고 [eqn: i]로 나타낸다.

개념1

따라서 [eqn: i= sqrt {-1}] 이고 [eqn: i ^{2} =-1]이다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+bi]의 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 하고,

개념2

[eqn: a]를 실수부분, [eqn: b]를 허수부분이라 한다. 실수가 아닌 복소수를 허수라 한다.

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 복소수 [eqn: a+bi]에 대하여 허수부분의 부호만 바꾼

개념3

복소수 [eqn: a-bi]를 [eqn: a+bi]의 켤레복소수라 하고, 이를 기호로 [eqn: bar{a+bi}]로 나타낸다.

다음을 허수단위 [eqn: i]를 이용하여 나타내어라.

예제1

(1) [eqn: sqrt {-2}]	(2) [eqn: sqrt {-9}]

(3) [eqn: sqrt {-12}]	(4) [eqn: sqrt {-9} + sqrt {-4}]

다음을 간단히 하여라.

예제2

(1) [eqn: i ^{2}]	(2) [eqn: i ^{3}]

(3) [eqn: i ^{4}]	(4) [eqn: sqrt {-1} sqrt {-1}]

(5) [eqn: sqrt {-2} sqrt {-8}]	(6) [eqn: sqrt {-2} sqrt {3}]

음수의 제곱근

개념4

[eqn: a>0]일 때, [eqn: -a]의 제곱근은 [eqn: +- sqrt { a} i]이다.

B14E1 | 제곱근과 부호

[eqn: a<0], [eqn: b<0]이면 [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]이고 그 외에는 [eqn: sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {ab}]이다.

개념1

[eqn: a>0], [eqn: b<0]이면 [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}]이고 그 외에는 [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} = sqrt {{a} over {b}}]이다.

개념2

eg) 다음이 성립하지 않는 예를 들어라.

(1) [eqn: sqrt {a ^{2}} =a]	(2) [eqn: sqrt {a ^{2} b} =a sqrt {b}]

(3) [eqn: sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {ab}]	(4) [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} = sqrt {{a} over {b}}]

✔ 역명제에서는 등호조건도 주의하자.

① [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]이면 [eqn: a le 0], [eqn: b le0]이다.

② [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- {sqrt {a}} over {sqrt {b}}]이면 [eqn: a ge0], [eqn: b<0]이다.

[eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}]를 만족하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 .

예제1

[eqn: sqrt {(a-b) ^{2}} - sqrt {b ^{2}} +|a+2|]을 간단히 하여라.

[eqn: sqrt {1-x} sqrt {x-3} =- sqrt {-x ^{2} +4x-3}]를 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하여라.

예제2

B15 | 허수의 연산

✔ 복소수의 사칙연산 : [eqn: i]를 문자처럼 다루다가 [eqn: i^2] 나오면 [eqn: -1]로 처리.

다음을 간단히 하여라.

예제1

(1) [eqn: (2-i)(-3+4i)]	(2) [eqn: { 3+2i} over {2+i }]

(3) [eqn: (1+i) ^{3}]	(4) [eqn: left( {1-i} over {1+i} right) ^{2}]

B15E1 | 허수의 순환성

[eqn: i ^{4} =1]이므로 [eqn: i^n]을 처리할 수 있다.

개념1

※ [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: i], [eqn: -i] 외에도 몇 번 곱하다 보면 [eqn: 1]이 나오는 복소수가 존재한다.

✔ 어떤 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z^n =1]이면 [eqn: 1+z+z ^{2} + CDOTS +z ^{n-1} =0]이다.

다음을 계산하여라.

예제1

(1) [eqn: i+i ^{2} +i ^{3} +i ^{4}]

(2) [eqn: 1+i+i ^{2} + CDOTS +i ^{100}]

(3) [eqn: 1+ 1over i + 1over i^2 + 1over i^3 +cdots cdots+ 1over i^100]

(4) [eqn: {1} over {i ^{99}}]

다음을 계산하여라.

예제2

(1) [eqn: LEFT ( {1-i} over {1+i} RIGHT ) ^{20} - LEFT ( {1+i} over {1-i} RIGHT ) ^{21}]

(2) [eqn: LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{4} + LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{6} + LEFT ( {1+i} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{8}]

(3) [eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} + CDOTS +30i ^{30}]

[eqn: alpha = {-1+ sqrt {3} i} over {2}]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

예제3

(1) [eqn: alpha ^{2}]	(2) [eqn: alpha ^{3}]

(3) [eqn: alpha ^{4}]	(4) [eqn: alpha ^{2} + alpha +1]

(5) [eqn: 1+ alpha + alpha ^{2} + CDOTS + alpha ^{15}]

B16 | 복소수

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 복소수 [eqn: a+bi]에서 [eqn: b=0]이면 실수가 되고,

개념1

[eqn: a=0], [eqn: b!=0]인 경우를 순허수라 한다.

