			원포인트 개념주입 B 집합과 명제

원포인트개념주입

집합과 명제

개념1	✔ 집합의 정의 : 잘 하자.

001. 실수 전체의 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A⦵B]를 [eqn: A⦵B= LEFT { z`|`z=x-y,~x IN A,~y IN B RIGHT }] 로 약속하자. [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 0,```1,```2 RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: A⦵B]의 모든 원소의 합을 구하여라. [eqn: 5] 002. 실수의 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A OTIMES B= LEFT { ab`|`a IN A,~b IN B RIGHT }] 라 한다. [eqn: A= LEFT { 0,```1 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```2 RIGHT }]일 때, 다음 집합을 구하여라. (1) [eqn: {`left{`0,~1,~2right}] (2) [eqn: { `left{`0,~1right}] (3) [eqn: {left{0,~1,~2,~4right}] (1) [eqn: A⊗B] (2) [eqn: A⊗A] (3) [eqn: A⊗(B⊗B)]		003. 실수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: S]가 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) [eqn: 1 NOTIN S], [eqn: 2 IN S] (나) [eqn: x IN S]이면 [eqn: {1} over {1-x} IN S]이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: S]는 무한집합이 아니다.) ④ ㄱ. [eqn: - 1 over 2 in S] ㄴ. [eqn: 0 notinS] ㄷ. [eqn: n(S)]는 [eqn: 3]의 배수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	집합과 명제

개념2	✔ 집합의 연산 : 잘 하자.

004. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 3,```-a+2,```a ^{2} -2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```a-1 RIGHT }]에 대하여 [eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) = LEFT { 0,```1 RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은? ④ ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6] 005. 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 [eqn: LEFT [ A CAP LEFT ( A^c CUP B RIGHT ) RIGHT ] CUP LEFT [ B CAP LEFT ( B^c CAP C^c RIGHT )^c RIGHT ]`=` A CUP B] 일 때, 다음 중 옳은 것은? ① ① [eqn: A subset B] ② [eqn: B subset C] ③ [eqn: C subset A] ④ [eqn: C subset B] ⑤ [eqn: B subset A]		006. 함수 [eqn: f _{A} LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f _{A} LEFT ( x RIGHT ) = {cases{1&LEFT ( x IN A RIGHT )#0&LEFT ( x NOTIN A RIGHT )}}] 라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: f _{A ^{c}} LEFT ( x RIGHT ) =1-f _{A} LEFT ( x RIGHT )] ㄴ. [eqn: f _{A SMALLINTER B} ` LEFT ( x RIGHT ) =f _{A} LEFT ( x RIGHT ) ``․``f _{B} LEFT ( x RIGHT )] ㄷ. [eqn: f _{A CUP B} ` LEFT ( x RIGHT ) =f _{A} LEFT ( x RIGHT ) +f _{B} LEFT ( x RIGHT ) -f _{A} LEFT ( x RIGHT ) ``․``f _{B} LEFT ( x RIGHT )] ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념3	✔ 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여, [eqn: (A-B)cup(B-A)]를 [eqn: A]와 [eqn: B]의 대칭차집합이라 한다. ※ 두 집합 중 어느 한 쪽에만 포함되는 원소들의 집합이라 해석할 수 있다.

007. [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A circ B = (A cap B^c )cup (A^c cap B)] 라고 정의할 때, 다음을 보여라. 당연 (1) [eqn: A CIRC U=A ^{c}] (2) [eqn: A CIRC A ^{c} =U] (3) [eqn: A ^{c} CIRC emptyset=A ^{c}] (4) [eqn: A CIRC B=emptyset]일 때 [eqn: A=B] (5) [eqn: (A CIRC B) CIRC A=B] (6) [eqn: A`subsetB]일 때 [eqn: A CIRC B= B-A]		008. 전제집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A CIRCB `=` LEFT ( A CUP B` RIGHT ) - LEFT ( A CAP B RIGHT )] 으로 정의할 때, 다음 중 옳지 않은 것은? ③ ① [eqn: A CIRC emptyset = A] ② [eqn: A CIRC U = A^c] ③ [eqn: emptyset CIRC U = emptyset] ④ [eqn: A CIRC A = emptyset] ⑤ [eqn: A CIRC A^c = U] 009. 전체집합 [eqn: U]의 두부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A＊B= LEFT ( A CUP B RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) ^c] 로 약속할 때, 다음 보기 중에서 [eqn: LEFT ( A＊B RIGHT ) ＊B]와 항상 같은 집합은? ④ ① [eqn: A CUP B] ② [eqn: A SMALLINTER B] ③ [eqn: B] ④ [eqn: A] ⑤ [eqn: A-B]

