[미분계수]

B12 | 평균변화율과 미분계수

[eqn: f(x)]의 구간 [eqn: [a,```b]]에서의 평균변화율

개념1

[eqn: LRARROW] 두 점 [eqn: (a,```f(a))], [eqn: (b,```f(b))] 사이의 기울기

[eqn: LRARROW] [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a}]

다음의 주어진 함수와 구간에 대하여 평균변화율을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: f(x)=x ^{2} +x],	[eqn: [1,```3]]

(2) [eqn: f(x)=x ^{2}],	[eqn: [a,```b]]

(3) [eqn: f(x)=x ^{2}],	[eqn: [a,```a+h]]

[eqn: x=a]에서의 [eqn: f(x)]의 순간변화율 (미분계수)

개념2

[eqn: LRARROW] ‘[eqn: a] 근처의 아주 짧은 구간에서의 평균변화율’

[eqn: LRARROW] ‘[eqn: a]에서의 접선의 기울기’

[eqn: f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 순간변화율

Note

① [eqn: f`'(a)],    ② [eqn: {d} over {dx} f(a)],    ③ [eqn: {dy} over {dx} right| _{x=a}]

✔ 구하는 방법

① 구간 [eqn: [a,```a+h]]에서의 평균변화율을 구한다.

② ①의 평균변화율에다 [eqn: h->0]을 걸어준다.

[eqn: f`'(a)=lim _{h->0} {f(a+h)-f(a)} over {h}]

개념3

✔ [eqn: lim _{x->a} {f(x)-f(a)} over {x-a}]도 같은 표현이다.

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) [eqn: f(x)=x ^{3}]일 때, [eqn: f`'(3)]을 구하여라.

(2) [eqn: f(x)=-x ^{2} +3x]일 때, [eqn: f` prime (1)]을 구하여라.

(3) [eqn: f(x)= sqrt {x}]일 때, [eqn: f` prime (4)]을 구하여라.

[eqn: lim _{x->3} {f(x)-2} over {x-3} =6]에서 알 수 있는 것 :

탐구1

① [eqn: f(3)=2],   ② [eqn: f`'(3)=6]

[eqn: lim _{h -> 0} {} {f(2+h)-4} over {h} =-2]에서 알 수 있는 것 :

탐구2

① [eqn: f(2)=4],   ② [eqn: f` prime (2)=-2]

B13 | 미분계수식의 변형

[eqn: f` prime (a)= lim _{h -> 0} {} {f(a+h)-f(a)} over {h} =lim _{STAR->0} {f(a+STAR)-f(a)} over {STAR}]

개념1

[eqn: RARROW] 기하학적 해석?

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 다음을 간단히 하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{h->0} {f(a+2h)-f(a)} over {h}]	(2) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+3h)-f(a)} over {2h}]

(3) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a)-f(a-h)} over {h}]	(4) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+h)-f(a-h)} over {h}]

(5) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+5h)-f(a+2h)} over {h}]	(6) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+4h)-f(a-3h)} over {h}]

[eqn: f` prime (a)= lim _{x -> a} {} {f(x)-f(a)} over {x-a} = lim _{STAR -> a} {} {f( STAR )-f(a)} over {STAR -a}]

개념2

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 다음을 간단히 하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x -> a} {} {f(x)-f(a)} over {x ^{2} -a ^{2}}]	(2) [eqn: lim _{x->a} {} {f(x ^{2} )-f(a ^{2} )} over {x-a}]

(3) [eqn: lim _{x -> a} {} {f(x)-f(a)} over {f(x ^{2} )-f(a ^{2} )}]	(4) [eqn: lim _{x -> a} {} {xf(x)-af(a)} over {x-a}]

(5) [eqn: lim _{x -> a} {} {xf(a)-af(x)} over {x-a}]	(6) [eqn: lim _{x -> a} {} {x ^{2} f(a)-a ^{2} f(x)} over {x-a}]

B14 | 미분가능성

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분이 가능하다.

개념1

[eqn: LRARROW] [eqn: lim _{h->0} {f(a+h)-f(a)} over {h}]가 존재한다.

[eqn: LRARROW] 그래프에서의 의미 : ‘접선이 그어진다.’ (매끄럽게 연결된 곡선이다.)

[eqn: LRARROW] ① 연속이고,   ② 좌미분계수와 우미분계수가 같다.

ㄱ. [eqn: x=-1]에서 극한값이 존재하지 않는다.

ㄴ. [eqn: x=2]에서 극한값이 존재하지만 불연속이다.

ㄷ. [eqn: x=0]에서 연속이지만 미분불가능이다.

ㄹ. [eqn: x=1]에서 연속이고 미분가능하다.

[eqn: f(x)=|x-1|]의 [eqn: x=1]에서의 미분가능성을 판단하여라.

예제1

[eqn: f(x)=x|x|]의 [eqn: x=0]에서의 미분가능성을 판단하여라.

