[집합]

B01 | 집합과 원소

집합과 원소

개념1

① 집합 : 모임 (대상이 분명한) : [eqn: A], [eqn: B]로 표현함

② 원소 : 집합에 포함되는 것들

✔ [eqn: a`inA] : [eqn: a]가 [eqn: A]의 원소이다.

✔ [eqn: a NOTIN A] : [eqn: a]가 [eqn: A]의 원소가 아니다.

공집합과 전체집합

개념2

① [eqn: EMPTYSET=left{`````right}] : 공집합 : 원소가 없는 집합

② [eqn: U] : 전체집합 : (고려하는 대상) 전체의 집합

✔ 벤다이어그램 : 집합을 그림으로 나타낸 그거

✔ 원소나열법과 조건제시법 : eg) [eqn: left{1,```2,```3,```4,```5right}=left{`x`|`x는```5```이하의```자연수right}]

[eqn: RARROW] 조건제시법으로 주어진 집합은 원소나열법으로 나타내 보자.

B01E1 | 조건을 만족하는 집합

전체집합 [eqn: U = left{ `x `|` x는```100```이하의```자연수right}]에 대하여 다음 조건을

예제1

모두 만족하는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: A]중에서 원소의 개수가 가장 적은 것은?

(가) [eqn: 3 in A]

(나) [eqn: m inA], [eqn: n inA]이면 [eqn: m+n in A ``]

다음 두 조건을 모두 만족하는 집합 [eqn: A]의 개수는?

예제2

(가) [eqn: A]는 공집합이 아니며 원소로 자연수만을 갖는다.

(나) [eqn: a IN A]이면 [eqn: {16} over {a} IN A]이다.

B02 | 집합의 연산

합집합, 교집합, 차집합, 여집합

개념1

① [eqn: A]와 [eqn: B]의 합집합 : [eqn: A cupB=left{`x`|`x inA```or```x inB right}]

② [eqn: A]와 [eqn: B]의 교집합 : [eqn: A capB=left{`x`|`x inA```and```x inB right}]

③ [eqn: A]와 [eqn: B]의 차집합 : [eqn: A-B= LEFT { `x`|`x IN A```and```x NOTIN B RIGHT }]

④ [eqn: A]의 여집합 : [eqn: A ^{c} = LEFT { `x`|`x NOTIN A RIGHT }]

서로소 : [eqn: A capB=emptyset]이면 집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B]를 서로 서로소라 한다.

개념2

벤다이어그램을 통해 다음을 확인하여라.

예제1

(1) [eqn: A-B=A capB^c]	(2) [eqn: (A cupB)capA=A]

(3) [eqn: (A cupB)^c =A^c capB^c]	(4) [eqn: (A CAP B) ^{c} =A ^{c} CUP B ^{c}]

(5) [eqn: (A^c )^c =A]	(6) [eqn: (A capB)capC=A cap(B capC)]

다음의 영역을 집합의 연산을 이용하여 나타내어라.

예제2

(1)	(2)

B02E1 | 대칭차집합

[eqn: A]와 [eqn: B]의 대칭차집합

개념1

[eqn: A TRIANGLEB=(A cupB)-(A capB)]

[eqn: =(A-B)cup(B-A)]

[eqn: =(한```쪽에만```속한```원소들의```집합)]

다음을 벤다이어그램을 이용하여 나타내어라.

예제1

(1) [eqn: (A TRIANGLE B) TRIANGLE C]	(2) [eqn: (A-B) TRIANGLE C]

다음을 간단히 하여라.

예제2

(1) [eqn: (A-B) TRIANGLE B]	(2) [eqn: (A-B) TRIANGLE A]

(3) [eqn: A TRIANGLE A]	(4) [eqn: A TRIANGLE A^c]

(5) [eqn: A TRIANGLE EMPTYSET]	(6) [eqn: A TRIANGLE U]

B03 | 원소의 개수

[eqn: n(A)] : 집합 [eqn: A]에 속한 원소의 개수

개념1

✔ 간단히 증명할 수 있는 성질

(1) [eqn: n(EMPTYSET)=0]

(2) [eqn: n(A^c )=n(U)-n(A)]

(3) [eqn: n(A-B)=n(A)-n(A`capB)]

(4) [eqn: n(A CUP B)=n(A)+n(B)-n(A` SMALLINTER B)]

(5) [eqn: n(A cupB cupC)=]

집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: n(U)=50], [eqn: n(A^c capB^c )=10],

예제1

[eqn: n(A)=22], [eqn: n(B)=23]일 때, [eqn: n(A capB)]의 값을 구하여라.

