[함수의 극한]

B01 | 좌극한과 우극한

[eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x]가 [eqn: a]에 한없이 가까이 가면 [eqn: y(=f(x))]의 값은 어떻게 되는가?

탐구

eg) [eqn: f(x)=x ^{2}]에서

[eqn: x`` -> ``2]이면 [eqn: f(x)`` -> ``4]  [eqn: RARROW]  [eqn: lim _{x->2} f(x)=4]

[eqn: x`` -> ``-1]이면 [eqn: f(x)`` -> ``1]  [eqn: RARROW]  [eqn: lim _{x -> -1} {} x ^{2} =1]

[eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x]가 [eqn: a]에 한없이 다가갈 때, [eqn: y]가 [eqn: b]에 한없이 가까워지면

개념1

[eqn: f(x)]는 [eqn: b]로 수렴한다고 하고 [eqn: b]를 [eqn: f(x)]의 극한값이라 한다.

: ‘[eqn: x`->a]일 때, [eqn: f(x)]가 [eqn: b]로 수렴한다.’

Note

✔ 발산(수렴하지 않음)의 예 : [eqn: y= {1} over {x}],   [eqn: f(x)= {cases{1&```(x는```유리수)#0&```(x는```무리수)}}]

다음 극한값을 조사하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->2} (x+1)]	(2) [eqn: lim _{x->0} (x+1)]	(3) [eqn: lim _{x->2} {1} over {x}]

(4) [eqn: lim _{x -> inf} {} {1} over {x}]	(5) [eqn: lim _{x -> 0+} {} {1} over {x}]

[eqn: lim _{x->a} f(x)=b]

	좌극한	우극한	극한값	함숫값
[eqn: x=1]
[eqn: x=0]
[eqn: x=-1]

✔ 좌극한과 우극한 ([eqn: lim _{x -> a-} {} f(x)],  [eqn: lim _{x -> a+} {} f(x)])

좌극한과 우극한이 같으면 극한값이 존재한다.

개념2

✔ [eqn: lim _{x -> 2-} {} f(x) != lim _{x -> 2+} {} f(x)] [eqn: RARROW] 극한값이 존재하지 않는다.

✔ [eqn: lim _{x -> -1-} {} f(x)= lim _{x -> -1+} {} f(x)] [eqn: RARROW] [eqn: lim _{x -> -1} {} f(x)=1]

✔ 구간별로 나누어 정의된 함수의 그래프를 그릴 줄 알아야 한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제2

(1) [eqn: f(x)= {cases{x&```(x<1)#3-x&```(x ge1)}}]

(2) [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} -1&```(x le0)#-x ^{2} +1&```(x>0)}}]

(3) [eqn: f(x)= {cases{x+1&```(x!=1)#4&```(x=1)}}]

(4) [eqn: f(x)= {cases{1&```(|x| le 1)#x&```(|x|>1)}}]

[eqn: lim _{x->2} (a[x]+x[x])]

B02 | 절댓값, 가우스함수의 극한

좌극한, 우극한을 따로 [eqn: RARROW] 절댓값, 가우스 제거.

개념1

다음 극한값을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->2} {[x]} over {x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 1} {} {|x-1|} over {x-1}]

(3) [eqn: lim _{x -> 2} {} {[x] ^{2} +[x]x} over {x}]	(4) [eqn: lim _{x -> 1} {} {|x-1|+|x+1|} over {x}]

(5) [eqn: lim _{x -> 2+} {} ([x]+[x-2]+[-1-x])]

(6) [eqn: lim _{x -> 3-} {} ([x-5]+[-x+1]+[x ^{2} ])]

의 값이 존재하도록 하는 [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제2

[eqn: lim _{x -> n} {} {[x] ^{2} +x} over {[x]}]의 값이 존재하도록 하는 정수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

예제3

B02E1 | 가우스함수의 그래프

[eqn: y=[f(x)]]의 그래프 : [eqn: y=f(x)]를 그리고 [eqn: y=n](정수)로 잘라서 내려붙인다.

