		원포인트 개념주입 C 적분

원포인트개념주입

개념1	✏ 정적분의 연산 : [eqn: F`'(x)=f(x)]이면, [eqn: int_a ^b f(x)dx=F(b)-F(a)]

적분

001. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= {cases{-3x+4&~(x LEQ 0)#4&~(x>0)}}] 일 때, [eqn: int _{1} ^{3} {xf(x-2)dx}]의 값을 구하여라. [eqn: 18]

	적분

002. [eqn: 0 LEQ a LEQ 4]인 실수 [eqn: a]에 대하여, 정적분 [eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | x-a RIGHT |dx}]의 최솟값을 구하여라. [eqn: 4]
003. 모든 일차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{1} {(x^2 + ax + b) f (x )dx` = 0}] 을 만족시킬 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? ④ ① [eqn: - {1} over {12}] ② [eqn: - {1} over {6}] ③ [eqn: - {1} over {4}] ④ [eqn: - {1} over {3}] ⑤ [eqn: - {1} over {2}]

	적분

개념2	✏ 정적분으로 정의된 함수와 미분 : [eqn: { d} over {dx }int_a ^x f(t)dt=f(x)]

004. 삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. 두 함수, [eqn: F`(x)= int _{0} ^{x} {} `f(t)`dt], [eqn: G`(x)= int _{0} ^{x} {} `|`f(t)`|`dt] 가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 구간 [eqn: [0,```b]]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? ⑤ (가) 구간 [eqn: [`0,```b`]]에서 함수 [eqn: y=F`(x)]의 최댓값은 [eqn: 3]이다. (나) 구간 [eqn: [`0,```b`]]에서 함수 [eqn: y=G`(x)-F`(x)]의 최댓값은 [eqn: 4]이다. ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5]

	적분

005. 다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족한다. (가) [eqn: f(1)=25] (나) [eqn: f(x)= 1over2 int_x^x+1{f(t)dt}- 1over2 int_x^x-1 {f(t)dt} - int_0^1{f(t)dt}] (다) 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y)+f(x-y) =2 left{f(x)+f(y) right}] 이다. 이때, [eqn: f'(1)]의 값을 구하여라. [eqn: 50]
006. 삼차함수 [eqn: f(x)]가 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c][eqn: (a<b<c)]에 대하여 다음 두 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f(a)=f(b)=f(c)=0] (나) [eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx}`< int _{ c} ^{ b} {f(x)dx }`<0] 다음 중 정적분 [eqn: F`(x)= int _{a} ^{x} {f(t)dt}]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: x]의 값은? ① ① [eqn: a] ② [eqn: b] ③ [eqn: c] ④ [eqn: {a+b} over {2}] ⑤ [eqn: {b+c} over {2}]

	적분

개념3	✏ 정적분과 항등식 : 종류별로 잘 풀어라.

007. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: int_x^2 (x-t ) f(t) dt = x^3 - 3x^2 + 4] 를 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값을 구하여라. [eqn: 12]

	적분

008. 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + int _{0} ^{1} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]라 하자. 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에 동시에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: m ^{2}]의 값은? ④ ① [eqn: {10} over {3}] ② [eqn: 4] ③ [eqn: {14} over {3}] ④ [eqn: {16} over {3}] ⑤ [eqn: 6]
009. 다음 식을 만족시키는 다항식 [eqn: f(x)]의 계수들의 합은? ① [eqn: f(f(x))= int _{0} ^{x} {f(t)dt} -x ^{2} +3x+3] ① [eqn: 3] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: 0] ⑤ [eqn: -1]

	적분

개념4	✔ 넓이 : 적분하면 돼.

