[다항식의 연산]

B01 | 다항식의 덧셈과 뺄셈

[eqn: x]에 대한 다항식 : [eqn: a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} +cdots+a _{1} x+a _{0}] ([eqn: n]은 음이 아닌 정수)

개념1

eg) [eqn: x+ {1} over {x}]은 다항식이 아니다.   [eqn: x+|x|]는 다항식이 아니다.

✔ 다항식의 덧셈과 뺄셈 : 동류항끼리 모아서 정리한다.

✔ 다항식의 덧셈에 대하여 교환법칙, 결합법칙이 성립한다.

두 다항식 [eqn: A = 3x^2 + xy + 3y^2], [eqn: B = 4x^2 - 2xy + 2y^2]에 대하여

예제1

[eqn: 2(A-X)=B-X]를 만족시키는 다항식 [eqn: X`]를 구하여라.

B02 | 다항식의 곱셈

✔ 다항식의 곱셈에 대하여 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.

[eqn: A=x+1], [eqn: B=2x-3], [eqn: C=-x+2]에 대하여 [eqn: A(B+C)=AB+AC]임을 보여라.

예제1

다음을 전개하여라.

예제2

(1) [eqn: (a+b+c)^2]	(2) [eqn: (a^2 +ab+b^2 )(a^2 -ab+b^2 )]

B03 | 곱셈공식1 (2차)

중학교 곱셈공식

개념1

(1) [eqn: (a+b)^2 =a^2 +2ab+b^2]	(2) [eqn: (a-b)^2 =a^2 -2ab+b^2]

(3) [eqn: (a+b)(a-b)=a^2 -b^2]	(4) [eqn: (x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab]

(5) [eqn: (ax+b)(cx+d)=acx^2 +(ad+bc)x+bd]

(6) [eqn: (a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2ab+2bc+2ca]

[eqn: a+b+c=2], [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =6], [eqn: abc=-2]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: ab+bc+ca]

(2) [eqn: a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2]

(3) [eqn: a^4 +b^4 +c^4]

B04 | 곱셈공식2 (3차)

3차 곱셈공식

개념1

(1) [eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3]

(2) [eqn: (a-b) ^{3} =a ^{3} -3a ^{2} b+3ab ^{2} -b ^{3}]

(3) [eqn: (a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )=a ^{3} +b ^{3}]

(4) [eqn: (a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )=a ^{3} -b ^{3}]

다음을 전개하여라.

예제1

(1) [eqn: (a+2b) ^{3}]

(2) [eqn: (2x-3y) ^{3}]

(3) [eqn: (x-2y)(x ^{2} +2xy+4y ^{2} )]

[eqn: x+y=2], [eqn: xy=-1]일 때 다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: x ^{2} +y ^{2}]	(2) [eqn: |x-y|]

(3) [eqn: x ^{3} +y ^{3}]	(4) [eqn: x ^{4} +y ^{4}]

[eqn: x+y=2], [eqn: x^3 +y^3 =14]일 때, 다음 값을 구하여라.

예제3

(1) [eqn: xy]	(2) [eqn: x^2 +y^2]

(3) [eqn: x^4 +y^4]	(4) [eqn: x^5 +y^5]

다음 물음에 답하여라.

예제4

(1) [eqn: a-b=5], [eqn: ab=-6]일 때, [eqn: a ^{3} -b ^{3}]과 [eqn: a^2 -b^2]의 값을 구하여라.

(2) [eqn: x ^{2} -3x-1=0`]일 때, [eqn: x^3 - 1 over x^3]의 값을 구하여라.

B05 | 곱셈공식3 (기타)

가르칠지 말지 약간 고민되는 공식들

개념1

(1) [eqn: a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)]

(2) [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca= { 1} over { 2}left{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2 right}]

(3) [eqn: a^4 +a^2 b^2 +b^4 =(a^2 +ab+b^2 )(a^2 -ab+b^2 )]

(4) [eqn: a ^{n} -b ^{n} =(a-b)(a ^{n-1} +a ^{n-2} b+ CDOTS +b ^{n-1} )]

※ 사실 (2) 같은 경우는 곱셈공식이라고 부를 수도 없는데

(1)과 연계해서 식의 값을 물어보는 문제가 출제되니 알아두자.

[eqn: x+y+z=a], [eqn: xy+yz+zx=b], [eqn: xyz=c]일 때, 다음을 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]로 나타내어라.

예제1

(1) [eqn: x^2 + y^2 + z^2 ``]

(2) [eqn: x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 ``]

(3) [eqn: (x+y)(y+z)(z+x)``]

(4) [eqn: (x^2 +y^2 )(y^2 +z^2 )(z^2 + x^2 )``]

[eqn: a-b=1+root5], [eqn: b-c=1-root5`]일 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca]의 값은?

