[부정적분]

B22 | 다항함수의 부정적분

부정적분은 미분의 역산이다.

개념1

eg) [eqn: x ^{3} +2x ^{2} `````` REL EXARROW {미분} {부정적분} ``````3x ^{2} +4x]

적분상수

개념2

[eqn: x ^{3}], [eqn: x ^{3} +1], [eqn: x ^{3} +2]는 모두 미분하면 [eqn: 3x ^{2}]이다.  [eqn: RARROW] [eqn: 3x ^{2}]을 적분하면 [eqn: x ^{3} +C]이다.

[eqn: F``'(x)=f(x)]이면 [eqn: int f(x)dx=F(x)+C]

Note

다음 부정적분을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{} ^{} {} (6x ^{2} -6x+2)dx]	(2) [eqn: int(3x^2 -4x)dx]

(3) [eqn: int _{} ^{} {} (x ^{2} -x+1)dx]	(4) [eqn: int (y^2 +y)dy]

(5) [eqn: int _{} ^{} {} xy`dy]	(6) [eqn: int _{} ^{} {} dx]

✔ 기호의 문제점 :

eg1) [eqn: y=x ^{2}]일 때, [eqn: int`xy`dy]를 구하면?

eg2) [eqn: f(0)=1], [eqn: g(0)=0], [eqn: f(x)=int xdx], [eqn: g(x)= int _{} ^{} {} xdx]

B23 | 부정적분의 성질

다음이 성립한다.

개념1

① [eqn: int(f(x)+-g(x))dx=int`f(x)dx+-int`g(x)dx]

② [eqn: int _{} ^{} {}`cf(x)dx=c int _{} ^{} {} f(x)dx]

다음 부정적분을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int { x^2} over {x-1 }dx-int { 1} over {x-1 }dx]

(2) [eqn: int(sintheta+costheta)^2 d theta -2int sintheta costhetad theta]

B24 | 도함수와 원함수

✔ [eqn: int`f`'(x)dx!=left(int`f(x)dx`right)']

✔ [eqn: int _{} ^{} {} `f`(x)dx != int _{} ^{} {} `f`(y)dy]    cf) [eqn: int _{a} ^{b} {} `f`(x)dx= int _{a} ^{b} {} `f`(y)dy]

[eqn: f`'(x)]와 [eqn: f(a)=b] 하나를 알면 [eqn: f(x)]를 구할 수 있다.

개념1

eg) [eqn: f`'(x)=6x^2 -6x]이고 [eqn: f(1)=5]이다. [eqn: f(x)]를 구하여라.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (1,```4)]를 지나고, 임의의 [eqn: a]에 대하여

예제1

점 [eqn: (a,```f(a))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3a ^{2} +1]일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

B24E1 | 부정적분을 포함한 항등식

대체로 양 변 미분하면 된다.

개념1

[eqn: RARROW] 가끔 차수부터 조사해야 되는 문제 주의.

다음을 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: F(x)=xf(x)+x ^{3} +x ^{2}], [eqn: f(0)=0]

(2) [eqn: xf(x)=int`f(x)dx+2x ^{3} -x ^{2} -1], [eqn: f(1)=2]

(3) [eqn: f`'(x)+F(x)=x ^{3} +x ^{2} -6x-1]

(4) [eqn: F(x)=f(f(x))+2x ^{2} -2x]

[정적분]

B25 | 정적분의 기본정리

정적분 : [eqn: int_a ^b f(x)dx]

개념1

[eqn: f(x)>0]일 때, [eqn: int_a ^b f(x)dx]는 [eqn: y=f(x)], [eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: x]축으로

둘러싸인 도형의 넓이이다.

※ [eqn: f(x)<0]일 때는 넓이에 [eqn: -]를 붙인다.

※ [eqn: a]를 아래끝, [eqn: b]를 위끝, [eqn: f(x)]를 피적분함수라 한다.

다음의 의미를 나타내고 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int_2 ^4 x dx]	(2) [eqn: int_-1 ^2 |x|dx]

(3) [eqn: int _{0} ^{6} {} (x-2)dx]	(4) [eqn: int _{-1} ^{1} {} sqrt {1-x ^{2}} dx]

미적분학의 기본정리 : [eqn: F``'(x)=f(x)]이면,

개념2

[eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx=left[F(x)right] _{a} ^{b} =F(b)-F(a)]

직관적으로, [eqn: S``'(x)=f(x)]임을 확인하여라.

증명

다음의 의미를 나타내고 값을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: int _{2} ^{4} xdx]	(2) [eqn: int _{0} ^{6} {} (x-2)dx]

다음 도형의 넓이를 구하여라.