예제2

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2}&```(x<1)#2-x&```(x ge 1)}}]의 [eqn: x=1]에서의 미분가능성을 판단하여라.

예제3

[eqn: f(x)= {cases{x ^{3} -ax&```(x<2)#x ^{2} +b&```(x ge2)}}]가 [eqn: x=2]에서 미분가능하다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제4

B14E1 | 미분가능성과 연속성

미분가능하면 연속이다.

개념1

[eqn: lim_x->a{ f(x)-f(a)} over { x-a}]의 값이 존재한다.

증명

[eqn: RARROW] 분모가 [eqn: 0]으로 가므로 분자가 [eqn: 0]으로 간다.

B14E2 | 미분가능성과 인수

함수 [eqn: f(x)= {cases{x&```(x LEQ 1)#x+2&```(x>1)}}]에 대하여,

탐구1

[eqn: RARROW] 함수 [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속인가?  (ㅇㅇ)

[eqn: RARROW] 함수 [eqn: (x-1)f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능한가?  (ㄴㄴ)

[eqn: RARROW] 함수 [eqn: (x-1) ^{2} f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능한가?  (ㅇㅇ)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속이다.

탐구2

함수 [eqn: (x-a)f(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속인가?  (ㄴㄴ)

함수 [eqn: f(x)= {cases{x&```(x != 1)#2&```(x=1)}}]에 대하여

탐구3

함수 [eqn: (x-1)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능한가?  (ㅇㅇ)

[eqn: f(x)= {cases{x`sin {1} over {x}&```(x!=0)#0&```(x=0)}}][eqn: f(x)= {cases{x ^{2} `sin {1} over {x}&```(x != 0)#0&```(x=0)}}]

[eqn: sin {1} over {x}]	[eqn: x sin {1} over {x}]	[eqn: x^2 sin { 1} over {x }]

B14E3 | 미분가능성(제대로)

좌미분계수, 우미분계수는 교과서에서 정의하지 않는 단어다.

탐구1

(대학에서 정의하는) 좌미분계수는 [eqn: lim _{h->0-} {f(a+h)-f(a)} over {h}]이지만,

일반적으로 [eqn: f(x)= {cases{g(x)&```(x le a)#h(x)&```(x>a)}}]일 때 [eqn: g'(a)]의 의미로 쓰인다.

의 [eqn: x=0]에서의 연속성과 미분가능성을 판단하여라.

예제1

의 [eqn: x=0]에서의 연속성과 미분가능성을 판단하여라.

예제2

위상수학자의 사인곡선

탐구2

미분가능하다고 해서 (일반적 의미에서의) [eqn: (좌미)=(우미)]인 것은 아니다.

결론1

미분가능한 두 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]에 대하여 [eqn: f(x)= {cases{g(x)&```(x le a)#h(x)&```(x>a)}}]일 때,

결론2

[eqn: g(a)=h(a)]이고 [eqn: g'(a)=h'(a)]이면 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하다.

B14E4 | 미분가능성과 미분계수식

[eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+h ^{2} )-f(a)} over {h ^{2}}]는 우미분계수의 의미를 가진다.

탐구1

[eqn: RARROW] [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h ^{2} )-f(1)} over {h ^{2}}]이 존재하면 [eqn: f`'(1)]이 존재한다.  (ㄴㄴ)

cf) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h ^{3} )-f(1)} over {h ^{3}}]이 존재하면 [eqn: f`'(1)]이 존재한다.  (ㅇㅇ)

cf) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h ^{2} )-f(1)} over {h ^{2}} =lim _{h->0} {f(1-h ^{2} )-f(1)} over {-h ^{2}}]이면 [eqn: f`'(1)]이 존재한다.  (ㅇㅇ)

[eqn: f(x)=|x-1|]이면 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h} =0]

탐구2

[eqn: RARROW] [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h}=0]이면 [eqn: f`'(1)=0]이다.  (ㄴㄴ)

cf) [eqn: f`'(1)=0]이면 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h}=0]이다.  (ㅇㅇ)

cf) [eqn: f(x)]가 미분가능하고 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(1+h)-f(1-h)} over {2h}=0]이면 [eqn: f`'(1)=0]이다.  (ㅇㅇ)

(교과서에 없음) 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(a+h)-f(a-h)} over {2h}]를

개념1

[eqn: f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 대칭미분계수라 한다.

※ [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하면 대칭미분계수는 [eqn: f`'(a)]이다.

※ [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않을 때 대칭미분계수가 존재할 수 있다.

