			원포인트 개념주입 C 다항식

원포인트개념주입

개념1	✔ 복잡한 것들을 적어보면, ① [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca= {1} over {2} left{(a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} right}] ② [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc= LEFT ( a+b+c RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca RIGHT )# `````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (a+b+c) LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT }] ※ 특히, [eqn: a+b+c=0]이면 [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} =3abc] ③ [eqn: a ^{4} +a ^{2} b ^{2} +b ^{4} = LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -ab+b ^{2} RIGHT )]

다항식

001. 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: 8] (2) [eqn: 34] (1) [eqn: a-b=1+ sqrt {5}], [eqn: b-c=1- sqrt {5}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca]의 값을 구하여라. (2) [eqn: a+b+c=4], [eqn: ab+bc+ca=3], [eqn: abc=2]일 때, [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3}]의 값을 구하여라.

	다항식

002. 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 [eqn: a^3 +b^3 +c^3 =3abc]를 만족할 때, [eqn: {2b} over {a} + {c} over {b} + {3a} over {c}]의 값은? ② ① [eqn: 3] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 15]
003. [eqn: x-y=1], [eqn: xy=2]일 때, [eqn: x ^{4} +x ^{2} y ^{2} +y ^{4}]의 값을 구하여라. [eqn: 21]

	다항식

개념2	✏ 대칭식 [eqn: RARROW] 두 개짜리 : [eqn: x+y], [eqn: xy]를 찾는다. [eqn: RARROW] 세 개짜리 : [eqn: x+y+z], [eqn: xy+yz+zx], [eqn: xyz]를 찾는다.

004. [eqn: x+y+z=a], [eqn: xy+yz+zx=b], [eqn: xyz=c]일 때, 다음 각 식을 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]로 나타내어라. (1) [eqn: a^2 -2b] (2) [eqn: b^2 -2ac] (3) [eqn: ab-c] (4) [eqn: a^3 -3ab+3c] (5) [eqn: ab-3c] (6) [eqn: a^2 b^2 - 2a^3 c - 2b^3 + 4abc - c^2] (1) [eqn: x^2 + y^2 + z^2 ``] (2) [eqn: x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 ``] (3) [eqn: (x+y)(y+z)(z+x)``] (4) [eqn: x^3 +y^3 +z^3] (5) [eqn: y^2 z + yz^2 + z^2 x + zx^2 +x^2 y + xy^2] (6) [eqn: (x^2 +y^2 )(y^2 +z^2 )(z^2 + x^2 )``]

	다항식

005. 세 수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: x+y+z=0], [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =6] 일 때, [eqn: x^2 y^2 +y^2 z^2 +z^2 x^2]의 값을 구하여라. [eqn: 9]
006. [eqn: a+b+c=1], [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =2], [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} =3]일 때, [eqn: ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]의 값을 구하면? [eqn: -1]

	다항식

개념3	✔ 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해 한다. ✔ 적당히 식의 값이 [eqn: 0]되는 치환을 해서 인수를 찾는다.

007. 임의의 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: [a,```b,```c]=a^2 (b-c)]로 정의할 때, 다음 중 [eqn: [a,```b,```c]+[b,```c,```a]+[c,```a,```b]] 의 인수인 것은? ① ① [eqn: a-b] ② [eqn: b+c] ③ [eqn: c+a] ④ [eqn: a+b+c] ⑤ [eqn: abc]

	다항식

008. 다음 다항식을 인수분해 하여라. (1) [eqn: (a+b+c)(ab+bc+ca)] (2) [eqn: 24abc] (1) [eqn: (a+b) (b+c)(c+a)+abc] (2) [eqn: (a+b+c)^3 -(b+c-a)^3 -(c+a-b)^3 -(a+b-c)^3]
009. [eqn: n]의 값이 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]인 경우에 다음 유리식의 값을 각각 구하여라. [eqn: n=0]일 때, [eqn: 0] [eqn: n=1]일 때, [eqn: 0] [eqn: n=2]일 때, [eqn: 1] [eqn: n=3]일 때, [eqn: a+b+c] [eqn: {a ^{n}} over {(a-b)(a-c)} + {b ^{n}} over {(b-c)(b-a)} + {c ^{n}} over {(c-a)(c-b)}]

	다항식

개념4	✏ [eqn: f(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눴을 때의 몫이 [eqn: Q(x)], 나머지가 [eqn: R(x)]이면 [eqn: f(x)=g(x)Q(x)+R(x)] 가 성립한다. ✔ 역으로, [eqn: f(x)=g(x)Q(x)+R(x)]이고 [eqn: R(x)]의 차수가 [eqn: g(x)]보다 작으면 [eqn: f(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 몫과 나머지는 [eqn: Q(x)]와 [eqn: R(x)]이다.

010. [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x+ {1} over {2}]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q(x)]이고 나머지는 [eqn: 2]이다. [eqn: xf(x)]를 [eqn: 2x+1]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 순서대로 적으면? ④ ① [eqn: xQ(x)+2,~2] ② [eqn: xQ(x)+1,~-1] ③ [eqn: {1} over {2} xQ(x)+1,~-2] ④ [eqn: {1} over {2} xQ(x)+1,~-1] ⑤ [eqn: {1} over {2} xQ(x)+1,~2]

	다항식

011. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: left(x- 1over 3 right)^2]으로 나눈 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q(x)], [eqn: R(x)]라 할 때, 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (3x-1)^2]으로 나눈 몫과 나머지를 차례로 나타낸 것은? ② ① [eqn: Q(x),~R(x)] ② [eqn: {1} over {9} Q(x),~R(x)] ③ [eqn: Q(x),~ {1} over {9} R(x)] ④ [eqn: {1} over {3} Q(x),~R(x)] ⑤ [eqn: 3Q(x),~ {1} over {3} R(x)]
012. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]라 할 때, [eqn: xf(x)+5]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫과 나머지를 순서대로 적은 것은? ⑤ ① [eqn: xQ(x),~R-5] ② [eqn: xQ(x),~R+5] ③ [eqn: xQ(x),~R+10] ④ [eqn: xQ(x)+R,~R-5] ⑤ [eqn: xQ(x)+R,~R+5]