예제3

(1) 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 [eqn: x]축, [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형

(2) 곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형

(3) 곡선 [eqn: y=(x-1) ^{2}]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형

B25E1 | 정적분의 성질

정적분의 성질

개념1

① [eqn: int _{a} ^{a} f(x)dx=0]

② [eqn: int _{b} ^{a} f(x)dx=-int _{a} ^{b} f(x)dx]

③ [eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx=int _{a} ^{c} f(x)dx+int _{c} ^{b} f(x)dx]   ( ※ [eqn: a<b<c]인 경우? )

④ [eqn: int _{a} ^{b} {} cf(x)dx=c int _{a} ^{b} {} f(x)dx]   ( ※ [eqn: cf(x)]의 그래프? )

⑤ [eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT { f(x)+-g(x) RIGHT } dx= int _{a} ^{b} {} f(x)dx+- int _{a} ^{b} {} g(x)dx]   ( ※ [eqn: f(x)+-g(x)]의 그래프? )

‘넓이’에 의한 의미적 증명

증명1

정적분의 기본정리에 의한 대수적 증명

증명2

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: int _{0} ^{6} |x-2|dx]

(2) [eqn: int _{0} ^{3} {} f(x)dx- int _{0} ^{1} {} f(x)dx+ int _{3} ^{1} {} f(x)dx]

(3) [eqn: int _{-2} ^{2} {} 2 sqrt {4-x ^{2}} dx]

(4) [eqn: int _{0} ^{1} {} (sinx+cosx) ^{2} dx-2 int _{0} ^{1} {} sinx cosxdx]

(5) [eqn: int _{0} ^{2} {} (x+(x-1) ^{5} )dx]

B26 | 정적분으로 정의된 함수

[eqn: int _{a} ^{x} f(t)dt=[F(t)] _{a} ^{x} =F(x)-F(a)]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)]이다. 즉, [eqn: {d} over {dx} int _{a} ^{x} {} f(t)dt=f(x)]이다.

※ [eqn: int _{a} ^{x} {} f(t)dt= int _{a} ^{x} {} f(y)dy= int _{a} ^{x} {} f( alpha )d alpha = CDOTS]

다음을 [eqn: x]에 대하여 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: int_a ^x f(t)dt]	(2) [eqn: int_a ^2x f(t)dt]	(3) [eqn: int _{a} ^{b} {} f(t)dt]

(4) [eqn: int _{a} ^{x ^{2}} {} f(t)dt]	(5) [eqn: int _{x} ^{a} {} f(t)dt]	(6) [eqn: int _{x} ^{x ^{2}} {} f(t)dt]

(7) [eqn: int _{a} ^{x} {} tf(t)dt]	(8) [eqn: int _{a} ^{x} {} xf(t)dt]	(9) [eqn: int _{a} ^{x} {} (x-t)f(t)dt]

[eqn: g(x)=int _{a} ^{x} f(t)dt]이면

개념2

① [eqn: g(a)=0]   ② [eqn: g'(x)=f(x)]

[eqn: f(x)=x ^{2} -2x]일 때, [eqn: g(x)=int _{0} ^{x} f(t)dt]의 그래프를 그려라.

예제2

B26E1 | 정적분과 극한값

[eqn: lim _{x->a} {1} over {x-a} int _{a} ^{x} f(t)dt=f(a)]

개념1

[eqn: f(x)=x ^{2} +x]일 때, 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->3} {1} over {x-3} int _{3} ^{x} f(t)dt]	(2) [eqn: lim _{x -> 3} {} {1} over {x-3} int _{9} ^{x ^{2}} {} f(t)dt]

(3) [eqn: lim _{x -> 1} {} {1} over {x ^{3} -1} int _{5} ^{2x+3} {} f(t)dt]	(4) [eqn: lim _{x->2} {} {1} over {x ^{2} -4} int _{2} ^{x} {} tf(t)dt]

(5) [eqn: lim _{h->0} {1} over {h} int _{2} ^{2+h} f(t)dt]	(6) [eqn: lim _{h -> 0} {} {1} over {h} int _{2-h} ^{2+h} {} f(t)dt]

(7) [eqn: lim _{h -> 0} {} {1} over {h} int _{4-h} ^{4+2h} {} f(t)dt]	(8) [eqn: lim _{h -> 0} {} {1} over {h ^{2}} int _{1} ^{1+h ^{2}} {} f(t)dt]

B26E2 | 정적분이 포함된 항등식

등식에 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt]가 있으면 [eqn: int _{a} ^{b} f(t)dt=k]라 놓고 “이 식을 푼다.”

개념1

등식에 [eqn: int _{a} ^{x} f(t)dt]가 있으면

개념2

① [eqn: x=a]를 대입한다.    ② 양 변을 각각 미분한다.

※ 가끔 차수부터 조사해야 되는 문제도 있다.

