			원포인트 개념주입 B 수열

원포인트개념주입

수열

개념1	✔ 등차수열, 등차중항, 조화수열 : 잘 하자.

001. 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{p} =q], [eqn: a _{q} =p]일 때, [eqn: a_p+q]의 값은? (단, [eqn: p!=q]) ① ① [eqn: 0] ② [eqn: p+q] ③ [eqn: pq] ④ [eqn: q over p] ⑤ [eqn: p over q] 002. 두 자리의 자연수 중 [eqn: 3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 1]인 모든 수를 작은 수부터 순서대로 나열한 수열을 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이라 할 때, [eqn: 2a_n]이 세 자리의 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는? ④ ① [eqn: 13] ② [eqn: 14] ③ [eqn: 15] ④ [eqn: 16] ⑤ [eqn: 17]		003. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``:`200,```196,```192,```188,```184,``` CDOTS] [eqn: LEFT { b_n RIGHT }``:`100,```103,```106,```109,```112,```cdots] 일 때, 두 자연수 [eqn: l], [eqn: m]에 대하여 [eqn: a_l =b_m]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (l,```m)]의 개수를 구하여라. [eqn: 9]

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개념2	✏ 등차수열의 합은 [eqn: (항들의```평균)times(항의```개수)]이다. ✔ 항들의 평균을 일반적으로 [eqn: {(첫```항)+(마지막```항)} over {2}]를 이용하여 구한다.

004. 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여 [eqn: S_m -S_n =7a_21]이 성립할 때, 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]의 합 [eqn: m+n]의 값을 구하여라. (단, [eqn: m>n]) [eqn: 41] 005. [eqn: 1]과 [eqn: 11] 사이에 [eqn: 3n]개의 수를 넣어 만든 등차수열 [eqn: 1], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_3n], [eqn: 11] 의 합이 [eqn: 282]일 때, [eqn: a_2 +a_5 +a_8 +cdots+a_3n-1]의 값은? ④ ① [eqn: 45] ② [eqn: 60] ③ [eqn: 75] ④ [eqn: 90] ⑤ [eqn: 105]		006. [eqn: n]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_n] 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 처음 [eqn: 4]개 항의 합은 [eqn: 26]이다. (나) 마지막 [eqn: 4]개 항의 합은 [eqn: 134]이다. (다) [eqn: a _{1} +`a _{2} +`a _{3} +`` CDOTS `+`a _{n} =260] 이때 [eqn: n]의 값을 구하여라. [eqn: 13]

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개념3	✏ 합과 일반항 : [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =S _{n}]이면 [eqn: a _{n} = {cases{S _{1}&```(n=1)#S _{n} -S _{n-1}&```(n GEQ 2)}}]이다.

007. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a_k =S_n], [eqn: sum _{k=1} ^{n} ka _{k} =T _{n}]이다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: T _{n} =n(n+1)(n+2)]일 때, [eqn: S_10 -S_8]의 값은? ④ ① [eqn: 59] ② [eqn: 61] ③ [eqn: 62] ④ [eqn: 63] ⑤ [eqn: 64] 008. 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: a _{1} =1,```a _{2} =3], [eqn: (S_n+1 - S_n-1 ) ^2 = 4 a_n a_n+1 +4] ([eqn: n=2,```3,```4,``` CDOTS]) 일 때, [eqn: a _{20}]을 구하여라. (단 [eqn: a _{1} <a _{2} < CDOTS <a _{n} < CDOTS]이다.) [eqn: 39]		009. 수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]은 [eqn: S _{n} =n ^{`3} +pn] 이고, 수열 [eqn: "{"b _{n} "}"]은 다음 조건을 모두 만족시킨다. (가) [eqn: b_{`1} = a_{`1}] (나) [eqn: b_{`n} = a_{`n} - a_{`n-1}] ([eqn: n ge2]) 수열 [eqn: "{" b_n "}"]이 등차수열일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? ④ ① [eqn: 3] ② [eqn: 1over 3] ③ [eqn: - 1over 3] ④ [eqn: - 1] ⑤ [eqn: -3]

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개념4	✏ 등차수열의 합은 상수항이 없는 이차식 [eqn: an ^{2} +bn]으로 나타낼 수 있다. ✔ 공차는 [eqn: 2a], 첫째항은 [eqn: a+b]이다. ✔ 필요충분이다. (합이 [eqn: an ^{2} +bn]꼴이면 등차수열이다.)

010. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n =2n^2 -28n] 일 때, 처음으로 양수가 나오는 항은 제 몇 항인지 구하여라. [eqn: 8] 011. 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n =2n^2 -4n+k]인 수열 [eqn: LEFT { a_n ` RIGHT }]이 첫째항부터 공차가 [eqn: d]인 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]와 공차 [eqn: d]의 합 [eqn: k+d]의 값은? ③ ① [eqn: 2] ② [eqn: 3] ③ [eqn: 4] ④ [eqn: 5] ⑤ [eqn: 6]		012. 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: A_n], [eqn: B_n]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: { A_n} over { B_n}= { 2n+7} over {3n+4 }]이 성립할 때, [eqn: { a_11} over {b_11}= { q} over {p }]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하여라. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: 116] 013. 공차가 [eqn: d_1], [eqn: d_2]인 두 등차수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 각각 [eqn: S _{n}], [eqn: T _{n}]이라 하자. [eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1 )] 일 때, 보기에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? ③ ㄱ. [eqn: a_n =n]이면 [eqn: b_n = 4n-4]이다. ㄴ. [eqn: d _{1} d _{2} =4] ㄷ. [eqn: a_1 ne 0]이면 [eqn: a_n =n]이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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개념5	✔ 등비수열의 일반항, 등비중항 : 잘 한다.

014. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (a _{n+1} ) ^{2} =a _{n} a _{n+2}] 를 만족시키고 [eqn: {a_10 over a_1} + { a_11 over a_2} +`cdots`+ {a_19 over a_10} =100] 일 때, [eqn: {a_20} over {a_11}]의 값을 구하여라. [eqn: 10] 015. 각 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: (a_2 )^2 + (a_3 )^2 =3], [eqn: (a _{4} ) ^{2} +(a _{5} ) ^{2} =36] 일 때, [eqn: (a _{6}) ^{2} +(a _{7} )^{2}]의 값은? ② ① [eqn: 412] ② [eqn: 432] ③ [eqn: 452] ④ [eqn: 476] ⑤ [eqn: 496]		016. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 첫째항이 [eqn: a], 공비가 [eqn: r]인 등비수열일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} (a _{n+1} ) ^{2} RIGHT }]은 어떤 수열인가? ① 첫째항이 [eqn: a^3], 공비가 [eqn: r^3]인 등비수열 ② 첫째항이 [eqn: a ^{2} r ^{2}], 공비가 [eqn: ar^3]인 등비수열 ③ 첫째항이 [eqn: a ^{2} r ^{2}], 공비가 [eqn: r^3]인 등비수열 ④ 첫째항이 [eqn: a ^{3} r ^{2}], 공비가 [eqn: ar^3]인 등비수열 ⑤ 첫째항이 [eqn: {a^3}{r^2}], 공비가 [eqn: r^3]인 등비수열 ⑤

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개념6	✏ 등비수열의 합 : [eqn: {a _{1} (r ^{n} -1)} over {r-1}]