010. 다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y= x^2 - 6x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: A], 이 곡선과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=k]로 둘러싸인 영역의 넓이를 [eqn: B]라 하자. [eqn: A=2B]가 성립할 때, 상수 [eqn: k]의 값은? ② (단, [eqn: k > 6]) ① [eqn: 3+3 sqrt { 2}] ② [eqn: 3+3 sqrt { 3}] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 3+4 sqrt { 3}] ⑤ [eqn: 8]

	적분

011. 두 함수 [eqn: y=it-4x^2 +8x `]와 [eqn: y=4 LEFT | x-1RIGHT |-4]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 [eqn: y= ax(2- x )]에 의하여 이등분될 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: 0 <a< 1]) ⑤ ① [eqn: {1} over {6}] ② [eqn: {1} over {5}] ③ [eqn: {1} over {4}] ④ [eqn: {1} over {3}] ⑤ [eqn: {1} over {2}]
012. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2]과 양수 [eqn: t]에 대하여 세 점 [eqn: rm O(0,```0)], [eqn: rm A(it t,```0)], [eqn: rm B(it t,```t^2 )]을 지나는 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]의 내부와 부등식 [eqn: y LEQ x^2]이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: S` prime(1)={p pi +q}over 4]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수이다.) [eqn: 13]

	적분

개념5	✔ 잘린 부분의 넓이 : 나눠서 적분하면 돼.

013. 좌표평면 위에 네 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(1,```0)], [eqn: rmB(1,```1)], [eqn: rmC(0,```1)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm OABC]가 있다. 곡선 [eqn: y=x ^{4}]과 직선 [eqn: y=k LEFT ( 0 <k<1 RIGHT )]에 의하여 정사각형 [eqn: rm OABC]를 네 영역으로 나눌 때, 다음 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3], [eqn: S_4]라 하자. 이때, [eqn: LEFT | S _{1} -S _{3} RIGHT | + LEFT | S _{2} -S _{4} RIGHT |]의 최솟값은? ③ ① [eqn: {2} over {5}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: {3} over {5}] ④ [eqn: {2} over {3}] ⑤ [eqn: {3} over {4}]

	적분

014. 그림과 같이 포물선 [eqn: y = -x^2 +4x]와 두 직선 [eqn: y=2x], [eqn: y=x]로 둘러싸인 도형의 넓이는? ③ ① [eqn: {13} over {6}] ② [eqn: {8} over {3}] ③ [eqn: {19} over {6}] ④ [eqn: {11} over {3}] ⑤ [eqn: {25} over {6}]
015. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2x^ 3 (0 LEQ x LEQ 2)]에 대하여 이 곡선과 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x =k]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 이 곡선과 직선 [eqn: x= k], 직선 [eqn: y= 16]으로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자. [eqn: A]의 넓이와 [eqn: B]의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 0 < k < 2]) ⑤ ① [eqn: {1} over {3}] ② [eqn: {1} over {2}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: {4} over {3}] ⑤ [eqn: {3} over {2}]

	적분

개념6	✔ 이차함수와 넓이 : [eqn: left|{ a} over {6 }(beta-alpha)^3 right|] ※ 삼차함수와 넓이 : [eqn: LEFT | {a} over {12} ( beta - alpha ) ^{4} RIGHT |]

016. 이차함수 [eqn: y=x^2] 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]에 대하여 [eqn: rm barPQ it=l]로 일정할 때, 이 곡선과 직선 [eqn: rmPQ]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. [eqn: S`]의 최댓값을 [eqn: l]을 이용하여 나타낸 것은? ⑤ ① [eqn: l^3 over2] ② [eqn: l^3 over3] ③ [eqn: l^3 over4] ④ [eqn: l^3 over5] ⑤ [eqn: l^3 over6]

