			원포인트 개념주입 A 집합과 명제

원포인트개념주입

개념1	✏ 집합의 정의 : 알아서 잘 하면 됨 ✔ 문제 풀기 전에 알아야 하는 용어 : 집합, 원소, 포함한다, 조건제시법, 원소나열법, 공집합, 전체집합, 부분집합

집합과 명제

001. 집합 [eqn: A= LEFT { n ^{2} -1`|`1 LEQ n LEQ 3,```n은```정수 RIGHT }]의 모든 원소의 합을 구하여라. [eqn: 11] 002. 두 집합 [eqn: A=left{0,``1,```2right}], [eqn: B=left{-1,```1right}]에 대하여 집합 [eqn: C]를 [eqn: C=left{`x`|`x=a+b,```a inA,```b inB right}]로 정의할 때, 다음 중 집합 [eqn: C]의 원소가 아닌 것은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 2`] ⑤ [eqn: 3]		003. 집합 [eqn: A= LEFT { p,``` LEFT { q,```r RIGHT } RIGHT }]에 대하여 다음 중 옳은 것은? ③ ① [eqn: LEFT { p RIGHT } IN A] ② [eqn: LEFT { q RIGHT } IN A] ③ [eqn: LEFT { q,```r RIGHT } IN A] ④ [eqn: LEFT { p,```q RIGHT } SUBSET A] ⑤ [eqn: LEFT { p,```q,```r RIGHT } SUBSET A] 004. 집합 [eqn: A= LEFT { 0,```1,```2,``` EMPTYSET ,``` LEFT { 1 RIGHT } ,``` LEFT { 1,```2 RIGHT } RIGHT }]일 때, 다음 중 옳은 것은? ③ ① [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =7] ② [eqn: LEFT { emptyset RIGHT } INA] ③ [eqn: LEFT { 1,~2 RIGHT } subsetA] ④ [eqn: LEFT { 0,~1,~2 RIGHT } INA] ⑤ [eqn: LEFT { EMPTYSET ,~ LEFT { 0,~1,~2 RIGHT } RIGHT } subsetA]

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개념2	✏ 집합의 연산 : 대충 벤다이어그램 그려서 알아서 잘 하면 됨 ① [eqn: A-B=A`capB ^{c}] ② [eqn: (A`capB) ^{c} =A ^{c} cupB ^{c}] ③ [eqn: (A`cupB) ^{c} =A ^{c} capB ^{c}] ✔ 알아야 하는 용어 : 벤다이어그램, 합집합, 차집합, 여집합, 서로소.

005. 집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: A cupB != U], [eqn: A= LEFT { 2,```5 RIGHT }], [eqn: LEFT ( A-B RIGHT )cup LEFT ( B-A RIGHT )= LEFT { 4 RIGHT }]가 성립할 때, 집합 [eqn: B``]의 모든 원소의 합을 구하여라. [eqn: 11] 006. 다음 중 벤 다이어그램의 색칠한 부분을 집합으로 나타낸 것은? ④ ① [eqn: A cap LEFT ( B cupC` RIGHT )] ② [eqn: A cup LEFT ( B capC` RIGHT )] ③ [eqn: A - LEFT ( B capC` RIGHT )] ④ [eqn: A- LEFT ( B-C` RIGHT )] ⑤ [eqn: A cap LEFT ( B-C` RIGHT )]		007. 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은? ② ① [eqn: A-B ^{ c}=A cap B] ② [eqn: A-B=B-A] ③ [eqn: LEFT ( A ^{ c} RIGHT ) ^{ c}=A] ④ [eqn: B SUBSET A]이면 [eqn: A capB=B] ⑤ [eqn: A-B=A capB ^{ c}] 008. 공집합이 아닌 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]가 전체집합 [eqn: U]의 부분집합일 때, 다음 중 [eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( B ^{c} SMALLINTER C RIGHT ) ^{c}]와 항상 같은 집합은? ③ ① [eqn: B` SMALLINTER LEFT ( A-C` RIGHT )] ② [eqn: B` CUP LEFT ( A` SMALLINTER C` RIGHT )] ③ [eqn: B` CUP LEFT ( A-C` RIGHT )] ④ [eqn: B- LEFT ( A-C` RIGHT )] ⑤ [eqn: LEFT. LEFT ( B` CUP A RIGHT ) ` SMALLINTER C ^{`c} ` RIGHT )]