예제2

[eqn: a+b+c= root 3], [eqn: ab+bc+ca=1]일 때, [eqn: abc]의 값은?

예제3

[eqn: a+b+c=4][eqn: ab+bc+ca=3][eqn: abc=2]일 때, [eqn: a^3 +b^3 +c^3]의 값은?

예제4

[나머지 정리]

B06 | 다항식의 나눗셈

✔ 다항식의 나눗셈을 할 줄 알아야 한다.

다항식 [eqn: A]를 다항식 [eqn: B]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q], 나머지를 [eqn: R]이라 하면

개념1

[eqn: A=BQ+R]

이 성립한다. 이때 [eqn: R]의 차수는 [eqn: B]의 차수보다 낮다.

다항식 [eqn: A]를 다항식 [eqn: B]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 0]이면

개념2

[eqn: A]는 [eqn: B]로 나누어 떨어진다고 한다.

나누기 한 번 해봐봐.

예제1

(1) [eqn: (3x ^{2} +5x-9)div(x+4)]

(2) [eqn: (x ^{3} -3x ^{2} +4x+5)div(x ^{2} -2)]

B07 | 조립제법

✔ 어떤 다항식을 일차식 [eqn: x-a]로 나눌 때, 조립제법을 이용할 수 있다.

다항식 [eqn: x ^{2} +mx-19]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지가

예제1

[eqn: 1]이 되도록 [eqn: m]의 값을 구하여라.

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -3x+2]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지와 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의

예제2

나머지가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

✔ 검산식을 잘 조절하여 [eqn: ax+b]로 나누는 나눗셈을 할 수 있다.

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x+ {3} over {2}]으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각

예제3

[eqn: Q(x)], [eqn: R]이라 할 때, [eqn: f(x)]를 [eqn: 2x+3]으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하여라.

B07E1 | 연조립제법

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^3 -3x^2 +5x-4=(x-2)^3 +a(x-2)^2 +b(x-2)+c]이다.

예제1

B08 | 항등식의 미정계수법

[eqn: x]에 어떤 숫자를 대입하더라도 등식이 성립할 때,

개념1

그 등식을 [eqn: x]에 대한 항등식이라 한다.

※ 항등식은 좌우변의 식이 완전히 같다는 뜻이며 정리하면 [eqn: 0=0]이 나온다.

※ 계수비교법과 수치대입법

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 등식이 성립할 때~

예제1

(1) [eqn: ax ^{2} +bx+c=3x ^{2} -2x+4]

(2) [eqn: x ^{2} -ax+4`=`bx(x-2)+c(x+2)(x-1)`]

(3) [eqn: 5x ^{2} +2x+1=a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

B08E1 | 다항식 계수들의 합

다항식 [eqn: f(x)=a_10 x^10 +a_9 x^9 +cdots+a_1 x+a_0]에서 다음을 구하는 방법을 말하여라.

예제1

(1) [eqn: a_10 +a_9 +a_8 +cdots+a_1 +a_0]

(2) [eqn: a_10 +a_8 +a_6 +a_4 +a_2 +a_0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^10 =a_0 +a_1 (x-1)+a_2 (x-1)^2 + cdots +a_10 (x-1)^10]일 때,

예제2

[eqn: a_0 +a_2 +a_4 +cdots+a_10]의 값을 구하여라.

B09 | 나머지 정리

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-a]로 나눈 나머지는 [eqn: f(a)]가 된다.

개념1

다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: x-a]로 나누어 떨어진다. [eqn: LRARROW] [eqn: f(a)=0]

개념2

[eqn: f(x)=x ^{3} +2x ^{2} -ax+4]을 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2]가 되는~

예제1

[eqn: x ^{100} +5x ^{20} -mx-7]가 [eqn: x-1]로 나누어 떨어질 때~

예제2

다항식 [eqn: f(x)]를 다항식 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지의 차수는 [eqn: g(x)]보다 작다.

개념3

다음 나눗셈을 했을 때의 나머지를 구하여라.

예제3

(1) [eqn: (x ^{3} -2x+3)÷(x-1)(x-2)]

(2) [eqn: (x ^{100} +3)÷(x ^{2} -x)]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: -1], [eqn: x+2]로 나누었을 때의

예제4

나머지가 [eqn: -7]일 때, [eqn: x ^{2} +x-2]로 나누었을 때의 나머지를 구하여라.

이차 이상의 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-a)(x-b)]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때,

예제5

[eqn: R(a+b)]를 구하여라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로 다른 실수이다.)