[도함수]

B15 | 도함수의 뜻

[eqn: f(x)]의 도함수 : 임의의 점에서의 미분계수

개념1

(미분계수를 함숫값으로 하는 함수)

[eqn: f(x)]의 도함수

Note

① [eqn: f` prime (x)],   ② [eqn: {d} over {dx} f(x)],   ③ [eqn: {dy} over {dx}],   ④ [eqn: y']

[eqn: f`'(x)=lim _{h->0} {f(x+h)-f(x)} over {h}]

개념2

eg1) [eqn: y=x ^{2}]의 도함수를 구하면 [eqn: y'=2x]

eg2) [eqn: y=-x ^{2} +2x]의 도함수를 구하면 [eqn: y'=-2x+2]

eg3) [eqn: y=ax+b]의 도함수를 구하면 [eqn: y'=a]

eg4) [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의 도함수를 구하면 [eqn: y'=2ax+b]

B15E1 | 함수방정식과 도함수

[eqn: f(x+y)]가 나오면,

개념1

① [eqn: x=y=0] 대입,

② [eqn: f`'(x)=lim_h->0 { f(x+h)-f(x)} over { h}]에 적용.

✔ [eqn: y]에 대하여 미분 [eqn: ->] [eqn: y=0] 으로 ②를 쉽게 대체할 수 있다.

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy], [eqn: f`'(0)=1]일 때, [eqn: f`'(2)]의 값은?

(2) [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)], [eqn: f` prime (0)=0]일 때, [eqn: f` prime (x)]를 구하여라.

(3) [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+xy-2], [eqn: f` prime (0)=2]일 때, [eqn: f` prime (x)]를 구하여라.

(4) [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)], [eqn: f` prime (2)=4]일 때, [eqn: f` prime (x)]를 구하여라.

(5) [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)+4], [eqn: f` prime (3)=-2]일 때, [eqn: f` prime (x)]를 구하여라.

(6) [eqn: f(2x)=2f(x)]이고 [eqn: f`'(3)=2]일 때, [eqn: f`'(6)]의 값은?

B16 | 다항함수의 미분법

다항함수의 미분법

개념1

① [eqn: (x ^{n} )'=nx ^{n-1}]

② [eqn: (cf(x)) prime =cf`'(x)]

③ [eqn: (f(x)+g(x)) prime =f` prime (x)+g'(x)]

[eqn: (x ^{n} ) prime = lim _{h -> 0} {} {(x+h) ^{n} -x ^{n}} over {h} = lim _{h -> 0} {} {nx ^{n-1} h+h ^{2} ( CDOTS )} over {h} = lim _{h -> 0} {} LEFT { nx ^{n-1} +h( CDOTS ) RIGHT }=nx^n-1]

증명

다음 함수를 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: x^3]

(2) [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1]

(3) [eqn: 2x^3 -4x^2 +3x-3]

B16E1 | 곱의 미분법

[eqn: (f(x)g(x)) prime =f`'(x)g(x)+f(x)g'(x)]

개념1

[eqn: {d} over {dx} left{f(x)g(x)right}= lim _{h -> 0} {} {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)} over {h}]

증명

[eqn: f(2)=3], [eqn: f` prime (2)=2]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {} {x ^{2} f(x)-12} over {x-2}]의 값을 구하여라.

예제1

B16E2 | 합성함수의 미분법

[eqn: (f(g(x))) prime =f` prime (g(x))g'(x)]

개념1

※ 원칙적으로 미적분 내용.

[eqn: {d} over {dx} LEFT { f(g(x)) RIGHT } = lim _{h -> 0} {} {f(g(x+h))-f(g(x))} over {h}]

증명

[eqn: = lim _{h -> 0} {} LEFT { {f(g(x+h))-f(g(x))} over {g(x+h)-g(x)} CDOT {g(x+h)-g(x)} over {h} RIGHT }]

다음 함수를 미분하여라.

예제1

(1) [eqn: (x ^{2} +1)(2x+4)]	(2) [eqn: (x ^{4} -x ^{3} ) ^{4}]

(3) [eqn: f(2x+1)]	(4) [eqn: f(3-2x)]

(5) [eqn: f(x^2 )]	(6) [eqn: left{f(x)right}^2]

(7) [eqn: (2x+3)f(x)]	(8) [eqn: f(x)g(x)h(x)]

B16E3 | 식의 나눗셈과 미분

✔ 검산식 : [eqn: A(x)divB(x)=Q(x)cdotsR(x)]이면 [eqn: A(x)=B(x)Q(x)+R(x)]

✔ 나머지 정리 : 검산식에서 항등식의 성질을 이용, 나머지를 찾는다.

[eqn: RARROW] 특히, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-a]로 나눈 나머지는 [eqn: f(a)]이다. (나머지정리)

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: x^3 +2x+3]을 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는?

(2) [eqn: x^2 -2x+4]를 [eqn: x-a]로 나눈 나머지가 [eqn: 19]일 때, [eqn: a]의 값은?

(3) [eqn: x^100 +x^50 +1]을 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는?

(4) [eqn: x^3 +2x+3]을 [eqn: (x-1)(x-2)]로 나눈 나머지는?

(5) [eqn: x^3 +2x+3]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지는?

(6) [eqn: x^3 -x^2 +ax+b]가 [eqn: (x-2)^2]으로 나누어떨어진다. [eqn: a], [eqn: b]의 값은?