✔ ‘제곱해서 음수가 된다.’와 ‘순허수’는 서로 동치이다.

[eqn: z=(x ^{2} -2x-3)+(x+1)i]가 순허수가 되게 하는 실수 [eqn: x]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: LEFT { a(1+i)+b(2-i) RIGHT }^2 =-1]을 만족하는 실수 [eqn: a], [eqn: b`]의 값을 구하여라.

예제2

복소수의 상등

개념2

[eqn: a+bi=c+di]일 때, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]가 실수이면 [eqn: a=c], [eqn: b=d]이다.

※ 복소수는 무조건 [eqn: (실수)+(실수)i]의 꼴로 정리하면 좋다.

cf) 두 복소수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+yi=0]이면 [eqn: x=y=0]인가?

[eqn: (2+3i) x- (1-2i) y = 5+4i]를 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하여라.

예제3

[eqn: { x} over {1+2i }+ { y} over 1-2i = { 3} over {3-i }]를 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하여라.

예제4

켤레복소수에 대한 다음의 성질들을 증명해보자.

개념3

(1) [eqn: barbarz`=z]	(2) [eqn: barz =z]이면 [eqn: z]는 실수이다.

(3) [eqn: z+barz]는 실수이다.	(4) [eqn: z`cdotbarz]는 실수이다.

(5) [eqn: bar{z _{1} +z _{2} }=barz _{1} `+barz _{2}]	(6) [eqn: bar{z _{1} cdot z _{2}} = bar{z _{1}} ` CDOT bar{z _{2}}]

※ 켤레가 나오면 [eqn: z=a+bi]([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 놓고 푼다.

[eqn: (1+i`)z+3 bar{z} =11+i]를 만족하는 복소수 [eqn: z]를 구하여라.

예제5

cf) [eqn: bar{z-zi} =1+3i]를 만족하는 복소수 [eqn: z]를 구하여라.

B17 | 이차방정식의 풀이

이차방정식의 근의 공식

개념1

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=0]의 근은 [eqn: { -b+- sqrt { b^2 -4ac} } over { 2a}]이다.

※ 증명도 해보자. 완전제곱식을 만들면 된다.

※ 일반적으로 이차방정식의 계수는 실수, 근은 복소수의 범위에서 생각한다.

✔ 이차방정식의 근 중 실수인 것을 실근, 허수인 것을 허근이라 한다.

✔ 이차방정식을 보면 일단

① 인수분해를 시도한다.

② 잘 안 되면 우울해하면서 근의 공식.

✔ 짝수 근의 공식도 외워둬 : [eqn: { -b'+- sqrt { (b')^2 -ac} } over {a }]

판별식과 근의 판별

개념2

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 실수인 이차방정식 [eqn: ax^2 +bx+c=0]에서 [eqn: D=b^2 -4ac]라 하면

(1) [eqn: D>0]이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(2) [eqn: D=0]이면 중근을 갖는다.

(3) [eqn: D<0]이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

※ 이차방정식이 실근을 가질 조건은 [eqn: D ge0]이다.

※ 중근은 ‘하나의 실근’이다. 가끔 ‘서로 같은 두 실근’같은 표현을 보는데

출타한 개념이니 조심하자.  [eqn: RARROW] ‘[eqn: n]차방정식의 근은 [eqn: n]개다.’ 때문이긴 한데

나중에 근의 개수라던가 하는 문제를 풀 때는 그렇게 안 할꺼면서...

※ 허수계수를 가진 이차방정식 : 근의 공식은 가능하지만 판별식은 불가능하다.

보통 ‘실근을 가진다.’의 문제이고, 복소수의 상등을 이용하여 해결한다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (2+i)x^2 +(1+2i)x+a+i=0]이 실근을 가질 때,

예제2

실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

cf) 이차방정식 [eqn: ix ^{2} +(1+i)x+1=0]을 풀어라.