	다항식

개념5	✔ [eqn: f(x)=a_n (x-a)^n +a_n-1 (x-a)^n-1 +cdots+a_1 (x-a)+a_0]일 때, [eqn: a_n]들은 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-a]로 나눈 조립제법을 반복해서 얻을 수 있다. ✔ [eqn: f(x)=a_n (x-a)^n +a_n-1 (x-a)^n-1 +cdots+a_1 (x-a)+a_0] 으로 나타날 때, [eqn: x]에 적당한 값을 대입해 보다보면 좋은 일이 일어난다.

013. [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^3 -x^2 -3x+6]을 [eqn: a(x-1) ^{3} +b(x-1) ^{2} +c(x-1)+d] 의 꼴로 나타내었을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 곱 [eqn: abcd]의 값은? ③ ① [eqn: -6] ② [eqn: -9] ③ [eqn: -12] ④ [eqn: -15] ⑤ [eqn: -18]

	다항식

014. [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x) =2 x^3 -4x^2 +5x+2]에 대하여 [eqn: f(1.01)]의 값을 구하여라. [eqn: 5.030202]
015. 등식 [eqn: (x-1) ^{4} -(x-1) ^{3} +(x-1) ^{2} -(x-1)+1] [eqn: =(x-2)^4 +a(x-2)^3 +b(x-2)^2 +c(x-2)+d] 가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은? ③ ① [eqn: 5] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 25]

	다항식

개념6	✏ 다항식 [eqn: f(x)]에 대하여, ① 계수들의 합 : [eqn: f(1)] ② 짝수차 계수들의 합에서 홀수차 계수들의 합을 뺀 값 : [eqn: f(-1)] ③ 짝수차 계수들의 합 : [eqn: { f(1)+f(-1)} over {2 }]

016. 등식 [eqn: (1+x-x ^{2} ) ^{10} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + CDOTS +a _{20} x ^{20}] 은 [eqn: x]에 관계없이 항상 성립한다. 이 때, [eqn: alpha = a_0 +a_1 +a_2 +cdots+a_20] [eqn: beta=a_0 + a_2 + a_4 +cdots+a_20] 이라 하면 [eqn: alpha+beta]의 값은? ④ ① [eqn: 1024] ② [eqn: 512] ③ [eqn: 0``] ④ [eqn: 2``] ⑤ [eqn: -2``]

	다항식

017. 상수 [eqn: a_0], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: a_4], [eqn: a_5], [eqn: a_6]에 대하여 등식 [eqn: (x^2 -2x+5)^3 = a_6 x^6 +a_5 x^5 + CDOTS+a_1 x +a_0] 이 [eqn: x]의 값에 관계없이 성립할 때, [eqn: a_0 + a_2 + a_4 +a_6]의 값은? ⑤ ① [eqn: 280] ② [eqn: 282] ③ [eqn: 284] ④ [eqn: 286] ⑤ [eqn: 288]
018. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{10} +1]이 식 [eqn: a _{10} (x+2) ^{10} +a _{9} (x+2) ^{9} + CDOTS +a _{1} (x+2)+a _{0}] 과 같은 값을 가질 때, [eqn: a_10 +a_8 +a_6 + a_4 + a_2 +a_0]의 값은? (단, [eqn: a _{0} ,```a _{1} ,``` CDOTS ,```a _{9} ,```a _{10}]은 상수이다.) ⑤ ① [eqn: {3 (3^9 -1)}over 2] ② [eqn: {3^10 -1}over 2] ③ [eqn: {3^10 +1}over2] ④ [eqn: {3^10 +2}over 2] ⑤ [eqn: {3(3^9 +1)}over 2]

	다항식

개념7	✏ 복이차식과 상반식의 인수분해 : ① 상반식 : 1) 사차상반식 : [eqn: x ^{2}]으로 나눈 후 [eqn: x+ {1} over {x}]을 치환한다. 2) 오차상반식 : 인수 [eqn: (x+1)]을 묶어내고 사차상반식을 만든다. ② 복이차식 : 1) [eqn: x ^{2}]을 치환한다. 2) [eqn: (x ^{2} +a) ^{2} -(bx) ^{2}] 꼴로 고친다.

019. 다음을 인수분해 하여라. (1) [eqn: (x+1)(x ^{2} -x+1) ^{2}] (2) [eqn: (x+1)(x ^{2} -x+1)(2x ^{2} +3x+2)] (3) [eqn: (x^2 +5)(x+2)(x-2)] (4) [eqn: (a^2 +2ab-b^2 )(a^2 -2ab-b^2 )] (1) [eqn: x^5 -x^4 +x^3 +x^2 -x+1] (2) [eqn: 2x^5 +3x^4 +2x^3 +2x^2 +3x+2] (3) [eqn: x^4 +x^2 -20] (4) [eqn: a^4 -6a^2 b^2 +b^4]

	다항식

020. 인수분해를 이용하여 [eqn: n ^{4} +4] 꼴로 표현되는 소수를 모두 구하여라. (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [eqn: 5]
021. [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: a]에 대하여 사차다항식 [eqn: x ^{4} -ax ^{2} +1]이 계수가 정수인 두 개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해 되도록 하는 [eqn: a]의 개수는? ② ① [eqn: 17] ② [eqn: 18] ③ [eqn: 19] ④ [eqn: 20] ⑤ [eqn: 21]