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개념3	✏ 집합 [eqn: A]의 원소의 개수를 [eqn: n(A)]로 나타낸다. ✔ 원소의 개수는 그냥 대충 벤다이어그램으로

009. 전제집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: n LEFT ( U RIGHT )`=` 100], [eqn: n LEFT ( A^c CAP B^c RIGHT )`=` 40], [eqn: n LEFT ( A CAP B^c RIGHT )= 10], [eqn: n LEFT ( A^c CAP B RIGHT ) =30]일 때, [eqn: n LEFT ( A CAP B RIGHT )]의 값을 구하여라. [eqn: {20}]		010. 영지네 반에서 축구를 좋아하는 학생은 [eqn: 30]명, 농구를 좋아하는 학생은 [eqn: 20]명이고, 축구와 농구를 모두 좋아하는 학생은 [eqn: 12]명이라 한다. 축구 또는 농구를 좋아하는 학생 수를 구하여라. [eqn: 38] 011. [eqn: 30]명의 학생들에게 수학 문제 두 개를 풀도록 하였다. 그 결과 [eqn: 1]번 문제를 푼 학생은 [eqn: 20]명, [eqn: 2]번 문제를 푼 학생은 [eqn: 17]명이었다. 두 문제를 모두 푼 학생의 최댓값을 [eqn: a]명, 최솟값을 [eqn: b]명이라 할 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라. [eqn: 10]

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개념4	✏ [eqn: A subsetB] : 집합 [eqn: A]는 집합 [eqn: B]의 부분집합이다. [eqn: LRARROW] 집합 [eqn: A]의 모든 원소는 집합 [eqn: B]의 원소이다. ✏ [eqn: A =B] : 집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B]는 서로 같다. [eqn: LRARROW] [eqn: A subsetB]이고 [eqn: A supersetB]이다.

012. 두 집합 [eqn: A= LEFT { x`|`0<x LEQ 2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x`|`a<x<3a+11 RIGHT }]이 [eqn: A subsetB]를 만족할 때, 정수 [eqn: a]의 개수는? ③ ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 013. 집합 [eqn: A= Left{ 0,``` left{1 right} right}]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? ④ ① [eqn: left{0right} subset A] ② [eqn: left{1 right} in A] ③ [eqn: left{left{ 1 right} right} subsetA] ④ [eqn: left{0,~1right} in A] ⑤ [eqn: left{0,~left{1right} right} subsetA]		014. 두 집합 [eqn: A= LEFT { a ^{2} -1,```2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { a+1,```0,```a ^{2} -7 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A subsetB]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: 1] 015. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 0,``1,``2,``3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,``2,``a ^{2} +2,``a ^{2} +a-2 RIGHT }]에 대하여 [eqn: A=B]가 성립하도록 실수 [eqn: a]의 값을 정하여라. [eqn: 1]

	집합과 명제

개념5	✏ 원소의 개수가 [eqn: n]개인 집합의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n]개다. [eqn: RARROW] 특정한 원소 [eqn: a]개를 포함하는 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n-a]개다. [eqn: RARROW] 특정한 원소 [eqn: b]개를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n-b]개다.

016. 집합 [eqn: S= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7 RIGHT }]에 대하여 [eqn: 1 IN X], [eqn: 2 IN X], [eqn: 7 NOTIN X]를 모두 만족하는 집합 [eqn: S]의 부분집합 [eqn: X]의 개수는? ④ ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 8] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 32] 017. 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]에서 [eqn: B subset A]이고 [eqn: B != A]인 집합 [eqn: B]의 개수를 구하여라. [eqn: 15]		018. 두 집합 [eqn: A= LEFT { e,```f RIGHT }], [eqn: C=left{a,```b,```c,```d,```e,```f right}]에 대하여 [eqn: A subset`B subset C]를 만족하는 집합 [eqn: B]의 개수를 구하여라. [eqn: 16``] 019. 두 집합 [eqn: A=left{4,```5right}], [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }]에 대하여 다음 두 조건을 만족하는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하여라. [eqn: 24] (가) [eqn: X]는 [eqn: B]의 부분집합이다. (나) [eqn: A]는 [eqn: X]의 부분집합이 아니다.

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개념6	✏ 명제와 조건의 뜻 : 알아서. ✔ 문제 풀기 전에 알아야 하는 용어 : 명제, 참/거짓, 조건, 진리집합, 부정. ✏ [eqn: p`->`q] : [eqn: p]이면 [eqn: q]이다. [eqn: LRARROW] [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라 할 때, [eqn: P subsetQ]이면 참이다.