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 [eqn: A cap C = emptyset]이고 [eqn: n(A) = 10], [eqn: n(B) = 8], [eqn: n(C)= 6],

예제2

[eqn: n(A cup B) = 14], [eqn: n(B cup C ) = 10]일 때, [eqn: n(A cup B cup C)]의 값을 구하여라.

※ 세 집합에 관련하여 원소의 개수를 구할 때, “한 군데만 속하는 원소들”,

“두 군데 속하는 원소들”, “세 군데 모두 속하는 원소들”의 수를

변수로 놓으면 좋을 때가 가끔 있다.

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 [eqn: n(A CUP B CUP C)=90], [eqn: n(A TRIANGLE B)=40],

예제3

[eqn: n( B triangle C) = 36], [eqn: n( C triangle A) = 5 8]일 때, [eqn: n( A cap B cap C)]의 값을 구하여라.

놀이동산 입장객 [eqn: 100]명을 대상으로 이용한 놀이기구에 대하여 조사하였다.

예제4

바이킹, 회전목마, 롤러코스터를 이용한 입장객은 각각 [eqn: 36`]명, [eqn: 42]명, [eqn: 49]명 이었고,

두 개의 놀이기구만 이용한 입장객은 [eqn: 29]명, 세 개의 놀이기구를 모두 이용한

입장객은 [eqn: 15]명이었다. 이때 적어도 한 개의 놀이기구를 이용한 입장객의 수를

구하여라.

B03E1 | 교집합의 최대최소

[eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여,

개념1

① [eqn: n(A capB)]의 최댓값은 [eqn: min(n(A),```n(B))]

② [eqn: n(A capB)]의 최솟값은 [eqn: n(A)+n(B)-n(U)]

※ 벤다이어그램을 그려서 이해해보자.

[eqn: 100]명의 학생 중 커피를 좋아하는 학생이 [eqn: 55]명, 도넛을 좋아하는

예제1

학생이 [eqn: 75]명이다. 커피와 도넛을 모두 좋아하는 학생 수를 [eqn: x]라고 할 때,

[eqn: x]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

※ 집합이 세 개면 안쪽에서부터 정리해보자.

전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여

예제2

[eqn: n(U)=50], [eqn: n(A)=25], [eqn: n(B)=34], [eqn: n(C)=30],

[eqn: n(A capB)=18], [eqn: n(B capC)=22], [eqn: n(C capA)=17]

일 때, [eqn: n({A capB capC})]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.

학생 [eqn: 110]명이 국어, 영어, 수학 시험을 보는데, 국어를 합격한 사람은

예제3

[eqn: 92]명, 영어를 합격한 사람은 [eqn: 75]명, 수학을 합격한 사람은 [eqn: 63]명이고, 국어와

영어를 모두 합격한 사람은 [eqn: 65]명, 국어와 수학을 모두 합격한 사람은 [eqn: 54]명,

영어와 수학을 모두 합격한 사람은 [eqn: 48]명이다. 세 과목 모두 합격한 학생 수의

최솟값을 구하여라.

B04 | 집합의 포함관계

[eqn: A SUBSETB] : 모든 [eqn: A]의 원소는 [eqn: B]의 원소이다.

개념1

[eqn: LRARROW] [eqn: A]는 [eqn: B]에 포함된다.

[eqn: LRARROW] [eqn: A]는 [eqn: B]의 부분집합이다.

✔ [eqn: A SUBSETB]를 보이려면 ‘[eqn: A]의 원소이면 [eqn: B]의 원소이다.’를 증명하면 된다.

✔ [eqn: A=B]임을 보이려면 ‘[eqn: A subsetB]이고 [eqn: B subsetA]이다.’를 증명하면 된다.

다음을 확인해보자.

