			원포인트 개념주입 C 수열

원포인트개념주입

개념1	✏ 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 두 항 [eqn: a _{l}], [eqn: a _{m}]이 주어져 있을 때, 이 등차수열의 공차는 [eqn: {a _{l} -a _{m}} over {l-m}]이고, 일반항은 [eqn: a _{n} =a _{l} + {a _{l} -a _{m}} over {l-m} (n-l)]이다.

수열

001. 수열 [eqn: x,``` a_1 , ``` a_2 ,``` a_3 ,```y]와 수열 [eqn: x,```b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3} ,```b _{4} ,```b _{5} ,```y]이 모두 등차수열일 때, [eqn: {a _{3} -a _{1}} over {b _{5} -b _{4}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: x != y]) [eqn: 3]

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002. [eqn: 4]와 [eqn: 20] 사이에 [eqn: m]개, [eqn: 20]과 [eqn: 52] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어서 등차수열 [eqn: 4,```a _{1} ,```a _{2} ,``` CDOTS ,```a _{m} ,```20,```b _{1} ,```b _{2} ,``` CDOTS ,```b _{n} ,```52] 을 만들었다. 이 때, [eqn: m], [eqn: n] 사이의 관계식은? ② ① [eqn: n=2m-1] ② [eqn: n=2m+1] ③ [eqn: n=2m+3] ④ [eqn: n=3m] ⑤ [eqn: n=3m+1]
003. 어떤 등차수열에서 제[eqn: p]항이 [eqn: {1} over {q}]이고, 제[eqn: q]항이 [eqn: 1 over p]일 때, 이 수열의 첫째항부터 제[eqn: pq]항까지의 합을 구하여라. (단, [eqn: p ne q]이다.) [eqn: {1} over {2} LEFT ( pq+1 RIGHT )]

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개념2	✏ 등차수열은 [eqn: an+b]꼴로 나타나고 이는 직선 [eqn: ax+b] 위의 점들로 나타낼 수 있다. [eqn: RARROW] [eqn: an+b=0]이 될 때, 좋은 일이 일어난다. ✏ 등차수열의 합은 상수항이 없는 이차식의 형태이며 ‘[eqn: an+b]를 적분한 것 같은’ 모양을 가진다.

004. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: left{ b_n right }]이 다음 조건을 만족한다. (가) [eqn: a_1 + a_2 + a_3 + ` cdots ` + a_n = S_n] (나) [eqn: b_1 + b_2 +b_3 + `cdots ` + b_n = T_n] (다) [eqn: S_n over T_n = 2n+1 over 3n-2] 이때, [eqn: a_5 over b_5]의 값을 [eqn: q over p]라 할 때 [eqn: p + q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수) [eqn: 44]

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005. 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_10 = S_15]일 때, [eqn: S_n = 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 25]
006. 첫째항이 [eqn: 60]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]을 [eqn: T _{n} =` LEFT |` a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+`a _{n} ` RIGHT |] 이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: T _{n} >T _{n+1}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값과 최댓값의 합을 구하여라. (가) [eqn: T _{19} <T _{20} `] (나) [eqn: T _{20}=T _{21} `] [eqn: 61]

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개념3	✔ 등비수열의 일반항 : [eqn: a _{1} r ^{n-1}] ✔ 등비수열의 합 : [eqn: {a _{1} (r ^{n} -1)} over {r-1}]

007. 그림과 같이 좌표 평면 위에 직선 [eqn: l:y=- {1} over {2} x+2]가 있다. 두 변이 [eqn: x]축과 [eqn: y]축 위에 있고, 한 꼭짓점이 직선 [eqn: l] 위에 있는 정사각형을 [eqn: A _{1}]이라 하자. 또, 두 변이 [eqn: x]축과 정사각형 [eqn: A _{1}]의 한 변 위에 있고, 한 꼭짓점이 직선 [eqn: l] 위에 있는 정사각형을 [eqn: A _{2}]라 하자. 또, 두 변이 [eqn: x]축과 정사각형 [eqn: A _{2}]의 한 변 위에 있고, 한 꼭짓점이 직선 [eqn: l] 위에 있는 정사각형을 [eqn: A _{3}]이라 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 정사각형 [eqn: A _{n}]([eqn: n=1,```2,```3,``` CDOTS])을 만들어 나갈 때, 정사각형 [eqn: A _{n}]의 한 변 위에 놓인 정사각형 [eqn: A _{n+1}]의 꼭짓점 중에서 [eqn: x]축 위에 있지 않은 점을 [eqn: {rmP} _{n}]이라 하자. 점 [eqn: rmP _{10}]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 합을 구하면? ① ① [eqn: 4 LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{11} RIGHT }] ② [eqn: 2left{1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{11} right}] ③ [eqn: 4left{1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10} right}] ④ [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{11}] ⑤ [eqn: 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10}]