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개념4	✔ 원소의 개수 : 일단 대충 벤다이어그램으로. ① [eqn: n(A CUP B)=n(A)+n(B)-n(A` SMALLINTER B)] ② [eqn: n(A CUP B CUP C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A SMALLINTER B)-n(B SMALLINTER C)-n(C SMALLINTER A)+n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)] ✔ 교집합의 최소는 [eqn: n(A)+n(B)-n(U)]이다. 외워놓으면 귀찮을 때 좋다.

010. 어느 학급 학생 [eqn: 36]명을 대상으로 이번 주 토요방과 후 프로그램에 참여할 학생 수를 사전 조사하였다. 사전 조사 결과 참여하겠다고 응답한 학생이 [eqn: 24]명, 모르겠다고 응답한 학생이 [eqn: 12]명이었다. 그런데 토요방과 후 프로그램에 실제로 참석한 학생은 [eqn: 17]명이다. 이때 사전 조사에서 참석하겠다고 응답한 학생 중에서 실제로 참석하지 않은 학생 수를 [eqn: p]명, 모르겠다고 응답한 학생 중에서 실제로 참석하지 않은 학생 수를 [eqn: q]명이라고 할 때, [eqn: p-q]의 최댓값과 최솟값의 합은? ④ ① [eqn: 11``] ② [eqn: 12``] ③ [eqn: 13``] ④ [eqn: 14``] ⑤ [eqn: 15``]		011. 전체 학생이 [eqn: 50]명인 어느 학급의 학생들이 가군, 나군, 다군의 세 대학에 복수 지원했다. 원서 마감 결과 가군, 나군, 다군의 대학에 지원한 학생 수는 각각 [eqn: 19], [eqn: 25], [eqn: 27]명이었고, 세 개 군의 대학에 모두 지원한 학생 수는 [eqn: 8]명이었다. 이 때, 두 개 군의 대학에만 지원한 학생 수를 구하여라. (단, 같은 군에 있는 대학은 한 군데만 지원가능하며 어느 대학에도 지원하지 않은 학생은 없다.) [eqn: 5]

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개념5	✔ 집합의 포함관계 : 잘 하자. ✔ [eqn: A SUBSETB] [eqn: LRARROW] ① [eqn: A capB=A] ② [eqn: A cupB=B] ③ [eqn: A-B=emptyset] ④ [eqn: A capB^c =emptyset] ⑤ [eqn: A^c cupB=U] ⑥ [eqn: A ^{c} supersetB ^{c}]

012. [eqn: A=left{left{1,```2right},```emptysetright]에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? ①③⑤ ① [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT } IN A] ② ∅∉[eqn: A] ③ [eqn: rm LEFT { 1,```2 RIGHT }]⊄[eqn: A] ④ [eqn: left{ LEFT { 1,```2 RIGHT } right}]⊄[eqn: A] ⑤ [eqn: LEFT { 1,```2,```emptyset RIGHT }]⊄[eqn: A] 013. 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? ㄱ ㄱ. [eqn: n(emptyset)=0] ㄴ. [eqn: n(left{0right})=0] ㄷ. [eqn: n(0)=0] ㄹ. [eqn: n(left{emptyset`right})=0]		014. 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]가 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,```4,```5,```6,```7 RIGHT }] 일 때, [eqn: A SMALLINTER C=C], [eqn: LEFT ( A-B RIGHT ) CUP C=C]를 동시에 만족하는 집합 [eqn: C]의 개수는? ③ ① [eqn: 8] ② [eqn: 13] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 64] 015. 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A subset B]일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은? ③ ① [eqn: A cup B = B] ② [eqn: A capB= A] ③ [eqn: (A capB)^c = B^c] ④ [eqn: B^c subset A^c] ⑤ [eqn: A-B = emptyset]

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개념6	✏ 원소의 개수가 [eqn: n]개인 집합의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n]개다. [eqn: RARROW] 포함하거나 배제시킬 때 개수에서 빼준다.

