			원포인트 개념주입 C 집합과 명제

원포인트개념주입

개념1	✔ 집합의 정의 : 경우를 빠짐없이 잘 조사한다.

집합과 명제

001. 전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x 는```50```이하의```자연수right}]의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: n(A)]의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: n(A)]는 집합 [eqn: A]의 원소의 개수이다.) [eqn: 21] [eqn: x inA], [eqn: y inA]인 서로 다른 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]는 [eqn: 5]의 배수가 아니다.

	집합과 명제

002. 집합 [eqn: A= LEFT { 0,```1,```2,```3,```4 RIGHT }]에 대하여 다음과 같이 두 연산을 정의한다. [eqn: a _{i} OPLUS a _{j} =a _{n}] ([eqn: a _{n}]은 [eqn: a_i + a_j]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지) [eqn: a_i ⊗a_j = a_m] ([eqn: a _{m}]은 [eqn: a_i times a_j]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지) 두 집합 [eqn: B], [eqn: C]가 [eqn: B= LEFT { `x` |`x=a _{i} OPLUS a _{i}, ```a _{i} IN A RIGHT }], [eqn: C= LEFT { `x`|`x=a _{i} OTIMES `a _{i} ,```a _{i} IN A RIGHT }] 일 때, 다음 중 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 포함관계로 옳은 것은? ④ ① [eqn: B=C subsetA] ② [eqn: B` subset`C` subset`A] ③ [eqn: C=B=A] ④ [eqn: C subsetB=A] ⑤ [eqn: B` subset`C` =`A]
003. 공집합이 아닌 자연수 전체 집합의 부분집합 [eqn: A]가 다음 조건을 만족한다. [eqn: x IN A]이면 [eqn: {36} over {x} IN A]이다. 이때, 집합 [eqn: A`]의 개수를 구하여라. [eqn: 31]

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개념2	✏ 집합을 원소로 가지는 집합 : 잘 푼다.

004. [eqn: n]이 자연수일 때, 집합 [eqn: A_n]을 다음과 같이 정의한다. [eqn: A_1 = emptyset], [eqn: A_n+1 = A_n cup left{ A_n right}] 예를 들어 [eqn: A _{2} = LEFT { emptyset RIGHT }], [eqn: A _{3} = LEFT { EMPTYSET ,``` LEFT { EMPTYSET RIGHT } RIGHT }]이다. 이 때, 보기 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, [eqn: emptyset]는 공집합) ⑤ ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ㄱ. [eqn: A _{4} = LEFT { EMPTYSET ,``` LEFT { EMPTYSET RIGHT } ,``` LEFT { EMPTYSET ,``` LEFT { EMPTYSET RIGHT } RIGHT } RIGHT }] ㄴ. [eqn: A_n in A_n+1] ㄷ. [eqn: A_n+1 = left{ A_1 ,```A_2 ,``` A_3 , ``` cdots,``` A_ n right}] ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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005. 집합 [eqn: A]에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 집합 [eqn: T]를 집합 [eqn: A]의 위상이라고 정의하자. (가) [eqn: EMPTYSET IN T], [eqn: A IN T] (나) [eqn: P SUBSET A], [eqn: Q SUBSET A]에 대하여 [eqn: P IN T], [eqn: Q IN T]일 때, [eqn: (P CUP Q) IN T], [eqn: (P SMALLINTER Q) IN T] 이 때, 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]에 대하여 원소의 개수가 가장 적은 위상의 원소의 개수와 가장 많은 위상의 원소의 개수의 합을 구하여라. [eqn: 10]
006. 집합 [eqn: S= LEFT { 1,``` {1} over {2} ,``` {1} over {2 ^{2}} ,``` {1} over {2 ^{3}} ,``` CDOTS ,``` {1} over {2 ^{100}} RIGHT }] 의 공집합을 제외한 모든 부분집합에 대하여 각 부분집합의 원소 중 최솟값들의 총합을 구하여라. [eqn: 101]

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개념3	✔ 원소들의 합이나 곱에 주목해보자.