B18 | 이차방정식의 근과 계수와의 관계

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

개념1

① [eqn: alpha+beta=- {b} over {a}]

② [eqn: alphabeta= {c} over {a}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x-`2`=`0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때~

예제1

(1) [eqn: alpha^2`+`beta^2]	(2) [eqn: beta over alpha`+`alpha over beta]

(3) [eqn: (alpha`-`1)(beta`-`1)]	(4) [eqn: (alpha-beta)^2]

(5) [eqn: |alpha-beta|]	(6) [eqn: alpha^3 +beta^3]

이차방정식 [eqn: x^2`-`12x`+`k`=`0]의 두 근의 비가 [eqn: 1:2]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

예제2

합이 [eqn: A], 곱이 [eqn: B]인 두 수는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -Ax+B=0]의 두 근이다.

개념2

연립방정식 [eqn: {cases{x ^{2} +y ^{2} =20#x+y=8}}]를 풀어라.

예제1

[eqn: x^2 -x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha -1], [eqn: beta-1]을 두 근으로 하고

예제2

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 써라.

대각선의 길이가 [eqn: 10]이고 둘레의 길이가 [eqn: 28]인 직사각형의

예제3

가로와 세로의 길이를 구하여라.

켤레근 : 계수가 실수인 이차방정식의 근이 허수 [eqn: z]일 때,

개념3

켤레복소수 [eqn: barz]도 그 이차식의 근이 된다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1over{1+i]일 때,

예제4

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하여라.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -Ax+B=0]에서 [eqn: A]와 [eqn: B]의 부호에 의해

개념4

근들의 부호를 판별할 수 있다.

[eqn: x^2 -2(m-1)x-m+3=0]의 두 근이 모두 양수일 때,

예제5

[eqn: x^2 +4(a-3)x +a-5=0]의 두 근은 서로 부호가 다르고,

예제6

음수 근의 절댓값이 양수 근보다 클 때,

[이차방정식과 이차함수]

B19 | 이차함수의 그래프1 (꼭짓점)

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프는

개념1

[eqn: y=ax^2 +bx+c]를 [eqn: y=a(x-p)^2 +q]의 꼴로 고칠 수 있으므로

[eqn: y=ax^2]의 그래프를 [eqn: (p,```q)]만큼 평행이동 시킨 그래프이다.

※ [eqn: (p,```q)]는 [eqn: LEFT ( - {b} over {2a} ,```- {b ^{2} -4ac} over {4a} RIGHT )]이다.

※ [eqn: a>0]이면 [eqn: x=p]에서 최솟값 [eqn: q]를 가지고, 최댓값은 없다.

[eqn: a<0]이면 [eqn: x=p]에서 최댓값 [eqn: q]를 가지고, 최솟값은 없다.

이차함수 [eqn: y=x^{2}+2ax+a+1]의 그래프의 꼭짓점이 직선 [eqn: y=x+1] 위에~

예제1

[eqn: 0 le x le 3]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)=3x^2 -6x+k]의 최댓값이 [eqn: 4]일 때,

예제2

[eqn: f(x)]의 최솟값을 구하여라.

이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax+4a-4]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때,

예제3

[eqn: m]의 최댓값을 구하여라.

[eqn: -2 le x le 2]에서 [eqn: y= LEFT ( x ^{2} -2x-2 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( x ^{2} -2x-2 RIGHT ) +1]가

예제4

가지는 값의 범위를 구하여라.

※ 꼭짓점의 자취에 대하여 알아 놓자. 여기저기 많이 쓰인다.

eg1) 함수 [eqn: y=x^2 -2mx+3m+4]의 꼭짓점의 자취의 방정식을 구하여라.

eg2) 함수 [eqn: y=x ^{2} +4kx+12k]의 꼭짓점의 자취의 방정식을 구하여라.

B20 | 이차함수의 그래프2 (절편)

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]가 [eqn: y=a(x-alpha)(x-beta)]로 나타난다면,

개념1

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 그래프의 [eqn: x]절편은 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]이다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=x ^{2} -5x+6]	(2) [eqn: y=x ^{2} -2x-8]

(3) [eqn: y=x ^{2} -9]	(4) [eqn: y=x ^{2} -5x]

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제2

(1) [eqn: y=x ^{2} -4x+4]	(2) [eqn: y=x ^{2} +2x+1]

(3) [eqn: y=x ^{2} +2]	(4) [eqn: y=x ^{2} +2x+4]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는

예제3

두 [eqn: x]절편 사이의 거리가 [eqn: 6]이고 [eqn: x=2]에서 최솟값을 가진다.

[eqn: f(x)]의 최솟값을 구하여라.

B21 | 판별식과 이차함수의 그래프

이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c]에서 [eqn: D=b^2 -4ac]라 할 때, 함수의 그래프는

개념1

① [eqn: D>0]이면 [eqn: x]축과 두 점에서 만난다.