개념1

[eqn: y=f(x)-[f(x)]]의 그래프 : [eqn: f(x)]의 그래프에서 [eqn: [f(x)]]의 그래프를 뺀다.

개념2

[eqn: y=f([x])]의 그래프 : [eqn: y=f(x)]를 그리고 [eqn: x=n](정수)로 왼쪽 값으로 붙인다.

개념3

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: y=[x]]	(2) [eqn: y=[ sqrt {x} ]] ([eqn: 0le x le9])

(3) [eqn: y=[x ^{2} ]] ([eqn: -1 le x le 2])	(4) [eqn: y=[(x-1)(x-2)]] ([eqn: 0 le x le3])

(5) [eqn: y=x-[x]]	(6) [eqn: y=x ^{2} -[x ^{2} ]] ([eqn: -1 le x le 2])

(7) [eqn: y=[x ] ^{2}] ([eqn: -1 LEQ x LEQ 3])	(8) [eqn: y= sqrt {[x]}] ([eqn: 0le x le9])

B03 | 부정형 0/0 꼴

✔ [eqn: lim _{x->a} {g(x)} over {f(x)}]에서 [eqn: f(x)]나 [eqn: g(x)], 둘 중 하나만 [eqn: 0]으로 가면 답을 그냥 알 수 있다.

① [eqn: f(x)`` -> ``0]이고 [eqn: g(x) ``↛ ``0]이면 [eqn: +-inf] (극한값이 존재하지 않는다.)

② [eqn: f(x)``↛ ``0]이고 [eqn: g(x)`` -> ``0]이면 [eqn: 0]으로 수렴.

[eqn: lim _{x->a} {g(x)} over {f(x)}]에서 [eqn: f(x)`` -> ``0]이고 [eqn: g(x)`` -> ``0]이면 약분하거나 유리화 한다.

개념1

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->2} {x ^{2} -4} over {x-2}]	(2) [eqn: lim _{x->1} {x ^{2} +2x-3} over {x-1}]

(3) [eqn: lim _{x -> 2} {} {1} over {x-2} left( {1} over {x} - {2} over {x+2} right)]	(4) [eqn: lim _{x -> 4} {} {sqrt {x} -2} over {x-4}]

(5) [eqn: lim _{x -> 1} {} {x-1} over {sqrt {x+3} -2}]	(6) [eqn: lim _{x -> -1} {} {x ^{3} +2x ^{2} +2x+1} over {x+1}]

B03E1 | 미정계수법

[eqn: lim _{x -> a} {} {g(x)} over {f(x)} =alpha]에서 [eqn: lim _{x->a} f(x)=0]이면, [eqn: lim _{x -> a} {} g(x)=0]이다.

개념1

[eqn: lim _{x -> a} {} {g(x)} over {f(x)} =alpha]([eqn: alpha!=0])에서 [eqn: lim _{x -> a} {} g(x)=0]이면, [eqn: lim _{x -> a} {} f(x)=0]이다.

개념2

※ [eqn: alpha!=0]이 없으면?

[eqn: lim _{x->2} {x ^{2} +ax+b} over {x-2} =3]에서 바로 느껴줘야 하는 것.

탐구

① 분자가 [eqn: 0]으로 가야 한다. (아니면?)

② 분자는 [eqn: x-2]를 인수로 가져야 한다.

[eqn: lim _{x->1} {x-1} over {2x ^{2} +ax+b} = {1} over {5}]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: lim _{x->2} {sqrt {x+a} -b} over {x-2} = {1} over {6}]일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제2

B04 | 무한대로 갈 때

분모, 분자의 차수가 가장 큰 항에 신경쓰면 된다.