020. 전체집합이 정수 전체의 집합일 때, 조건 ‘[eqn: {16} over {x}]은 정수이다.’의 진리집합의 원소의 개수는? ④ ① [eqn: 3``] ② [eqn: 5``] ③ [eqn: 8``] ④ [eqn: 10``] ⑤ [eqn: 12``] 021. 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 조건 ‘[eqn: x>1]이고 [eqn: |`x`| = |`y`|]’의 부정은? ③ ① [eqn: x leq1]이고 [eqn: x!=y``] ② [eqn: x<1] 또는 [eqn: x!=-y] ③ [eqn: x leq1] 또는 [eqn: x!=y]이고 [eqn: x!=-y] ④ [eqn: x<1]이고 [eqn: x!=y] 또는 [eqn: x!=-y] ⑤ [eqn: x leq1]이고 [eqn: x!=y]이고 [eqn: x!=-y]		022. [eqn: x]가 실수일 때, 두 조건 [eqn: p:0<x<3], [eqn: q:a-1 <x<a+3] 에 대하여 명제 [eqn: p` -> `q]가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라. [eqn: 0 leq a leq1``] 023. 전체집합 [eqn: U= LEFT { x`|`x는```6```이하의```자연수right}]에 대하여 명제 ‘[eqn: 4]의 약수는 [eqn: 6]의 약수이다.’가 거짓이 되게 하는 수는? ④ ① [eqn: 1``] ② [eqn: 2``] ③ [eqn: 3``] ④ [eqn: 4``] ⑤ [eqn: 5``] 024. 전체집합 [eqn: U]에서 정의된 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q]라고 하자. 명제 [eqn: p` -> `q]가 참일 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ② ① [eqn: P smallunionQ =P^c``] ② [eqn: P^c smallunionQ =U``] ③ [eqn: P smallinterQ =Q``] ④ [eqn: P^c smallinterQ =P``] ⑤ [eqn: P smallinterQ^c !=emptyset``]

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개념7	✏ 명제 [eqn: p`->`q]와 명제 [eqn: simq `->`simp]는 서로 대우이다. 명제 [eqn: p`->`q]와 명제 [eqn: q`->`p]는 서로 역이다. ※ 한 복합명제와 그의 대우명제는 서로 진리값이 같다.

025. [eqn: x], [eqn: y]가 실수일 때, 다음 중 그 역이 참인 명제는? ④ ① [eqn: x=0]이면 [eqn: xy=0]이다. ② [eqn: 3x-7 >0]이면 [eqn: x>2]이다. ③ [eqn: x>0]이고 [eqn: y>0]이면 [eqn: x+y>0]이다. ④ [eqn: |`x`| + |`y`| =0]이면 [eqn: x=0]이고 [eqn: y=0]이다. ⑤ [eqn: x=0]이면 [eqn: x^2 +x =0]이다. 026. 다음 명제 중 그 역과 대우가 모두 참인 것은? ③ ① [eqn: x^2 =1]이면 [eqn: x=1]이다. ② [eqn: x], [eqn: y]가 짝수이면 [eqn: xy]는 짝수이다. ③ [eqn: xy=0]이면 [eqn: x=0] 또는 [eqn: y=0]이다. ④ [eqn: a>b>0]이면 [eqn: 1 overa < 1overb]이다. ⑤ [eqn: x<1]이면 [eqn: x^2 <1]이다.		027. 명제 ‘[eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: n^2]이 홀수이면 [eqn: n]도 홀수이다.’를 그 대우를 이용하여 증명하여라. 대우로 증명한다.

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개념8	✏ 두 명제 [eqn: p` -> `q]와 [eqn: q` -> `r]가 참이면 [eqn: p` -> `r]가 참이다.

028. 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]에 대하여 두 명제 [eqn: p` -> SIM q], [eqn: r` -> `q]가 모두 참일 때, 다음 명제 중 항상 참인 것은? ③ ① [eqn: simp`->simq] ② [eqn: q`->`r] ③ [eqn: r`->`simp] ④ [eqn: SIM r` -> `q] ⑤ [eqn: simr`->`simp]		029. 전체집합 [eqn: U]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]이 각각 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합이고, 세 명제 [eqn: p` -> `q], [eqn: simq`->`p], [eqn: simr`->`p]가 모두 참일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: R^c subsetP] ㄴ. [eqn: P capR=∅] ㄷ. [eqn: P cupR=Q] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념9	✏ 명제 [eqn: p``rarrow ``q]가 참일 때, ① 조건 [eqn: p]를 [eqn: q]이기 위한 충분조건이라 한다. ② 조건 [eqn: q]를 [eqn: p]이기 위한 필요조건이라 한다.