B09E1 | 제곱식으로 나눈 나머지

✔ 인수를 묶어서 양변에서 날려주는 과정이 필요하다.

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +ax ^{2} -8x+b]가 [eqn: (x-2)^2]으로 나누어 떨어질 때,

예제1

다항식 [eqn: x^n+2 +px^n+1 +qx^n]을 [eqn: (x-2)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2^n (x-2)]일 때,

예제2

B09E2 | 검산식의 변형

네 다항식 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: Q], [eqn: R]에 대하여 [eqn: A=BQ+R]이고

개념1

[eqn: R]의 차수가 [eqn: B]의 차수보다 작으면 [eqn: A]를 [eqn: B]로 나눈 몫은 [eqn: Q], 나머지는 [eqn: R]이다.

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} `+`2x`-3]으로 나눈 몫이 [eqn: Q(x)], 나머지가 [eqn: 2x`-`1]일 때,

예제1

[eqn: f(x)]를 [eqn: x`+`3]으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫이 [eqn: Q(x)], 나머지가 [eqn: R]이라 할 때,

예제2

[eqn: xf(x)+5]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

[인수분해]

B10 | 인수분해 공식

✔ 인수분해는 하나의 다항식을 두 다항식의 곱으로 나타내는 것이다.

필수 인수분해 공식

개념1

(1) [eqn: a ^{2} -b ^{2} =(a+b)(a-b)]

(2) [eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )]

(3) [eqn: a ^{3} -b ^{3} =(a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )]

※ 보통 ‘인수분해 공식’은 곱셈공식을 거꾸로 쓴 식이 십여개 소개되지만

위 세 공식 이외에는 ‘공식’을 이용하는 경우는 없다고 해두자.

※ 식을 인수분해할 때 필요한 중요한 요령은 다음 정도로 정리할 수 있다.

① 공통인수 묶기

② 낮은 차수의 문자에 대하여 내림차순으로 정리하기

[eqn: RARROW] 인수정리로 인수분해

③ 적당한 치환

인수분해 해보자.

예제1

(1) [eqn: 4a ^{2} -9b ^{2}]	(2) [eqn: 8x ^{3} -y ^{3}]

(3) [eqn: a ^{8} -b ^{8}]	(4) [eqn: a ^{6} -b ^{6}]

(5) [eqn: (x+y) ^{2} -5(x+y)+4`]	(6) [eqn: a ^{4} +a ^{2} c ^{2} -b ^{2} c ^{2} -b ^{4}]

B11 | 인수정리를 이용한 인수분해

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-a]를 인수로 가진다.

개념1

※ 식에 변수가 많아 복잡할 때는 낮은 차수의 문자에 대하여 정리한다.

인수분해 해보자.

예제1

(1) [eqn: x ^{3} +x ^{2} +x+1]	(2) [eqn: x ^{4} +x ^{3} -7x ^{2} -x+6]

(3) [eqn: a ^{2} +ab-9-3b]	(4) [eqn: x ^{2} y+1-y-x ^{2}]

(5) [eqn: a ^{3} -b ^{3}]	(6) [eqn: a ^{2} +2ab+b ^{2} -a-b]

인수분해 해보자.

예제2

(1) [eqn: x ^{2} +3ax+2a ^{2} +a-1]	(2) [eqn: x ^{2} -2xy-3y ^{2}]

(3) [eqn: a ^{2} b+b ^{2} c-b ^{3} -a ^{2} c]	(4) [eqn: a^2 +b^2 +1 -2ab+2a-2b]

(5) [eqn: x^3 +6x^2 y+12xy^2 +8y^3]	(6) [eqn: x^3 +y^3 -3xy+1]

(7) [eqn: (a+b)(b+c)(c+a)+abc]	(8) [eqn: (a+1) (b+1)(ab+1)+ab]

※ 별로 중요하지 않은 재미있는 사실 :

두 일차식의 곱으로 인수분해 된다. [eqn: LRARROW] 판별식의 판별식이 [eqn: 0]이다.

다항식 [eqn: x ^{2} +4xy+3y ^{2} -x+y+k`]가 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 두 일차식의

예제3

곱으로 인수분해 될 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

B12 | 치환을 이용한 인수분해

✔ 적당히 요령껏 해야 되는데, 잘 나오는 형태는 기억해두도록 하자.

인수분해 해보자.

예제1

(1) [eqn: (x^2 -2x+2) (x^2 - 2x -4 ) + 5]

(2) [eqn: (x-1)(x-2)(x+3)(x+4)-24]

(3) [eqn: (x-1)(x+1)(x+2)(x-2)+x^2]

B13 | 복이차식과 상반식의 인수분해

✔ 방정식 할 때 하자.