예제1

(1) [eqn: A-B subsetA]	(2) [eqn: A capB subsetA]

(3) [eqn: A subsetU]	(4) [eqn: emptyset subsetA]

B04E1 | 집합을 원소로 가지는 집합

[eqn: A= left{1,```left{1right}right]이면,

예제1

(1) [eqn: A]의 원소는 [eqn: 2]개 : [eqn: 1 inA],   [eqn: left{1right}inA]

(2) [eqn: A]의 부분집합은 [eqn: 4]개 : [eqn: emptyset subsetA],   [eqn: left{1right}subsetA],   [eqn: left{ LEFT { 1 RIGHT } right} SUBSET A],   [eqn: LEFT { 1,``` LEFT { 1 RIGHT } RIGHT } SUBSET A]

[eqn: A=left{1,```2,```left{1,```2right}right}]이면,

예제2

(1) [eqn: A]의 원소는 [eqn: 3]개 :

(2) [eqn: A]의 부분집합은 [eqn: 8]개 :

B04E2 | 집합의 포함관계와 같은 표현

조건 [eqn: A SUBSETB]은 다음과 동치이다.

개념1

① [eqn: A capB=A]	② [eqn: A cupB=B]

③ [eqn: A-B=emptyset]	④ [eqn: A capB^c =emptyset]

⑤ [eqn: A^c cupB=U]	⑥ [eqn: A ^{c} supersetB ^{c}]

※ 필요충분임을 증명해보자.

[eqn: RARROW] 벤다이어그램에서 어느 부분이 공집합인지를 따져보면 좋다.

[eqn: LEFT. pile{###} RIGHT }]	최소공배수

[eqn: LEFT. pile{###} RIGHT }]	공약수

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A subset B]일 때, 다음 중 항상 성립하지 않는 것은?

예제1

① [eqn: A`cupB=B]	② [eqn: A`capB=A]	③ [eqn: (A`capB) ^{c} =B ^{c}]

④ [eqn: B^c subset A^c]	⑤ [eqn: A-B= emptyset]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: LEFT ( A CUP B RIGHT ) SMALLINTER LEFT ( B-A RIGHT ) ^{c} =A CUP B]일 때, [eqn: A-B ^{c}]을 간단히 하면?

예제2

① [eqn: A]	② [eqn: B]	③ [eqn: emptyset]

④ [eqn: U]	⑤ [eqn: A-B]

B04E3 | 배수집합

[eqn: d]의 양의 배수들의 집합을 [eqn: N_d]라 하자.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: N _{2} = LEFT { 2,```4,```6,```8,``` CDOTS right}]

[eqn: RARROW] [eqn: N _{6} = LEFT { 6,```12,```18,```24,``` CDOTS RIGHT }]

✔ [eqn: N _{2} capN _{6} =left{6,```12,```18,```24,```cdots`right}=N _{6}]

[eqn: N _{4} SMALLINTER N _{6} = LEFT { 12,```24,```36,```48,``` CDOTS ` RIGHT } =N _{12}]

✔ [eqn: N _{2} cupN _{6} = LEFT { 2,```3,```4,```6,``8,```9,```10,```` CDOTS ` RIGHT } subsetN _{1}]

[eqn: N _{12} CUP N _{18} = LEFT { 12,```18,```24,```36,``48,```54,```` CDOTS ` RIGHT } SUBSET N _{1} ,```N _{2} ,```N _{3} ,```N _{6}]

B05 | 부분집합의 개수

[eqn: n(A)=N]이면 [eqn: A]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^N]개다.

개념1

pf1) 각자 포함되거나 포함되지 않기 때문에,

pf2) 원소가 하나 들어오면 부분집합의 개수가 [eqn: 2]배로 늘기 때문에

[eqn: X subset left{1,```2,```3,```4,```5,```6 right}]일 때, 다음을 만족하는 [eqn: X]의 개수를 구하여라.

