			원포인트 개념주입 A 다항함수의 미분법

원포인트개념주입

개념1	✏ 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: a]에서 [eqn: b]까지의 평균변화율은 [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a}]이다. ✏ 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: a]에서의 미분계수(순간변화율) [eqn: f`'(a)]는 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+h)-f(a)} over {h} =lim _{x->a} {f(x)-f(a)} over {x-a}] 이다. 이는 [eqn: (a,```f(a))]에서 [eqn: y=f(x)]에 접하는 접선의 기울기가 된다.

다항함수의 미분법

001. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2}]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 3]에서 [eqn: 3+h]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 10]일 때, 상수 [eqn: h]의 값은? [다항함수의 미분법A] ④ (단, [eqn: h>0]) ① [eqn: 1] ② [eqn: 2] ③ [eqn: 3] ④ [eqn: 4] ⑤ [eqn: 5] 002. 함수 [eqn: f(x)=x^2 +4x]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: -2]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율이 서로 같을 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라. [eqn: {2}]			003. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2}]의 [eqn: x=2]인 점에서의 접선의 기울기를 구하여라. [eqn: {4] 004. 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x}]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하여라. [eqn: {{1} over {2}] 005. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 아래의 그림과 같을 때, 다음 값 중 가장 큰 것은? ③ ① [eqn: f`'(a)] ② [eqn: f`'(b)] ③ [eqn: f` prime (c)] ④ [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a}] ⑤ [eqn: {f(c)-f(b)} over {c-b}]

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개념2	✔ [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+STAR)-f(a)} over {STAR}]나 [eqn: lim _{x -> a} {} {f(STAR)-f(a)} over {STAR-a}]의 꼴맞추기 연습

006. [eqn: f`'(a)=2]일 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f(a+3h)-f(a)} over {h}}]의 값을 구하여라. [eqn: {6] 007. [eqn: f` prime (1)=2]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여, [eqn: lim _{h -> 0} {{f(1+h)-f(1-h)} over {h}}]의 값을 구하여라. [eqn: 4]			008. 다음 중 [eqn: lim _{x-> a} {{f(x ^{2} )-f(a ^{2} )} over {x-a}}]과 같은 것은? ④ ① [eqn: f`'(a)] ② [eqn: f`'(a ^{2} )] ③ [eqn: 2af`'(a)] ④ [eqn: 2af`'(a ^{2} )] ⑤ [eqn: (x+a)f`'(a ^{2} )] 009. 곡선 [eqn: y=f ( x )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```5 RIGHT )]에서 접선의 기울기가 [eqn: 3]일 때, [eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{2} f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( x ^{2} RIGHT )} over {x-1}}]의 값을 구하여라. [eqn: 4]

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개념3	✏ [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (x,```f(x))]에서의 미분계수들의 함수를 도함수라 하고 [eqn: f`'(x)]로 나타낸다. ✏ 다항함수의 미분 ① [eqn: (x ^{n} )'=nx ^{n-1}], ② [eqn: (f(x)+g(x))'=f`'(x)+g'(x)], ③ [eqn: (cf(x))'=cf`'(x)]

010. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]를 구하고, [eqn: f` prime (1)], [eqn: f`'(2)], [eqn: f` prime ( 3 )]의 값을 구하여라. [eqn: {2,~4,~6}] 011. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x}]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]를 구하고, [eqn: f` prime ( 1 )], [eqn: f` prime ( 4 )], [eqn: f` prime ( 9 )]의 값을 구하여라. [eqn: {{1} over {2} ,~ {1} over {4} ,~ {1} over {6}}]			012. 함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -2x+4]에 대하여 [eqn: f`'(x)]를 구하여라. [eqn: 6x-2] 013. 함수 [eqn: f(x) = x^2 -2x`]에 대하여 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=c`]에서의 미분계수가 같을 때, [eqn: c`]의 값은? (단, [eqn: 1<c<3]) ③ ① [eqn: 5 over 4] ② [eqn: 3 over 2] ③ [eqn: 2] ④ [eqn: 9 over4] ⑤ [eqn: 11over 4]

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개념4	✏ 곱의 미분법 : [eqn: left{f(x)g(x)right}'=f`'(x)g(x)+f(x)g'(x)] ✏ 합성함수의 미분법 : [eqn: left{f(g(x))right}'=f`'(g(x))g'(x)] (이건 미적분 내용이지만 쓸모가 많으니 해 두도록 하자.)