개념1

([eqn: x]가 [eqn: -inf]로 갈 때는 [eqn: -x]를 다른 문자로 치환)

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->inf} {} {x ^{2} + sqrt {x ^{4} +x ^{2} +1}} over {3x ^{2} +2x+1}]	(2) [eqn: lim _{x -> INF } {} ( sqrt {x ^{2} +x} - sqrt {x ^{2} -x} )]

(3) [eqn: lim _{x -> -inf} {} {sqrt {x ^{2} +2} -x} over {x}]	(4) [eqn: lim _{x -> -inf} {} ( sqrt {x ^{2} +x} -x)]

(5) [eqn: lim _{x -> inf} {} {sinx} over {x}]	(6) [eqn: lim _{x -> inf} {} {x+[x]} over {x}]

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)} over {x ^{2}} =2], [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)} over {x-1} =3]을 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제2

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {x ^{2}} =3], [eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x)} over {x ^{2} -4} =6]을 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

예제3

B05 | 등비수열을 포함한 함수의 극한

다음을 구하여라.

탐구1

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} -3 ^{n}} over {2 ^{n} +3 ^{n}}]	(2) [eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n+1} +1} over {2 ^{n} -2}]	(3) [eqn: lim _{n -> INF } {} {(0.5) ^{n+1} +1} over {(0.5) ^{n} -2}]

※ 원칙적으로 수학2에서 출제될 수 없다. 그런데 내신.. 알지?

[eqn: lim _{n->inf} x ^{n}]

함수 [eqn: f(x)=lim _{n->inf} {x ^{n+1} +3} over {x ^{n} +1}]에 대하여 다음을 구하여라.

탐구2

(1) [eqn: f(2)]       (2) [eqn: f(1)]       (3) [eqn: f(0.9)]     (4) [eqn: f(-2)]

이 포함된 그래프 :

개념1

[eqn: x=+-1]을 기준으로 구간을 나눠서 극한값을 구한다.

다음 함수의 그래프를 그려라.

예제1

(1) [eqn: lim _{n->inf} {x ^{n+1}} over {x ^{n} +1}]	(2) [eqn: lim _{n->inf} {x ^{2n} +2} over {x ^{2n} +1}]

(3) [eqn: lim _{n -> INF } {} {x ^{n-1} +x} over {x ^{n} +1}]	(4) [eqn: lim _{n -> INF } {} {x ^{2n+2} +1} over {x ^{2n} +1}]

(5) [eqn: lim _{n -> INF } {} {(x-1) ^{n} -1} over {(x-1) ^{n} +2}]	(6) [eqn: lim _{n -> INF } {} {(2x) ^{2n+1} -x} over {(2x) ^{2n} +1}]

B06 | 함수의 연산과 극한값

극한값끼리의 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기가 가능하다.

개념1

✔ [eqn: 0]으로 나누는 것은 불가능하다.

✔ 형태 맞추기와 치환을 이용해서 극한값을 구한다.

※ 로피탈이 개강력하다.

[eqn: lim _{x->0} {f(x)} over {x} =2]일 때, [eqn: lim _{x->0} {x-f(x)} over {x+f(x)}]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: lim _{x -> a} {} f(x)le lim _{x -> a} {} g(x)]

[eqn: lim _{x->1} {f(x)} over {x-1} =3], [eqn: lim _{x->0} {g(x)} over {x} =-2]일 때,

예제2

[eqn: lim _{x -> 0} {} {2f(x+1)} over {g(x)(x+1)}]의 값을 구하여라.

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가

예제3

각각 그림과 같다. 다음을 구하여라.

(1) [eqn: lim _{x -> 1} {} (f(x)+g(x))]

(2) [eqn: lim _{x -> 1} {} (f(x)-g(x))]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} f(x)g(x)]

B06E1 | 샌드위치 정리

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)<g(x)]이면                   이다.

개념1

[eqn: RARROW] [eqn: f(x)<g(x)<h(x)]이고 [eqn: lim _{x -> a} {} f(x)= lim _{x -> a} {} h(x)=alpha]이면 [eqn: lim _{x -> a} {} g(x)= alpha]이다.