B16E4 | 로피탈의 정리

도함수가 연속인 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(a)=g(a)=0]이면

개념1

[eqn: lim_x->a { f(x)} over { g(x)}=lim_x->a { f`'(x)} over {g'(x) }]

이다.

✔ 대충 쓰고 행복하게 사세요.

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> 2} {} {x ^{2} -4} over {x-2}]의 값은?

(2) [eqn: lim _{x -> 3} {} {x ^{2} +ax+b} over {x-3} =4]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값은?

다음 물음에 답하여라.

예제2

(1) [eqn: f`'(a) = -1]일 때, [eqn: lim from {h-> 0} {f(a+2h) - f(a)} over h]의 값은?

(2) [eqn: f`'(1) = 3]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim from {x -> 1} {f(x^2 ) - f(1)} over x-1]의 값은?

(3) [eqn: f(4) =3], [eqn: f`'(4) = - 1]일 때, [eqn: lim from {x -> 2} {x^2 f(4) - 4f(x^2 )} over x-2]의 값은?

(4) 함수 [eqn: f(x)=x^3 -4x^2]에 대하여 [eqn: lim_x->2 { left{f(x)right}^2 -left{f(2)right}^2} over {x-2 }]의 값은?

(5) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{ x->0} { { f(x)} over {x } }=4]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{ x->3} { { f(x-3)} over {x^2 -9 } }]의 값은?

(6) 다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {} {x} over {f(x)} =1], [eqn: lim _{x -> 1} {} { x-1} over {f(x) }=2]일 때, [eqn: lim_x->1 { f(f(x))} over {2x^2 -x-1}]의 값은?

[도함수의 활용]

B17 | 접선의 방정식

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서

개념1

[eqn: y=f(x)]에 접하는 접선의 방정식은

[eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]이다.

점 [eqn: (3,```9)]에서 [eqn: y=x ^{2}]에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

예제1

곡선 [eqn: y=-x ^{2} +2x] 위의 점 [eqn: (3,```-3)]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

예제2

곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 기울기 [eqn: m]인 직선 구하기

개념2

① [eqn: f`'(x)=m]을 풀어서 접점의 [eqn: x]값을 구한다.

② 접선의 방정식 [eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]에 적용.

[eqn: y=x ^{2}]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식을 구하여라.

예제3

[eqn: y=x ^{3}]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 직선의 방정식을 구하여라.

예제4

직선 [eqn: y=4x+k]가 곡선 [eqn: y=x^3 +2x^2 -1]에 접할 때, 정수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

예제5

점 [eqn: (p,``q)]를 지나고 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는 직선 구하기

개념3

① 곡선 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 방정식을 쓴다.

② ‘①의 직선이 [eqn: (p,```q)]를 지난다.’를 풀어 [eqn: t]를 구한다.

※ 접선을 [eqn: y=ax+b]를 놓고 푸는 풀이가 쉽게 느껴질 수 있지만,

접점을 설정하는 풀이의 활용도가 높으므로 봉인하도록 한다.

곡선 [eqn: y=x^2]에 접하고 점 [eqn: (-3,```0)]을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

예제6

곡선 [eqn: y=x^3]에 접하고 [eqn: y]절편이 [eqn: -2]인 직선의 방정식을 구하여라.

예제7

B17E1 | 법선의 방정식

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]를 지나고

개념1

그 점에서의 접선과 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {f` prime (t)} (x-t)+f(t)]이다.

※ 법선이라는 용어는 교과서에 등장하지 않는다.

곡선 [eqn: y=x ^{3} -x+1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1`,``1 RIGHT )]을 지나고,

예제1

이 점에서의 접선과 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

원과 곡선이 접할 때 : 접점에서의 법선이 원의 중심을 지난다.

개념2

곡선 위의 동점 [eqn: rmP]와 정점 [eqn: rmA]에 대하여 [eqn: bar{rmAP]의 최솟값 구하기.

개념3

[eqn: RARROW] [eqn: rmA]를 중심으로 하는 원이 접할 때이다.

점 [eqn: rmP]에서의 법선이 점 [eqn: rmA]를 지날 때를 푼다.

그림과 같이 중심의 좌표가 점 [eqn: rmC][eqn: (0,~ 3)]인

예제2

원 [eqn: C]가 곡선 [eqn: y= 1 over 2 x^2]과 서로 다른 두 점에서

만날 때, 원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 구하여라.

곡선 [eqn: y=x^2 -3x+3] 위를 움직이는 점과

예제3

원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위를 움직이는 점 사이의 거리의 최솟값을 구하여라.

B17E2 | 곡선과 직선 사이의 최단거리

직선과 같은 기울기를 가지는 접선을 그어서 해결한다.

개념1

곡선 [eqn: y=x^2] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: y=2x-6]에 내린

예제1

수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rmbarPH]의 최솟값을 구하여라.

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2 +3x+4] 위의

예제2

점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=x] 위의 두 점 [eqn: rmA(1,```1)], [eqn: rmB(3,```3)]

에 대하여 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이의 최솟값은?