007. [eqn: 0`]이 아닌 서로 다른 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: x+y+z=3], [eqn: left{x,```y,```z right}=left{ {1} over {x} ,``` {1} over {y} ,``` {1} over {z} right}] 이다. [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 가장 큰 수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha+ {1} over {alpha}]의 값을 구하여라. [eqn: 4]

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008. 집합 [eqn: A=left{1,```2,```3,```4,```x right}]의 부분집합을 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3], [eqn: cdots], [eqn: S_32]라 하자. 집합 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3], [eqn: cdots], [eqn: S_32] 의 모든 원소들의 합이 [eqn: 256]일 때 [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: x>4]) ② ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]
009. 자연수를 원소로 갖는 두 집합 [eqn: A= left{a_1 ,```a_2 ,```a_3 ,```a_4 ,```a_5 ,```a_6 right}] [eqn: B= left{a_i +d`|`a_i`inA right}] 에 대하여 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 32], [eqn: A cupB]의 모든 원소의 합은 [eqn: 62]이다. [eqn: A smallinterB= left{4,```7,```9 right}]일 때, 집합 [eqn: A]의 원소 중 값이 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 합을 구하여라. (단, [eqn: n(A)=6]이다.) [eqn: 10]

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개념4	✔ 부분집합의 개수 : 일단 [eqn: 2^n]개

010. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,``4,```5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A SUBSET X SUBSET Y SUBSET B]를 만족하는 두 집합의 순서쌍 [eqn: LEFT ( X,```Y RIGHT )]의 개수는? ⑤ ① [eqn: 18] ② [eqn: 21] ③ [eqn: 23] ④ [eqn: 25] ⑤ [eqn: 27]

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011. 전체집합 [eqn: U=left{1,```2,```3,```4,```5 right}]에 대하여 집합 [eqn: K(U)]를 다음과 같이 정의한다. [eqn: K(U)= left{A`|`A subset U,```n(A)=2 right}] 이때, [eqn: n(A smallunion B )=3]을 만족하는 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: (A,```B)]의 개수는? ③ (단, [eqn: A in K(U)], [eqn: B in K(U)]이고, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.) ① [eqn: 36]개 ② [eqn: 48]개 ③ [eqn: 60]개 ④ [eqn: 72]개 ⑤ [eqn: 90]개
012. 집합 [eqn: S = left{ 1, ```2, ```3, ``` cdots , ```10 right}]이 있다. [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S]의 부분집합 중 가장 큰 원소가 [eqn: n]인 부분집합의 개수를 [eqn: M(n)]이라 하자. 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: M(3) = 4] ㄴ. [eqn: n>m]이면 [eqn: M(n) >M(m)]이다. ㄷ. [eqn: M(n+1)=left{M(n) right}^2 ```(n=1, ```2,```3, ```cdots,```9)] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념5	✔ 잘 센다.

013. [eqn: 80]명의 학생들을 대상으로 세 권의 책 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중 적어도 한 권씩을 읽게 한 다음 각각의 책을 읽은 학생의 수를 조사하였더니 [eqn: A]를 읽은 학생이 [eqn: 42]명, [eqn: B]를 읽은 학생이 [eqn: 35]명, [eqn: C]를 읽은 학생이 [eqn: 44]명, 세 권 모두 읽은 학생이 [eqn: 16]명이었다. 이 때, 세 권의 책 중에서 한 권만 읽은 학생의 수를 구하여라. [eqn: 55]

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014.

어떤 고등학교 [eqn: 1]학년 학생을 대상으로 축구, 농구, 야구 세 종목에 대한 선호도를 조사하였더니 축구를 좋아하는 학생이 전체의 [eqn: 64%], 농구를 좋아하는 학생이 전체의 [eqn: 52%], 야구를 좋아하는 학생이 전체의 [eqn: 38%]이었다. 이들 중 한 종목만 좋아하는 학생은 전체의 [eqn: 46%], 세 종목 모두 좋아하는 학생은 전체의 [eqn: 12%]일 때, 세 종목 모두 좋아하지 않는 학생이 [eqn: 12]명이었다. 이때, 두 종목만 좋아하는 학생의 수를 구하여라.