017. 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합이 [eqn: 2`]이고, 제[eqn: 11]항부터 제[eqn: 20]항까지의 합이 [eqn: 12]인 등비수열의 제[eqn: 21]항부터 제[eqn: 30]항까지의 합을 구하여라. [eqn: 72] 018. 첫째항이 [eqn: 1]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_2 +a_4 + cdots +a_2k =170], [eqn: a_1 +a_3 + cdots + a_2k-1 =85] 를 만족시키는 [eqn: k]의 값을 구하여라. [eqn: 4]		019. 어떤 나팔꽃 덩굴은 땅에서 싹이 튼 다음 일주일 후의 길이가 [eqn: 10rmcm]가 되고, 그 후 [eqn: 2]개월 동안은 매주 지난 주에 자란 길이의 [eqn: 4over5]배만큼 자란다고 한다. 싹이 튼 후 [eqn: 8]주 동안 자란 나팔꽃 덩굴의 길이를 구하여라. (단, [eqn: LEFT ( 4over5 RIGHT )^8``=0.17]로 계산한다.) [eqn: 41.5]

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개념7	✔ 시그마의 뜻과 성질 : 잘 한다.

020. [eqn: sum _{k=1} ^{n}(k^2 +1)-sum _{k=1} ^{n-1}(k^2 -1)]을 [eqn: n]에 대한 내림차순으로 나타내면 [eqn: an^2 +bn+c]이다. 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 값은? ① ① [eqn: -2] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 2] 021. 수열 [eqn: 1], [eqn: 1+2], [eqn: 1+2+2^2], [eqn: 1+2+2^2 +2^3], [eqn: cdots] 의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합은? ⑤ ① [eqn: 2^n -n] ② [eqn: 2^n+1 -1] ③ [eqn: 2^n+1 -n] ④ [eqn: 2^n+1 -n-1] ⑤ [eqn: 2^n+1 -n-2]		022. 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n}a_k =n(n+2)]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10}a_3k]의 값은? ④ ① [eqn: 310] ② [eqn: 320] ③ [eqn: 330] ④ [eqn: 340] ⑤ [eqn: 350]

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개념8	✔ 시그마의 풀이 ① 다항식 ② 등비수열(&멱급수) ③ 망원급수(소거형)

023. 수열 [eqn: 1 times1], [eqn: 2times3], [eqn: 3times5], [eqn: 4times7], [eqn: cdots]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합은? ④ ① [eqn: 1over6 n(n+1)(n+2)] ② [eqn: 1over6 n(n+1)(2n-1)] ③ [eqn: 1over6 n(n+1)(2n+1)] ④ [eqn: 1over6 n(n+1)(4n-1)] ⑤ [eqn: 1over6 n(n+1)(4n+1)] 024. [eqn: sum _{ l=1} ^{n } LEFT ( sum _{ k=1} ^{ l}k RIGHT )=56]을 만족시키는 [eqn: n]의 값은? ② ① [eqn: 5] ② [eqn: 6] ③ [eqn: 7] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 9]		025. [eqn: 1+ 1over 1+2 + 1over1+2+3 + cdots+ 1over{1+2+3+cdots+10 }]의 값은? ④ ① [eqn: 9over10] ② [eqn: 11over10] ③ [eqn: 10over11] ④ [eqn: 20over11] ⑤ [eqn: 11over20] 026. 다음을 간단히 하여라. (1) [eqn: sqrt {n+1} -1] (2) [eqn: (n+1)!-1] (3) [eqn: 1- {1} over {(n+1)!}] (1) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}] (2) [eqn: sum _{k=1} ^{n} k cdotk!] (3) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {(k+1)!}]

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개념9	✔ 등차수열과 등비수열의 귀납적 정의 ① [eqn: a _{n+1} =a _{n} +d] or [eqn: 2a _{n+1} =a _{n} +a _{n+2}] [eqn: RARROW] 등차수열 ② [eqn: a _{n+1} =ra _{n}] or [eqn: (a _{n+1} ) ^{2} =a _{n} a _{n+2}] [eqn: RARROW] 등비수열