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008. 지름 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: 30]인 원 [eqn: C]가 있다. 그림과 같이 네 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C_3], [eqn: C_4]의 중심이 모두 선분 [eqn: rmAB] 위에 있으며 서로 외접하고, 반지름의 길이는 순서대로 등비수열을 이룬다. 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_4]는 원 [eqn: C]에 내접하고 원 [eqn: C_1]의 반지름의 길이가 [eqn: 1]일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. [eqn: 140 pi]
009. 농작물에 피해를 주는 [eqn: rmP]병충이 발생하여 [eqn: 2026]년부터는 매년 농작물의 피해량이 전년도까지의 총피해량과 같았다. 그런데 [eqn: 2032]년 여름에 [eqn: rmP]병충을 막는 약품이 개발되어 [eqn: 2032]년의 피해량은 전년도와 같았고, [eqn: 2033]년의 피해량은 전년도 피해량의 [eqn: 1 over 2]로 줄어들었으며, [eqn: 2033]년 이후에도 매년 피해량은 전년도 피해량의 [eqn: 1 over 2]이 될 것으로 예상된다. [eqn: 2025]년까지 [eqn: rmP]병충에 의한 농작물의 총피해량이 [eqn: a]이었을 때, [eqn: 2037]년까지 [eqn: rmP]병충에 의한 농작물의 총피해량을 [eqn: a]로 나타내면? ① ① [eqn: 127a] ② [eqn: 155a] ③ [eqn: 201a] ④ [eqn: 255a] ⑤ [eqn: 287a]

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개념4	✔ 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n a_k =S_n]이라 할 때, ① [eqn: sum_k=1 ^n a_2k -sum_k=1 ^n a_2k-1 =nd] ② [eqn: S_n], [eqn: S_2n -S_n], [eqn: S_3n -S_2n], [eqn: S_4n -S_3n], [eqn: cdots]는 공차가 [eqn: n ^{2} d]인 등차수열이다.

010. 공차가 [eqn: d], 항의 개수가 [eqn: 2n]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대한 다음의 사항을 [eqn: n]과 [eqn: d]에 대한 식으로 나타내어라. (1) [eqn: |nd|=A] (2) [eqn: |n ^{2} d|=B] (1) 홀수항들의 합과 짝수항들의 합의 차이가 [eqn: A]이다. (2) 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: n]항까지의 합과, 제[eqn: (n+1)]항부터 제[eqn: 2n]항까지의 합의 차이가 [eqn: B]이다.

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011. [eqn: n]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n}]이 다음 조건을 만족한다. (가) 처음 [eqn: 4]개 항의 합은 [eqn: 26]이다. (나) 마지막 [eqn: 4]개 항의 합은 [eqn: 134]이다. (다) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} =260] 이때 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 13]
012. 두 수 [eqn: 55]와 [eqn: 110] 사이에 [eqn: 2n]개의 수를 넣어 첫째항이 [eqn: 55], 끝항이 [eqn: 110]인 등차수열을 만든다. 이 수열의 처음 [eqn: (n+1)]개의 항의 합을 [eqn: A], 뒤에서 [eqn: (n+1)]개 항의 합을 [eqn: B]라 할 때, [eqn: A : B = 9 : 13]이 성립한다. 이 수열의 둘째 항을 구하여라. (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [eqn: 60`]

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개념5	✔ 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n a_k =S_n]이라 할 때, ① [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k} =r sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1}] ② [eqn: S_n], [eqn: S_2n -S_n], [eqn: S_3n -S_2n], [eqn: S_4n -S_3n], [eqn: cdots]는 공차가 [eqn: r^n]인 등비수열이다. ③ [eqn: sum_k=1 ^n { 1} over {a_k }= { S_n} over {a_1 a_n }]