예제1

(1) 그냥 [eqn: X]	(2) [eqn: 2 inX]

(3) [eqn: 3 NOTIN X]	(4) [eqn: 2 inX], [eqn: 3 notinX]

(5) [eqn: left{1,```3,```5 right} subsetX]	(6) [eqn: left{1,```2 right} capX=emptyset]

(7) [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT } SMALLINTER X!= EMPTYSET]	(8) [eqn: LEFT { 1,```2,```3 RIGHT } SMALLINTER X != EMPTYSET]

B05E1 | 부분집합의 원소들의 합

집합 [eqn: U=left{1,```2,```3,```4,```5,```6 right}]에 대하여 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: U]의 각 부분집합들에 속하는 원소의 합

(2) [eqn: U]의 각 부분집합들 중 [eqn: 1]을 포함하지 않는 집합들에 속하는 원소의 합

(3) [eqn: U]의 각 부분집합들 중 [eqn: 1]을 포함하는 집합들에 속하는 원소의 합

(4) [eqn: U]의 각 부분집합들 중 [eqn: 1]과 [eqn: 2]를 포함하는 집합들에 속하는 원소의 합

(5) [eqn: U]의 각 부분집합들 중 원소가 두 개짜리인 집합들에 속하는 원소의 합

[명제]

B06 | 명제와 조건

명제와 조건

개념1

① 명제 : 참, 거짓을 가릴 수 있는 문장이나 식 : [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: cdots]로 나타낸다.

② 조건 : 미지수의 값이 주어지면 명제가 되는 문장이나 식 : [eqn: p(x)], [eqn: q(x)], [eqn: cdots]

✔ 진리집합 : 조건이 참이 되게 하는 미지수들의 집합

eg) (1) [eqn: 2+5>3]은 참인 명제이다.

(2) [eqn: 2+5=3]은 거짓인 명제이다.

(3) 조건 [eqn: p(x)``:``2x+3=11]에 대하여 [eqn: p(3)]은 거짓, [eqn: p(4)]는 참이다.

(4) 조건 [eqn: x^2 -2x-8=0]의 진리집합은 [eqn: left{-2,```4right]이다.

(5) 조건 [eqn: 3x+1<7]의 진리집합은 [eqn: LEFT { ``x``|``x<2`` RIGHT }]이다.

B07 | 명제의 부정

[eqn: p]의 부정 : [eqn: SIMp] ; “[eqn: p]가 아니다.”

개념1

[eqn: RARROW] 두 명제 [eqn: p]와 [eqn: SIMp]의 진릿값은 반대이며, (하나가 참이고 다른 것은 거짓)

두 조건 [eqn: p(x)]와 [eqn: SIMp(x)]의 진리집합은 서로 여집합이 된다.

[eqn: {cases{#####}}][eqn: {cases{#####}}]

※ 일반적으로 부정을 간단히 ‘[eqn: p]가 아니다.’라고 표현하지만 실제로는 진리값을

정확하게 반대로 뒤집어 줘야하기 때문에 어려운 문제일 수 있다.

명제의 부정

개념2

① ‘작다([eqn: <])’의 부정은 ‘크거나 같다([eqn: ge])’가 된다.

② ‘그리고(and)’의 부정은 ‘또는(or)’이 된다.

③ '모든(all)'의 부정은 ‘어떤(some)'이 된다.

※ ‘어떤’이란 단어는 여러 방법으로 표현할 수 있으니 참고하자.

세 명 중 어떤 사람은 못생겼다.

‘세 명 모두 잘생겼다.’를 부정하면	세 명 중 못생긴 사람이 존재한다.

세 명 중 적어도 한 명은 못생겼다.

※ 복합명제는 기본적으로 ‘모든’을 포함하고 있으므로 부정할 때 주의하도록 한다.

정수는 유리수가 아니다. (X)

‘정수는 유리수이다.’를 부정하면   어떤 정수는 유리수가 아니다. (O)

유리수가 아닌 정수가 존재한다. (O)

✔ ‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’의 부정은 ‘어떤 [eqn: p]는 [eqn: SIMq]이다.’ ([eqn: P -Q!=emptyset]이어야 하므로)

✔ ‘어떤 [eqn: p]는 [eqn: q]이다.’의 부정은 ‘(모든) [eqn: p]는 [eqn: SIMq]이다.’

※ 우리나라 말 자체가 가끔 중의가 돼서 헷갈릴 때가 있다.

eg) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 유리수가 아니다.

[eqn: RARROW] [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 유리수는 없다. / [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 유리수가 아닌 것이 있다.