027. 수열 [eqn: "{"a_n "}"]이 [eqn: 2a_n+1 = a_n + a_n+2][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)] 를 만족시킨다. [eqn: a_1 =3], [eqn: a_5 =25]일 때, [eqn: a_33]의 값은? ⑤ ① [eqn: 175] ② [eqn: 176] ③ [eqn: 177] ④ [eqn: 178] ⑤ [eqn: 179] 028. [eqn: a_1 =1], [eqn: 4 a_n a_n+1 = a_n -a_n+1][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)]로 정의된 수열 [eqn: "{" a_n "}"]에서 일반항 [eqn: a_n]을 구하면? ④ ① [eqn: 1 over n] ② [eqn: 1 over 2n-1] ③ [eqn: 1 over 3n-2] ④ [eqn: 1 over 4n-3] ⑤ [eqn: 1 over 5n-4]		029. [eqn: a_1 =3], [eqn: a_4 = - 24], [eqn: (a _{n+1} )^2 =a _{n} a _{n+2}]([eqn: n=1,```2,```3,``` cdots]) 를 만족시키는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to 10 a_n]의 값을 구하여라. [eqn: - 1023] 030. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]을 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3], [eqn: 2 log a_n+1 = log a_n +log a_n+2 (n=1,```2,```3,``` CDOTS)] 로 정의할 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{ 10} a_2k-1]의 값은? ④ ① [eqn: 3^9 -1`] ② [eqn: 9^10 -1] ③ [eqn: 9^9 -1] ④ [eqn: { 1} over { 8} LEFT ( 9^10 -1 RIGHT )] ⑤ [eqn: { 1} over { 8} LEFT ( 9^9 -1 RIGHT )]

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개념10	✔ 기본 점화식의 풀이 ① [eqn: a_n+1 =a_n +f(n)] 꼴 ② [eqn: a_n+1 =f(n)a_n] 꼴 ③ [eqn: a_n+1 =pa_n +q] 꼴 ※ 교육과정은 아닌데, 이정도는 해 두자.

031. 수열 [eqn: "{" a_n "}"]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_ n+1 - a_n = 3^n-6 + n] 을 만족시킬 때, [eqn: a_10 - a_7]의 값은? ② ① [eqn: 60] ② [eqn: 63] ③ [eqn: 66] ④ [eqn: 69] ⑤ [eqn: 72] 032. 수열 [eqn: "{" a_n "}"]이 [eqn: a_1 =5], [eqn: a_n+1 = {n^2 +2n} over {n^2 + 2n +1 } a_n][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots)] 을 만족시킬 때, [eqn: a_10]의 값은? ② ① [eqn: 9 over 4] ② [eqn: 11 over 4] ③ [eqn: 13 over 4] ④ [eqn: 15 over 4] ⑤ [eqn: 17 over 4]		033. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]을 [eqn: a_1 =-1], [eqn: a_n+1 = { 1} over { 2}a_n -1 (n=1,```2,```3,``` CDOTS)] 로 정의할 때, [eqn: a_9 - a_10]의 값은? ④ ① [eqn: { 1} over {64 }] ② [eqn: { 1} over {128 }] ③ [eqn: { 1} over {256 }`] ④ [eqn: { 1} over {512 }`] ⑤ [eqn: { 1} over { 1024}]

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개념11	✔ [eqn: S _{n}]을 포함한 점화식 : [eqn: S _{n} -S _{n-1} =a _{n}]을 이용한다. ① [eqn: n]번째 식과 [eqn: n-1]번째 식을 빼서 [eqn: S _{n}]을 소거한다. ② [eqn: a _{n}] 대신에 [eqn: S _{n} -S _{n-1}]을 대입하여 [eqn: S _{n}]에 대한 점화식을 푼다.

034. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: 3(a_1 +a_2 + cdots + a_n ) = (n+2) a_n][eqn: (n=1,```2,```3,```cdots )] 과 같이 정의될 때, [eqn: a_n > 100]을 만족시키는 최소의 자연수 [eqn: n]의 값은? ④ ① [eqn: 11``] ② [eqn: 12``] ③ [eqn: 13``] ④ [eqn: 14``] ⑤ [eqn: 15``] 035. 수열 [eqn: LEFT { a_n` RIGHT }]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: {cases{a _{1} =1&#2S _{n} =a _{n+1} -1`````(n=1,``2,``3,`` CDOTS )&}}] 을 만족시키는 [eqn: a_n] 및 [eqn: S_n]을 구하여라. [eqn: { 3^n -1} over {2 }]		036. [eqn: a_1 =1]인 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: S_n = sum_{k = 1}^n a_k]라 할 때 [eqn: n S_{n + 1} = (n + 2) S_n + (n + 1)^3` ````(n ge 1)] 이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{n+1} =S _{n} +a _{n+1}]이므로 [eqn: n a_{n + 1} = 2S_n + (n + 1)^3``] [eqn: cdots cdots㉠] 이다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (n - 1)a_n = 2S_{n - 1} + n^3``] [eqn: cdots cdots㉡] 이고, [eqn: ㉠]에서 [eqn: ㉡]을 뺀 식으로부터 [eqn: na_{n + 1} = (n + 1)a_n + box{~~(가)~~}``] 를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면 [eqn: a_{n + 1} over {n + 1} = a_n over n + box{~~(가)~~} over {n(n+1)}``] 이다. [eqn: b _{n} = {a _{n}} over {n}]이라 하면, [eqn: b_{n + 1} = b_n + 3 + box{~~(나)~~}``(n ge 2)``] 이므로 [eqn: b_n = b_2 + box{~~(다)~~}``(n ge 3)``] 이다. [eqn: vdots] 위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)], [eqn: h(n)]이라 할 때, [eqn: {f(3)} over {g(3) h(6)}]의 값은? ② ① [eqn: 30``] ② [eqn: 36``] ③ [eqn: 42``] ④ [eqn: 48``] ⑤ [eqn: 54``]

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개념12	✔ 점화식의 적용 : 대충 많이 넣어본다.

037. 수열 [eqn: rm { it a _{n} rm }]이 [eqn: a_1 =1]이고 [eqn: a _{n+1} = {cases{{1} over {2} a _{n}&````(a _{n} ge 2)#root {3} of {2} a _{n}&````(a _{n} <2)}}] 를 만족시킬 때, [eqn: a _{112}]의 값은? ⑤ ① [eqn: 1] ② [eqn: root {3} of {2}] ③ [eqn: SQRT { 2}] ④ [eqn: root {3} of {4] ⑤ [eqn: 2] 038. 양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: <x>]는 [eqn: x]보다 크거나 같은 최소의 정수를 나타내기로 한다. 예를 들면, [eqn: <2> =2], [eqn: <2.5> =3] 이다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 [eqn: a _{1} =10,```a _{n} =a_{< n over 2 >}+1```(n=2,```3,```4,``` CDOTS )] 로 정의할 때, [eqn: a _{50}]의 값을 구하여라. [eqn: 16]		039. 수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3], [eqn: ~a _{n} =a _{n+1} +a _{n-1}] 을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=2} ^{20} a _{n} ^{2}]의 값은? ② ① [eqn: 90] ② [eqn: 93] ③ [eqn: 94] ④ [eqn: 96] ⑤ [eqn: 98]

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개념13	✔ 수열의 귀납적 정의 : 귀납적으로 정의해본다.