② [eqn: D=0]이면 [eqn: x]축에 접한다. (한 점에서 만난다.)

③ [eqn: D<0]이면 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} -4x+k]가 [eqn: x]축과 접할 때의 [eqn: k]값을 구하여라.

(2) 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2}+a]가 [eqn: x]축과 만나도록 하는 [eqn: a]값의 범위를 구하여라.

B22 | 그래프의 교점과 방정식의 근

[eqn: f(x)=0]의 실근은 [eqn: y=f(x)] 그래프의 [eqn: x]절편이다.

개념1

[eqn: f(x)=g(x)]의 실근은 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)] 두 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

개념2

※ 허근은 그래프 상에 드러나지 않는다. 근이 없는 것으로 보면 된다.

두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x^2 +px+q]의 그래프는

예제1

직선 [eqn: y=3x-1]과 서로 다른 두 점에서 만난다. 이 중 한 점의 [eqn: x]좌표가

[eqn: 1-sqrt3]일 때, [eqn: p], [eqn: q]의 값을 구하여라.

이차함수 [eqn: y=-x^2 +4x+2]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+1]의

예제2

두 교점 사이의 거리를 구하여라.

※ 직선과의 두 교점 사이의 거리 [eqn: |beta-alpha| sqrt {1+m ^{2}}]은 패턴으로 기억해 두자.

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +4x-3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+k]가 두 점에서 만날 때,

예제3

그 두 교점 사이의 거리가 [eqn: 4 sqrt {5}]라고 한다. 이 때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

직선과의 위치관계

개념3

[eqn: RARROW] 연립해서 판별식 때려본다.

이차함수 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=x+k]가 접할 때의 [eqn: k]값을 구하여라.

예제4

점 [eqn: (-3,```1])을 지나며 [eqn: y=-x ^{2} +2x+5]의 그래프와 접하는

예제5

두 직선의 기울기의 곱을 구하여라.

B22E1 | 이차방정식의 근의 분리

이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 근의 위치를 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를

개념1

이용하여 추적할 수 있다. 이 때 이차함수의 ① 축의 위치, ② 판별식,

③ 경계의 함숫값이 가지는 값의 범위를 나타내본다.

근의 분리의 기본형태

개념2

이차방정식 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c=0]([eqn: a>0])에서 [eqn: D= b^2 -4ac]라고 할 때,

① 두 근이 모두 [eqn: p]보다 크다. [eqn: LRARROW] [eqn: D>0], [eqn: f(p)>0], [eqn: - {b} over {2a} >p]

② 두 근이 모두 [eqn: p]보다 작다. [eqn: LRARROW] [eqn: D>0], [eqn: f(p)>0], [eqn: - {b} over {2a} <p]

③ 두 근 사이에 [eqn: p]가 있다. [eqn: LRARROW] [eqn: f(p) <0]

④ 두 근이 [eqn: p], [eqn: q]([eqn: p< q]) 사이에 있다. [eqn: LRARROW] [eqn: D>0], [eqn: f(p)>0], [eqn: f(q)>0], [eqn: p< - {b} over {2a} <q]

이차방정식 [eqn: x^2 - 2kx+ 2 - k =0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 작을 때,

예제1

실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

이차방정식 [eqn: x^2 - kx+ 1 + 2k=0]의 두 근 사이에 [eqn: 1]이 있을 때,

예제2

실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

※ 근의 분리는 기본적으로 그래프가 어떻게 생기는가를 조사하는 것이다.

그래프 많이 그려보자.

※ 일반적으로 대칭축이 보이면 쉬운 문제가 된다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+m=0]의 한 근만이 이차방정식

예제3

[eqn: x ^{2} -3x+2=0]의 두 근 사이에 있을 때, [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-p=0]의 한 근을 반올림한 것이 [eqn: 1]이다.

예제4

[eqn: p]의 값의 범위를 구하여라.

이차방정식 [eqn: ax ^{2} -2ax+b=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: -1< alpha <0]이다.

예제5

[eqn: beta]의 값의 범위를 구하여라.

[여러가지 방정식과 부등식]

B23 | 고차방정식

고차방정식의 풀이

개념1

① 일단 근 하나 찾고(무책임)

② [eqn: f(x)=0]에서 [eqn: a]가 근이면 [eqn: (x-a)g(x)=0]으로 인수분해 한다.

※ 애초에 근을 하나를 알아야 풀이를 계속해 나갈 수 있기 때문에

근본적으로 고차방정식을 푸는 방법을 알게 된 것은 아니다.