016. 집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`x는```10```이하의```자연수 RIGHT }]의 부분집합 중 적어도 한 개의 홀수를 포함하는 부분집합의 개수를 구하여라. [eqn: 992`] 017. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,```5,```6 RIGHT }]일 때, 두 조건 [eqn: X SUBSET A], [eqn: n(B SMALLINTER X)=1]을 만족하는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하여라. (단, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.) [eqn: 24]		018. 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: 2]개 이상인 모든 집합에 대하여 각 집합의 가장 큰 원소를 모두 더한 값은? ⑤ ① [eqn: 98] ② [eqn: 102] ③ [eqn: 106] ④ [eqn: 110] ⑤ [eqn: 114]

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개념7	✔ [eqn: k]의 배수들의 집합을 [eqn: A _{k}]라 하면, ① [eqn: A_k subsetA_l ````` LRARROW`````k``|``l] ② [eqn: A _{k} SMALLINTER A _{l} =A _{rm lcm it (k,```l)}] ③ [eqn: A _{k} CUP A _{l} SUBSET A _{gcd(k,```l)}]

019. 양의 정수 [eqn: k]의 모든 배수를 원소로 하는 집합을 [eqn: A_k]라 할 때, 다음 중에서 옳지 않은 것은? ② ① [eqn: A_4 ^c cupA_6 ^c = A_12 ^c] ② [eqn: A _{3} ` SMALLINTER (A _{2} ` SMALLINTER A _{4} )=A _{6}] ③ [eqn: A_2 cup (A_2 cap A_5 )= A_2] ④ [eqn: A_3 cup(A _6 capA_9 )= A_3] ⑤ [eqn: A_2 cap(A_3 cup A_4 )= A_6 cupA_4] 020. [eqn: n]의 배수의 집합을 [eqn: A _{n}]이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: {108}] (2) [eqn: {60}] (1) [eqn: A_{ n} SUBSET(A _{ 12} SMALLINTERA _{ 18})]을 만족하는 세 자리 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하여라. (2) [eqn: (A _{ 120} SMALLUNIONA _{ 180}) SUBSETA _{ n}]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하여라.		021. 두 자리의 자연수의 전체 집합에서 [eqn: k]의 배수인 수의 집합을 [eqn: A _{k}]라 할 때, 집합 [eqn: A _{2} SMALLINTER (A _{3} CUP A _{4} )]의 원소의 개수는? ④ ① [eqn: 26] ② [eqn: 27] ③ [eqn: 28] ④ [eqn: 29] ⑤ [eqn: 30] 022. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A _{k}]를 [eqn: A _{k} = LEFT { `x`|`x는```k의```배수,```k는```자연수 RIGHT }]라 할 때, 집합 [eqn: A _{4} SMALLINTER LEFT ( A _{3} CUP A _{2} RIGHT )]의 원소의 개수를 구하여라. [eqn: 25]

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개념8	✔ 명제의 뜻 : 잘 하자.

023. 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 명제 ‘[eqn: x+y>3]이면 [eqn: x>a] 또는 [eqn: y>1]이다.’가 참일 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은? ② ① [eqn: 1``] ② [eqn: 2``] ③ [eqn: 3``] ④ [eqn: 4``] ⑤ [eqn: 5``] 024. 실수 전체의 집합에 대하여 명제 ‘어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 이차부등식 [eqn: x^2 -2kx +16 <0]이 성립한다.’의 부정이 참이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? ③ ① [eqn: 7] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 9] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 11]		025. 전체집합 [eqn: U= LEFT { -2,```0,```2 RIGHT }]에 대하여 [eqn: x IN U], [eqn: y inU]일 때, 다음 중 참인 명제는? ③ ① 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: |`x`| >0]이다. ② 어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x-2>0]이다. ③ [eqn: x^2 =4]를 만족시키지 않는 [eqn: x]가 있다. ④ 모든 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y inU]이다. ⑤ 임의의 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x^2 +y^2 <6]이다.

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개념9	✔ 복합명제 : ① 진리집합간의 포함관계 ② 역과 대우 ③ 삼단논법 ④ 필요조건과 충분조건