다음을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제1

(1) [eqn: f(x)=2x+ int _{1} ^{3} {} f(t)dt]

(2) [eqn: f(x)=x+int _{0} ^{1} tf(t)dt]

(3) [eqn: f(x)= {12} over {7} x ^{2} -2x int _{1} ^{2} {} f(t)dt+ LEFT ( int _{1} ^{2} {} f(t)dt RIGHT ) ^{2}]

(4) [eqn: f(x)=2x ^{2} -4x int_0 ^1 f(t)dt+int_0 ^1 tf(t)dt]

다음을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제2

(1) [eqn: int _{1} ^{x} f(t)dt=x ^{3} -2ax ^{2} +ax]

(2) [eqn: int _{2} ^{x} {} f(t)dt=x ^{2} +2x+a]

(3) [eqn: int _{1} ^{x} {} xf(t)dt=2x ^{3} +ax ^{2} +b+int _{1} ^{x} tf(t)dt]

B26E3 | 도함수의 넓이와 원함수의 차이

도함수의 넓이는 원함수의 차이이다.

개념1

즉, [eqn: int _{a} ^{b} f`'(x)dx=f(b)-f(a)]이다.

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)= {cases{x+2&```(x le0)#2&```(x>0)}}], [eqn: f(-2)=4]일 때,

예제1

[eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=x^2 -2x]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: int_a ^x f(t)dt=0]의

예제2

서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 [eqn: a]의 값을 모두 구하여라.

[정적분의 활용]

B27 | 정적분과 넓이

[eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: x]축과 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: int_a ^b |f(x)|dx]이다.

개념1

✔ 그림과 같은 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 ‘[eqn: x]축과 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이’는.

[eqn: S _{1} +S _{2}]

[eqn: = left| int _{-2} ^{0} {} f(x)dx right|+ left|int _{0} ^{1} {} f(x)dx right|]

[eqn: = int _{-2} ^{0} {f(x)dx-int _{0} ^{1} f(x)dx}]

[eqn: =int _{-2} ^{1} |f(x)|dx]

※ [eqn: int_-2 ^1 f(x)dx]의 값은 [eqn: S_1 -S_2]이다. 도움이 안 됨.

B27E1 | 두 함수 사이의 넓이

두 곡선 사이의 넓이

개념1

[eqn: S```= int _{a} ^{b} {} f(x)dx- int _{a} ^{b} {} g(x)dx]

[eqn: =int_a ^b left{f(x)-g(x)right} dx]

※ 두 함수의 그래프를 그려서

어느 쪽이 위에 놓이는지 판단해야 한다.

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=2x+8]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

예제1

두 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 [eqn: y=-x ^{2} +2x]로 둘러싸인 두 부분의 넓이의 합을 구하여라.

예제2

✔ 차함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프와 카발리에리의 원리

B27E2 | 이차함수로 둘러싸인 부분의 넓이

곡선 [eqn: y=a(x-alpha)(x-beta)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: LEFT | {a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]이다.

개념1

✔ 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분일 때도 사용 가능하다.

[eqn: LEFT | {a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]	[eqn: LEFT | {a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]	[eqn: LEFT | {a-a prime } over {6} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]

다음의 넓이를 구하여라.

예제1

(1) 포물선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=2x+8]로 둘러싸인 도형

(2) 두 포물선 [eqn: y= 2x^2 -7x +5 ,~ y= - x^2 +5x -4]로 둘러싸인 도형

두 함수 [eqn: y= x^2 -m], [eqn: y= m-x^2]의 그래프로 둘러싸인

예제2

부분의 넓이가 [eqn: 8 over 3]일 때, 양수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

두 함수 [eqn: y= x^2 -x]와 [eqn: y= mx+2]의 그래프로 둘러싸인

예제3

도형의 넓이가 최소가 되는 [eqn: m]의 값을 구하여라.

꼭짓점에서부터 만든 직사각형과 [eqn: 2:1]

개념2

삼차함수가 [eqn: x]축과 접할 때 : [eqn: LEFT | {a} over {12} ( beta - alpha ) ^{4} RIGHT |]

개념3

다음의 넓이를 구하여라.

예제4

(1) 곡선 [eqn: y=2x ^{2}]과 [eqn: x]축, [eqn: x=3]으로 둘러싸인 도형

(2) 곡선 [eqn: y= sqrt {9-x}]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형

(3) 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 곡선 위의 점 [eqn: (2,```8)]에서의 접선으로 둘러싸인 도형

B28 | 구간을 나누어 적분하기

[eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx=int _{a} ^{c} f(x)dx+int _{c} ^{b} f(x)dx]

개념1

[eqn: int_0 ^3 |x^2 -2x|dx]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: f(x)= cases{ 2x& (x le1)#2 &(x>1) }]일 때, [eqn: int _{0} ^{3} {} xf(x)dx]의 값을 구하여라.