014. 다음 함수를 미분하여라. (1) [eqn: `20x(x^2`+1)^9] (2) [eqn: 3(3x^2`+5x+7)^2 cdot (6x+5)] (1) [eqn: y=(x^2`+1)^10] (2) [eqn: y=(3x^2`+5x+7)^3] 015. 다음 함수를 미분하여라. (1) [eqn: 18x ^{2} `+22x+6] (2) [eqn: 6(2x+1)^2`(3x+1)^3`(7x+3)] (1) [eqn: y=(x+1)(2x+1)(3x+1)] (2) [eqn: y=(2x+1)^3`(3x+1)^4]			016. 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`(1)=2], [eqn: f`prime (1) =3]이다. [eqn: g(x) = (x^2 +2x)f(x)]일 때, [eqn: g`prime (1)]의 값은? ④ ① [eqn: 11] ② [eqn: 13] ③ [eqn: 15] ④ [eqn: 17] ⑤ [eqn: 19] 017. 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim _{ x->2 } { {f(x) -3 }over x-2}=2], [eqn: lim _{ x->2 } { {g(x) -1 }over x-2}=4] 를 만족시킬 때, 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여 [eqn: h'(2)]의 값을 구하여라. [eqn: 14]

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개념5	✏ [eqn: lim_h->0 { f(a+h)-f(a)} over {h }]의 값이 존재하면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다고 한다. ✔ 대충 매끄러운 곡선이면 미분가능하다. 뾰족하면 안 돼.

018. 그림은 [eqn: -1 <x< 7]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. 다음 중 옳지 않은 것은? ③ ① [eqn: f`'(2)]는 양수이다. ② 불연속점은 [eqn: 2]개다. ③ [eqn: f`'(x) =0]인 점은 [eqn: 3]개다. ④ 미분 불가능한 점은 [eqn: 3]개다. ⑤ 극한이 존재하지 않는 점은 [eqn: 1]개다.			019. 함수 [eqn: y= {cases{`ax ^{2} &```(x<1)#`bx-2&```(x GEQ 1)}}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라. [eqn: a=2,~b=4] 020. 함수 [eqn: y= cases{ax^5 +3&```(x< -1)#`bx^2 &```(x ge-1)}]이 [eqn: x=-1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라. [eqn: {a=-2,~b=5}]

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개념6	✏ [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a,```f(a))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=f`'(a)(x-a)+f(a)]이다.

021. 곡선 [eqn: y=-2x^3 +4x-3] 위의 [eqn: x=1]인 점에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]이다. [eqn: a^2 +b^2]의 값은? ① ① [eqn: 5] ② [eqn: 10] ③ [eqn: 13] ④ [eqn: 17] ⑤ [eqn: 20] 022. 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)+1} over {x-1} =4]가 성립할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=ax+b`]이다. [eqn: ab`]의 값은? ① ① [eqn: -20] ② [eqn: -10] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 10] ⑤ [eqn: 20]			023. 곡선 [eqn: y=x^3 -6x^2 +10x-1]에 접하고 직선 [eqn: x-2y+3=0]에 수직인 직선의 방정식을 구하여라. [eqn: 2x+y-7=0] 024. 직선 [eqn: y=4x+k]가 곡선 [eqn: y=x^3 +2x^2 -1]에 접할 때, 정수 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 7] 025. 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점과 직선 [eqn: y=2x-6] 사이의 거리의 최솟값은? ② ① [eqn: sqrt2] ② [eqn: sqrt5] ③ [eqn: 2sqrt2] ④ [eqn: 3sqrt3] ⑤ [eqn: 3sqrt5]

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개념7	✔ 곡선 밖의 점 [eqn: rmP]에서의 접선을 구할 때는 곡선 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선을 구하고 이 직선이 [eqn: rmP]를 지난다는 사실을 이용하여 [eqn: rmA]를 구한다.