	적분

017. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2}], [eqn: y= sqrt {x-a}]는 한 점에서 만나고, 그 점에서의 접선의 기울기가 같다. 두 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: a]는 양수이다.) ② ① [eqn: {1} over {16}] ② [eqn: {1} over {12}] ③ [eqn: {1} over {8}] ④ [eqn: {1} over {6}] ⑤ [eqn: {1} over {4}]
018. 곡선 [eqn: y=x^3] 위의 점 [eqn: rm A(it a,```a^3 )]에서의 접선이 이 곡선과 점 [eqn: rm B]에서 만나고, 점 [eqn: rmB`]에서의 접선은 이 곡선과 점 [eqn: rmC]에서 만난다고 하자. 선분 [eqn: rm BC]와 이 곡선 사이의 넓이를 선분 [eqn: rm AB]와 이 곡선 사이의 넓이로 나눈 값은? (단, [eqn: a!=0]) ③ ① [eqn: 4] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 16] ④ [eqn: 32] ⑤ [eqn: 64]

	적분

개념7	✏ 역함수와 넓이 : [eqn: y]축쪽에서 보고

019. 곡선 [eqn: y= sqrt {x-2}]와 두 직선 [eqn: x=3], [eqn: x=6] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? ④ ① [eqn: {11} over {3}] ② [eqn: 4] ③ [eqn: {13} over {3}] ④ [eqn: {14} over {3}] ⑤ [eqn: 5]

	적분

020. 구간 [eqn: [1,```4]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]는 역함수 [eqn: g it (x)]가 존재하고, 다음 조건을 모두 만족시킨다. 이때, [eqn: int _{1} ^{4} {f(x)dx}]의 값은? ③ (가) [eqn: 0<f(1)<f(4)] (나) [eqn: 4f(4)-f(1)=20] (다) [eqn: int _{1} ^{4} {f(x)dx} = int _{f(1)} ^{f(4)} { g it (y)dy}] ① [eqn: 5] ② [eqn: 8] ③ [eqn: 10] ④ [eqn: 12] ⑤ [eqn: 15]
021. [eqn: x GEQ 0]에서 정의된 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이고, [eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} { LEFT { f LEFT ( t RIGHT )-g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }dt }`` LEFT ( x GEQ0 RIGHT )] 라 하면 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=8]일 때 극댓값 [eqn: 14]를 갖고, [eqn: x=12]일 때 극솟값 [eqn: 6]을 갖는다고 한다. 이때, 정적분 [eqn: int _{0} ^{12} {g LEFT ( t RIGHT )dt }]의 값을 구하여라. [eqn: 69]

	적분

개념8	✏ 대칭, 주기함수의 적분 : 적당히 잘.

022. 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: f(x)= it -2x ^{2} +2(-1 LEQ x LEQ 1)] (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+2)] 이때, [eqn: int _{-k} ^{k} {f (x)dx}=80]인 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 30]

	적분

023. 함수 [eqn: f(x)]가 직선 [eqn: x= 2]에 대하여 대칭이고, [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}=a], [eqn: int _{1} ^{4} {f(x)dx`}=b] 일 때, 다음 보기 중 [eqn: int _{1} ^{2} {f(x)dx]를 [eqn: a], [eqn: b]로 바르게 나타낸 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) ② ① [eqn: {-a-b} over {2}] ② [eqn: {b-a} over {2}] ③ [eqn: {a-b} over {2}] ④ [eqn: {a} over {2}+b] ⑤ [eqn: a+ {b} over {2}]
024. [eqn: -1 LEQ x LEQ 0]에서 [eqn: f(x) = x +1]이며, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 두 등식 [eqn: f(x) = f(-x)], [eqn: f(x) = f(x + 2)] 을 만족시킬 때, [eqn: int _{-2} ^{3} {f(x)dx}`]의 값은? ③ ① [eqn: {3} over {2}] ② [eqn: 2] ③ [eqn: {5} over {2}] ④ [eqn: 3] ⑤ [eqn: {7} over {2}]

	적분

개념9	✏ 속력과 이동거리 : ① 속도의 크기가 속력이다. ② 속력을 적분하면 이동거리이다.

025. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: int _{0} ^{a} {□`v LEFT ( t RIGHT ) `□`dt`=` int _{a} ^{d} {□`v LEFT ( t RIGHT ) `□`dt}}]일 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ④ ㄱ. 점 [eqn: rm P]는 출발하고 나서 원점을 다시 지난다. ㄴ. [eqn: int _{0} ^{c} {v LEFT ( t RIGHT ) dt`=` int _{c} ^{d} {v LEFT ( t RIGHT ) dt}}] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{b} {v LEFT ( t RIGHT ) dt} `=` int _{b} ^{d} {□`v LEFT ( t RIGHT ) `□`dt}] ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	적분

026. 수직선 위의 원점을 출발하여 [eqn: 10]초 동안 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v (t)]라 할 때, [eqn: v (t)]는 다음 조건을 만족시킨다. (가) [eqn: v(t)= {cases{- LEFT | t-1 RIGHT | +1&~(0 LEQ t<2)#LEFT | t-3 RIGHT | -1&~(2 LEQ t LEQ 4)}}] (나) [eqn: v(t-2)=v(t+2)``````(2 LEQ t LEQ 8)] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {v(t)} dt]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ② ㄱ. [eqn: f(4)=2] ㄴ. [eqn: f(10)=f(2)] ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 원점을 출발한 후 [eqn: 10]초 동안 움직이면서 원점을 [eqn: 5]번 더 지난다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
027. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(0 le t le 5)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 다음과 같다. [eqn: v(t)= {cases{4t&```(0 le t<1)#-2t+6&```(1 le t<3)#t-3&```(3 le t le 5)}}] [eqn: 0<x<3]인 실수 [eqn: x``]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=x]까지 움직인 거리, 시각 [eqn: t=x]에서 [eqn: t=x+2]까지 움직인 거리, 시각 [eqn: t=x+2]에서 [eqn: t=5]까지 움직인 거리 중에서 최소인 값을 [eqn: f(x)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ① ㄱ. [eqn: f(1)=2] ㄴ. [eqn: f(2)-f(1)= int _{1} ^{2} {v(t)dt}] ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

	적분

개념10	✏ 점 두 개가 움직이면 속도차이에 주목해본다.

028. 같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t]에서 물체 [eqn: rmA]의 속도 [eqn: f(t) _{}]와 물체 [eqn: rmB]의 속도 [eqn: g(t)]를 나타낸 것이다. [eqn: int _{0} ^{c} f(t)dt=int _{0} ^{c} g(t)dt]일 때, 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ⑤ ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 [eqn: rmA]는 물체 [eqn: rmB]보다 높은 위치에 있다. ㄴ. [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]의 높이의 차가 최대이다. ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: rmA]와 물체 [eqn: rmB]는 같은 높이에 있다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

	적분

029. 원점에서 출발한 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v]가 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]이다. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: v=f(t)], [eqn: v=g(t)]로 둘러싸인 두 부분 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 넓이가 각각 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}]일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면? ⑤ ㄱ. [eqn: S _{1} =S _{2}]이면 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 [eqn: t=b]일 때 만난다. ㄴ. [eqn: S _{1} >S _{2}]이면 [eqn: int _{0} ^{b} {} f(t)dt> int _{0} ^{b} {} g(t)dt]이다. ㄷ. [eqn: S _{1} <S _{2}]이면 [eqn: int _{0} ^{c} left{f(t)-g(t)right}dt=0]인 [eqn: c]가 존재한다. ① ㄴ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
030. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t`(0 LEQ t LEQ b)]에서의 속도를 각각 [eqn: v _{rm P it} (t),~v _{rm Q it} (t)]라 할 때, 두 속도를 나타내는 그래프가 그림과 같다. [eqn: int _{0} ^{b} {} ` LEFT { v _{rm P it} (t)-v _{rm Q it} (t) RIGHT } `dt=0] 일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: t=b]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치는 같다. ㄴ. [eqn: t=a]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리는 가장 멀다. ㄷ. [eqn: 0<t<b]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]는 만난다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