다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x->inf} {sinx} over {x}]	(2) [eqn: lim _{x -> 0} {} x sin {1} over {x}]

(3) [eqn: lim _{x -> 0} {} {rmsin}x cos {1} over {x}]	(4) [eqn: lim _{x -> INF } {} {[x]} over {x}]

[eqn: lim_x->a f(x)=inf], [eqn: lim_x->a (f(x)+2g(x))=4]일 때, [eqn: lim_x->a { f(x)-g(x)} over {f(x)+g(x) }]의 값을 구하여라.

예제2

B06E2 | 합성함수의 극한

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 다음과 같을 때, 다음을 구하여라.

예제1

(1) [eqn: lim _{x -> -2+} {g`(f(x))}]	(2) [eqn: lim _{x -> -2-} {g(f`(x))}]	(3) [eqn: lim _{x -> -1+} {g(f`(x)} )]

(4) [eqn: lim _{x -> -1-} {g(f`(x))}]	(5) [eqn: lim _{x -> 0+} {g(f`(x))}]	(6) [eqn: lim _{x -> 0-} {g(f`(x))}]

(7) [eqn: lim _{x -> 1+} {g(f`(x))}]	(8) [eqn: lim _{x -> 1-} {g(f`(x))}]	(9) [eqn: lim _{x -> 2+} {g(f(x))}]

(10) [eqn: lim _{x -> 2-} {g(f(x)} )]	(11) [eqn: lim _{x -> 0} {f(g`(x))}]	(12) [eqn: lim _{x -> 1+} {f(g`(x))}]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 다음과 같을 때, 다음을 구하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{x -> 1+} {} f(f(x))]	(2) [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(f(x))]	(3) [eqn: lim _{x -> -1-} {} f(f(x))]

(4) [eqn: lim _{x -> -1+} {} f(f(x))]	(5) [eqn: lim _{x -> 0-} {} f(x+1)]	(6) [eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x+1)]

(7) [eqn: lim _{x -> -1+} {} f(x ^{2} )]	(8) [eqn: lim _{x -> -1-} {} f(x ^{2} )]	(9) [eqn: lim _{x -> 0} {} f(x ^{2} )]

✔ 편향성의 이해.

[eqn: f(x)=[x]]이고 네 함수 [eqn: g _{k} (x)]가 각각

예제1

[eqn: g _{1} (x)=(x-2) ^{2} +1],  [eqn: g _{2} (x)=-(x-2) ^{2} +1],  [eqn: g _{3} (x)=(x-2) ^{3} +1],  [eqn: g _{4} (x)=1]

일 때, 다음을 구하여라.

(1) [eqn: lim_x->2 f(g _{1} (x))]	(2) [eqn: lim _{x -> 2} {} f(g _{2} (x))]

(3) [eqn: lim _{x -> 2} {} f(g _{3} (x))]	(4) [eqn: lim _{x -> 2} {} f(g _{4} (x))]

다음을 간단히 하여라.

예제2

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT )]	(2) [eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( {2n+1} over {n} RIGHT )]	(3) [eqn: lim _{n -> INF } {} f LEFT ( {2n+3} over {n+2} RIGHT )]

(4) [eqn: lim _{x->0} f(x ^{2} )]	(5) [eqn: lim _{x->0} f(1-x ^{2} )]	(6) [eqn: lim _{x->0} f(cosx)]

✔ [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT [ 1- {1} over {n} RIGHT ]=0]이고 [eqn: left[lim _{n -> INF } {} LEFT (1- {1} over {n} RIGHT )right]=1]이다.

[함수의 연속]

B07 | 연속의 뜻

ⅰ) [eqn: x=alpha]에서 극한값 X

ⅱ) [eqn: x=beta]에서 극한값[eqn: !=]함숫값

ⅲ) [eqn: x=gamma]에서 함숫값 X (불연속?)

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이다.

개념1

[eqn: LRARROW] [eqn: x=a]에서의 극한값과 함숫값이 같다.

[eqn: LRARROW] 좌극한, 우극한, 함숫값이 같다.

[eqn: LRARROW] [eqn: lim _{x -> a-} {} f(x)= lim _{x -> a+} {} f(x)=f(a)]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

예제1

(1) [eqn: x=1]에서 [eqn: f(x)+g(x)]가 연속인가?