다음 명제/조건을 부정하여라.

예제1

(1) [eqn: x ^{2} -2x-8=0]

(2) [eqn: 3x+1<7]

(3) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} >x]이다.

(4) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x>0] 또는 [eqn: x<0]이다.

B08 | 복합명제

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 ‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’와 같은 명제를 복합명제라 하고

개념1

[eqn: p``->``q]로 나타낸다. 이때, [eqn: p]를 가정, [eqn: q]를 결론이라 한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합이 각각 [eqn: P], [eqn: Q]일 때, [eqn: p``->``q]가 참이 되려면

개념2

[eqn: P subsetQ]여야 한다. [eqn: p``->``q]가 참일 때, [eqn: p``RARROW``q]로 나타낸다.

다음 복합명제의 참 거짓을 설명할 수 있는 두 진리집합을 말하여라.

예제1

(1) 사람은 죽는다.

(2) [eqn: x=1]이면 [eqn: x^2 =1]이다.

(3) [eqn: x>2]이면 [eqn: x>3]이다.

B08E1 | 역과 대우

복합명제 [eqn: p``->``q]에 대하여

개념1

① [eqn: q``->``p]를 명제의 역이라 한다.

② [eqn: SIMq`` -> ``SIMp]를 명제의 대우라 한다.

한 복합명제와 그 대우명제의 진릿값은 같다. (서로 같은 말이 된다.)

개념2

[eqn: RARROW] 증명이 안 될 때, 대우를 생각해보면 행복해질 수도 있다.

‘[eqn: n ^{2}]이 홀수이면 [eqn: n]이 홀수이다.’를 증명하여라.

예제1

B08E2 | 반례

복합명제 [eqn: p``->``q]가 참이려면 [eqn: P`subsetQ]여야 하므로

개념1

[eqn: p``->``q]가 거짓임을 보이려면 [eqn: P`subsetQ]가 아님을 보여야 한다.

즉, [eqn: P-Q]에 원소가 있음을 보여야 한다. 이 원소를 [eqn: p``->``q]의 반례라 한다.

eg) ‘수학선생님들은 잘생겼다.’가 거짓임을 보이려면

‘못생긴 수학선생’을 데려와야 한다.

명제 [eqn: SIM p`` -> ``q]의 반레가 속하는 집합은?

예제1

① [eqn: P SMALLINTER Q]	② [eqn: P CUP Q]	③ [eqn: P-Q]

④ [eqn: Q-P]	⑤ [eqn: (P CUP Q) ^{c}]

B09 | 삼단논법

두 명제 [eqn: p``rarrow ``q]와 [eqn: q`` -> ``r]가 참이면 [eqn: p``rarrow``r]가 참이다.

개념1

pf) [eqn: P subsetQ], [eqn: Q subsetR]이면 [eqn: P subsetR]이므로.

eg) ‘소크라테스는 사람이다.’와 ‘사람은 죽는다.’에서

두 명제 [eqn: SIM p`` -> ``q], [eqn: r``->``simq]가 참일 때 다음 중 참이라 할 수 없는 명제는?

예제1

① [eqn: simq``->``p]	② [eqn: q``->``simr]	③ [eqn: simp``->``simr]

④ [eqn: r``->``p]	⑤ [eqn: q``->``simp]

두 명제『날씨가 춥지 않으면 제비가 돌아온다.』, 『봄이 오면 꽃이 핀다.』

예제2

가 참일 때, 이 두 명제로부터 명제 『봄이 오면 제비가 돌아온다.』가 참이라는

결론을 얻기 위해서 필요한 명제를 말하여라.

B10 | 필요조건과 충분조건

명제 [eqn: p``rarrow ``q]가 참일 때,

개념1

① 조건 [eqn: p]를 [eqn: q]이기 위한 충분조건이라 한다.

② 조건 [eqn: q]를 [eqn: p]이기 위한 필요조건이라 한다.

eg) '수학선생님들은 잘생겼다.‘에서 필요조건과 충분조건을 말하면?

명제 [eqn: p``rarrow ``q]와 [eqn: q`` -> ``p]가 모두 참일 때,

개념2

두 조건 [eqn: p]와 [eqn: q]를 서로 필요충분조건, 혹은 동치라 한다.