[eqn: 72]

015.

고등학교 [eqn: 1]학년 어느 한 학급 학생들을 대상으로 보충학습 희망과목을 국어, 영어, 수학 중에서 한 과목 이상 선택하도록 하였다. 국어를 선택한 학생은 [eqn: 25]명, 영어를 선택한 학생은 [eqn: 28]명, 수학을 선택한 학생은 [eqn: 30]명이었고, 과목수별로 선택한 학생 수는 표와 같다고 할 때, 한 과목만 선택한 학생수 [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

[eqn: 11]

구분	1과목만 선택			2과목만 선택			3과목 선택
	국어	영어	수학	국어, 영어	영어, 수학	수학, 국어
인원 (명)	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	[eqn: 7]	[eqn: 10]

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개념6	✔ 어떤과 모든 : 헷갈리니까 잘 해보자.

016. 다음 각 조건이 참이 되는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라. (1) [eqn: a<0] (2) [eqn: a GEQ 1] (3) [eqn: a>0] (1) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | >a]가 성립한다. (2) [eqn: 0<x<1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | <a]가 성립한다. (3) [eqn: 0<x<1]인 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | x-1 RIGHT | <a]가 성립한다.

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017. 명제 ‘모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +10 ge p]이다.’ 는 참이고, 명제 ‘어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1-x^2 gep]이다.’ 는 거짓일 때, 정수 [eqn: p]의 개수를 구하여라. [eqn: 9]
018. 다음 명제 중 참인 것을 있는 대로 고르면? (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수) ①, ③ ① 어떤 [eqn: x]와 모든 [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} >0]이다. ② 모든 [eqn: x]와 모든 [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} >0]이다. ③ 어떤 [eqn: x]와 모든 [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{`2} <y ^{`2} +1]이다. ④ 모든 [eqn: x]와 어떤 [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{`2} GEQ y ^{`2} +1]이다. ⑤ 모든 [eqn: x]와 어떤 [eqn: y]에 대하여 [eqn: x ^{`2} >y ^{`2} +1]이다.

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개념7	✔ 조건의 진리집합 : 벤다이어그램

019. 전체집합 [eqn: U]에서 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합이 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]일 때, [eqn: P cup(Q CAPR)=P], [eqn: (P CUP Q) SMALLINTER R=R] 가 성립한다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ① ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: r]이기 위한 필요조건이다. ㄴ. [eqn: (p```또는```r)]은 [eqn: q]이기 위한 필요조건이다. ㄷ. [eqn: (p```이고```q)]는 [eqn: (q```이고```r)]이기 위한 충분조건이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

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020. 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]이 [eqn: (simp```또는```simq) ``RARROW``r], [eqn: simp`` RARROW``simr] 를 만족할 때, 다음 중 반드시 참인 조건을 모두 적은 것은? ① ① [eqn: p] ② [eqn: q] ③ [eqn: r] ④ [eqn: p], [eqn: q] ⑤ [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]
021. 네 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]의 진리집합을 각각 [eqn: {P], [eqn: Q], [eqn: R], [eqn: S]라고 할 때, 다음과 같은 포함관계가 성립한다. [eqn: P subsetQ], [eqn: LEFT ( P ^{c} SMALLINTER R RIGHT ) SUBSET Q], [eqn: S SUBSET LEFT ( P ^{c} SMALLINTER Q ^{c} RIGHT )] 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: r]은 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. ㄴ. [eqn: SIM q]는 [eqn: s]이기 위한 필요조건이다. ㄷ. [eqn: (p```또는```q)]는 [eqn: SIM s]이기 위한 필요조건이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념7	✔ 조건 : 포함관계를 잘 생각해보자.