026. 점 [eqn: (0,```2)]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x]에 그은 접선의 방정식은? ⑤ ① [eqn: y=3x-2] ② [eqn: y=3x+3] ③ [eqn: y=3x+5] ④ [eqn: y=5x-2] ⑤ [eqn: y=5x+2] 027. 점 [eqn: (0,```-4)]에서 곡선 [eqn: y=x^2 -3]에 그은 두 접선의 기울기의 곱은? ④ ① [eqn: -25] ② [eqn: -16] ③ [eqn: -9] ④ [eqn: -4] ⑤ [eqn: -1]			028. 점 [eqn: (3,```0)]을 지나고 곡선 [eqn: y=x^3 -5x^2 +8x-4]에 접하는 직선은 [eqn: 3]개 있다. 이 때, 세 접점의 [eqn: x]좌표의 합은? ④ ① [eqn: 1] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 5] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 9]

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개념8	✏ 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: a<b)]에 대하여 [eqn: {f(b) -f(a)} over b-a = f`'(c)] 를 만족시키는 실수 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (a,```b)]에 적어도 하나 존재한다.

029. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=2x^2 -4x+1]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [1,```3]]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값을 구하여라. [eqn: 2]			030. 그림은 어느 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프이다. [eqn: {f(b) -f(a)} over b-a = f`'(c)] 를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 개수는? [eqn: { (단,~a<c<b )}] [eqn: 3]개

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개념9	✏ 함수의 증감 ① [eqn: f`'(a)>0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 증가상태에 있다고 한다. ② [eqn: f`'(a)<0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 감소상태에 있다고 한다.

031. 다항함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f` prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은? ⑤ ① [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (- INF ,```-2)]에서 감소한다. ② [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (-2,```-1)]에서 증가한다. ③ [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (-1,```0)]에서 감소한다. ④ [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (0,```1)]에서 증가한다. ⑤ [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (1,```2)]에서 감소한다.			032. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -9x ^{2} +12x+12]가 감소하는 구간을 구하여라. [eqn: [1,```2 ]] (열린구간인지 닫힌구간인지로 고민하지 말자.) 033. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} -x+1]이 [eqn: x=1]에서 증가상태에 있을 때, 다음 중 [eqn: a]의 값이 될 수 있는 것은? ⑤ ① [eqn: -8] ② [eqn: -6] ③ [eqn: -4] ④ [eqn: -2] ⑤ [eqn: 0]

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개념10	✏ 극대와 극소 [eqn: a]를 포함하는 어떤 열린구간에서 [eqn: f(a)]가 최대이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극대라 한다. [eqn: a]를 포함하는 어떤 열린구간에서 [eqn: f(a)]가 최소이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극소라 한다. ✔ 미분가능한 함수에서 극대/극소이면 미분계수가 [eqn: 0]이다. ✔ 미분계수가 [eqn: 0]이어도 극대/극소가 아닐 수 있다. ✔ 미분불가능한 점에서 극대/극소일 수 있다.

034. 구간 [eqn: LEFT [ a,~b RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 점의 개수와 극소가 되는 점의 개수는? 극소 [eqn: 2]개, 극대 [eqn: 2]개 035. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax+b]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가질 때, 극댓값을 구하여라. [eqn: f(-1)=6]			036. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: y=f prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은? ③ ① [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( -2,~1 RIGHT )]에서 증가한다. ② [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT )]에서 감소한다. ③ [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( 4,~5 RIGHT )]에서 증가한다. ④ [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 극소이다. ⑤ [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 극소이다.