[eqn: {cases{#####}}]

다음 두 조건이 서로 어떤 관계인지 말하여라.

예제1

(1) [eqn: p:x ^{2} =1],   [eqn: q:x=1]

(2) [eqn: p:ab=0],   [eqn: q:a ^{2} +b ^{2} =0]

B11 | 절대부등식의 증명

실수는 수직선상의 점들과 1-1대응된다.

개념1

[eqn: RARROW] 모든 실수는 크기 비교가 가능하다.

✔ 부등식의 성질 고찰	[eqn: ac<bc] ([eqn: c>0])

① [eqn: a<b] [eqn: RARROW] [eqn: a+c<b+c]	② [eqn: a<b] [eqn: RARROW]	[eqn: ac=bc] ([eqn: c=0])

③ [eqn: a<b] [eqn: RARROW] [eqn: a^2 <b^2] [eqn: ?]	[eqn: ac>bc] ([eqn: c<0])

④ [eqn: a<b] [eqn: RARROW] [eqn: a ^{3} <b ^{3}] [eqn: ?]

⑤ [eqn: a<b] [eqn: RARROW] [eqn: {1} over {a} < {1} over {b}] [eqn: ?]

[eqn: sqrt {2} +1]과 [eqn: sqrt {5}]의 크기를 비교하여라.

예제1

[eqn: a>b>0]인 두 실수에 대하여 [eqn: sqrt {a-b} > sqrt {a} - sqrt {b}]임을 증명하여라.

예제2

[eqn: {cases{##}}][eqn: {cases{#####}}]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: |a|+|b|ge|a+b|]임을 증명하여라.

예제3

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: x], [eqn: y]가 실수일 때, 부등식 [eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} )ge(ax+by) ^{2}]을 증명하여라.

예제4

B11E1 | 기타 절대부등식

삼각부등식 [eqn: |a+b|le|a|+|b|]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: b=-a+b]를 취하면 [eqn: |b|-|a| LEQ |b-a|]

인수분해와 절대부등식 :

개념2

① [eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} ge0] [eqn: RARROW] [eqn: a<b```LRARROW```a^3 <b^3]

② [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca ge0]

B12 | 일차부등식의 특수해

[eqn: x< {b} over {a}] ([eqn: a>0])

일차부등식 [eqn: ax<b]의 근 [eqn: RARROW]	[eqn: x> {b} over {a}] ([eqn: a<0])

개념1

실수전체 ([eqn: a=0], [eqn: 0<b])

근이 없다. ([eqn: a=0], [eqn: 0geb])

안특수해 개념1	[eqn: {cases{##}}]

✔ 일차부등식의 근이 ‘없다.’거나 ‘모든 실수’이면 일차항의 계수가 [eqn: 0]이다.

[eqn: (a-1)(a+1)x<a]의 근이 존재하지 않게 되는 [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제1

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (t^2 -2t-3)x get+1]이 성립할 때, [eqn: t]의 값을 구하여라.

예제2

B13 | 이차부등식의 특수해

[eqn: (x-alpha)(x-beta)<0] [eqn: RARROW] [eqn: alpha<x<beta]

[eqn: (x- alpha )(x- beta )>0] [eqn: RARROW] [eqn: x<alpha] 또는 [eqn: beta<x]

특수해 : [eqn: D le0]일 때

개념2

① [eqn: ax^2 +bx+c=0]의 [eqn: D] : 근의 개수 판별

② [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 [eqn: x]절편 [eqn: LRARROW] [eqn: ax^2 +bx+c=0]의 근

③ [eqn: D>0], [eqn: D=0], [eqn: D<0]일 때의 [eqn: y=ax^2 +bx+c]의 개형?

④ 그에 따른 부등식의 근?

B14 | 산술평균과 기하평균

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: {a+b} over {2} ge sqrt {ab}]가 항상 성립한다.

개념1

(등호는 [eqn: a=b]일 때 성립한다.)

※ [eqn: { a+b} over {2 }]를 두 수의 산술평균, [eqn: sqrt { ab}]를 두 수의 기하평균이라 한다.