022. 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: |`xy`|+|`yz`|+|`zx`|=0] 이 성립하기 위한 필요충분조건은? ④ ① [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 모두 [eqn: 0]이다. ② [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 적어도 한 개는 [eqn: 0]이다. ③ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 적어도 한 개는 [eqn: 0]이 아니다. ④ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 적어도 두 개는 [eqn: 0]이다. ⑤ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중 적어도 두 개는 [eqn: 0]이 아니다.

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023. 임의의 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: LEFT | `` LEFT | `a` RIGHT | - LEFT | `b` RIGHT | `` RIGHT | = LEFT | `a-b` RIGHT |] 가 성립하기 위한 필요충분조건은? ⑤ ① [eqn: a=b=0] ② [eqn: a+b GEQ 0] ③ [eqn: a-b>0] ④ [eqn: ab<0] ⑤ [eqn: ab GEQ 0]
024. 다음 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]가 [eqn: p:x ^{2} +y ^{2} LEQ 1] [eqn: q: LEFT | x RIGHT | + LEFT | y RIGHT | LEQ k] [eqn: r:x ^{2} +y ^{2} LEQ 4] 일 때, [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이고, [eqn: r]은 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: k>0]) ② ① [eqn: 3] ② [eqn: 2+ sqrt {2}] ③ [eqn: 2+2 sqrt {2}] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 5+ sqrt {2}]

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개념8	✔ 산기 : [eqn: { a+b} over {2 }ge sqrt { ab}] (등호는 [eqn: a=b]일 때)

025. 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: 2sqrt { 2}] (2) [eqn: 2] (3) [eqn: 5+2 sqrt {3}] (4) [eqn: 5] (5) [eqn: 6] (1) 두 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y=4]일 때, [eqn: sqrt {x} + sqrt {y}]의 최댓값은? (2) 두 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 9x+2y=16]일 때, [eqn: {2} over {x} + {1} over {y}]의 최솟값은? (3) [eqn: x>5]일 때, [eqn: x+ {3} over {x-5}]의 최솟값은? (4) [eqn: x>-1]일 때, [eqn: 4x+1+ {4} over {x+1}]의 최솟값은? (5) 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: {x ^{2} +2x+4} over {x}]의 최솟값은?

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026. 세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여, [eqn: ( x+y+z) left( 1 over {2x+y } + 1 over { y+2z} right)] 의 최솟값을 구하고, 최솟값을 가질 때 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 사이의 관계를 구하여라. [eqn: 2], [eqn: x=z]
027. 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 부등식 [eqn: k sqrtx+y >= sqrtx + sqrty] 가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하여라. [eqn: sqrt2]

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개념8	✔ 코슈 : [eqn: (a^2 +b^2 +c^2 )(x^2 +y^2 +z^2 )ge (ax+by+cz)^2] (등호는 [eqn: { a} over {x }= { b} over { y}= { c} over {z }])

028. 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: 3] (2) [eqn: 2 sqrt {5}] (3) [eqn: 6] (1) [eqn: a+b+c = 3], [eqn: a^2 + b^2 + c^2 = 9]를 만족하는 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: c]의 최댓값은? (2) [eqn: x>0], [eqn: y>0], [eqn: 5x+2y=10]일 때, [eqn: sqrt {5x} + sqrt {2y}]의 최댓값은? (3) 세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: x+y+z=6]일 때, [eqn: {1} over {x} + {4} over {y} + {9} over {z}]의 최솟값을 구하여라.

	집합과 명제

029. 그림과 같이 세변의 길이가 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 삼각형 내부의 점 [eqn: RMP]에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: rm {bar{PD}}^2 + {bar{PE}}^2 +{bar{PF}}^2]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 97]
030. 그림과 같이 [eqn: rmbarAB =5], [eqn: rmbarBC =12], [eqn: rmbarCA =13]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm5 over { bar PD } + 12 over { bar PE } + 13 over { bar PF }]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 15]