013. 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: 12], 첫째항부터 제[eqn: 2n]항까지의 합이 [eqn: 15]일 때, 첫째항부터 제[eqn: 3n]항까지의 합은 [eqn: {rm S}_3n]이다. [eqn: 4{rmS}_3n]의 값을 구하여라. [eqn: 63``]

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014. 첫째항이 [eqn: 2]이고 항의 개수가 짝수인 등비수열에서 홀수 번째 항들의 합은 [eqn: 182], 짝수 번째 항들의 합은 [eqn: 546]이다. 이때, 이 수열의 항의 개수를 구하여라. [eqn: 6]
015. 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: 5]항까지의 합이 [eqn: 31 over 2]이고, 곱이 [eqn: 32]일 때, [eqn: 1 overa_1 + 1 over a_2 + 1 over a_3 + 1 over a_4 + 1 over a_5]의 값은? ② ① [eqn: 31 over 4] ② [eqn: 31 over 8] ③ [eqn: 31 over 12] ④ [eqn: 8 over 31] ⑤ [eqn: 4 over 31]

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개념6	✔ 원리합계 : 해두자.

016. 정부가 통일 이후 필요한 통일 비용을 마련하기 위해 예산의 일부를 [eqn: 2001]년부터 매년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 적립한다고 하자. 적립할 금액은 경제성장률을 감안하여 매년 전 년도보다 [eqn: 6%]씩 증액한다. [eqn: 2001]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일부터 [eqn: 10]조 원을 적립하기 시작한다면 [eqn: 2010]년 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지 적립된 금액의 원리합계는 몇 조 원인가? (단, 연이율 [eqn: 6%], [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, [eqn: (1.06) ^{10}]은 [eqn: 1.8]로 계산한다.) ③ ① [eqn: 160] ② [eqn: 162] ③ [eqn: 180] ④ [eqn: 198] ⑤ [eqn: 220]

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017. 이달 초에 [eqn: 120]만원짜리 TV를 할부로 구입하고 이달 말부터 일정한 금액을 [eqn: 12]회로 나누어 갚는다면 매달 얼마씩 갚아야 하는가? (단, [eqn: 1.01^12 = 1.1], 월이율 [eqn: 1%], [eqn: 1]개월마다의 복리로 계산한다.) ④ ① [eqn: 124000]원 ② [eqn: 128000]원 ③ [eqn: 130000]원 ④ [eqn: 132000]원 ⑤ [eqn: 136000]원
018. [eqn: 2020]년말부터 [eqn: 1000]만원씩 [eqn: 10]년간 받는 연금이 있다. 이 연금을 [eqn: 2020]년 초에 한꺼번에 지급받는다면 약 얼마를 받게 되는지 구하여라. (단, [eqn: 1.05^10 = 1.63], 연이율은 [eqn: 5]푼, [eqn: 1]년마다의 복리로 계산하고, 천원 이하는 버린다.) [eqn: 7730]만원

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개념7	✔ 합과 일반항 : 잘 해보자.

019. 수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: 3 sum _{k=1} ^{n} a _{k} =4a _{n} -4 ^{n+1}] ([eqn: n ge1]) [eqn: cdotscdots] (*) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하는 과정이다. 위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)], [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: {g(5)h(2)} over {f(3)}]의 값은? 주어진 식에서 [eqn: 3 sum _{k=1} ^{n+1} a _{k} =4a _{n+1} -4 ^{n+2}] [eqn: cdotscdots] ㉠ 이다. ㉠에서 (*)을 빼서 정리하면 [eqn: a _{n+1} =4a _{n} +box{`````(가)`````}] 이다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {4 ^{n}}]이라 하면 [eqn: b _{n+1} =b _{n} + {box{`````(가)`````}} over {4 ^{n+1}}] 이다. 수열 [eqn: left{b _{n} right}]의 일반항을 구하면 [eqn: b _{n} =box{`````(나)`````}] 이다. 그러므로 [eqn: a _{n} =box{`````(다)`````}]이다. ① ① [eqn: {7} over {3}] ② [eqn: {10} over {3}] ③ [eqn: {14} over {3}] ④ [eqn: {19} over {3}] ⑤ [eqn: {25} over {3}]