※ 거의 쓰이지 않는 식 : [eqn: {a+b} over {2} ge sqrt {ab} ge {2ab} over {a+b}]

※ 교과과정을 넘어서지만 봐둬야 하는 식 : [eqn: {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}} over {n} ge root {n} of {a _{1} a _{2} CDOTS a _{n}}]

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b=10]일 때, [eqn: ab]의 최댓값을 구하여라.

(2) 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab=18]일 때, [eqn: 2a+b]의 최솟값을 구하여라.

(3) 두 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y=4]일 때, [eqn: sqrt {x} + sqrt {y}]의 최댓값을 구하여라.

(4) 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: { a^2} over {9 }+ { b^2} over { 4}=1]을 만족할 때, [eqn: { 18} over { ab}]의 최솟값을 구하여라.

(5) [eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, [eqn: left(2a+ { 1} over { b}right)left(2b+ { 1} over {a }right)]의 최솟값을 구하여라.

(6) 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 4x+ {9} over {x}]의 최솟값을 구하여라.

(7) [eqn: x>-1]일 때, [eqn: x+ { 9} over {x+1 }]의 최솟값과 그때의 [eqn: x]값을 구하여라.

(8) [eqn: a> {1} over {2}]일 때, [eqn: (a-1)+ {2} over {2a-1}]의 최솟값과 그때의 [eqn: a]값을 구하여라.

(9) 두 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 9x+2y=16]일 때, [eqn: {2} over {x} + {1} over {y}]의 최솟값을 구하여라.

(10) [eqn: a>0], [eqn: b>0], [eqn: c>0]일 때, [eqn: LEFT ( {a} over {b} + {b} over {c} RIGHT ) LEFT ( {b} over {c} + {c} over {a} RIGHT ) LEFT ( {c} over {a} + {a} over {b} RIGHT )]의 최솟값을 구하여라.

(11) 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: (a+3b+4c ) left( 1over a+3b `+ 1overc right)]의 최솟값을 구하여라.

(12) [eqn: x>0], [eqn: y>0], [eqn: z>0]일 때, [eqn: ( x + y +z)left( 1 over{ 2 x + y } + 1 over{ y +2 z } right)]의 최솟값을 구하여라.

B15 | 코쉬슈바르츠 부등식

부등식 [eqn: (a ^{2} +b ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} )ge(ax+by) ^{2}]가 항상 성립한다.

개념1

(등호는 [eqn: ay-bx=0]일 때 성립한다. [eqn: RARROW] 대충 : [eqn: { b} over {a }= { y} over {x }] or [eqn: {x} over {a} = {y} over {b}])

※ [eqn: (a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} )ge(ax+by+cz) ^{2}]

※ [eqn: (a _{1} ^{2} +a _{2} ^{2} + CDOTS +a _{n} ^{2} )(b _{1} ^{2} +b _{2} ^{2} + CDOTS +b _{n} ^{2} )ge(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} + CDOTS +a _{n} b _{n} ) ^{2}]

① 두개짜리 증명 : 전개 후 한쪽 변으로 이항.

② [eqn: n]개짜리 증명 : 이차식 [eqn: (a_1 x-b_1 )^2 +(a_2 x-b_2 )^2 +cdots+(a_n x-b_n )^2]을 이용해서.

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: a^2 +b^2 =5]이고 [eqn: x^2 +y^2 =45]일 때, [eqn: ax+by]의 최댓값을 구하여라.

(2) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =20]일 때, [eqn: 2x+4y]의 최솟값을 구하여라.

(3) 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x+3y=13]일 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최솟값을 구하여라.

(4) 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =1]이다. [eqn: 2a+3b+6c`]의 최댓값을 구하여라.

(5) 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]에 대하여 [eqn: 4x+y+3z=12]일 때, [eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +9z ^{2}]의 최솟값을 구하여라.

(6) 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 [eqn: x+y+z=26]일 때, [eqn: sqrt {x} +3 sqrt {y} +4 sqrt {z}]의 최댓값을 구하여라.

(7) 두 양수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: 3x+2y=16]일 때, [eqn: sqrt {3x} + sqrt {2y}]의 최댓값을 구하여라.

(8) 세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: x+y+z=6]일 때, [eqn: {1} over {x} + {4} over {y} + {9} over {z}]의 최솟값을 구하여라.