B17E3 | 한 점에서 접하는 두 곡선

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 접하면

개념1

① 접점의 [eqn: x]값을 [eqn: t]로 놓는다.

② 연립방정식 [eqn: cases{ f(t)=g(t) # f`'(t)=g'(t) }]를 푼다.

✔ ‘두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만난다.’ [eqn: RARROW] [eqn: f(t)=g(t)]

✔ ‘두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 접한다.’ [eqn: RARROW] [eqn: f(t)=g(t)]이고 [eqn: f`'(t)=g'(t)]

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: y=x^3 +ax]와 [eqn: y=2x^2 +4]가 접한다. [eqn: a]의 값은?

(2) [eqn: y=x^2 -3x+k]와 [eqn: y=-x+3]이 접한다. [eqn: k]의 값은?

(3) [eqn: y=x^3 +2x]에 접하고 점 [eqn: (0,```2)]를 지나는 직선의 방정식은?

B17E4 | 접선을 공유하는 두 곡선

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 공통접선을 가질 때,

개념1

접선이 [eqn: f(x)]와 [eqn: x=a]에서, [eqn: g(x)]와 [eqn: x= b]에서

접한다고 하면, [eqn: f` prime (a)=g prime (b)= {g(b)-f(a)} over {b-a}]이다.

두 곡선 [eqn: y= x^3 +1], [eqn: y= x^3 -2]는 한 직선에 동시에 접한다.

예제1

이 직선과 두 곡선 [eqn: y=x ^3 +1], [eqn: y= x^3 -2]의 접점을 각각

[eqn: rmP(it a,~b)], [eqn: rmQ(it c,~d)]라 할 때, [eqn: b-d]의 값을 구하여라.

B17E5 | 접선과 제곱인수

[eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=alpha]에서 [eqn: x]축에 접한다. [eqn: RARROW] [eqn: f(x)=(x-alpha)^2 h(x)]

개념1

✔ ‘[eqn: x=alpha]에서 [eqn: x]축을 지난다.’ [eqn: RARROW] [eqn: f(alpha)=0] [eqn: RARROW] [eqn: f(x)=(x- alpha )g(x)]

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=alpha]에서 접한다. [eqn: RARROW] [eqn: f(x)-g(x)=(x- alpha ) ^{2} h(x)]

개념2

곡선 [eqn: y=x ^{3}] 위의 점 [eqn: (2,```8)]에서의 접선이 곡선과

예제1

다시 만나는 점의 좌표를 구하여라.

B18 | 평균값의 정리

평균값의 정리

개념1

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속, 열린구간 [eqn: (a,```b)]에서 미분가능할 때,

[eqn: { f(b)-f(a)} over {b-a }=f`'(c)]

를 만족시키는 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (a,```b)]에 적어도 하나 존재한다.

롤의 정리

개념2

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속, 열린구간 [eqn: (a,```b)]에서 미분가능하고,

[eqn: f(a)=f(b)]일 때, [eqn: f`'(c)=0]을 만족시키는는 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (a,```b)]에

적어도 하나 존재한다.

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [1,```4]]에서

예제1

평균값 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값을 구하여라.

B19 | 함수의 그래프

원함수의 그래프에서부터 도함수의 개형 그리기

탐구

도함수에서부터 원함수의 그래프 개형 그리기

개념1

① [eqn: f`'(x)<0]이면 [eqn: f(x)]는 감소한다.

② [eqn: f`'(x)>0]이면 [eqn: f(x)]는 증가한다.

[eqn: RARROW] [eqn: f`'(x)]가 음수에서 양수로 바뀔 때, [eqn: f(x)]는 극소가 된다. 반대는 극대

✔ 도함수에서부터 [eqn: f(x)]의 위치를 잡을 수 없다. (적분상수)

도함수의 그래프가 다음과 같을 때 원함수의 개형을 각각 그려라.

예제1

다음 함수의 도함수와 원함수의 그래프를 각각 그려라.

예제2

(1) [eqn: y=x^3 +3x^2 -9x]	(2) [eqn: y=x ^{3} -6x ^{2}]

(3) [eqn: y=x ^{3}]	(4) [eqn: y=x ^{4}-4x^3]

도함수의 그래프가 다음과 같을 때 원함수의 개형을 각각 그려라.

예제3

B19E1 | 극대와 극소

미분가능한 [eqn: f(x)]가 극대이거나 극소일 때 [eqn: f`'(x)=0]이다.

개념1

다음에서 [eqn: a]와 [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: y=x^3 +ax+b]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가진다.

(2) [eqn: y=x^3 +ax^2 +bx]가 [eqn: x=2]에서 극댓값을, [eqn: x=3]에서 극솟값을 가진다.

(3) [eqn: y=-x^3 +3x^2 +24x+a]가 [eqn: x=b]에서 극솟값 [eqn: -4]를 가진다.

① [eqn: f`'(x)=0]의 [eqn: D>0]	② [eqn: f`'(x)=0]의 [eqn: D=0]	③ [eqn: f`'(x)=0]의 [eqn: D<0]

뾰족점도 극대/극소일 수 있다.