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020. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {k} = {2n+1} over {n+1}]을 만족시킬 때, [eqn: a _{100}]의 값은? ① [eqn: {1} over {98}] ② [eqn: {1} over {99}] ③ [eqn: {1} over {100}] ④ ④ [eqn: {1} over {101}] ⑤ [eqn: {1} over {102}]
021. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: na _{1} +(n-1)a _{2} +(n-2)a _{3} + CDOTS +2a _{n-1} +a _{n} =n ^{3}]이 성립할 때, [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9}]의 값을 구하여라. [eqn: 121]

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개념8	✔ 시그마의 연산 : 잘 해보자.

022. 다음 급수의 값을 구하여라. (1) [eqn: {375}] (2) [eqn: 2604] (3) [eqn: 3025] (1) [eqn: sum _{i=1} ^{10} LEFT { sum _{j=1} ^{5} (i+j-1) RIGHT }] (2) [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} 2 ^{k+n} RIGHT )] (3) [eqn: sum _{k=1} ^{10} k ^{2} + sum _{k=2} ^{10} k ^{2} + sum _{k=3} ^{10} k ^{2} + CDOTS + sum _{k=10} ^{10} k ^{2}]

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023. [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} =50], [eqn: a _{20} =2]를 만족하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{19} k(a _{k} -a _{k+1} )]의 값을 구하여라. [eqn: {10}]
024. 첫째항이 [eqn: p]이고 공차가 [eqn: p-1]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (-1) ^{k} a _{k} =40] 을 만족할 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]는 상수이다.) [eqn: {41}]

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개념9	✔ 급수의 망원화 : 잘 해본다.

025. 첫째항이 [eqn: 1]이고 각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{9} {a _{k+1}} over {S _{k} S _{k+1}} = {1} over {6}]일 때, [eqn: S _{10}]의 값은? ① [eqn: {3} over {2}] ② [eqn: {4} over {3}] ③ [eqn: {5} over {4}] ④ [eqn: {6} over {5}] ⑤ [eqn: {7} over {6}] ④

	수열

026. 첫째항이 [eqn: 4]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: {1} over {sqrt {a _{1}} + sqrt {a _{2}}} + {1} over {sqrt {a _{2}} + sqrt {a _{3}}} + CDOTS + {1} over {sqrt {a _{30}} + sqrt {a _{31}}} =3] 일 때, [eqn: a _{n}]의 공차를 구하여라. [eqn: 2]
027. 수 [eqn: sum_k=1 ^50 (k^2 +1)k!]이 [eqn: 5^n]으로는 나누어 떨어지고 [eqn: 5^n+1]으로는 나누어 떨어지지 않게 되는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 14]

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개념10	✏ 점화식의 풀이 : 기본적인 것들은 해 두자.

028. 각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right]은 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_2 =4]이고, [eqn: (a_n+1 )^2 =2a_n a_n+2 ```(n ge1)] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다. 위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: { 1} over {p }timesf(8)]의 값은? 주어진 식의 양변을 [eqn: a_n a_n+1]로 나누면 [eqn: { a_n+1 } over {a_n }=2cdot { a_n+2} over {a_n+1 }] [eqn: ( n ge1)] 이다. [eqn: b_n = { a_n+1} over {a_n }]이라 하면 [eqn: b_1 =2]이고 [eqn: b _{n+1} = BOX{`````(가)`````} ` TIMES `b _{n}] 이다. 수열 [eqn: left{b _{n} right}]의 일반항을 구하면 [eqn: b _{n} =2` TIMES ` LEFT { BOX{`````(가)`````} right}^{n-1}] 이다. [eqn: a_n =a_1 times { a_2} over {a_1 }times { a_3} over {a_2 }times cdots times { a_n} over { a_n-1}] [eqn: (n ge2)] 를 이용하여 [eqn: a_n]을 구하면 [eqn: a_n =2^n timesleft( { 1} over { 2}right)^{box{`````(나)`````}}`````(n ge1)] 이다. ① ① [eqn: 42] ② [eqn: 49] ③ [eqn: 56] ④ [eqn: 63] ⑤ [eqn: 70]