040. 평면 위에 어느 두 직선도 평행하지 않고 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않는 [eqn: n]([eqn: n ge 3])개의 직선이 있다. [eqn: n]개의 직선으로 나누어진 평면의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, 그림은 [eqn: a_3 =7]을 나타낸다. [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식을 구하여라. [eqn: a_n+1 = a_n + n+ 1]		041. 수직선 위의 점 [eqn: rm P _{ it n+2} ( it a_n+2 )]는 점 [eqn: rm P _ {it n }( it a_n )]과 점 [eqn: rm P _ { it n+1 } ( it a_n+1 )]을 연결하는 선분 [eqn: rm P _ { it n } P _ { it n+1}]을 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이다. [eqn: rm P _ 1 ( 0)], [eqn: rm P _2 ( 5)]일 때, [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식은? (단, [eqn: n ge 2 )] [eqn: a _{n+1} =a _{n} +5 LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1}]( [eqn: a _{n+2}][eqn: = 2 over 5 a_n+1 + 3 over 5 a_n]에서 변형 ) 042. 비어 있는 물탱크에 물을 채우려고 한다. 첫째 날은 [eqn: 7 rm L]의 물을 채우고, 다음 날부터 전날 채운 물의 양의 [eqn: 4 over 3]배보다 [eqn: 1rm L] 적은 양을 채우기로 하였다. 열 번째 날 물탱크에 채우는 물의 양은 몇 [eqn: rm L]인가? ② ① [eqn: 4 left ( 2 over 3 right)^10 +3] ② [eqn: 4 left( 4 over 3 right)^9 +3] ③ [eqn: 4 LEFT ( {5} over {3} RIGHT ) ^{9} +3] ④ [eqn: 4 LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{10} +3] ⑤ [eqn: 4 LEFT ( {5} over {3} RIGHT ) ^{10} +3]

	수열

개념14	✔ 수학적 귀납법의 증명 구조를 이해한다. ① [eqn: p(k)]와 [eqn: p(k+1)]을 정확하게 쓴다. ② [eqn: p(1)]과 ‘[eqn: p(k)]이면 [eqn: p(k+1)]이다.’를 증명한다.

043. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 1cdot3cdot5cdot cdotscdot (2n-1) cdot2^n] [eqn: =(2n )(2n-1) cdots (n+2)(n+1)] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (좌변)=(우변)=2] (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 1cdot3cdot5cdot cdotscdot (2k-1) cdot2^k] [eqn: =(2k)(2k-1) cdots (k+2)(k+1 )] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡ [eqn: n=k+1]일 때, ㉡의 양변에 [eqn: {BOX{````````(가)````````}}]를 곱하면 [eqn: 1cdot3cdot5cdot cdotscdot (2k-1) cdot box{````(나)````}] [eqn: =(2k)(2k-1) cdots (k+2)(k+1) cdot box{````(가)````}] [eqn: =(2k+2)(2k+1)(2k) cdots (k+2) ``] 따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠이 성립한다. 위의 증명과정에서 (가), (나)에 들어갈 식을 차례로 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: {g(10)}over{f(10)}]의 값은? ④ ① [eqn: 1over1024``] ② [eqn: 1over512``] ③ [eqn: 512``] ④ [eqn: 1024``] ⑤ [eqn: 2048``]		044. 다음은 [eqn: n GEQ 3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: {n} over {2 ^{n}} < {2} over {n-1}] 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. [eqn: {n} over {2 ^{n}} < {2} over {n-1}]에서 [eqn: 2 ^{{BOX{````(가)````}}} >n(n-1)] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠ (ⅰ) [eqn: n=3]일 때 ㉠에서 [eqn: (좌변)=16], [eqn: (우변)=6] 따라서 [eqn: n=3]일 때 ㉠이 성립한다. (ⅱ) [eqn: n=k`(k GEQ 3)]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: 2 ^{k+1} >k(k-1)] 이므로 양변에 [eqn: 2]를 곱하면 [eqn: 2 CDOT 2 ^{k+1} =2 ^{k+2} >2k(k-1)] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡ 그런데 [eqn: k GEQ 3]일 때, [eqn: 2k(k-1)- {BOX{``````(나)``````}} GEQ 0] 이므로 ㉡에서 [eqn: 2 ^{k+2} > {BOX{``````(나)``````}}] 따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n GEQ 3]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식 [eqn: {n} over {2 ^{n}} < {2} over {n-1}]가 성립한다. 위의 증명과정에서 (가)에 들어갈 식을 [eqn: f(n)], (나)에 들어갈 식을 [eqn: g(k)]라 할 때, [eqn: f(5)g(5)]의 값은? ⑤ ① [eqn: 30] ② [eqn: 80] ③ [eqn: 120] ④ [eqn: 150] ⑤ [eqn: 180]