개념2

[eqn: RARROW] 극대/극소라고 해서 [eqn: f`'(x)=0]이라 할 수 없다.

[eqn: RARROW] 극대/극소의 엄밀한 정의?

[eqn: f`'(a)=0]이며 [eqn: x=a]에서 극대 또는 극소가 아닐 수 있다.

개념3

연속함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +bx+c&```(|x|<2)#2x&```(|x| ge 2)}}]가 극댓값과 극솟값을 모두 가진다.

예제2

ㄱ. [eqn: a>0]이면 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: -4]이다.

ㄴ. [eqn: a<0]이면 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 4]보다 크다.

ㄷ. 극대인 점과 극소인 점의 [eqn: x]좌표의 곱은 양수이다.

B19E2 | 삼차함수의 그래프1

함수 [eqn: y=ax ^{3} `+bx ^{2} +cx+d]([eqn: a>0])의 그래프의 개형은

개념1

[eqn: f`'(x)=0]의 [eqn: D]의 부호에 따라 아래와 같이 나눌 수 있다.

✔ 이 중 [eqn: D le0], 즉, ②와 ③의 합집합을 다음과 같이 설명할 수 있다.

(ⅰ) 극값을 갖지 않는다.

(ⅱ) 증가하는 함수이다. ([eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]이다.)

(ⅲ) 일대일 대응이다. ([eqn: x _{1} !=x _{2}]이면 [eqn: f(x _{1} )!=f(x _{2} )]이다.)

(ⅳ) 역함수가 존재한다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+1]이 극값을 갖지 않을 때,

예제1

상수 [eqn: a]의 최솟값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)= 1over3 x^3 +ax^2 +4x]의 역함수가 존재하도록 하는

예제2

[eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=-x^3 +ax^2 -3x-1]이 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

예제3

‘[eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 )>f(x_2 )]’를 만족시킬 때, 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

B19E3 | 삼차함수의 그래프2

삼차함수의 변곡점

개념1

① 변곡점은 두 번 미분해서 [eqn: 0]이 되는 점이다.

② 모든 삼차함수는 변곡점에 대하여 점대칭이다.

곡선 [eqn: y=x(x-3) ^{2}]과 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가

예제1

서로 같을 때, [eqn: m]의 값을 구하여라.

양수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=3x^3]에 점 [eqn: (a,```0)]에서 그은 접선과

예제2

점 [eqn: (0,```a)]에서 그은 접선이 서로 평행할 때, [eqn: 90a]의 값을 구하여라.

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +18x+4]의 접선 중 기울기가 최소인

예제3

직선의 방정식은 [eqn: y=px+q]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라.

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이 원점이다.

개념2

[eqn: f`'(x)=0]의 두 실근이 [eqn: +-a]이고, [eqn: f(x)=0]의 [eqn: 0]이 아닌 두 실근이 [eqn: +-b]일 때,

[eqn: |a|:|b|=1: sqrt {3}]이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x]축에 접한다.

개념3

[eqn: f(x)=0]의 두 실근이 [eqn: a], [eqn: b]이고, [eqn: f`'(x)=0]의 두 실근이 [eqn: a], [eqn: c]일 때,

[eqn: c= {a+2b} over {3}]이다.

※ [eqn: f`''(x)=0]의 실근이 [eqn: d]일 때, [eqn: d= {2a+b} over {3}]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: a]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta]에서

개념4

각각 극댓값, 극솟값을 가질 때, [eqn: f( alpha )-f( beta )= LEFT | {a} over {2} ( beta - alpha ) ^{3} RIGHT |]이다.

함수 [eqn: y=-x ^{2} (x-6)]의 그래프를 그리고 극대점의 [eqn: x]좌표를 구하여라.

예제4

삼차함수 [eqn: y=f(x)]가 서로 다른 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

예제5

[eqn: f(a)=f(b)=0], [eqn: f`'(a)=f`'(c)=0]을 만족시킨다. [eqn: c]를 [eqn: a]와 [eqn: b]로 나타내어라.

한 실근 (삼중근)	한 실근 (두 허근)	두 실근 (하나는 중근)	세 실근

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제6

(가) 두 극점 [eqn: {rmA}(alpha,```f(alpha))], [eqn: rm B it (beta,```f(beta))]의 중점은 [eqn: (0,```1)]이다.

(나) [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 차는 [eqn: {1} over {2}]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

예제7

[eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: |f(x)|=2]의 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때,

[eqn: f(3)]의 값을 구하여라.

B19E4 | 고차함수의 개형

최고차항의 계수가 양수인 사차함수의 그래프의 개형은

개념1

방정식 [eqn: f`'(x)=0]의 근의 형태에 따라서 아래와 같은 것들이 있다.

✔ 극댓값을 가진다. [eqn: RARROW] [eqn: f`'(x)=0]이 세 개의 근을 가진다.