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개념11	✔ 최대최소를 잘 구할 수 있다.

037. 다음 함수의 주어진 범위에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라. (1) 최댓값은 [eqn: {f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`10], 최솟값은 [eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`-10] (2) 최댓값은 [eqn: f(-1)=f(1)=3], 최솟값은 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) `=`-6] (1) [eqn: f(x)=-x ^{3} -3x ^{2} +10`(-2 LEQ x LEQ 2)] (2) [eqn: f(x)=-x ^{4} +2x ^{2} +2`(-2 LEQ x LEQ 1)] 038. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=3-x^2]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하고, 한 변이 [eqn: x]축에 평행한 [eqn: △rmOAB]의 넓이의 최댓값을 구하여라. [eqn: {2]			039. 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 네 모퉁이에서 같은 크기의 정사각형을 잘라 내고, 남은 부분으로 뚜껑이 없는 직육면체의 상자를 만들려고 한다. 상자의 부피를 최대로 하려면 잘라 낼 정사각형의 한 변의 길이를 얼마로 하면 되겠는가? [eqn: {1]

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개념12	✏ [eqn: f(x)=0]의 근은 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x]절편이다. ✏ [eqn: f(x)=k]의 근은 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표이다. ✔ 부등식을 잘 증명한다.

040. 방정식 [eqn: 2x^3 -6x^2 +a+6=0]의 근이 다음과 같을 때, 실수 [eqn: a]의 값 또는 범위를 구하여라. (1) [eqn: {-6<a<2}] (2) [eqn: {a=-6}] 또는 [eqn: {a=2}] (1) 서로 다른 세 실근 (2) 중근과 다른 한 실근 041. 방정식 [eqn: x^3 -3x^2 -9x +a=0]이 한 개의 음의 실근과 두 개의 서로 다른 양의 실근을 가질 때, [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라. [eqn: {0<a<27}]			042. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 -4a^3 x +12 ge0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위를 구하여라. [eqn: { - root2 le a le root2] 043. [eqn: x>0]일 때, 부등식 [eqn: x^3 -3x^2 +a>0]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위를 구하여라. [eqn: a>4]

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개념13	✏ [eqn: S(t)]의 [eqn: t=a]에서의 변화율 [eqn: S`'(a)]를 구하는 순서 ① [eqn: S(t)]를 구한다. ② 미분하여 [eqn: S`'(t)]를 구한다. ③ [eqn: t=a]를 대입하여 [eqn: S`'(a)]를 구한다. ✏ 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: f(t)]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: f`'(t)], 속력은 [eqn: |f`'(t)|], 가속도는 [eqn: f`''(t)]이다.

044. [eqn: t]초일 때 길이가 [eqn: l][eqn: rm cm]인 고무줄이 [eqn: l=t ^{2} +4t+10]인 관계를 만족시키면서 늘어난다고 한다. [eqn: t=2]일 때 이 고무줄의 길이의 변화율을 구하여라. [eqn: 8] (단, 단위는 [eqn: rm`cm/s]이다.) 045. 한 변의 길이가 [eqn: 10][eqn: rmcm]인 정사각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: 2][eqn: rmcm]씩 길어질 때, 정사각형의 넓이가 [eqn: 400][eqn: rm`cm ^{2}]가 되는 순간의 넓이의 변화율은? ② ① [eqn: 85] ② [eqn: 80] ③ [eqn: 75] ④ [eqn: 70] ⑤ [eqn: 65]			046. [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x=2t^3 -9t^2 +12t] 일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) [eqn: {t=1,~ t=2] (2) [eqn: { 1 < t<2] (1) 점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꾸는 시각은? (2) 점 [eqn: rmP]가 음의 방향으로 운동하는 [eqn: t]의 범위는?