다음 방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: x^3`-`x`-`6 =0]

(2) [eqn: x^3`-`x^2`+`x`-`1`=`0]

방정식 [eqn: x^3`-`ax^2`+`1`=`0]의 한 근이 [eqn: 1]일 때,

예제2

상수 [eqn: a]의 값과 나머지 두 근을 구하여라.

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} - LEFT ( 1+2k RIGHT ) x+2k=0]이 두 개의 실근을 갖도록

예제3

하는 실수 [eqn: k]의 값들의 합을 구하여라.

B24 | 삼차방정식의 근과 계수와의 관계

삼차방정식 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 하면,

개념1

① [eqn: alpha+beta+gamma=- {b} over {a}]

② [eqn: alphabeta+betagamma+gammaalpha= {c} over {a}]

③ [eqn: alphabetagamma=- {d} over {a}]

방정식 [eqn: x^3 -4x^2 +x-6=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때,

예제1

(1) [eqn: alpha^2 +beta^2 +gamma^2]

(2) [eqn: alpha^3 +beta^3 +gamma^3]

[eqn: x^3 +ax+1=0``]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때,

예제2

[eqn: beta+gamma over alpha^2], [eqn: gamma+alpha over beta^2], [eqn: {alpha + beta } over {gamma ^{2}}]를 세 근으로 하는 삼차방정식을 써라.

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +3x+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+2i] 일 때,

예제3

[eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.)

B24E1 | 다항식의 구성

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(alpha)=0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-alpha)]를 인수로 가진다.

개념1

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 사차 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여

예제1

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1], [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=3]이 성립한다. ~

삼차 다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)= {3} over {2}], [eqn: f(2)= {4} over {3}], [eqn: f(3)= {5} over {4}], [eqn: f(4)= {6} over {5}]을 만족할 때,

예제2

이차방정식 [eqn: x^2 -2x-4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

예제3

[eqn: f(alpha)=2beta], [eqn: f(beta)=2alpha], [eqn: f(2)=2]를 만족시키는 [eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: f`(x)] ~

B24E2 | 변형된 근을 가지는 다항식

이차방정식 [eqn: x^2 -2x+3=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

예제1

[eqn: alpha+1], [eqn: beta+1]을 두 근으로 하는 [eqn: x]에 대한 이차방정식 ~

삼차방정식 [eqn: x^3 -3x^2 +2=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]라 할 때,

예제2

[eqn: 1overalpha], [eqn: 1overbeta], [eqn: 1overgamma]을 세 근으로 하는 삼차방정식 ~

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f`(x)=0]의 두 근의 합이 [eqn: 3]일 때,

예제3

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f`(2x+1)=0]의 두 근의 곱을 구하여라.

B25 | 1의 세제곱근

[eqn: x ^{3} =1]의 허근 중 하나를 [eqn: omega]라 한다. 오메가라 읽는다.

개념1

[eqn: w= {-1+- sqrt {3} i} over {2}]이다.

[eqn: omega]에 대하여 다음이 성립한다.

개념2

① [eqn: omega^3 =1]	② [eqn: omega^2 =baromega]

③ [eqn: {1} over {omega} =omega ^{2}]	④ [eqn: 1+omega+omega^2 =0]

⑤ [eqn: omega baromega =1]	⑥ [eqn: omega + bar{omega } =-1]

※ 그게 그거인 식들도 있지만 자주 보이는 형태들이니 잘 확인해두자.

[eqn: x ^{3} `=`1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: omega ^{2000}]	(2) [eqn: (1+ omega )(1+ omega ^{2} )]

(3) [eqn: omega ^{4} `+` omega ^{2} `+`1]	(4) [eqn: 1+ omega + omega ^{2} + omega ^{3} + omega ^{4} + omega ^{5}]

(5) [eqn: omega ^{100} `+` {1} over {omega ^{100}}]	(6) [eqn: 1+ {1} over {omega} +{1}over{ omega ^{2} }+ CDOTS +{1}over{ omega ^{100} }]

(7) [eqn: {omega } over {bar{omega }} + {bar{omega }} over {omega }]	(8) [eqn: omega ^{20} +{bar omega } ^{10} +1]

[eqn: x ^{3} =-1]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, 다음의 사실들을 증명해보자.

개념2

(1) [eqn: omega^6 =1]	(2) [eqn: 1+omega+omega^2 +omega^3 +omega^4 +omega^5 =0]

(3) [eqn: bar{omega } =-omega^2]	(4) [eqn: {1} over {omega} =- omega ^{2}]

(5) [eqn: bar{omega } =- omega ^{2}]	(6) [eqn: {1} over {omega} =- omega ^{2}]

B26E1 | 복이차방정식

복이차방정식

개념1

① 짝수 차수의 항만으로 이루어진 방정식을 복이차식방정식이라 한다.