함수 [eqn: f(x)=x ^{4} +2x ^{3} +ax ^{2} `]이 극댓값을 갖도록 하는

예제1

실수 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하여라.

인수분해를 이용하여 그래프 그리기

개념2

① [eqn: x]절편

② [eqn: x`->`+-inf]일 때의 [eqn: y]값 (최고차항과 그 계수)

③ 인수 중 [eqn: (x-a) ^{2}]가 있을 때의 튕김

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제2

(1) [eqn: y=(x-2)(x-4)]	(2) [eqn: y=-(x-2)(x-4)]

(3) [eqn: y=(x+2)(x+1)(x-2)]	(4) [eqn: y=(x+2)x(x-2)(x-4)]

(5) [eqn: y=(x+2) ^{2}]	(6) [eqn: y=(x-2) ^{2} (x-5)]

(7) [eqn: y=-(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}]	(8) [eqn: y=-x(x-2)^2 (x-4)(x-6)^2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=f(8)=0]이고,

예제3

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)ge0]이다. [eqn: f(x)]를 구하여라.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: LEFT { `x`|`f(x)=0 RIGHT } =left{0,```8right}]이고,

예제4

함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=8]에서 미분이 가능하다. [eqn: f(x)]를 구하여라.

	기함수(홀함수)	우함수(짝함수)
함수식	[eqn: f(-x)=-f(x)]	[eqn: f(-x)=f(x)]
그래프	원점에 대하여 대칭	[eqn: y]축에 대하여 대칭
다항식	홀수차만	짝수차만
함수의 예	[eqn: x], [eqn: 2x ^{3} -x], [eqn: {1} over {x}], [eqn: sinx]	[eqn: x ^{2}], [eqn: |x|], [eqn: cosx]

B19E5 | 기함수와 우함수의 미분

기함수와 우함수

개념1

기함수를 미분하면 우함수, 우함수를 미분하면 기함수이다.

개념2

※ 함수가 다항함수일 때, 차수에 의해서

※ 함수의 그래프에서의 의미?

삼차함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=-f(-x)]이다.

예제1

[eqn: f(1)=2], [eqn: f`'(1)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

예제2

[eqn: lim _{x->2} {f(x)-4} over {x-2} =3]일 때, [eqn: f(-2)+f`'(-2)]의 값을 구하여라.

[eqn: cases{ ##### }]

B20 | 그래프의 활용

최대최소

✔ 미분법 [eqn: RARROW] 함수의 그래프 [eqn: RARROW]   방정식의 근 [eqn: RARROW] 접선의 개수

부등식의 증명

B20E1 | 함수의 최대최소

극대이면서 최대

극소이면서 최소는 아님

최소 (경계에서)

연속인 함수의 최대최소는 극값/경계에서 얻을 수 있다.

개념1

[eqn: -1le x le3]에서 정의된 함수 [eqn: y=x ^{2} (x-3)]의 최소, 최댓값을 구하여라.

예제1

[eqn: -1 LEQ x LEQ 5]에서 [eqn: y=x ^{4} -4x ^{3} +k]의 최솟값이 [eqn: 3]일 때, 최댓값을 구하여라.

예제2

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 9rmcm],

예제3

높이가 [eqn: 18rmcm]인 원뿔에 내접하는 원기둥의 부피가

최대일 때, 원기둥의 높이는 몇 [eqn: rmcm]인지 구하여라.

곡선 [eqn: y`=`12-x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형에 내접하고

예제4

한 변이 [eqn: x]축 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 구에 내접하는

예제5

원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자. 원기둥의

부피가 최대일 때의 [eqn: r]의 값을 구하여라.

접선에 의해서 최대최소가 정해지는 문제와 구별할 것.

개념2

곡선 [eqn: y=x ^{3}] 위의 세 점 [eqn: rm A(1,```1)], [eqn: rm`B(-2,```-8)], [eqn: rm P( it a,```b)]에 대하여

예제6

삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이의 최댓값을 구하여라. (단, [eqn: -2 LEQ a LEQ 1])

B20E2 | 방정식의 근의 개수

방정식 [eqn: f(x)=0]의 근 [eqn: LRARROW] 곡선 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x]절편

개념1

eg1) 방정식 [eqn: x ^{3} -3x+1=0]의 실근의 개수와 부호를 말하여라.

방정식 [eqn: f(x)=k]의 근 [eqn: LRARROW] 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표

개념2

[eqn: RARROW] 미정계수 이항하고 그래프를 그려본다.

eg2) 방정식 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} =k]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: k]의 값에 따라서 구하여라.

다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: -x ^{3} +3x ^{2} +9x-k=0]이 두 개의 근을 가지게 하는 [eqn: k]의 값은?

(2) [eqn: -x ^{3} +3x+1+k=0]이 음수 근 [eqn: 1]개, 양수 근 [eqn: 2]개를 가지는 [eqn: k]의 값의 범위는?

(3) [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2}]과 [eqn: y=9x+k]가 두 개의 교점을 가지도록 하는 [eqn: k]의 값은?