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029. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: a _{1} =1], [eqn: S _{n} =2a _{n} -1] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots]) 이 성립한다. [eqn: a _{5}]의 값은? ④ ① [eqn: 10] ② [eqn: 12] ③ [eqn: 14] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 18]
030. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: a _{1} =3], [eqn: (n+1)a _{n+1} =2(a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n} )] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots]) 이 성립한다. [eqn: a _{10}]의 값은? ② ① [eqn: 10] ② [eqn: 11] ③ [eqn: 12] ④ [eqn: 13] ⑤ [eqn: 14]

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개념11	✔ 귀납법 : 잘

031. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =3]이고 [eqn: n`a_n+1 -2n`a_n + n+2 over n+1 =0````(n ge 1)] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n}]이 [eqn: a_n =2^n + 1 over n] …… ([eqn: ast]) 임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=a _{1} =3], [eqn: (우변)=2 ^{1} + {1} over {1} =3]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다. ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면 [eqn: a _{k} =2 ^{k} + {1} over {k}]이므로 [eqn: k`a_k+1 &=2k`a_k - k+2 over k+1 #&=``box{`````(가)`````}``- k+2 over k+1 #&= k`2^k+1 +``box{`````(나)`````}``] 이다. 따라서 [eqn: a _{k+1} =2 ^{k+1} + {1} over {k+1}]이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 [eqn: (ast )]이 성립한다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =2 ^{n} + {1} over {n}]이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]이라 할 때, [eqn: f(3) times g(4)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 32] ② [eqn: 34] ③ [eqn: 36] ④ [eqn: 38] ⑤ [eqn: 40]

	수열

032. 다음은 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3 ^{n} -2n]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. ⅰ) [eqn: n=2]일 때 [eqn: 9-4=5]이므로 [eqn: 4]로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다. ⅱ) [eqn: n=k][eqn: (k GEQ 2)]일 때, [eqn: 3 ^{k} -2k]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이라고 가정하면 자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: 3^k - 2k = 4m + 1 `]이다. [eqn: n = k+1 `]일 때, [eqn: 3^k+1 - 2( k+1)][eqn: = 3 left( 3^k - 2k right) +][eqn: BOX{`````(가)`````}] [eqn: =4 ( 3m +][eqn: BOX{`````(나)`````}][eqn: )+ 1 `] 따라서 [eqn: n = k+1]일 때에도 [eqn: 3^k+1 - 2(k+1)]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이다. ⅰ), ⅱ) 에 의하여 [eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 3^n - 2n]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이다. 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(5) + g(7)]의 값은? ① ① [eqn: 25] ② [eqn: 27] ③ [eqn: 29] ④ [eqn: 31] ⑤ [eqn: 33]
033. 다음은 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 [eqn: 1 cdot 1 + 3 cdot 2 + 5 cdot 2^2 + ` cdots ` + (2n-1) cdot 2^n-1][eqn: = (2n-3) cdot 2^n + 3 `] [eqn: cdots] ㉠ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것의 일부이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(5)+g(5)]의 값은? ⅰ) [eqn: n = 2]일 때, [eqn: (좌변)][eqn: = 1cdot1 + 3 cdot 2 = 7 `] [eqn: (우변)][eqn: = (2 cdot 2 - 3 right) cdot 2^2 + 3 = 7]이므로 ㉠이 성립한다. ⅱ) [eqn: n = k]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1 cdot 1 + 3 cdot 2 + 5 cdot 2^2 + ` cdots ` +(2k-1) cdot 2^k-1`][eqn: = (2k-3) cdot 2^k +3 `] [eqn: cdots] ㉡ ㉡의 양변에 [eqn: (`][eqn: BOX{`````(가)`````}][eqn: ) cdot 2^k `]을 더하면 [eqn: 1 CDOT 1+3 CDOT 2+5 CDOT 2 ^{2} +` CDOTS `+(2k-1) CDOT 2 ^{k-1}][eqn: +(][eqn: BOX{`````(가)`````}][eqn: ) cdot 2^k `] [eqn: =][eqn: BOX{`````(나)`````}][eqn: cdot 2^k + 3] ⋮ ⑤ ① [eqn: 21] ② [eqn: 23] ③ [eqn: 25] ④ [eqn: 27] ⑤ [eqn: 29]