② [eqn: x ^{2}]을 치환해서 인수분해가 되면 두 이차식의 곱으로 쓸 수 있다.

③ 위 방법으로 인수분해 되지 않는다면 “[eqn: x ^{4}]항과 상수항”에 맞는

완전제곱식을 만들어 [eqn: A ^{2} -B ^{2}]의 꼴로 쓰고 인수분해 한다.

복소수 범위에서 다음 방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: x ^{4} -2x ^{2} -3=0]

(2) [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1=0]

복이차방정식 [eqn: x ^{4} +ax ^{2} +b=0]이 서로 다른 네 실근을 가질 조건을 말하여라.

예제2

※ 사실 어려운 문제라서 생각없으면 대충 ‘치환해서 두 양수근’하고 넘어가자.

B26E2 | 상반방정식

상반방정식

개념1

① 내림차순으로 쓸때, 계수들이 가운데 항을 중심으로

대칭으로 나타나는 방정식을 상반방정식이라 한다.

② [eqn: 4]차 상반방정식 : 양변을 [eqn: x ^{2}]으로 나눈 후 [eqn: x+ {1} over {x}]를 치환하여 푼다.

③ [eqn: 5]차 상반방정식 : [eqn: x=-1]이 항상 근이 되므로 [eqn: (x+1)]로 나누고 ㄱㄱ

다음 방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: x ^{4} +2x ^{3} +3x ^{2} +2x+1=0]

(2) [eqn: x ^{5} +3x ^{4} -4x ^{3} -4x ^{2} +3x+1=0]

[eqn: x ^{5} +3x ^{4} -4x ^{3} -4x ^{2} +3x+1=0]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때,

예제2

[eqn: alpha+ {1} over {alpha}]의 값을 모두 구하여라.

B26E3 | 실수 조건 부정방정식

실수 조건 부정방정식

개념1

한 문자에 대하여 정리한 후 [eqn: D ge0]을 사용한다.

※ 부정방정식의 상황 : 미지수의 개수보다 식의 개수가 적을 때

방정식 [eqn: LEFT ( x-3y-4 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x+y+4 RIGHT ) ^{2} =0]을 만족하는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y] ~

예제1

방정식 [eqn: x^2 -4xy +5y^2 +2y+1 =0]을 만족하는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y] ~

예제2

B26E4 | 정수 조건 부정방정식

미지수의 값이 자연수나 정수라는 조건이 있을 때,

개념1

[eqn: (일차식)times(일차식)=(정수)] 모양으로 만들어본다,

✔ 잘 안 되면 한 문자에 대하여 정리해본다.

방정식 [eqn: xy-x-3y=2]를 만족시키는 정수 [eqn: x], [eqn: y] ~

예제1

방정식 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} = {1} over {4}]을 만족하는 양의 정수 [eqn: x], [eqn: y] ~

예제2

방정식 [eqn: 1overx+1 + 1overy + 1over(x+1)y = 1over2]을 만족시키는 정수 [eqn: x], [eqn: y] ~

예제3

B26E5 | 절댓값이 포함된 방정식

절댓값 안쪽이 [eqn: 0]이 되는 점들을 기준으로 범위를 나눠서 푼다.

개념1

[eqn: RARROW] 근은 나눈 범위 안쪽의 것만 유효하다.

✔ 가끔 제곱해서 푼다. [eqn: |A| ^{2} =A ^{2}]

✔ 절댓값의 의미(원점에서부터의 거리)를 더 가끔 이용한다.

[eqn: RARROW] [eqn: |a-b|]는 수직선상에서 [eqn: a]에서 [eqn: b]까지의 거리이다.

※ 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그려서 푸는 쪽이 바람직하다.

다음 방정식을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 2|x-4|=x]

(2) [eqn: 2|x-4|=|x+2|]

(3) [eqn: x ^{2} + LEFT | 3x-2 RIGHT | =2]

[eqn: cases{ {2} over {x} + {6} over {y} =-1# { 4} over {x }- { 3} over {y }=3 }][eqn: {cases{x+y+z=0#2x-z=2#2x-y+z=1}}]

B27 | 연립방정식

기본적으로 식 하나를 이용하여 문자 하나를 소거할 수 있다.

개념1

[eqn: RARROW] 미지수 [eqn: n]개의 값을 결정하기 위해서 [eqn: n]개의 등식이 필요하다.