(4) [eqn: |x ^{3} -3x+1|=k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위는?

방정식 [eqn: x ^{3} -3ax+2=0]이 서로 다른 세 실근을 가진다.

예제2

상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

※ 힌트 : [eqn: y=x^3]과 [eqn: y=3ax-2]의 그래프로 접근해 볼 것

B20E3 | 접선의 개수

점 [eqn: (p,```q)]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그을 수 있는 접선의 개수.

개념1

① 곡선 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 방정식을 쓴다.

② ‘①의 접선이 점 [eqn: (p,```q)]를 지난다.’를 식으로 쓴다.

③ ②의 등식의 서로 다른 실근의 개수([eqn: t]의 개수)를 구한다.

점 [eqn: (1,```a)]를 지나고 곡선 [eqn: y=x^3]에 접하는 직선이 [eqn: 3]개가

예제1

되도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

곡선 [eqn: y=-x^3 +3x^2 +2]에 접하고 점 [eqn: (-1,```a)]를 지나는 직선이 [eqn: 1]개일 때,

예제2

[eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

✔ 접선의 개수는 함수의 그래프와 변곡점에서 그은 접선을 경계로 분류되며

특히 삼차함수의 경우에는 아래 그림과 같이 정해져 있다.

B20E4 | 부등식의 증명

닥 그래프로.

개념1

eg1) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} +x ^{2} +1>0]임을 증명하여라.

eg2) [eqn: x>0]일 때, [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x+28>0]임을 증명하여라.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: {1} over {4} x ^{4} - {2} over {3} x ^{3} -a ge0]이

예제1

성립하도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

B21 | 속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 [eqn: x(t)]일 때,

개념1

[eqn: RARROW] 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: v(t)=x'(t)]이다.

[eqn: RARROW] 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: a(t)=v'(t)=x '' (t)]이다.

✔ 중학교 때 쓰던 속도 : [eqn: (속도)= {(거리)} over {(시간)}] (평균속도)

[eqn: RARROW] 이번에 새로 정의한 속도 : [eqn: {DELTA x} over {DELTA t} ` -> ` {dx} over {dt}] (순간속도)

점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: x(t)=t ^{2}]일 때, 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: 1SIM2]초의 평균속도	(2) [eqn: 2SIM5]초의 평균속도

(3) [eqn: t=3]일 때의 순간속도	(4) 순간속도의 함수

지표면에서 위로 던진 공의 높이가 [eqn: 30t-5t^2]이다.

예제2

(1) 공이 최고점에 도달할 때의 시각과 공의 높이를 구하여라.

(2) 공이 땅에 떨어질 때의 시각과 공의 속도를 구하여라.

어떤 높이에서 위로 던진 공의 높이가 [eqn: -5t^2 +20t+60]이다.

예제3

(1) 공이 던져질 때의 속도와 높이를 구하여라.

(2) 공이 최고점에 도달할 때의 시각과 공의 높이를 구하여라.

(3) 공이 땅에 떨어질 때의 시각과 공의 속도를 구하여라.

두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 위치가 각각 [eqn: x_ {rmP} =-t^2 +10t], [eqn: x_{rmQ} =t^2 -6t+5]이다.

예제4

[eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]가 같은 속도로 움직이는 순간의 [eqn: rmQ]의 속도와 가속도를 구하여라.

두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 위치가 각각 [eqn: x_{rmP} =t ^2 -2t-8], [eqn: x_{rmQ} =t^2 -6t+5]이다.

예제5

두 점이 반대방향으로 움직이는 [eqn: t]의 값의 범위를 구하여라.

B21E1 | 변화율

시간에 따라 변하는 양 [eqn: A(t)]의 [eqn: t=a]일 때의 변화율을 [eqn: A'(a)]이다.

개념1

[eqn: RARROW] 변화율을 구할 때는 ① [eqn: A(t)] ② [eqn: A'(t)] ③ [eqn: A'(a)]의 순으로 구한다.

한 변의 길이가 [eqn: 3][eqn: rmcm]인 정삼각형이 있다. 각 변의 길이가 매초 [eqn: 0.5][eqn: rmcm]씩

예제1

길어질 때, [eqn: 6]초 후 삼각형의 넓이의 변화율을 구하여라.

높이가 [eqn: 6rmcm]인 직원기둥이 반지름의 길이가 [eqn: 10rmcm]인 구에 내접하고 있다.

예제2

이 원기둥이 구에 내접하면서 높이가 매초 [eqn: 1rmcm]씩 줄어들고 있다.

높이가 [eqn: 4rmcm]가 되는 순간의 직원기둥의 부피의 변화율을 구하여라.

키 [eqn: 1.8rmm]인 사람이 높이 [eqn: 3][eqn: rmm]인 가로등 바로 아래에서 출발하여

예제3

한 방향으로 [eqn: 2rmm/s]의 속력으로 걸어간다. 그림자 길이의 변화율과

그림자 끝 점이 움직이는 속도를 구하여라.