(2) [eqn: x=1]에서 [eqn: f(x)g(x)]가 연속인가?

(3) [eqn: x=1]에서 [eqn: f(x-1)g(x)]가 연속인가?

B07E1 | 구간에서의 연속성

[eqn: left{x`|`a<x<b`right}] : 열린구간 [eqn: (a,```b)],   [eqn: LEFT { x`|`a le x leb` RIGHT }] : 닫힌구간 [eqn: [a,```b]]

Note

✔ [eqn: (a,```b]],   [eqn: (-inf,```inf)],   [eqn: [a,```inf)] 등등.

함수 [eqn: f(x)]가 열린구간 [eqn: (a,```b)]에서 연속이다.

개념1

[eqn: LRARROW] 구간 [eqn: (a,```b)]에 속하는 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속이다.

개념2

① 열린구간 [eqn: (a,```b)]에서 연속이다.

② [eqn: f(a)= lim _{x -> a+} {} f(x)], ③ [eqn: f(b)= lim _{x -> b-} {} f(x)]

eg)	ⅰ) [eqn: x=2]에서 불연속

ⅱ) [eqn: [0,```2]]에서 불연속

ⅲ) [eqn: [2,```4]]에서 연속

✔ 다항함수, 지수함수, 로그함수 등은 모두 정의역 내에서 연속이다.

✔ 유리함수는 분모가 [eqn: 0]이 아닐 때 연속이다.

eg) 함수 [eqn: {x ^{2}} over {(x-1)(x-2)}]는 [eqn: x!=1], [eqn: x!=2]인 모든 점에서 연속이다.

[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +ax+b} over {x-1}&```(x!=1)#3&```(x=1)}}]

[eqn: {2x+5} over {x ^{2} +4x+a}]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는

예제1

[eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

✔ [eqn: [f(x)]]는 [eqn: f(x)]가 정수가 될 때 불연속이 될 여지가 있다.

함수 [eqn: [x ^{2} ]]이 구간 [eqn: [1,```3]]에서 불연속이 되는 점의 개수를 구하여라.

예제2

함수 [eqn: [log _{2} x]]가 구간 [eqn: left( {1} over {2 ^{10}} ,```1right)]에서 불연속이 되는 모든 [eqn: x]의 값들의 합은?

예제3

B08 | 조각정의된 함수의 연속성

[eqn: f(x)= cases{ x+2&```(x!=3) # a& ```(x=3)}]가 [eqn: x=3]에서 연속일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제1

[eqn: f(x)= {cases{x ^{2}&```(x<3)#-x+a&```(x ge3)}}]가 [eqn: x=3]에서 연속일 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제2

가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제3

[eqn: x!=2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x-2)f(x)=x^2 -x-a]를

예제4

만족시키는 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: f(2)]의 값을 구하여라.

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{n+1} +ax ^{2} +1} over {x ^{n} +1}]이 [eqn: x=1]에서 연속이다. [eqn: a]의 값을 구하여라.

예제5

[eqn: lim _{n -> INF } {} {x ^{2n+1} +ax+b} over {x ^{2n} +1}]이 실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여라.

예제6

B09 | 최대최소의 정리

닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]는 최댓값과 최솟값을 갖는다.

개념1

※ 개당연하고 증명 안 되니까 힘쓰지 말자.

B10 | 사잇값의 정리

닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

개념1

[eqn: f(a)!=f(b)]일 때, [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)] 사이의 임의의 [eqn: k]에 대하여

[eqn: f(c)=k]인 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (a,```b)]에 적어도 하나 존재한다.

닫힌구간 [eqn: [a,```b]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(a)f(b)<0]이면

개념2

방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린구간 [eqn: (a,```b)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

✔ 문제 풀 때는 그냥 그래프 개형을 째려본다.

[eqn: x ^{2} -2x+ {1} over {2}=0]는 열린구간 [eqn: (1,```2)]에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라.