다음 연립방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: {cases{2x-3y=5#x+3y=7}}]	(2) [eqn: {cases{x+y=1#x ^{2} -xy+y ^{2} =19}}]

연립방정식             을 풀어라.

예제2

연립방정식              을 풀어라. (원칙적으로 교과외)

예제3

B27E1 | 부정과 불능

연립일차식에서 두 방정식이 나타내는 직선의 기울기가 같을 때,

개념1

부정이나 불능이 일어난다. 그렇지 않은 일반적인 경우 [eqn: 1]쌍의 근을 가진다.

연립방정식 [eqn: {cases{ax+2y=3#4x+by=2}}]에 대하여 다음을 구하여라.

예제1

(1) 해가 무수히 많을 조건

(2) 해가 존재하지 않을 조건

B27E2 | 상수항 소거

연립이차식에서 상수항을 소거해서 푸는 풀이가 존재한다.

개념1

※ 생소할 수 있는 풀이이고 다르게 잘 안 풀리므로 기억해 두도록 하자.

다음 연립방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: {cases{x ^{2} -xy=12#xy-y ^{2} =4}}]	(2) [eqn: cases{2x^2 -3xy+y^2 =3 # x^2 +2xy-3y^2 =5}]

B27E3 | 공통근

두 방정식의 공통근은 두 방정식을 모두 만족시키는 근이므로,

개념1

두 방정식을 연립시켜서 풀면 된다.

✔ 두 이차방정식 [eqn: f(x)=0], [eqn: g(x)=0]이 공통근 [eqn: alpha]를 가진다면

두 식을 이용, 적당히 이차항을 소거한 방정식도 [eqn: alpha]를 근으로 가지게 된다.

[eqn: x]에 대한 두 방정식 [eqn: x ^{2} -3x+a=0]과 [eqn: x ^{2} -6x+8=0]이 공통근을 가질 때,

예제1

[eqn: a]의 값을 모두 구하여라.

두 이차방정식 [eqn: x ^{2} +kx+3=0], [eqn: x ^{2} +3x+k=0]이 오직 하나의 공통근을 가질 때,

예제2

[eqn: k]의 값과 공통근을 구하여라.

B27E4 | 대칭형과 교환형

대칭형 ; [eqn: x+y]의 값과 [eqn: xy]값을 구해본다.

개념1

※ 미지수가 3개이면 [eqn: x+y+z], [eqn: xy+yz+zx], [eqn: xyz]의 값을 구해본다.

다음 연립방정식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: {cases{xy+x+y=-5#x ^{2} +xy+y ^{2} =7}}]	(2) [eqn: {cases{x ^{2} +y ^{2} +x+y=2#x ^{2} +xy+y ^{2} =1]

교환형 ; 대충 빼본다. [eqn: (x-y)]가 인수로 나올지니..

개념2

다음 연립방정식을 풀어라.

예제2

(1) [eqn: {cases{x ^{2} +2y=1#y ^{2} +2x=1}}]	(2) [eqn: {cases{x ^{2} +x-y=1#y ^{2} +y-x=1}}]

B28 | 부등식의 성질

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

개념1

① [eqn: a>b], [eqn: b>c]이면 [eqn: a>c]이다.

② [eqn: a>b]이면 [eqn: a+c>b+c], [eqn: a-c>b-c]이다.

③ [eqn: a>b], [eqn: c>0]이면 [eqn: ac>bc], [eqn: {a} over {c} > {b} over {c}]이다,

④ [eqn: a>b], [eqn: c<0]이면 [eqn: ac<bc], [eqn: {a} over {c} < {b} over {c}]이다.

※ 기본 성질로 보다는 그래프 상에서 함숫값의 비교로 다루자.

다음을 증명하여라.

예제1

(1) [eqn: 0<a<b]이면 [eqn: a ^{2} <b ^{2}]이다.

(2) [eqn: a>b>0]이면 [eqn: {1} over {a} < {1} over {b}]이다.

B29 | 일차부등식

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: ax+b>0]의 해는

개념1

① [eqn: a>0]이면 [eqn: x>- {b} over {a}]이다.

② [eqn: a<0]이면 [eqn: x< -{b} over {a}]이다.

③ [eqn: a=0], [eqn: b>0]이면 모든 실수이다.

④ [eqn: a=0], [eqn: b le0]이면 공집합이다.

부등식 [eqn: ax-1<5]의 해가 [eqn: x > - 3 over 2]일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: x]에 대한 부등식 [eqn: (1-a)x>a+b]의 해가 [eqn: x< -2]일 때,

예제2

부등식 [eqn: (a-b)x GEQ 6]의 해를 구하여라.