030. 다음 중 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수이다.) ④ ① [eqn: p :|`a`|+|`b`|=0], [eqn: q:ab=0] ② [eqn: p:a=-b], [eqn: q:a^2 =b^2] ③ [eqn: p:a+b<0,```ab>0], [eqn: q:a<0,```b<0] ④ [eqn: p: {rmtriangleABC는```이등변삼각형이다.], [eqn: q: rm TRIANGLE ABC는```정삼각형이다. it] ⑤ [eqn: p:x=2], [eqn: q:2x^2 -8=0]		031. 두 조건 [eqn: p:x>a], [eqn: ~q:-2<x<1] 에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최댓값은? ① ① [eqn: -2``] ② [eqn: 0``] ③ [eqn: 1``] ④ [eqn: 2``] ⑤ [eqn: 3``] 032. 두 조건 [eqn: p:3x^2 -x-2=0], [eqn: q:3x+a=0``] 에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합을 구하여라. [eqn: -1``]

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개념10	✔ 실수끼리는 대소비교가 가능하다. [eqn: RARROW] 대충 제곱하거나 해보자.

033. [eqn: 0<p<1]일 때, 세 수 [eqn: A=1-p], [eqn: B= root1-p], [eqn: C=1- p over2] 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? ① ① [eqn: A<B<C] ② [eqn: A<C<B] ③ [eqn: B<A<C] ④ [eqn: B<C<A] ⑤ [eqn: C<B<A]		034. 다음은 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]와 [eqn: 0<t<1]을 만족시키는 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: A= left|at+b(1-t) right|], [eqn: B= root{a^2 t+b^2 (1-t)}] 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? ④ ① [eqn: A>B] ② [eqn: A geB] ③ [eqn: A<B] ④ [eqn: A le B] ⑤ [eqn: A=B]

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개념11	✏ 산술평균과 기하평균 사이의 관계 : 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: {a+b} over {2} >= sqrt {ab}]가 항상 성립한다. (단, 등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

035. 넓이가 [eqn: 8]인 직사각형의 대각선의 길이의 최솟값은? ⑤ ① [eqn: 2sqrt { 2}] ② [eqn: sqrt { 13}] ③ [eqn: sqrt { 14}] ④ [eqn: sqrt { 15}] ⑤ [eqn: 4] 036. 양수 [eqn: a], [eqn: b`]가 등식 [eqn: 9a^2 +25b^2 =60]을 만족시킬 때, [eqn: ab`]의 최댓값은? ① ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]		037. 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: t=x+ { 1} over {x }]일 때, [eqn: t]가 가질 수 있는 값의 범위를 구하여라. [eqn: t ge2] 038. [eqn: x>2]일 때, [eqn: x+ 4overx-2]의 최솟값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 6] ⑤ [eqn: 7]

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개념12	✏ 코쉬슈바르츠 부등식 : 부등식 [eqn: (a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 )>=(ax+by)^2]가 항상 성립한다. (단, 등호는 [eqn: ay-bx=0]일 때 성립한다.)

039. 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 두 실수 [eqn: A=(a^2 +b^2 )(x^2 +y^2 )], [eqn: B=left(ax+by)^2] 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? ② ① [eqn: A>B] ② [eqn: A geB] ③ [eqn: A<B] ④ [eqn: A le B] ⑤ [eqn: A=B] 040. 둘레의 길이가 [eqn: 20]인 직사각형의 가로의 길이, 세로의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y]라고 하자. 이때 [eqn: root2x +root3y]의 최댓값은? ⑤ ① [eqn: 4] ② [eqn: 4root2] ③ [eqn: root30] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 5root2]		041. 다음을 구하여라. (1) 최대 : [eqn: 2root5], 최소 : [eqn: - 2 root 5] (2) 최대 : [eqn: root 5], 최소 : [eqn: - root 5] (1) [eqn: x^2 +y^2 =2]일 때, [eqn: 3x+y]의 최댓값과 최솟값 (2) [eqn: x^2 +y^2 =1]일 때, [eqn: 2x-y]의 최댓값과 최솟값