예제1

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0)=2], [eqn: f(1)=-1], [eqn: f(2)=-3], [eqn: f(3)=1],

예제2

[eqn: f(4)=3], [eqn: f(5)=-6]일 때, [eqn: f(x)=0]은 최소 몇 개의 실근을 가지는지 구하여라.

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=1], [eqn: f(1)=0], [eqn: f(2)=0], [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=2]

예제3

를 만족시킬 때, [eqn: f(x)=x]은 최소 몇 개의 실근을 가지는지 구하여라.

방정식 [eqn: {2} over {x} =x ^{2} + {1} over {2}]의 실근을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: [p]]의 값을 구하여라.

예제4

B11 | 연속성의 연산

[eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 연속이면

개념1

① [eqn: f(x)+g(x)], [eqn: f(x)-g(x)], [eqn: f(x)g(x)], [eqn: |f(x)|] 등도 연속이다.

② [eqn: { g(x)} over {f(x) }]는 [eqn: f(a)!=0]일 때 연속이다.

다음의 참거짓을 말하여라.

예제1

ㄱ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(x)+g(x)]가 모두 연속이면 [eqn: g(x)]가 연속이다.

ㄴ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(x)g(x)]가 모두 연속이면 [eqn: g(x)]가 연속이다.

ㄷ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: {g(x)} over {f(x)}]가 모두 연속이면 [eqn: g(x)]가 연속이다.

ㄹ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]가 연속이면 [eqn: |f(x)|]가 연속이다.

ㅁ. [eqn: x=a]에서 [eqn: |f(x)|]가 연속이면 [eqn: f(x)]가 연속이다.

ㅂ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)+g(x)]가 연속이면 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모두 연속이다.

함수 [eqn: {sinx} over {x ^{2} -4x+a}]가 실수 전체의 집합에서

예제2

연속이 되도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

B11E1 | 연속함수와 불연속함수의 곱

[eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]가 불연속, [eqn: g(x)]가 연속이고

개념1

[eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)g(x)]가 연속이면 [eqn: g(a)=0]이다.

두 함수 [eqn: f(x)=[x]], [eqn: g(x)=x-4]에 대하여, 함수 [eqn: f(x)g(x)]가

예제1

실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: x]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b], [eqn: g(x)]에 대하여,

예제2

[eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같고, 함수 [eqn: f(x)g(x)]가

실수 전체의 집합에서 연속이다. [eqn: f(2)]를 구하여라.

✔ [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]가 불연속, [eqn: g(x)]가 연속이고

[eqn: g(a)=0]이면, [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)g(x)]가 연속이다. (거짓)

B20E2 | 합성함수의 연속성

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서, [eqn: g(x)]가 [eqn: x=f(a)]에서 연속이면

개념1

함수 [eqn: g(f(x))]가 [eqn: x=a]에서 연속이다.

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프가 각각 그림과 같을 때,

예제1

다음의 연속성을 판단하여라.

ㄱ. [eqn: x=1]에서 [eqn: f(x)g(x)]	ㄴ. [eqn: x=1]에서 [eqn: g(f(x))]

ㄷ. [eqn: x=1]에서 [eqn: f(g(x))]	ㄹ. [eqn: x=2]에서 [eqn: f(x)g(x)]

ㅁ. [eqn: x=2]에서 [eqn: g(f(x))]	ㅂ. [eqn: x=2]에서 [eqn: f(g(x))]

다음의 참거짓을 말하여라.

예제2

ㄱ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모두 연속이면 [eqn: x=a]에서 [eqn: g(f(x))]가 연속이다.

ㄴ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]가 연속, [eqn: x=f(a)]에서 [eqn: g(x)]가 연속이면

[eqn: x=a]에서 [eqn: g(f(x))]가 연속이다.

ㄷ. [eqn: x=a]에서 [eqn: f(x)]가 연속이고 [eqn: x=f(a)]에서 [eqn: g(x)]가 불연속이면

[eqn: x=a]에서 [eqn: g(f(x))]가 불연속이다.