집합 [eqn: LEFT { `x`|`(a ^{2} -3)x LEQ a(2x+4) RIGHT }]가 공집합이 되게 하는 [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제3

B30 | 이차부등식

[eqn: D ge0]인 이차부등식의 풀이

개념1

① [eqn: alpha< beta]일 때, [eqn: (x-alpha)(x-beta)<0]의 근은 [eqn: alpha<x<beta]이다.

② [eqn: (x- alpha )(x- beta )>0]의 근은 [eqn: x<alpha ```or```beta> beta]이다.

※ 이차함수의 개형과 연계해서 설명할 수 있도록 해두자.

다음 이차부등식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: x ^{2} +2x-3le0]

(2) [eqn: x ^{2} `-`x`-`2`>`0]

(3) [eqn: 6x ^{2} -x-1 ge 0]

(4) [eqn: x ^{2} -4x+2 le 0]

이차부등식 [eqn: x ^{2} -6x+1<=0]의 해가 [eqn: alpha le x le beta]일 때, [eqn: alpha - beta]의 값을 구하여라.

예제2

이차부등식 [eqn: ax^2 + 3x +4 le0]의 양수인 해 중 최소가 [eqn: 4]일 때.

예제3

상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

B31 | 이차부등식의 특수해

[eqn: D le0]인 이차부등식의 풀이 : 그래프를 그려서 생각한다.

개념1

다음 이차부등식의 해를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: x ^{2} -2x+2<0]	(2) [eqn: x ^{2} -2x+2>0]

(3) [eqn: x ^{2} -2x+2le0]	(4) [eqn: x ^{2} -2x+2ge0]

(5) [eqn: x ^{2} -4x+4<0]	(6) [eqn: x ^{2} -4x+4>0]

(7) [eqn: x ^{2} -4x+4 le0]	(8) [eqn: x ^{2} -4x+4 ge 0]

부등식 [eqn: x ^{2} -2(k-2)x+9>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

예제2

성립하도록 하는 실수 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.

이차부등식 [eqn: x ^{2} -6x+(a-3)le0]의 근이 존재하지 않을 때,

예제3

[eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

B32 | 절댓값이 포함된 부등식

절댓값이 포함된 부등식 다루는 방법

개념1

① [eqn: |x|<a]의 근은 [eqn: -a<x<a]

② [eqn: |x|>a]의 근은 [eqn: x< -a] 또는 [eqn: x>a]이다.

③ 절댓값 안쪽이 [eqn: 0]이 되는 점들을 기준으로 범위를 나눠서 푼다.

④ [eqn: |A|^2 =A^2]이므로 적당히 제곱해본다.

⑤ 그래프를 그리면 개편함. 그래프 진리.

다음 부등식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: |x+2|>3]	(2) [eqn: |x-1|<x+2]

(3) [eqn: 2|x-4|<|x+2|]	(4) [eqn: x+2|x|>12]

(5) [eqn: x ^{2} -5|x|+4 le 0]	(6) [eqn: ||x-1|-2|le3]

이차부등식 [eqn: x^2 +2x -15 <0]과 [eqn: |x-a|<b]의 해가 서로 같을 때,

예제2

[eqn: a]와 [eqn: b]의 값을 구하여라.

B33 | 연립부등식

해들의 집합을 수직선 상에 잘 표시한다.

개념1

✔ [eqn: A(x)<B(x)<C(x)]의 근은 [eqn: cases{ A(x)<B(x) # B(x)<C(x) }]의 근과 같다.

다음 연립부등식을 풀어라.

예제1

(1) [eqn: {cases{3x-6 ge 0#x ^{2} -5x+6>0}}]

(2) [eqn: {cases{x ^{2} +2x-3 le0#x ^{2} -8x-9>0}}]

(3) [eqn: x<x(x-3)le5(x-3)]

연립부등식 [eqn: 2x ^{2} +1<3x LEQ x+a]의 해가 [eqn: {1} over {2} <x LEQ 1]이 되도록 하는

예제2

실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

두 부등식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a+3 RIGHT ) x+2a<0], [eqn: x ^{2} -4x>0]을 동시에 만족하는

예제3

정수 [eqn: x]의 값이 [eqn: 5]뿐일 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

연립부등식 [eqn: cases{ x^2 -x -2<0 # (x+1)(x-a^2 -a) ge0 }]의 해가 존재하지 않을 때,

예제4

실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.