예제2

✔ 평행이동과 치환정적분

[eqn: f(x)= cases{ 2x& (x le1)#2 &(x>1) }]일 때, [eqn: int _{0} ^{3} {} f(x-1)dx]의 값을 구하여라.

예제3

B28E1 | 기함수와 우함수의 정적분

우함수 [eqn: LRARROW] [eqn: f(-x)=f(x)] [eqn: LRARROW] [eqn: y]축 대칭 [eqn: LRARROW] 짝수차만

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)]가 우함수이면 [eqn: int _{-a} ^{a} {} f(x)dx=2 int _{0} ^{a} {} f(x)dx]이다.

기함수 [eqn: LRARROW] [eqn: f(-x)=-f(x)] [eqn: LRARROW] 원점 대칭 [eqn: LRARROW] 홀수차만

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)]가 기함수이면 [eqn: int _{-a} ^{a} f(x)dx=0]이다.

① 그래프 상의 의미   ② 차수에 의해서   ③ 대수적 증명

증명

[eqn: int _{-2} ^{2} (x ^{5} +4x ^{3} +x ^{2} -2x+1)dx]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]를 만족시킨다.

예제2

[eqn: int _{0} ^{2} f(x)dx=4]일 때, [eqn: int _{-2} ^{2} (x+3)f(x)dx]의 값을 구하여라.

B28E2 | 주기함수와 대칭함수의 정적분

주기가 [eqn: a]인 주기함수 [eqn: LRARROW] [eqn: f(x)=f(x+a)]

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: int _{0} ^{a} {} f(x)dx= int _{a} ^{2a} {} f(x)dx=cdots=int _{p} ^{a+p} f(x)dx]

[eqn: x=a]에 대칭인 함수 [eqn: LRARROW] [eqn: f(a-x)=f(a+x)] [eqn: LRARROW] [eqn: f(x)=f(2a-x)]

개념2

[eqn: RARROW] [eqn: int _{a} ^{a+p} {} f(x)dx= int _{a-p} ^{a} {} f(x)dx= {1} over {2} int _{a-p} ^{a+p} f(x)dx]

B28E3 | 역함수의 적분

역함수 : [eqn: y=f(x)]의 역함수가 [eqn: y=g(x)]이면

개념1

① [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x`` <-> ``y]를 때리면 [eqn: x=f(y)]이다. 정리하면 [eqn: y=g(x)]이다.

② [eqn: f(a)=b] [eqn: LRARROW] [eqn: a=g(b)]

③ [eqn: f(g(x))=x]이고 [eqn: g(f(x))=x]

④ [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 서로 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

[eqn: RARROW] [eqn: int _{a} ^{b} f(x)dx+int _{f(a)} ^{f(b)} g(x)dx=bf(b)-af(a)]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,

예제1

[eqn: int _{2} ^{10} g(x)dx]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x) =x^3 -x^2 +x]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때,

예제2

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

B29 | 위치와 이동거리

위치 [eqn: x(t)] [eqn: REL EXARROW {미분} {적분}] 속도 [eqn: v(t)] [eqn: REL EXARROW {미분} {적분}] 가속도 [eqn: a(t)]

개념1

※ 위치 [eqn: x(t)] : 출발 [eqn: t]초 후 수직선 위 어디에 있는가?

[eqn: RARROW] [eqn: v(t)=x'(t)]   [eqn: RARROW] [eqn: a(t)=v'(t)=x''(t)] ([eqn: PROPTO] 힘 : by 물리 )

eg) 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시간에 따른 위치 [eqn: x(t)]가 다음과 같다.

(1) [eqn: x(t)=2t]	(2) [eqn: x(t)=t ^{2}]

다음의 높이의 그래프를 그려라. (단, 가속도는 [eqn: -10rmm/s^2]이다.)

예제1

(1) [eqn: 45rmm]의 높이에서 자유낙하를 시작하는 물체

(2) 지표면에서 지표면과 수직방향으로 [eqn: 30rmm/s]로 던진 물체

(3) [eqn: 60rmm]의 높이에서 지표면과 수직방향으로 위로 [eqn: 20rmm/s]로 던진 물체

✔ 위치변화와 이동거리(실제 움직인 거리)의 차이

✔ [eqn: x(t)], [eqn: v(t)], [eqn: |v(t)|], [eqn: s(t)]의 그래프

[eqn: RARROW] [eqn: v(t)]가 양수이면? [eqn: v(t)]가 음수이면?

[eqn: RARROW] 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 넓이의 의미?

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 [eqn: 0]초에

예제2

점 [eqn: rmA(1)]에서 출발하여 그래프와 같은 속도 [eqn: v(t)]로

움직인다. [eqn: 4]초일 때, 점 [eqn: rm P]의 위치를 구하여라.