026. 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]이라고 하자. [eqn: R-(P cupQ)=R]일 때, 다음 중 항상 참인 명제는? ③ ① [eqn: p]이면 [eqn: r]이다. ② [eqn: q]이면 [eqn: r]이다. ③ [eqn: q]이면 [eqn: simr]이다. ④ [eqn: simr]이면 [eqn: p]이다. ⑤ [eqn: simr]이면 [eqn: q]이다. 027. 전체집합 [eqn: U]에서 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 할 때, 다음 중 명제 ‘[eqn: SIMp]이면 [eqn: simq]이다.’가 거짓임을 보이는 원소가 속하는 집합은? ④ ① [eqn: P smallinterQ``] ② [eqn: P smallinterQ^c``] ③ [eqn: P smallunionQ^c``] ④ [eqn: P^c smallinterQ``] ⑤ [eqn: P^c smallinterQ^c``]		028. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: left|x-2 right| le 5]는 [eqn: x gea]이기 위한 충분조건이고, [eqn: left|x-3 right| leb]이기 위한 필요조건이다. [eqn: a]의 최댓값과 [eqn: b]의 최댓값의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하여라. (단, [eqn: b>0]) [eqn: -12] 029. 두 유리수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 [eqn: p:a+b root3 =1-root3], [eqn: q: a^2 +2ab+b^2 =0], [eqn: r:a-b+ab-1=0] 이다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다. ㄴ. [eqn: simp]는 [eqn: simr]이기 위한 필요조건이다. ㄷ. [eqn: q]이고 [eqn: r]는 [eqn: p]이기 위한 필요충분조건이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념10	✔ 대충 이항, 제곱해보면서 크기를 비교해본다.

030. 다음 각 부등식을 증명하여라. (제곱) (1) [eqn: |a|+|b|>= |a+b|] (2) [eqn: root a-b > root a - root b] (단, [eqn: a>b]) (3) [eqn: a>1]일 때 [eqn: a overa-1 > a+1 over a] (4) [eqn: a], [eqn: b]가 양수일 때, [eqn: a+b ge 2 sqrt ab}] 031. 다음 두 수의 크기를 비교하여라. (1) [eqn: A ge B] (2) [eqn: A leB] (1) [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: a+b=1]일 때, [eqn: A=(ax+by)(bx+ay)]와 [eqn: B=xy] (2) [eqn: a ge0], [eqn: a-b=a b`]일 때, [eqn: A= { 1`} over { SQRT { 1+a`} `}], [eqn: B=1- { b`} over { 2`} `]		032. 그림과 같이 철사를 잘라서 겉넓이가 [eqn: 54]인 직육면체 모양의 전등의 골격을 만든 후 한지를 붙이려고 한다. 이때 필요한 철사의 총길이의 최솟값은? (단, 철사를 연결하기 위해 사용되는 부분은 무시한다.) ③ ① [eqn: 12] ② [eqn: 24] ③ [eqn: 36] ④ [eqn: 48] ⑤ [eqn: 15]

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개념11	✏ 산술평균과 기하평균 사이의 관계 : 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: {a+b} over {2} >= sqrt {ab}]가 항상 성립한다. (단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

033. [eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, [eqn: (a+ 2 b ) left( 2 over a + 1 over b right)]의 최솟값은? ③ ① [eqn: -12] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: -8] ⑤ [eqn: 0] 034. 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: (a+3b+4c ) left( 1over a+3b `+ 1overc right)]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 9]		035. 실수 [eqn: a`]에 대하여 이차방정식 [eqn: x^2 -2ax +a -1 =0]이 양수인 두 근을 가진다. 이때, [eqn: 5a -4 + 5overa-1]의 최솟값은? ④ ① [eqn: 8] ② [eqn: 9] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 11] ⑤ [eqn: 12] 036. 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b=3`]일 때, [eqn: {2} over {a} + {1} over {b} `]의 최솟값은? ④ ① [eqn: {3} over {2}] ② [eqn: 2] ③ [eqn: {5} over {2}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: {7} over {2}]

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개념12	✏ 코쉬슈바르츠 부등식 : 부등식 [eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 )>=(ax+by)^2]가 항상 성립한다. (단, 등호는 [eqn: ay-bx=0]일 때 성립한다.)

037. 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 4x+3y=5`]일 때, [eqn: 4x ^{2} +9y ^{2} `]의 최솟값은? ② ① [eqn: 3] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 9] ⑤ [eqn: 11] 038. 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =1]이다. [eqn: 2a+3b+6c`]의 최댓값을 [eqn: alpha], 이때의 [eqn: c^2 overab]의 값을 [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: alpha- beta`]의 값은? ① ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]		039. 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: x+y+z=6]일 때, [eqn: 1over x `+ 4overy `+ 9 overz]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 6] 040. 네 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a+b+c+d=8], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 +d^2 =124] 일 때, 실수 [eqn: d]의 최솟값과 최댓값의 합은? ① ① [eqn: 4] ② [eqn: 7] ③ [eqn: 11] ④ [eqn: 15] ⑤ [eqn: 19]